2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之反比例函數(shù)

2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之反比例函數(shù)

選擇題（共10小題）

1.（2025?浙江一模）己知點A（xi,yi）,B（xi+myi+2）兩點在反比例函數(shù)y=例圖象上.則下列判

斷正確的是（）

A.若k>0,則m<0

B.若上<0,則7”可能小于0也可能大于0

C.若%>0,點A,2在同一象限，則相>0

D.若左<0,點A,2在不同象限，則相>0

2.（2025?武漢模擬）如圖為某同學(xué)用計算機(jī)中的一個繪圖軟件畫出的反比例函數(shù)圖象，若此函數(shù)圖象經(jīng)

A.-B.1C.一看D.5

55

3.（2025?紅花崗區(qū)校級一模）若點A（xi,-5）,B（雙，2）,都在反比例函數(shù)y=三（/c>0）的圖象上，則

XI,X2的大小關(guān)系是（）

A.0<Xl<X2B.Q<X2<X1C.X2<O<X1D.Xl<0<X2

4.（2025?越秀區(qū)校級一模）如圖，點A為反比例函數(shù)y=-］（久<0）圖象上的一點，連接A。，過點。作

4AO

。4的垂線與反比例y=?（x>0）的圖象交于點8,則;”的值為（）

無BO

5.（2025?賽罕區(qū)校級模擬）如圖，四邊形043。是菱形，CZ），x軸，垂足為。，函數(shù)y=蓑的圖象經(jīng)過

點C,若CD=4,則菱形OABC的面積為（）

A.15B.20C.29D.24

6.（2025?茄子河區(qū)一模）如圖，矩形A5CD對角線的交點M在x軸上，邊平行于x軸，OE：OF=1：

"=一]經(jīng)過點￡>,則女的值是（

)

C.4D.5

7.（2025?金安區(qū)校級一模）如圖，直線y=mx+〃交反比例函數(shù)y=[（x>0）的圖象于點A和點3,交x

A83

軸于點C,—=過點A作無軸于點。，連接BD并延長，交y軸于點尸，連接PC.若△PC。

BC2

的面積為6,則k的值為（）

C.9D.18

8.（2025?重慶模擬）函數(shù)y=|的圖象一定不經(jīng)過點（）

11

A.（1,3）B.（-1,-3）C.（一，1）D.9）

33

9.（2025?南通模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A是反比例函數(shù)y=［（k70）圖象上的一點，過點A

作軸于點8,點C是y軸負(fù)半軸上一點，連接AC交x軸于點。，若。。是△ABC的中位線，△

OCD的面積為3,則上的值是（）

C.6D.12

10.（2025?南樂縣一模）根據(jù)物理學(xué)知識，作用于物體上的壓力/（N）所產(chǎn)生的壓強(qiáng)p（Pa）與物體受力

面積S（加2）三者之間滿足p=若壓力為100N時，壓強(qiáng)要大于lOOOPa,則此時關(guān)于S的說法正確

的是（）

A.S小于0.1根2B.S大于0.1加2

C.S小于10”，D.S大于10/

二.填空題（共5小題）

H.（2025?天心區(qū)校級一模）如圖，A為反比例函數(shù)y=5圖象上一點，垂直x軸于8點，若SMOB=5,

則k的值為

y

12.（2025?新鄉(xiāng)模擬）反比例函數(shù)丫=爰圖象的一支在第二象限，請寫出一個滿足條件的k的

值.

13.（2025?南崗區(qū)模擬）杠桿平衡時，“阻力又阻力臂=動力義動力臂已知阻力和阻力臂分別為1200N

和0.5/71,動力為RN）,動力臂為心〃）,則動力/關(guān)于動力臂/的函數(shù)關(guān)系式為.

14.（2025?鄭州模擬）如圖，^ABCD中，軸，A（1,2）,D（0,1）,反比例函數(shù)y=^（kWO）

的圖象經(jīng)過點C,且與AB交于點E.若BE=2AE,則點E的坐標(biāo)為.

