北京市朝陽區(qū)2025屆高三年級下冊質(zhì)量檢測一（3月）數(shù)學(xué)試卷（含答案與解析）

機密★啟用前

北京市朝陽區(qū)2025屆高三下學(xué)期質(zhì)量檢測一（3月）

數(shù)學(xué)試卷

注意事項：

1.本試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘.

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫

在本試卷上無效.

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1.已知集合人=何忖<2｝,集合3=閨0-x-2},則43=（）

A.1x0<x<2jB.1x|0<%<2}C.1x|-2<x<21D.1x|0<x<21

2.設(shè)復(fù)數(shù)z=l+i的共軌復(fù)數(shù)為口則一（）

A.1B.72C.2D.4

3.在（x+2]展開式中，常數(shù)項為（：

）

A.6B.8C.12D.24

4.為了得到函數(shù)y=Sin2x+cos2x的圖象,可以將函數(shù)y=J5sin2x的圖象

7T7T

A.向右平移一個單位B.向左平移7個單位

44

717T

C.向右平移一個單位D.向左平移"個單位

88

5.已知｛4｝是等比數(shù)列，％=2,<23=1,,則a。。6=（）

6.已知曲線C:nu?-ay?=1,貝!|“〃>加>。"是"C為焦點在x軸上的雙曲線”的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7已知sintz+sin/?=O,cosa+cos〃=6，則cos（a-/?）=（）

A--B.1C.昱D.1

222

8.某市計劃在一條河上修建一座水上休閑公園，如圖所示.這條河兩岸所在直線4,‘2互相平行，橋?！昱c

河岸所在直線垂直.休閑公園的形狀可視為直角三角形，它的三個入口分別設(shè)在直角三角形的頂點A,B,

C處，其中入口A點（定點）在橋。E上，且A到直線/r4的距離分別為自，h2（4,4為定值），入口

B,C分別在直線4，4上，公園的一邊A3與直線乙所成的銳角—WD為戊，另一邊AC與4B垂直.設(shè)

該休閑公園的面積為S（a）,當(dāng)a變化時，下列說法正確的是（）

A.函數(shù)S（a）最大值為4為

B.函數(shù)S（a）的最小值為牛

c.若火,%寸。,"!）且4<%,則s3）〈s（%）

L兀

D.若火,%4嗚且%+%=—,則S(%)=S(%)

9.在VABC中，CA=CB<,AB=4,點M為VABC所在平面內(nèi)一點且AM.BC=0,則

的最小值為（）

16416

A.0B.D.

2555

10.〃位同學(xué)參加學(xué)校組織的某棋類單循環(huán)制比賽，即任意兩位參賽者之間恰好進行一場比賽.每場比賽的

計分規(guī)則是：勝者計3分，負(fù)者計。分，平局各計1分.所有比賽結(jié)束后，若這〃位同學(xué)的得分總和為150

分，且平局總場數(shù)不超過比賽總場數(shù)的一半，則平局總場數(shù)為（）

A.12B.15C.16D.18

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.函數(shù)〃x)=/—

+log3^的定義域為

A/1-X

12.己知點"（2,1）在拋物線C:k=>0）上，則拋物線C的焦點E的坐標(biāo)為；以F為圓心，

|引⑷為半徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線的位置關(guān)系是.（填“相交”“相切”或“相離”）

13.已知函數(shù)了⑴是R上的奇函數(shù)，當(dāng)無>0時/（x）=x+e2r,則/（—2）=；若存在

a,b,c&R（a^b）,使得/（a）=/（b）=c,則c的一個取值為.

14.干支紀(jì)年法是我國古代一種紀(jì)年方式，它以十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）和十

二地支（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）的組合來表示年份，循環(huán)紀(jì)年.比如某一年

為甲子年'，則下一年為乙丑年，再下一年為丙寅年，以此類推，排列到癸酉年后，天干回到“甲”，即甲戌

年，下一年為乙亥年，之后地支回至「子”，即丙子年，以此類推.已知2025年是乙巳年，則2025年之后的

首個己巳年是年.（用數(shù)字作答）

15.在棱長為1的正方體ABC?！狝4G2中，點P是底面內(nèi)的動點，給出下列四個結(jié)論：

①+的最小值為2；

②，4+pq的最小值為#;

③P4+W4的最大值為i+百；

④『的最小值為3.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.如圖，在四棱柱A3CD—4與G。中，平面A3CD,在四邊形A3CD中，

AB//CD,AB^2,AD^CD^1,E為線段A3的中點.

