2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：圖形的變化（銳角三角函數(shù)：綜合應(yīng)用）

2025年中考一輪復(fù)習(xí)：圖形的變化（銳角三角函數(shù)：綜合應(yīng)用）

一.選擇題（共8小題）

1.計(jì)算sin30°?tan60°的值（）

A.V3B.1D.3

2.如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°于點(diǎn)D.若AC=3,BC=4,

則sinNACO的值為（）

3.在RtZXABC中，ZACB=9Q°,如果AC=3,s譏4那么A3等于（）

A.3B.4C.5D.6

1

4.在銳角△ABC中，如果各邊長都縮小為原來的T那么NA的正弦值（）

1

A.擴(kuò)大為原來的2倍B.縮小為原來的5

C.大小不變D.不能確定

5.如圖是某商店?duì)I業(yè)大廳自動(dòng)扶梯的示意圖，已知扶梯的長度A5為13米，坡

度，=1：2.4,則大廳兩層之間的距離3c為（）

A.12B.10C.7D.5

6.一只杯子靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支

持力B的方向與斜面垂直，摩擦力F2的方向與斜面平行.若斜面的坡角a=

25°13,，則摩擦力仍與重力G方向的夾角B的度數(shù)為（）

F?

▼G

A.115°23'B.115°13'C.105°13'D.125°13'

7.在直角坐標(biāo)平面xOy內(nèi)有一點(diǎn)A（3,4）,那么射線。4與x軸正半軸的夾角

的正弦值等于（）

43_34

A.一B.-C.-D.一

5543

8.在平面直角坐標(biāo)系中，從原點(diǎn)。引一條射線，設(shè)這條射線與x軸的正半軸的

二.填空題（共6小題）

9.計(jì)算：2sin30°+2cos60°=.

10.如圖，有一個(gè)小山坡AB,坡比為1：百已知小山坡的垂直高度BC=8Qm,

則小山坡斜面A3的長是m.

11.△ABC中，若cos4=亨，則NA=

12.在RtZXABC中，ZC=90°,如果tanB=2,BC=2,那么AC=.

13.在RtAABC中，ZC=90°,ZA為銳角，且cosA=1,則NA的度數(shù)

是.

14.如圖，以。為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線交于點(diǎn)3,再以3為圓

心，B0長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C,畫射線0C,則tanNAOC的值

三.解答題（共6小題）

15.計(jì)算：tan60°?sin30。+2s意■s。-21cos60°-1|.

16.在RtZXABC中，ZC=90°,a=2,c=6,求sinA、cosA和tanA的值.

17.如圖，有一建筑物RD在小山3c上，小山的斜坡AB的坡角為1；四，在建

筑物頂部有一座避雷塔EF,在坡底A處測得避雷塔頂端E的仰角為45°,

在山頂3處測得建筑物頂端R的仰角為60°,已知E、F、。在同一條垂直

于地面的直線上，BD//AC,AB=1000m,BD=25Qm.

（1）求小山3C的高度；

（2）求避雷塔ER的高度.（結(jié)果精確到0.1加，V2~1.41,V3~1.73）

E

AC

18.如圖是某地下停車庫入口的設(shè)計(jì)示意圖，延長CD與A3交于E點(diǎn)，已知坡

道A3的坡比7=1：2.4是指坡面的鉛直高度CE與水平寬度AC的比，AC的

長為7.2米，CD的長為0.4米.

（2）按規(guī)定，車庫坡道口上方需張貼限高標(biāo)志，根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)，確定該

車庫入口的限高數(shù)值（即點(diǎn)。到A5的距離）.

19.計(jì)算：2cos30°-tan60°+sin45°cos45°.

20.白云寺景區(qū)位于河南省新鄉(xiāng)市輝縣市西部三十公里的太行山下，寺內(nèi)外共六

棵千年銀杏樹，為唐代所植，樹冠如蓋，錦廷有上千平米，與古色古香的寺

院相映成趣.千百年來這六棵銀杏樹，雖幾經(jīng)戰(zhàn)火的劫難仍迥然屹立，默默

守護(hù)著這座古守院，成為當(dāng)?shù)氐囊淮缶坝^和研究太行山植被的活化石.某校

致學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們想要利用所學(xué)的知識(shí)測量某棵銀杏樹的高度，他們分成了