15.（2025?長沙模擬）二胡是我國一種傳統(tǒng)拉弦樂器，演奏二胡時，在同一張力下，它的振動弦的共振頻

率單位：赫茲）與長度/（單位：米）近似成反比例關(guān)系，即f=彳（左為常數(shù)，ZW0）.若某一振動

弦的共振頻率/為240赫茲，長度/為0.5米，則人的值為.

三.解答題（共5小題）

16.（2025?新鄉(xiāng)模擬）如圖1,實驗課上，某同學(xué)設(shè)計了一個探究杠桿平衡條件的實驗：在一個天平的左

邊固定托盤A中放了一個立方體，在右邊活動托盤2（可左右移動）中放入祛碼，使得儀器左右平衡.改

變活動托盤8與點。的距離無（cm）,觀察活動托盤8中祛碼的質(zhì)量y（g）的變化情況.實驗數(shù)據(jù)記錄

如表.

x/cm1015202530

Mg3020151210

（1）把表中（尤，y）的各組對應(yīng)值作為點的坐標(biāo)，在圖2的坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點，并用平滑曲線連

接這些點.

（2）觀察所畫的圖象，猜測y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)關(guān)系式.

（3）當(dāng)祛碼的質(zhì)量為16g時，活動托盤2與點。的距離是多少？

圖1

17.(2025?常州模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)的圖象/與反比例函數(shù)y=(的圖象交于

1

M0,4),N(ji,1)兩點.

(1)求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的表達(dá)式;

若SAMOP>SAMON,直接寫出點P的橫坐標(biāo)p的取值范圍.

18.(2025?紅橋區(qū)模擬)已知產(chǎn)(1,-3)在反比例函數(shù)'=彳一(相為常數(shù)，且相#2)的圖象上.

(I)求機(jī)的值，并判斷該反比例函數(shù)的圖象所在的象限；

(II)判斷點A(3,-1),8(2,-2),C(-2,|)是否在該反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由；

(III)當(dāng)-6W尤W-3時，求該反比例函數(shù)的函數(shù)值y的取值范圍.

19.(2025?鄭州模擬)已知反比例函數(shù)y=三。>0)的圖象與正比例函數(shù)y=3x(x20)的圖象交于點A(2,

。)，點8是線段OA上(不與點A重合)的一點.

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

k

(2)觀察圖象，當(dāng)x>0時，直接寫出不等式-23%的解集；

x

(3)如圖，將點A繞點8順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點E,當(dāng)點E恰好落在y=?(久>0)的圖象上時，求點

E的坐標(biāo).

20.(2025?四川模擬)如圖，一次函數(shù)y=znx+〃(m/0)的圖象與反比例函數(shù)y=g(k力0)的圖象交于點

A(-3,a),B(1,3),且一次函數(shù)與無軸，y軸分別交于點C,D.

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)在反比例函數(shù)圖象上有一點P,使得&OCP=4SAOBD,求點尸的坐標(biāo).

2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之反比例函數(shù)

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號12345678910

答案BCDABBDCAA

選擇題（共10小題）

1.（2025?浙江一模）已知點ACxi,yi）,B（xi+m,yi+2）兩點在反比例函數(shù)y=g的圖象上.則下列判

斷正確的是（）

A.若k＞0,則m＜0

B.若％＜0,則機(jī)可能小于0也可能大于0

C.若左＞0,點A,8在同一象限，則優(yōu)＞0

D.若左＜0,點A,8在不同象限，則相＞0

【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.

【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；幾何直觀.

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，判斷左＞0和左＜0,該反比例函數(shù)的增減性，確定相的取值范圍，即可求解；

【解答】解：A、若左＞0,則y隨x的增大而減小，不知道刀的值在哪個象限，無法判斷根＜0,故A

說法錯誤，不符合題意；

B.若太＜0,點A（xi,yi）,B（xi+m,yi+2）兩點可以在同一象限，也可以不在同一象限，則相可能

小于0也可能大于0,故B說法正確，符合題意；

C.若左＞0,點A,8在同一象限，則y隨X的增大而減小，所以,"＜0,故C說法錯誤，不符合題意；

D.若左＜0,點A,8在不同象限，則相＜0,故。說法錯誤，不符合題意；

故選：B.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解題的關(guān)鍵.