(1)求證：4E〃平面qCDDj；

(2)若平面AA34，平面4A￡>2，AA=2,求平面4A35]與平面AC]E夾角余弦值.

17.在VABC中，bcosA+acosB-c2.

(1)求c的值；

3

(2)已知sinC=g,再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得VA3C存在且

唯一，求VABC的周長.

條件①：48=；；

4

3

條件②：A8邊上的高為一；

2

4

條件③：tz=—.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(II)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解

答計分.

18.某高中組織學(xué)生研學(xué)旅行.現(xiàn)有A,8兩地可供選擇，學(xué)生按照自愿的原則選擇一地進行研學(xué)旅行.研

學(xué)旅行結(jié)束后，學(xué)校從全體學(xué)生中隨機抽取100名學(xué)生進行滿意度調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表：

高一高二IWJ二

A地2地A地B地A地2地

滿意122183156

一般226568

不滿意116232

假設(shè)所有學(xué)生的研學(xué)旅行地點選擇相互獨立.用頻率估計概率.

(1)估計該校學(xué)生對本次研學(xué)旅行滿意的概率；

(2)分別從高一、高二、高三三個年級中隨機抽取1人，估計這3人中至少有2人選擇去B地的概率；

(3)對于上述樣本，在三個年級去A地研學(xué)旅行的學(xué)生中，調(diào)查結(jié)果為滿意的學(xué)生

人數(shù)的方差為調(diào)查結(jié)果為不滿意的學(xué)生人數(shù)的方差為寫出和學(xué)的大小關(guān)系.'(結(jié)論不要求證

明)

22

19.已知橢圓：=+==1(?！?〉0)的右焦點為歹(1,0),離心率為J.

ab~

(1)求橢圓E的方程;

(2)過點"(4,0)作直線/與橢圓E交于不同的兩點A,B.設(shè),直線BC與直線x=l交于點

N,求證：直線AN的斜率為定值.

20.已知函數(shù)=------(4ZGR).

(1)當(dāng)0=1時，求曲線y=/(x)在點(1,7(1))處的切線方程;

(2)若求證：當(dāng)x21時，〃x)20；

2

(3)若函數(shù)/(%)有3個不同的零點，求。的取值范圍.

21.已知Q：4,a2,L,a“(〃23,〃eN*)為有窮正整數(shù)數(shù)列，若存在"e{1,2,,〃}(，＜/),其使得

siai+sMaM++sjaj=0,其中號,加,.巴e{-1,1},則稱Q為連續(xù)可歸零數(shù)列.

(1)判斷Qi：1,3,2和。2：4,2,4是否為連續(xù)可歸零數(shù)列？并說明理由；

(2)對任意的正整數(shù)"記V(，)=M{VWN|，="-2","CN*},其中maxS表示數(shù)集S中最大的數(shù).令

6=2?-咐1=1,2,、7),求證：數(shù)列Q：%,電，L,%不是連續(xù)可歸零數(shù)列；

(3)若Q：%,a2,L,a”的每一項均為不大于左(keN*)的正整數(shù)，求證：當(dāng)左時，。是連續(xù)可

歸零數(shù)列.

參考答案

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1.已知集合4=卜舊<2>,集合3=何。<、"2},則45=（）

A.1%|0<x<2jB.1x|0<%<2}C.1%|-2<x<2jD.{x[0<x<2}

【答案】A

【解析】

【分析】求出集合4然后根據(jù)交集運算求解即可.