三個(gè)小組并分別設(shè)計(jì)了不同的方案，測量方案與數(shù)據(jù)如下表：

課題|測量銀杏樹A3的

高度

一測量工具量角度的儀器、

皮尺等

測量小組第一小組第二小組第三小組

測量方案示意圖

說明點(diǎn)C、。在點(diǎn)3的是銀杏樹旁的ER是銀杏樹正西

正西方向房屋方向的指路牌，借

助所進(jìn)行測量，

使P、E、A三點(diǎn)在

一條直線上，點(diǎn)P、

R在點(diǎn)3的正西方

________________||向

測量數(shù)據(jù)ZC=37°,ZAGE=31°,EF=9m,ZP=

ZADB=45°,ZBGE=45°.37°

CD=12m.ZAFB=45°

（1）第小組的數(shù)據(jù)無法算出銀杏樹的高度；

（2）請選擇其中一個(gè)方案及其測量數(shù)據(jù)求出銀杏樹的高度.（結(jié)果精確到1機(jī)

考考數(shù)據(jù):sin37°=0.60,cos37°北0.8數(shù)tan37°^0.75）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

題號(hào)12345678

答案CBCCDBAA

一.選擇題（共8小題）

1.計(jì)算sin30°?tan60°的值()

A.V3B.1c.省D.3

2

【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入計(jì)算得到答案.

【解答】解：sin30°*tan60°

xV3

=V3

2，

故選：c.

2.如圖，在RtZXABC中，ZACB=9Q°，CDLAB于點(diǎn)D.若AC=3,BC=4,

則sinZACD的值為（）

5

A.-B.-D.-

4533

【分析】根據(jù)勾股定理求得A3=5,然后根據(jù)余角的性質(zhì)，可得NBn/ACD

根據(jù)等角的正弦相等，可得答案.

【解答】解：在RtZXABC中，AC=3,BC=4,

.".AB=VXC2+BC2=5,

VZACB=90°,CDLAB,

：./B=ZACD,

/.sinZ-ACD—sinB==焉,

故選：B.

3.在Rt^ABC中，ZACB=90°,如果AC=3,s加4=%那么A3等于（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義列式計(jì)算.

【解答】解：sinA=^=

4

：.BC

由勾股定理可得，AB2=AC2+BC2,代入可得：

AB2=32+弓砌2,

解得AB=5,

故選：C.

1

4.在銳角△ABC中，如果各邊長都縮小為原來的5,那么NA的正弦值（）

1

A.擴(kuò)大為原來的2倍B.縮小為原來的5

C.大小不變D.不能確定

【分析】銳角三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)系，據(jù)此進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：在銳角△ABC中，如果各邊長都縮小為原來的點(diǎn)

那么每個(gè)角的大小都不變，

則NA的正弦值不變，

故選：C.

5.如圖是某商店?duì)I業(yè)大廳自動(dòng)扶梯的示意圖，已知扶梯的長度A3為13米，坡

度，=1：2.4,則大廳兩層之間的距離3c為（）

【分析】設(shè)大廳兩層之間的距離為x米，根據(jù)坡度的概念用x表示出扶梯的鉛

直高度，再根據(jù)勾股定理列出方程，解方程得到答案.

【解答】解：設(shè)大廳兩層之間的距離3C為x米，

：扶梯的坡度，=1：2.4,

??.扶梯的水平寬度為2.4x米,

由勾股定理得：/+(2.4x)2=132,

...大廳兩層之間的距離為5米，

故選：D.

6.一只杯子靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支

持力B的方向與斜面垂直，摩擦力F2的方向與斜面平行.若斜面的坡角a=

25°13,，則摩擦力仍與重力G方向的夾角0的度數(shù)為()

A.115°23,B.115°13,C.105°13,D.125°13,

【分析】根據(jù)平行的性質(zhì)得到N3=90°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出N2=

64°47,，根據(jù)平行的性質(zhì)即可得到答案.

【解答】解：???支持力后的方向與斜面垂直，摩擦力人的方向與斜面平行,

：.Z3=90°,

：重力G的方向豎直向下，

Za+Zl=90°,

VZa=25°13,，

/.Z2=Z1=9O°-Za=90°-25°13'=64°47',

???摩擦力Fi的方向與斜面平行，

.*.Zp+Z2=180°,

.*.Zp=115°13',

故選：B.

7.在直角坐標(biāo)平面xOy內(nèi)有一點(diǎn)A(3,4),那么射線。4與x軸正半軸的夾角

的正弦值等于()

434

A.-B.-D.-

553

【分析】構(gòu)造直角三角形，由坐標(biāo)得出線段的長，再根據(jù)勾股定理求出斜邊

的長，根據(jù)余弦的意義求出結(jié)果即可.