2.（2025?武漢模擬）如圖為某同學(xué)用計算機(jī)中的一個繪圖軟件畫出的反比例函數(shù)圖象，若此函數(shù)圖象經(jīng)

過點（1,1）,則當(dāng)縱坐標(biāo)為-5時x的值是（）

A.-B.1C.一卷D.5

55

【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；反比例函數(shù)的圖象.

【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；推理能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過點（1,1）得到反比例函數(shù)解析式，再令y=-5時，求出自變量的值即可.

【解答】解：設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=

:反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點（1,1）,

,反比例函數(shù)解析式為y=p

.,.當(dāng)y=-5時，x=—

故選：C.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)的圖象，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟知反比例函數(shù)圖象上各點

的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.

3.（2025?紅花崗區(qū)校級一模）若點ACxi,-5）,B（豆，2）,都在反比例函數(shù)y=［（k>0）的圖象上，則

XI,X2的大小關(guān)系是（）

A.0<Xl<X2B.0<X2<XlC.X2<O<X1D.Xl<0<X2

【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.

【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；推理能力.

【答案】D

【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)

論.

【解答】解：???%>(),

反比例函數(shù)y=((k>0)的圖象的兩個分支分別位于一、三象限，且在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而

減小，

:點A(xi,-5),8(x2,2),都在反比例函數(shù)y=：(k>0)的圖象上，且-5<0<2,

.??B點在第一象限，A點在第三象限，

.'.Xl<0<X2>

故選：D.

【點評】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，熟知反比例函數(shù)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

4.(2025?越秀區(qū)校級一模)如圖，點A為反比例函數(shù)y=圖象上的一點，連接A。，過點。作

【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；相似三角形的判定與性質(zhì)；反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.

【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；推理能力.

【答案】A

【分析】過A作軸于C,過B作無軸于。，證明△AOCS^OB。，利用相似三角形的面積

比等于相似比的平方求解即可.

【解答】解：過A作ACJ_x軸于C,過8作BOLx軸于。，

111

???SAAC。=|x|-l|SABD。=*X|4|=2,ZACO=ZODB=90°

\9OALOB,

：.ZAOC=ZOBD=90°-NBOD,

：.△AOCS/\OBD,

22

???AC^O^=（O—A）,日即5&=O（A—）,

S〉BDOOB’2、0B，

OA1—人、

???布，（負(fù)值舍去），

故選：A.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)系數(shù)4的幾何意義，三角形相似的判

定和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

5.（2025?賽罕區(qū)校級模擬）如圖，四邊形042c是菱形，軸，垂足為。，函數(shù)y="的圖象經(jīng)過

點C,若CD=4,則菱形。48c的面積為（）

A.15B.20C.29D.24

【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；菱形的性質(zhì).

【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形0。是直角三角形，利用勾股定理求出OD、OC長，由菱形面積底乘高即可求得.

【解答】解：???COJ_x軸，垂足為。，函數(shù)的圖象經(jīng)過點C,

??S叢OCD=6,

??。=4,

1

?0D?CD=6,即OD=3,

2

由勾股定理得：OC=7OD2+CD2=V32+42=5,

S菱形=04X8=5X4=20.

故選：B.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)的左值的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點的縱橫坐標(biāo)之積等于女.

6.(2025?茄子河區(qū)一模)如圖，矩形A8C。對角線的交點M在x軸上，邊A8平行于無軸，OE：OF=1：

A.2B.3C.4D.5

【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；矩形的性質(zhì).

【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；矩形菱形正方形；幾何直觀；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)OE：OF=1：3,設(shè)OE=a,OF=3a,則EF=4a,證明和△OEM全等得

1Zz

ME=汐=20設(shè)BF=b,則點5(3mb),根據(jù)必即仍=1得M=l,再將點8(3〃，。)代入y=會之

中即可得出人的值.

【解答】解：TOE：OF=1：3,

/.設(shè)OE=a,OF=3a,

???EF=OE+OF=4a,

???四邊形ABC。是矩形，A5〃x軸，

???BF_LA:軸,冗軸,

:./BFM=NDEM=90°,

???矩形ABCD對角線的交點M在x軸上，

：.MB=MD,

在△8FM和△。&0中,

'NBFM=/DEM=90°

?上BMF=乙DME，

、MB=MD

：.ABFM^/\DEM(A4S),

1

：.MF=ME=^EF=2af

設(shè)BF=b,

.,.點B的坐標(biāo)為(3a,b),

,**SABMF=19

1

；.-MF?BF=L

2

1

??一x2〃Z?=1,

2

??cib=1f

..?點B(3a,b)在反比例函數(shù)y=三的圖象上，

".k—3ab—3.