【詳解】A={x||x|<2）={x|-2<x<2},

所以Ac5={x[0<x<2},

故選：A

2.設(shè)復(fù)數(shù)z=l+i的共物復(fù)數(shù)為1，則2二=（）

A.1B.72C.2D.4

【答案】C

【解析】

【分析】求得復(fù)數(shù)1，進而利用復(fù)數(shù)的乘法運算可求

【詳解】因為復(fù)數(shù)z=l+i，所以復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)為1=1一i，

所以zi=（l+i）（l—i）=F—[2=2.

故選：C.

3.在[x+2]的展開式中，常數(shù)項為（）

A.6B.8C.12D.24

【答案】D

【解析】

【分析】寫出二項展開式通項，令x的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，代入通項后即可得解.

【詳解】+的展開式通項為=<2[23/-2乂左=0,1,2,3,4),

令4—2左=0,解得k=2,所以，展開式中的常數(shù)項為C[22=6x4=24.

故選：D.

4.為了得到函數(shù)y=sin2x+cos2x的圖象，可以將函數(shù)y=J1sin2x的圖象

7TTT

A.向右平移一個單位B.向左平移一個單位

44

TTTT

C.向右平移一個單位D.向左平移一個單位

88

【答案】D

【解析】

【詳解】試題分析：因為y=sin2x+cos2x=J5sin(2x+：),所以將函數(shù)y=J5sin2x的圖象向左平移

n

工—工個單位，選D.

考點：三角函數(shù)圖像變換

【易錯點睛】對y=Asin(3x+(p)進行圖象變換時應(yīng)注意以下兩點：

(1)平移變換時，x變?yōu)閤±a(a>0),變換后的函數(shù)解析式為y=Asin[3(x±a)+(p]；

x

(2)伸縮變換時，x變?yōu)橐?橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膋倍)，變換后的函數(shù)解析式為丫=人$山(-x+(p).

kk

5.己知｛?！埃堑缺葦?shù)列，a2=2,<J3=1,則&=()

111

A.-B.-C.：D.1

842

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出公比q和首項4,再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出%、生、每，最

后計算4的值.

a,1

【詳解】已知凡=2,4=1，可得公比4=二=彳.

再將q=；，叼=2代入通項公式出=qq，可得2=4x；,解得q=4.可得：

,11111

色"=1x；a=aq=-x-=-；aa、q——x一二一.可得:

L5465428

〃4二4x2xlx—x—x—=一.

1262488

故選：A.

6.已知曲線C:7加-ay?=i,貝?。荨啊ǎ炯樱?”是“0為焦點在左軸上的雙曲線”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直接判斷命題的充分性和必要性即可.

【詳解】若“〉相＞0,則0＜工＜工，

nm

22

土-匕=11

所以。：如2y2=1,即11-,

mn

所以。為焦點在x軸上的雙曲線；

若。為焦點在無軸上的雙曲線，

22

工—二二1

則對于C：〃：犬2一町2=1,即11,

mn

可得，＞0,工＞0,即機＞0且〃＞0,不一定得到幾＞帆＞0,

mn

綜上，“川〉加＞0"是“C為焦點在％軸上的雙曲線”的充分不必要條件.

故選：A

7.已知sino+sin/?=。，cosa+cos〃=6,則cos(o—/?)=()

A.--B.：C.旦D.1

222

【答案】B

【解析】

【分析】將給定的兩個等式平方相加，再逆用差角的余弦公式即得.

【詳解】由sina+sin/?=。，cosa+cos/7=百,得(sina+sin/)?+(cosa+cos尸產(chǎn)=3,

整理得2+2(85￡85/7+$111￡5111/7)=3,所以cos(a—夕)=；.