【解答】解：過點(diǎn)A作軸，垂足為3,

在中，由題意得：ZAOBa,

VA(3,4),

：.OB=3,AB=4,

/.sina=AB_4_4

OA=I=寧

J3z2+42

故選：A.

8.在平面直角坐標(biāo)系中，從原點(diǎn)O引一條射線，設(shè)這條射線與x軸的正半軸的

A.OAB.OBC.OCD.OD

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)定義即可判斷.

【解答】解：???點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,4）,

：.0A=5,

??cosa=耳，

則這條射線是

故選：A.

二.填空題（共6小題）

9.計(jì)算：2sin30°+2cos60°=2.

【分析】根據(jù)特殊三角函數(shù)值可進(jìn)行求解.

【解答】解：原式=2x升2x*

=1+1

=2.

故答案為：2.

10.如圖，有一個(gè)小山坡AB,坡比為1：百已知小山坡的垂直高度BC=80m,

則小山坡斜面A3的長是160m.

【分析】根據(jù)坡度角求出AC的長，再利用勾股定理即可求出結(jié)果.

【解答】解：?.,小山坡A3的坡比為1：V3,BC=80m,

.BC1

,,就=后

??AC=V3-BC=80V3cm,

：.AB=y/AC2+BC2=J（80V3）2+802=160m,

故答案為：160.

11.△ABC中，若cosA=學(xué)，則NA=30°.

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值直接求解.

【解答】解：八鉆。中，cosA=亨，

AZA=30°.

故答案為：30°.

12.在RtZXABC中，ZC=90°,如果tan3=2,BC=2,那么AC=4.

【分析】利用正切的定義計(jì)算即可.

【解答】解：,.?"=益=2,

：.AC=2BC,

,:BC=2,

：.AC=4,

故答案為：4.

13.在RtAABC中，ZC=90°,ZA為銳角，且cosA=則NA的度數(shù)是

60°.

1

【分析】根據(jù)60。角的余弦值是:解答即可.

【解答】解：???cosA=},COS60°另，

AZA=60°,

故答案為：60°.

14.如圖，以。為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線交于點(diǎn)3,再以3為圓

心，BO長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C,畫射線OC,則tanZAOC的值為

V3.

【分析】連接BC,根據(jù)作圖可知：OB=OC=BC,進(jìn)而得△03C為等邊三角

形，則NAOC=60°,據(jù)此可得出答案.

【解答】解：連接3C,如圖所示：

根據(jù)作圖可知：OB=OC=BC,

??.△03C為等邊三角形，

AZAOC=60°,

tanZA0C=tan60°=圾

三.解答題（共6小題）

15.計(jì)算：tan60°*sin30°+））.-2|cos60。-1|.

【分析】根據(jù)題意，先計(jì)算特殊角的三角函數(shù)值，然后計(jì)算乘法，絕對值，

最后合并，整理，得到答案.

【解答】解：tcm60°?s譏30°+2s麓5°-21cos600-1|

=V3xH—2|i—1|

Z2X與N

=T+1-2XI

_V3

一T,

16.在RtZkABC中，ZC=90°,a=2,c=6,求sinA、cosA和tanA的值.

【分析】先利用勾股定理計(jì)算出b的值，然后根據(jù)正弦、余弦和正切的定義

求解.

【解答】解：b=V62-22=4V2,

所以sinA=?=石=可

4b4V22V2

cosA=—c=-T6-=—53-

.a2V2

taM4n方=懣=不

17.如圖，有一建筑物尸。在小山上，小山的斜坡A5的坡角為1：V3,在建

筑物頂部有一座避雷塔EE在坡底A處測得避雷塔頂端E的仰角為45°,

在山頂5處測得建筑物頂端p的仰角為60°,已知E、F、。在同一條垂直

于地面的直線上，BD//AC,AB=1000m,BD=25Qm.

(1)求小山3c的圖度；

(2)求避雷塔ER的高度.(結(jié)果精確到0.1m,71=1.41,V3?1.73)

E

AC

【分析】(1)由小山的斜坡A3的坡度為1：V3,則可得出NR4c=30°,故

有3C=sin30°?A3,然后代入求解即可；

(2)過點(diǎn)。作DGLAC,垂足為點(diǎn)G,證明四邊形3CGD是矩形，貝UBC=

DG=50Qm,CG=BD=250m,在RtAABC中求出AC=500次小，則有AG=

(500V3+250)m,然后證明AAGE是等腰直角三角形，則EG=AG=(500百+

250)m,在RtABDF中，F(xiàn)D=tan60。?BD=遮x250=250V3m,最后由EF=

EG-FD-DG,代入求解即可.