故選：B.

【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)，矩形的性質(zhì)，理解反比例函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)

滿足反比例函數(shù)的表達(dá)式，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

7.(2025?金安區(qū)校級一模)如圖，直線y=mx+〃交反比例函數(shù)y=[(九＞0)的圖象于點A和點3,交x

AB3

軸于點C,—=一,過點A作無軸于點。，連接2。并延長，交y軸于點P,連接PC.若APCD

BC2

A.6B.8C.9D.18

【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.

【專題】一次函數(shù)及其應(yīng)用；反比例函數(shù)及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】D

BNBC2b2252

【分析】證明△CNBs^cQA,得到——=一=即一=求出點A(-a,-b),則點D(-a,0),

ADAC5AD5525

由S^PCD=^CD-OP即可求解.

【解答】解：過點8分別作。于點BNLCD于點、N,

設(shè)點B(mb),k=ab,

則5N〃AZ),則△CNgs2Xc/M,

i,BNBC2b2

則一=一=一，即——=

ADAC5AD5

?\AD=^b,

則k=ab=^b*xA,則XA=J

252

則點A(一a,-b),則點。(-a,0),

525

由點5、。的坐標(biāo)得，直線3。的表達(dá)式為：y=1b,

則點P(0,一|b)；

由點A、8的坐標(biāo)得，直線AB的表達(dá)式為：y=-瑞X+；。，

7a

則點C(g,0),則CD=a,

112

S&PCD=2CD*OP=2a?可b=6,

則ab—18—k,

故選：D.

【點評】本題為反比例函數(shù)綜合題，考查了三角形相似、用字母表示坐標(biāo)等基本數(shù)學(xué)知識，利用了數(shù)形

結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

8.(2025?重慶模擬)函數(shù)y=|的圖象一定不經(jīng)過點()

11

A.(1,3)B.(-1,-3)C.(-,1)D.9)

33

【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.

【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；推理能力.

【答案】C

【分析】把所給點的橫縱坐標(biāo)相乘，結(jié)果為3的點在函數(shù)圖象上.

【解答】解：???反比例函數(shù)y=［中，k=3,

只需要把所給點的橫縱坐標(biāo)相乘，結(jié)果為3的點在函數(shù)圖象上，

四個選項只有C符合，

故選：C.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是掌握所有在反比例函數(shù)上的點的橫

縱坐標(biāo)的積應(yīng)等于比例系數(shù).

9.(2025?南通模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A是反比例函數(shù)y=力0)圖象上的一點，過點A

作ABLy軸于點2,點C是y軸負(fù)半軸上一點，連接AC交x軸于點若。。是△ABC的中位線，△

OCD的面積為3,則上的值是()

【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；三角形中位線定理.

【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；推理能力.

【答案】A

【分析】設(shè)點A的坐標(biāo)為A(a,b),貝OB=b,先根據(jù)三角形的中位線定理可得OC=0B

=b,OD=：AB=-再根據(jù)三角形的面積公式可得他的值，由此即可得.

【解答】解：設(shè)點A的坐標(biāo)為A(a,b),貝!JAB=-a,OB=b,k=ab,

???。。是△ABC的中位線，

11

：?OC=OB=b,OD=^AB=-^a

:△OC。的面積為3,NCO0=9O°,

1111

OD?OC=—?(——a)'b=——ab=3,即ab=-12,

22v274

:?k=ab=-12,

故選：A.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)％的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形中位線定

理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

10.（2025?南樂縣一模）根據(jù)物理學(xué)知識，作用于物體上的壓力/（N）所產(chǎn)生的壓強(qiáng)p（Pa）與物體受力

面積S（m2）三者之間滿足p=今若壓力為100N時，壓強(qiáng)要大于lOOOPa,則此時關(guān)于S的說法正確

的是（）

A.S小于0.1加2B.S大于0.1"P

C.S小于IO:，D.S大于10m2

【考點】反比例函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件利用壓強(qiáng)公式推導(dǎo)即可得到答案.