故選：B

8.某市計劃在一條河上修建一座水上休閑公園，如圖所示.這條河兩岸所在直線/1,，2互相平行，橋。E與

河岸所在直線垂直.休閑公園的形狀可視為直角三角形，它的三個入口分別設(shè)在直角三角形的頂點A,B,

C處，其中入口A點(定點)在橋。E上，且A到直線小乙的距離分別為自，用(4,4為定值)，入口

B,C分別在直線&，4上，公園的一邊42與直線4所成的銳角NASD為a,另一邊AC與A3垂直.設(shè)

該休閑公園的面積為S(a),當(dāng)a變化時，下列說法正確的是()

A.函數(shù)S(a)的最大值為"為

B.函數(shù)S(a)的最小值為牛

C.若%,%且/<%,則S(aJ<S(a2)

D若%,%且%+%，則S(aJ=S(a2)

【答案】D

【解析】

【分析】主要涉及三角函數(shù)以及三角形面積公式的應(yīng)用.首先根據(jù)直角三角形中的三角函數(shù)關(guān)系，分別求出

AB和AC的長度表達式，再根據(jù)三角形面積公式得到S(a)的表達式，最后對該表達式進行分析，判斷各

個選項的正確性.

【詳解】在HfVABD中，ZABD=a,AD=刈，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，可得

sma

TT

因為NBAC=5，ZABD=a,所以NC4E=cr,在RfACE中，AE=%,根據(jù)余弦函數(shù)的定義，可

得AC=-^.

cosa

對于VABC,S(a)=-AB-AC,將43=2，AC=-^代入可得：

2smacosa

S(0=L4「=—她一，進一步化簡為S(①=1匹，aefo,^.

2sinacosa2sin。cosasin2a<2J

對于選項A,因為所以2OG(0,兀)，sin2ae(0,1].當(dāng)sin2。取最小值0(取不到)，最大

值1時，S(a)=1①沒有最大值，所以A錯誤.

sin2a

對于選項B,由S(a)=&。，sin2?e(0,l],當(dāng)sin2<z=l,即2c=巴，a=工時，S(a)取得最小

sin2a24

值4a，所以B錯誤.

對于選項C,當(dāng)時，2ae|0,^sin2a單調(diào)遞增，S(a)=—正單調(diào)遞減；當(dāng)

k4JV2Jsm2a

二￡(：,5]時，2a￡(￡,兀],sin2a單調(diào)遞減，S(a)-單調(diào)遞增.

142J12)sin2a

所以若%%￡[0弓)且％<%,不一定有S(%)<S(%)，C錯誤.

(兀)兀

對于選項D,若%,%且%+%=5，貝!]2%+2仁:2=兀sin2ax=sin(7i-2%)=sin2a2.因

2

hhhh

為義⑷=版,義的)=仁；，所以s(⑷=SQ),D正確.

故選：D.

9.在VA3C中，CA=CB=yB，A3=4,點/為VA3C所在平面內(nèi)一點且AM.3C=0,則AATCM

的最小值為()

16416

A.0B.-----C.一一D.——

2555

【答案】C

【解析】

【分析】以BC所在直線為x軸，以其上的高線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出點河的坐標(biāo)，寫出各個

點坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算，求解問題.

【詳解】在三角形ABC中，由余弦定理cosC=——"——=一/==—r=--,故C為鈍角;

2ACxCB2x75x755

又故"點在三角形ABC底邊BC的高線上，

則以BC所在直線為無軸，以其上的高線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系如下所示：

l44x/5r-3

故04=ACxsinNACO=J5x—=^-，OC=ACxcosNACO=x—=；

(4J?)(2-^5Y442、/?

故AM?CM=mm——=m一一———>——,當(dāng)且僅當(dāng)根=工時取得等號;

^5J555

.4

也即AM?CM的最小值為一二.

故選：C.

10.〃位同學(xué)參加學(xué)校組織的某棋類單循環(huán)制比賽，即任意兩位參賽者之間恰好進行一場比賽.每場比賽的

計分規(guī)則是：勝者計3分，負(fù)者計0分，平局各計1分.所有比賽結(jié)束后，若這〃位同學(xué)的得分總和為150

分，且平局總場數(shù)不超過比賽總場數(shù)的一半，則平局總場數(shù)為()

A.12B.15C.16D.18

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)平局總場數(shù)為左化eN),且所有比賽的場數(shù)為C；=,根據(jù)總得分為150分可得出

2

）=—l）_i50,結(jié)合題意得出0W9=3〃（"—I—1504“（”一°,可得出關(guān)于〃的不等式，解出正

224

整數(shù)〃的值，即可得出平局的局?jǐn)?shù).