【解答】解：(1)由題意可得：tar叱BAC=1：V3,

/.ZBAC=30°,

/.RtAABC中，BC=sin30°-AB=^x1000=500(m),

則小山3c的高度為500加；

(2)如圖，過點(diǎn)。作DGLAC,垂足為點(diǎn)G,

E

建

筑

物

：.ZDGA=ZBCA=90°則BC//DG,

X,：BD//AC,

???四邊形3CGD是矩形，

：.BC=DG=500m,CG=BD=250m,

又,/在RtAABC中，AC=cos30°.AB=^x1000=500V3m,

：.AG=(500V3+250)m,

ME、F、。在同一條垂直于地面的直線上，ZEAC=45°,

：.EG±AC,

???△AGE是等腰直角三角形，

：.EG=AG=(500V3+250)m,

又在RtABDF中，F(xiàn)D=tan60°-SO=V3x250=250V3m,

/.EF=EG-FD-DG=500V3+250-250V3-500=250(73-1)-182.5(m),

則避雷塔EF的高度約為182.5m.

18.如圖是某地下停車庫入口的設(shè)計(jì)示意圖，延長CD與A3交于E點(diǎn)，已知坡

道A3的坡比7=1：2.4是指坡面的鉛直高度CE與水平寬度AC的比，AC的

長為7.2米，CD的長為0.4米.

(2)按規(guī)定，車庫坡道口上方需張貼限高標(biāo)志，根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)，確定該

車庫入口的限高數(shù)值(即點(diǎn)。到A3的距離).

【分析】(1)根據(jù)/=1：2.4,得出加98=去阜,即登=>，求出CE

2.412AC12

=3米，得出?！?3-0.4=2.6(米)；

(2)過點(diǎn)D作DH±AB于證明NEDH=NC43,得出tan/EDH=tanz.CAB=

金,設(shè)EH=5x,DH=12x,根據(jù)勾股定理求出DE=<DH2+EH2=

J(12無乃+(5x)2=13%,根據(jù)￡>E=2.6米，得出x=0.2,最后求出結(jié)果即可.

【解答】解：(1)如圖，由題意可知，ACLCE,

Vz=l：2.4,

.15

??tcurZ-CAB=T5-r=T5"，

Z.4iz

.CE5

*9AC~12，

VAC=7.2米，

：.CE=3米，

?"￡>=0.4米，

：.DE=3-0.4=2.6（米）；

（2）過點(diǎn)。作DHLAB于H,如圖所示:

：.ZEDH=ZCAB,

*/tanZ.CAB=

tanZ-EDH=tan乙CAB=g,

.EH5

??—,

DH12

??.設(shè)EH=5x,DH=12x,

：.DE=y/DH2+EH2=7（12x）2+（5x）2=13x,

?.5=2.6米，

?,<13x=2.6>

解得：x=0.2,

：.DH=12x=12XQ.2=2A（米），

答：該車庫入口的限高數(shù)值為2.4米.

19.計(jì)算：2cos30°-tan600+sin45°cos45°.

【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入計(jì)算即可.

【解答】解：2cos30°-tan60°+sin45°cos45°

=2x夠—百+孝x孝

=V3—V3+2

20.白云寺景區(qū)位于河南省新鄉(xiāng)市輝縣市西部三十公里的太行山下，寺內(nèi)外共六

棵千年銀杏樹，為唐代所植，樹冠如蓋，錦廷有上千平米，與古色古香的寺

院相映成趣.千百年來這六棵銀杏樹，雖幾經(jīng)戰(zhàn)火的劫難仍迥然屹立，默默

守護(hù)著這座古守院，成為當(dāng)?shù)氐囊淮缶坝^和研究太行山植被的活化石.某校

致學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們想要利用所學(xué)的知識(shí)測量某棵銀杏樹的高度，他們分成了

三個(gè)小組并分別設(shè)計(jì)了不同的方案，測量方案與數(shù)據(jù)如下表：

課題|測量銀杏樹A3的

高度

一測量工具^則量角度的儀器、

皮尺等_____

測量小組第一小組第二小組第三小組

測量方案示意圖

說明點(diǎn)C、。在點(diǎn)3的是銀杏樹旁的ER是銀杏樹正