【解答】解：???p=（,/=100,

.100

??〃=丁，

???產(chǎn)生的壓強(qiáng)尸要大于1000P6Z,

100

—>1000,

S

故選：A.

【點評】本題考查了反比例的應(yīng)用等知識點，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.

二.填空題（共5小題）

H.（2025?天心區(qū)校級一模）如圖，A為反比例函數(shù)y=5圖象上一點，AB垂直x軸于8點，若&AOB=5,

則k的值為-10.

【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.

【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】-10.

【分析】設(shè)A（無，y）,則|xy|x*=5,再利用反比例函數(shù)的性質(zhì)可得答案.

【解答】解：設(shè)A（x,y）,則上=盯=±10,

?.?圖象在二，四象限，

'.k=-10.

故答案為：-10.

【點評】本題考查的是反比例函數(shù)與圖形面積問題，如果點在反比例函數(shù)圖象上構(gòu)成直角三角形或者矩

形，一般是利用反比例函數(shù)的因值與矩形面積相等，或者是三角形面積兩倍的關(guān)系.

12.（2025?新鄉(xiāng)模擬）反比例函數(shù)y=?圖象的一支在第二象限，請寫出一個滿足條件的k的值-1

（答案不唯一）.

【考點】反比例函數(shù)的性質(zhì)；反比例函數(shù)的圖象.

【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】-1（答案不唯一）.

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)y=（中，當(dāng)％<0時，其圖象在第二、四象限可得此題結(jié)果.

【解答】解：???反比例函數(shù)y=?圖象的一支在第二象限，

：.k-2<0,

解得k<2,

故答案為：-1（答案不唯一）.

【點評】此題考查了反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)問題的解決能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用以上知識.

13.（2025?南崗區(qū)模擬）杠桿平衡時，“阻力X阻力臂=動力X動力臂”.已知阻力和阻力臂分別為1200N

和0.5如動力為尸（N）,動力臂為/（相），則動力尸關(guān)于動力臂/的函數(shù)關(guān)系式為尸=竿

【考點】反比例函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】尸=卒.

【分析】根據(jù)/?/=1200X0.5進(jìn)行求解即可.

【解答】M：V/?F=1200X0.5,

,斤600

,?F=T，

故答案為：尸=早.

【點評】本題考查了根據(jù)實際問題列反比例函數(shù)關(guān)系式，掌握杠桿原理是解題的關(guān)鍵.

14.（2025?鄭州模擬）如圖，在13ABC￡＞中，AB〃x軸，A（1,2）,D（0,1）,反比例函數(shù)y=/（2°）

的圖象經(jīng)過點C,且與交于點E.若BE=2AE,則點E的坐標(biāo)為（3,2）.

【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；平行四邊形的性質(zhì).

【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】（3,2）.

【分析】設(shè)則AB=3AE=3a,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合點A、。坐標(biāo)可得C（3a,1）,E

（?+1,2）,根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征得出3a=2（G+1）,解方程求出a的值即可得答案.

【解答】解:設(shè)AE=a,

;BE=2AE,

.\AB=3AE=3af

???在團(tuán)ABC。中，軸，A（1,2）,D（0,1）,

.\CD—AB=3a,C（3〃，1）,E（a+1,2）,

:反比例函數(shù)、=三（/￡片0）的圖象經(jīng)過點。，點E,

.'.3a—2（a+1）—k,

解得：a=2,

：.E（3,2）.

故答案為：（3,2）.

【點評】本題考查坐標(biāo)與圖形、平行四邊形的性質(zhì)及反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟練掌握相關(guān)性

質(zhì)是解題關(guān)鍵.

15.（2025?長沙模擬）二胡是我國一種傳統(tǒng)拉弦樂器，演奏二胡時，在同一張力下，它的振動弦的共振頻

率單位：赫茲）與長度/（單位：米）近似成反比例關(guān)系，即/=彳（左為常數(shù)，左W0）.若某一振動

弦的共振頻率/為240赫茲，長度/為0.5米，則1的值為120.