【詳解】設(shè)平局總場數(shù)為左（左eN）,且所有比賽的場數(shù)為C：=—1）,

n(n-l)

由題意可知，k<

4

由于能決定勝負(fù)的每場選手的得分之和為3分，每場平局選手的得分之和為2分，

由題意可得3］也二D—左］+2左=—左=150,所以，左=獨二D—150,

2j22

因為平局總場數(shù)不超過比賽總場數(shù)的一半，則0W左J5fro<,

24

整理可得100W〃（〃—l）W120,因為〃eN*，解得〃=11，

所以'平局的局?jǐn)?shù)為"當(dāng)“一15°=吟型一15°=5

故選：B.

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.函數(shù)〃x)=/—

+log^的定義域為

\ll-x3

【答案】（0,1）

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式有意義可得出關(guān)于X的不等式組，即可解得函數(shù)/（九）的定義域.

l-x>0

【詳解】對于函數(shù)/(x)=-^^=+10g3%,有<x>0'解得℃<1'

A/1-X

故函數(shù)/（x）=［^=+logs》的定義域為（0,1）.

故答案為：（0,1）.

12.已知點M(2,1)在拋物線C:f=2py(p>0)上，則拋物線C的焦點廠的坐標(biāo)為；以F為圓心，

|引刈為半徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線的位置關(guān)系是.(填“相交”“相切”或“相離”)

【答案】?.(0,1)②.相切

【解析】

【分析】第一空由點在拋物線上代入可得拋物線方程，進而得到焦點坐標(biāo)；

第二空由兩點間距離公式求出圓的半徑與焦點到準(zhǔn)線的距離相比較可得.

【詳解】由題意可得4=2/=>。=2,所以K=l,

2

所以拋物線C的焦點廠的坐標(biāo)為(0,1)；

由兩點間距離公式可得=J(2_0)2+(1-1)2=2，即為圓的半徑，

又焦點到準(zhǔn)線的距離為2,

所以|加|為半徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線的位置關(guān)系是相切.

故答案為：(0,1)；相切.

13.已知函數(shù)"％)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時/(x)=x+e2f,則/(—2)=；若存在

a,b,c&R(a^b),使得/(a)=/(5)=c,則c的一個取值為.

【答案】①.—3②.4(答案不唯一)

【解析】

【分析】利用函數(shù)的奇偶性可求得了(-2)的值；先求得無>0,函數(shù)“X)的單調(diào)性，進而可得的單

調(diào)性，進而可求得c的取值范圍.

【詳解】因為函數(shù)/(尤)是R上的奇函數(shù)，且x>0時，f(x)=x+^-x,

所以/(_2)=_/(2)=—(2+e2-2)=_3.

當(dāng)x>0時，由y(x)=x+e2r,可得/'(x)=l—e2r,

令/'(x)>0,即l—e2T>0，解得尤>2,

所以函數(shù)外可在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,+“)單調(diào)遞增,

所以x>0時，/（x）>/（2）=2+e2-2=3,x.0,/（x）^e2

由為函數(shù)〃尤）是R上的奇函數(shù)，可得x<0時，/（x）</（-2）=-3,又/⑼=0,

由/（。）=/3）=。,可得—e2<c<-3或3vcve2,

所以C的取值范圍為（—e2,—3）D（3,e2）.

故答案為：-3；4（答案不唯一）.

14.干支紀(jì)年法是我國古代一種紀(jì)年方式，它以十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）和十

二地支（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）的組合來表示年份，循環(huán)紀(jì)年.比如某一年

為甲子年'，則下一年為乙丑年，再下一年為丙寅年，以此類推，排列到癸酉年后，天干回到“甲”，即甲戌

年，下一年為乙亥年，之后地支回至子"，即丙子年，以此類推.已知2025年是乙巳年，則2025年之后的

首個己巳年是年.（用數(shù)字作答）

【答案】2049

【解析】

【分析】天干是以10為公差的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，分析計算可得解.

【詳解】天干是以10為公差的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，

從2025年是乙巳年，以2025年的天干和地支分別為首項，

因為地支為巳，則經(jīng)過的年數(shù)為12的倍數(shù)，

又因為2025年為天干為乙，到天干為已，需經(jīng)過丙、丁、戊、己，

故經(jīng)過年數(shù)除以10的余數(shù)為4,故需經(jīng)過24年，所以2025年之后的首個已巳年是2049.

故答案為：2049.

15.在棱長為1的正方體—中，點P是底面內(nèi)的動點，給出下列四個結(jié)論：

①的最小值為2；

②Pd+Wq的最小值為幾；

③pf+Wq的最大值為1+逝；

④『的最小值為3.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①②④

【解析】

【分析】設(shè)點A、B、c、。關(guān)于平面4耳。2的對稱點分別為A、當(dāng)、G、D2,設(shè)底面ABC。、

4與。12的中心分別為點0、0「作出圖形，推導(dǎo)出|出+04=2忸0bpA『+pC]=2,O『+l,

求出|尸。|的最小值，可判斷①④；由對稱性得出|「。|=|尸。2卜進而可判斷②；取點尸和點片重合，可判

斷③.

【詳解】設(shè)點A、B、c、。關(guān)于平面A4G2的對稱點分別為4、B>c。、D],

設(shè)底面ABCD、4回。12的中心分別為點。、。1，如下圖所示:

對于①，易知。為AC的中點，則P0=g（R4+PC）,可得PA+PC=2P0,

所以，|出+pq=2，@,

當(dāng)點P與點。?重合時，底面ABCD,此時，|P0|取最小值1,

即的最小值為2,①對；

對于④，=|PO+041+|PO+OC『=|PO+OA1+|PO—

/i-、2

=2（附]+|叫）=2附1+232=2pO1+2x—=2|PO|2+1,

''I2J

當(dāng)點P與點。i重合時，。。1，底面ABC。，此時，|P。取最小值1,

貝的最小值為2*仔+1=3，④對；

對于②，由對稱性可知，|尸。|=|PC2|,

則22

|PA|+|PC|=|PA|+|PC2|>|AC2|=^|AC|+|CC2|=V2+4="，

當(dāng)且僅當(dāng)點p為線段與平面的交點時，pd+pq取最小值#，②對；

對于③，當(dāng)點尸與點用重合時，|閘+'。卜|閘+,02|=|做|+"4|=20>1+6,

所以，P4+pq的最大值不是1+6,③錯.

故答案為：①②④.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.如圖，在四棱柱ABC。—AgG。中，AAJ.平面ABCD,在四邊形ABCD中,

AB//CD,AB^2,AD^CD^1,E為線段AB的中點.

A

18>

（1）求證：AE〃平面GCDR；

（2）若平面AAB4，平面AA。。，AA=2,求平面AA34與平面AGE夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵2

3

【解析】

【分析】（1）連接3CEC,根據(jù)長度和平行關(guān)系得到四邊形AECD為平行四邊形，再利用線面平行的判

定定理即可得證；

（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，即可得到A點處直線兩兩互相垂直，即可建立空間直角坐

標(biāo)系，然后利用向量法求解面面角的余弦值即可.

【小問1詳解】

連接D]C,EC.

因為A5=2,CD=1,石為AB的中點，

所以AE=CD.

又ABHCD,所以四邊形AECD為平行四邊形.

所以EC//AD,EC-AD.

又因為A。//AD,AA=A。，

所以A。//EC,A。=EC.

所以四邊形AECD1為平行四邊形.

所以AE//DC.

又因為<Z平面C[CDD[,DiCu平面C1CDDl,

所以AE//平面GCDA.

【小問2詳解】

因為A&，平面ABC。，

所以A4LAB,AAi±AD.

又因為平面AXABB.1平面AlADDl,平面AiABBin平面A.ADD,=",

且ADu平面AA。，，

所以AD，平面4AB5一

所以ADSAB.