【考點】反比例函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】120.

【分析】把/=0.5,/=240,代入解析式，即可求出左的值.

【解答］解：當(dāng)/=0.5,/=240時，240=備,

.,.左=120.

故答案為：120.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式是關(guān)鍵.

三.解答題(共5小題)

16.(2025?新鄉(xiāng)模擬)如圖1,實驗課上，某同學(xué)設(shè)計了一個探究杠桿平衡條件的實驗：在一個天平的左

邊固定托盤A中放了一個立方體，在右邊活動托盤2(可左右移動)中放入祛碼，使得儀器左右平衡.改

變活動托盤B與點0的距離x(cm),觀察活動托盤B中祛碼的質(zhì)量y(g)的變化情況.實驗數(shù)據(jù)記錄

如表.

x/cm1015202530

y'g3020151210

(1)把表中(x,y)的各組對應(yīng)值作為點的坐標(biāo)，在圖2的坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點，并用平滑曲線連

接這些點.

(2)觀察所畫的圖象，猜測y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)關(guān)系式.

(3)當(dāng)祛碼的質(zhì)量為16g時，活動托盤B與點O的距離是多少？

圖1圖2

【考點】反比例函數(shù)的應(yīng)用；勾股定理.

【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；運(yùn)算能力;應(yīng)用意識.

【答案】(1)作圖見解析；(2)y=^2(%>0)；(3)18.75cm.

【分析】(1)依據(jù)題意，通過描點連線即可作圖得解;

依據(jù)題意，可猜測與尤之間的函數(shù)關(guān)系為反比例函數(shù)，從而可設(shè)又把尤:

(2)yy=((kR0),10,y

=30代入，得左=300,進(jìn)而可以判斷得解;

(3)依據(jù)題意，把y=16代入y=哈中，得％=18.75,進(jìn)而可以判斷得解.

(2)由題意，可猜測y與尤之間的函數(shù)關(guān)系為反比例函數(shù),

k

可設(shè)y=-(fc*0).

又把x=10,y=30代入，得％=300,

,-.v=300G>0).

JX

將其余各點代入驗證均適合,

與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=

(3)由題意，把y=16代入y=^^中，得x=18.75,

...當(dāng)祛碼的質(zhì)量為16g時，活動托盤B與點0的距離是18.75C7W.

【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，解題時要熟練掌握并能靈活運(yùn)用反比例函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵.

17.(2025?常州模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，一次函數(shù)的圖象/與反比例函數(shù)尸卷的圖象交于

1

M(2,4),N(n,1)兩點.

(1)求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的表達(dá)式;

(2)點尸在函數(shù)y=：的圖象上，若SAMOP>SAMON,直接寫出點尸的橫坐標(biāo)p的取值范圍.

【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.

【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】(1)反比例函數(shù)的解析式為一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-2x+5；

11

⑵點尸的橫坐標(biāo)p的取值范圍為p>2或p<-2或0<尸〈言或一百中<0.

k々

1得

--得到％=2,求得反比例函數(shù)的解析式為產(chǎn)會把N(小

【分析】⑴把M(5,4)代入產(chǎn)%1

-

2

1)代入得到〃=2,求得N(2,1),設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式為y=7加+b,解方程組得到一次函數(shù)的

表達(dá)式為y--2r+5；

(2)分兩種情況討論：當(dāng)P點在第一象限時，當(dāng)尸點在第三象限時，在第一象限再分兩種情形：點產(chǎn)

在點M的下方或上方分別求解，再根據(jù)對稱性解決問題.

1k

---

2X1.?k=2,

-

2

???反比例函數(shù)的解析式為

把N(小1)代入y=［得，n=2,

：.N(2,1),

設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式為y=mx+b,

?+b=4

127n+=1

解得*=；2,

S=5

???一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-2x+5；

(2)當(dāng)尸點在第一象限時，

k

?.?點P在函數(shù)尸例圖象上，S^MOP>S^MON,

...點尸在點N的下方,

當(dāng)△OPM的面積=Z\OMN的面積時，P(2,1)

...點P的橫坐標(biāo)p的取值范圍為P>2；

當(dāng)尸點在第三象限時，N點關(guān)于O點的對稱點為(-2,-1),

當(dāng)P點為(-2,-1)時，SAMOP=SAMON,

；.p<-2時，S^MOP>S^MON,

2

當(dāng)點尸在點M的上方時，設(shè)尸5,-),

V

當(dāng)△MPO的面積=Z\MON的面積時，

1312112

2x4_1_1_x3x=~n—1-1—(一一p)(——4),

222P22P

解得p=w(不符合題意的根舍去)，

滿足條件的P的值為0<P，，

根據(jù)對稱性，-彳<p<0時也符合題意，

11

綜上所述：p>2或p<-2或0〈尸〈意或一百Q(mào)?<0.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確地求出函數(shù)的解

析式是解題的關(guān)鍵.

18.(2025?紅橋區(qū)模擬)已知產(chǎn)(1,-3)在反比例函數(shù)y=?(%為常數(shù)，且相W2)的圖象上.

(I)求相的值，并判斷該反比例函數(shù)的圖象所在的象限；

(II)判斷點A(3,-1),B(2,-2),C(—2,今是否在該反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由；

(III)當(dāng)-6/無W-3時，求該反比例函數(shù)的函數(shù)值y的取值范圍.

【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；反比例函數(shù)的圖象；反比例函數(shù)的性質(zhì).

【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；推理能力.

【答案】(/)m=-1；二、四象限；

(〃)點A(3,-1),Ci-2,當(dāng)在函數(shù)圖象上，點、B(2,-2)不在函數(shù)圖象上，理由見解析；

1

(III)-〈yWL

【分析】(/)直接把點尸(1,-3)代入反比例函數(shù)y=里薩，求出根的值，進(jìn)而可得出結(jié)論；

(〃)根據(jù)(I)中反比例函數(shù)的解析式進(jìn)行判斷即可；

(III)求出x=-6與％=-3時y的對應(yīng)值，進(jìn)而可得出結(jié)論.

【解答】解：(/)VP(1,-3)在反比例函數(shù)y=詈(相為常數(shù)，且加/2)的圖象上，

'.m-2=A^=1X(-3)=-3,

解得m=-1,

此函數(shù)的解析式為：尸-連

?「-3<0,

???該反比例函數(shù)圖象的兩個分支分別位于第二、四象限；

(〃)點A(3,-1),C(-2,*)在函數(shù)圖象上，點5(2,-2)不在函數(shù)圖象上，理由：

由⑺知此函數(shù)的解析式為：y=-f,

V3X(-1)=-3,2X(-2)=-4#-3,(-2)x1=-3,

...點A(3,-1),C(一2,今在函數(shù)圖象上，點B(2,-2)不在函數(shù)圖象上；

(〃/)由(/)知此函數(shù)的解析式為：y=-p

Q1

*.*當(dāng)x=-6時，,=一二^二］；

當(dāng)x=-3時，y=—二=1,

1

...當(dāng)-6WxW-3時，&WyWl.

【點評】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知

以上知識是解題的關(guān)鍵.

19.(2025?鄭州模擬)已知反比例函數(shù)y=?(x>0)的圖象與正比例函數(shù)y=3x(尤NO)的圖象交于點4(2,

。)，點B是線段。4上(不與點A重合)的一點.

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)觀察圖象，當(dāng)x>0時，直接寫出不等式V23%的解集；

X

(3)如圖，將點A繞點2順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點E,當(dāng)點E恰好落在y=2。>0)的圖象上時，求點

E的坐標(biāo).

y

JX

【考點】反比例函數(shù)綜合題.

【專題】代數(shù)綜合題；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】⑴尸圣

k

⑵當(dāng)Q。時，不等比2的解集是。＜后2；

⑶點E(3,4).

【分析】(1)待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可；

(2)根據(jù)A點的坐標(biāo)以及兩函數(shù)的圖象即可得出結(jié)論；

(3)過點B作FH//y軸,過點E作EH_LFH于點、H,過點A作切于點F,/EHB=ZBFA^90°,

可得AEHB絲ABFA(AAS),則設(shè)點B(n,3〃)，EH=BF=6-3n,BH=AF=2-n,得到點E(6-In,

An-2),根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求出n值，繼而得到點E坐標(biāo).