所以A3,AD,A4兩兩垂直.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,

則D（O,1,O）,5（2,O,O），A（O,O,2）C（LL2）.

所以￡（1,0,0）,馬=（一1,0,2）,=（1,1,0）.

因為平面AA53],

所以A。=（0,1,0）是平面A.ABB,的法向量.

設(shè)平面ACE的法向量為〃=（X,y,z）,

n-EA1-0-x+2z=0

則＜即《

n-AG=0x+y=0

令％=2,則y=—2,z=l.于是〃=（2,-2,1）.

設(shè)平面A,ABB,與平面夾角為。，

II\AD-n\2

則cosO=cosAD,n\=----；-.

.11\AD\\n\3

17.在VABC中，bcosA+acosB-c2.

（1）求c的值；

3

（2）已知sinC=g,再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得VA5C存在且

唯一，求VABC的周長.

條件①：NB=?

4

3

條件②：A8邊上的高為2；

2

4

條件③：a=~.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（II）問得。分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解

答計分.

【答案】（1）C=1

（2）1+^0

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理將邊化為角，再結(jié)合兩角和的正弦公式化簡求解c的值；

（2）根據(jù)所選條件，結(jié)合正弦定理、三角形面積公式等求出三角形的其他邊，進而求得周長.

【小問1詳解】

由正弦定理—r--——=----及bcosA+acosB=c2

sinAsinnsinC

得sinBcosA+sinAcosB=csinC.

所以sin（A+5）=csinC.

所以sin（7i-C）=csinC.

又因為。￡（。,兀），所以sin（兀一C）=sinCw。.

所以c=l.

【小問2詳解】

jr3hc

選條件①：因為3=?,sinC==,c=l,且

45SIIIBsinC

所以匕=遜=9.

sinC6

因為b>c,所以所以Cw［。,'）.

3/-----------4

又因為sinC=—，所以cosC=，l—sin2C=一

55

所以：A/247237^/2

sinA=sin1+C=---x—d----x—=----

252510

又2=J所以。=2=述

sinAsinCsinC6

所以VABC周長為o+b+c=i+迪+述=1+2逝\

66

33

選條件②：因為"1,鉆邊上的高為5,所以S板

3

又因為sinC=g,所以=-abx—=—cib.

5

所以=3.

2

因為sinC=。，所以cosC=±Jl-sin2c=土」.

55

44

(1)當(dāng)cosC=§時，由/二4+/一2abcosC，得1=/+/-2abX——.

5

又ab=；,所以。2+/j2=5.

2

所以4=Z?=.

2

所以VABC的周長為〃+b+c=l+"6.

44

(2)當(dāng)cosC=——時,由<:2=[2+_2abeosC，得]=a?+/_2abx

5

又ab=',所以1+從=—3,不符合題意.

2

綜上，VABC的周長為a+6+c=l+癡.

4

選條件③：a=-

44496

由余弦定理c2=/+62-2abcosC,可得1=(§了+b?—2x§匕x,即9〃—可b+7=0。

57

解得6=—或6=，,此時VABC不唯一，不符合要求.

315

18.某高中組織學(xué)生研學(xué)旅行.現(xiàn)有48兩地可供選擇，學(xué)生按照自愿的原則選擇一地進行研學(xué)旅行.研

學(xué)旅行結(jié)束后，學(xué)校從全體學(xué)生中隨機抽取100名學(xué)生進行滿意度調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表:

高一高二高三

A地B地A地8地A地8地

滿意122183156

一般226568

不滿意116232

假設(shè)所有學(xué)生的研學(xué)旅行地點選擇相互獨立.用頻率估計概率.

(1)估計該校學(xué)生對本次研學(xué)旅行滿意的概率；

(2)分別從高一、高二、高三三個年級中隨機抽取1人，估計這3人中至少有2人選擇去8地的概率；

(3)對于上述樣本，在三個年級去A地研學(xué)旅行的學(xué)生中，調(diào)查結(jié)果為滿意的學(xué)生

人數(shù)的方差為I，調(diào)查結(jié)果為不滿意的學(xué)生人數(shù)的方差為《，寫出s；和學(xué)的大小關(guān)系.'(結(jié)論不要求證

明)

【答案】(1)—

25

17

(2)——

80

(3)s；>si

【解析】

【分析】(1)利用頻率估計概率即可求解；

(2)利用頻率估計概率即可求解，結(jié)合相互獨立事件的概率公式求解即可;

(3)求出s；,比較大小即可.

【小問1詳解】

從表格數(shù)據(jù)可知，隨機抽取100名學(xué)生對本次研學(xué)旅行滿意的人數(shù)為

12+2+18+3+15+6=56,

因此該校學(xué)生對本次研學(xué)旅行滿意的概率可估計為也=—.

10025

【小問2詳解】

設(shè)事件A：抽取的高一學(xué)生選擇去8地，

事件4：抽取的高二學(xué)生選擇去2地，

事件A3：抽取的高三學(xué)生選擇去2地,

事件G：抽取的3人中恰有i人選擇去B地，，=2,3,

事件抽取的3人中至少有2人選擇去8地.

從數(shù)據(jù)表格可知，抽取的100名學(xué)生中高一年級學(xué)生總數(shù)為12+2+1+2+2+1=20，

選擇去B地的總數(shù)為2+2+1=5,所以。(4)可估計為京=；

抽取的100名學(xué)生中高二年級學(xué)生總數(shù)為18+6+6+3+5+2=40,

選擇去B地的總數(shù)為3+5+2=10,所以。(&)可估計為與=；；

抽取的100名學(xué)生中高三年級學(xué)生總數(shù)為15+6+3+6+8+2=40,

選擇去8地的總數(shù)為6+8+2=16,所以P(A)可估計為=

因為G=A441AA2A34442A3，

所以尸(。)=尸(C2。3)=尸(4444AAA4AAAA)

=P(A)P(4)P(A)+P(A)P(M)P(A)+P(A)P(4)P(4)+P(A)P(4)P(A).

所以抽取的3人中至少有2人選擇去8地的概率可估計為

1112

—X—X—X—

444580

【小問3詳解】

在三個年級去A地研學(xué)旅行的學(xué)生中，

一1

調(diào)查結(jié)果為滿意的學(xué)生人數(shù)的平均數(shù)為為=-(12+18+15)=15,

則調(diào)查結(jié)果為滿意的學(xué)生人數(shù)的方差為s；=[(12—15y+(18—15y+(15—15)2]=6,

一1in

調(diào)查結(jié)果為不滿意的學(xué)生人數(shù)的平均數(shù)為x2=-(l+6+3)=y,

](IO、？(IO、？(IO、？。

則調(diào)查結(jié)果為不滿意的學(xué)生人數(shù)的方差為s；=gl-y+6-y+3-y=-

則S；>S；.

22

19.已知橢圓：，+方=l(a〉6〉0)的右焦點為歹(1,0),離心率為g.

(1)求橢圓E的方程;

(2)過點“(4,0)作直線/與橢圓E交于不同的兩點A,B.設(shè)直線BC與直線X=1交于點

N,求證：直線AN的斜率為定值.

22

【答案】(1)工+匕=1

43

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)由題意可求得。力的值，可求得橢圓的方程;

(2)設(shè)直線/:丁=上(％—4),A(xi,y^,B(x2,y2),與橢圓方程聯(lián)立方程組由韋達定理可得

X+X,,求得％v，進而計算可得Lw+1=0,可得結(jié)論.

1-44之+3?-4左2+3

【小問1詳解】

c=1

c1a=2

由題意得＜一=7解得＜

a2b=6

a1=b"+c2

22

所以橢圓E的方程是土+匕=1.

43

【小問2詳解】

由題可知直線/斜率存在.設(shè)直線/:y=%(*-4).

22

3%+4y—12=0/9\999

由＜/、,得（4左2+3）12—32左2%+64k2—12=0.

y=k（x-4）'）

由△=（—32左2）2—4（4左2+3）（64左2—12）＞0,得k