【解答】解：⑴將A(2,a)代入y=3x得a=3X2=6,

AA(2,6),

將A(2.6)代入y=［得6=:，

解得k=12,

反比例函數(shù)表達(dá)式為y=竽；

k

(2)當(dāng)尤＞0時，不等式一N3x的解集是0＜xW2；

x

(3)如圖2,過點8作尸”〃》軸，過點E作EHL/7/于點H,

過點A作A凡LFW于點R/EHB=/BFA=90°,

圖2

ZHEB+ZEBH=90°,

???點A繞點3順時針旋轉(zhuǎn)90°,

AZABE=90°,BE=BA,

：.ZEBH+ZABF=90°

：.NBEH=ZABF,

：.AEHB^/\BFA(A4S),

設(shè)點B(?,3n),EH=BF=6-3n,BH=AF=2-n,

???點E(6-2n,4〃-2),

??,點E在反比例函數(shù)圖象上，

???(4〃-2)(6-2〃)=12,

解得ni=|,n2=2(舍去).

.*.6-2Tl=3,4〃-2=4,

???點E(3,4).

【點評】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，全等三角形的判定

和性質(zhì)，交點坐標(biāo)滿足兩個函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵.

20.(2025?四川模擬)如圖，一次函數(shù)＞=〃a+〃(%W0)的圖象與反比例函數(shù)y=力0)的圖象交于點

A(-3,a),B(1,3),且一次函數(shù)與無軸，y軸分別交于點C,D.

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)在反比例函數(shù)圖象上有一點P,使得SAOCP=4SAOBD,求點P的坐標(biāo).

【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.

【專題】一次函數(shù)及其應(yīng)用；反比例函數(shù)及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】(1)反比例函數(shù)表達(dá)式為y=|,一次函數(shù)表達(dá)式為〉=尤+2；

(2)點P(弋,一4)或「得，4).

【分析】(1)待定系數(shù)法求出兩個函數(shù)解析式即可；

(2)根據(jù)一次函數(shù)解析式先求出點C、D坐標(biāo)，再設(shè)點尸點坐標(biāo)為(小，［)利用三角形面積公式計算

出加值即可得到點尸的坐標(biāo).

【解答】解：(1)..?一次函數(shù)y=s+”(〃層0)的圖象與反比例函數(shù)y=t(kK0)圖象交于點A(-3,

a),B(1,3),

??k~~39-1,

反比例函數(shù)解析式為y=|,

二?一次函數(shù)(加W0)圖象過A(-3,-1),B(1,3),

,(—3m+n=—1

**lm+n=3

解得｛爪=A

1幾=2

一次函數(shù)解析式為y=x+2；

(2)根據(jù)解析式可知C(-2,0),D(0,2),

1

,,S^OBD=2^2x1=1,

SAOCP=4SAOBD=4,

設(shè)點尸的坐標(biāo)為(6，2),

2

解得TH=±1，

QQ

，點「(—4,—4)或P(],4).

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，掌握交點坐標(biāo)滿足兩個

函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵.

考點卡片

1.反比例函數(shù)的圖象

用描點法畫反比例函數(shù)的圖象，步驟：列表——描點——連線.

(1)列表取值時，xWO,因為x=O函數(shù)無意義，為了使描出的點具有代表性，可以以“0”為中心，向兩

邊對稱式取值，即正、負(fù)數(shù)各一半，且互為相反數(shù)，這樣也便于求y值.

(2)由于函數(shù)圖象的特征還不清楚，所以要盡量多取一些數(shù)值，多描一些點，這樣便于連線，使畫出的

圖象更精確.

(3)連線時要用平滑的曲線按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫成折線.

(4)由于尤WO,k￥0,所以yWO,函數(shù)圖象永遠(yuǎn)不會與x軸、y軸相交，只是無限靠近兩坐標(biāo)軸.

2.反比例函數(shù)的性質(zhì)

反比例函數(shù)的性質(zhì)

(1)反比例函數(shù)y=2(20)的圖象是雙曲線；

(2)當(dāng)上＞0,雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內(nèi)y隨尤的增大而減??；

(3)當(dāng)左＜0,雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大.

注