2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)壓軸題訓(xùn)練：最值問(wèn)題之費(fèi)馬點(diǎn)

2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)壓軸題訓(xùn)練

最值問(wèn)題之費(fèi)馬點(diǎn)

1.在邊長(zhǎng)為4的正VABC中有一點(diǎn)P,連接尸A、PB、PC,^f-AP+BP+—的最小

(22J

值.

2.在＜ABC￡＞中，ZABC=45°,連接AC,已知AB=AC=0,點(diǎn)E在線段AC上，將線

段DE繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°為線段

(1)如圖1,線段AC與線段8。的交點(diǎn)和點(diǎn)￡重合，連接E尸，求線段的長(zhǎng)度;

⑵如圖2,點(diǎn)G為。C延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，使得GC=EC,連接FG交AO于點(diǎn)”，求證：

插AH=CD;

(3)如圖3,在(2)的條件下，平面內(nèi)一點(diǎn)P,當(dāng)“P+CP+JIB尸最小時(shí)，求的面積.

3.VA2C中，ZB=60°.

(1)如圖1,若AC>BC,C。平分ZACB交48于點(diǎn)D,且=證明：44=30。；

⑵如圖2,若AC<BC,取AC中點(diǎn)E,將CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至C/,連接即并延

長(zhǎng)至G,使BF=FG,猜想線段AB、BC、CG之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想;

(3)如圖3,若AC=BC,尸為平面內(nèi)一點(diǎn)，將a,沿直線翻折至，AB。，當(dāng)

LBP

3AQ+2BQ+岳CQ取得最小值時(shí)，直接寫出"的值.

4.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)P是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，求PA+2PB+有PC的最小值.

（1）如圖1,四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線8。（不含B點(diǎn)）

上任意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到連接EN、AM,CM.若連接MN,

則3MN的形狀是.

（2）如圖2,在Rr.ABC中，ABAC=90°,AB+AC=10,求BC的最小值.

【問(wèn)題解決】

（3）如圖3,某高新技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)有一個(gè)平行四邊形的公園ABC。，M+BC=6千米，

ZABC=60°,公園內(nèi)有一個(gè)兒童游樂(lè)場(chǎng)E,分別從4、2、C向游樂(lè)場(chǎng)￡修三條,

求三條路的長(zhǎng)度和（即AE+3E+CE）最小時(shí)，平行四邊形公園ABC。的面積.

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,2）,點(diǎn)。在x軸的正半軸上，ZODB=30°,

0E為回BOD的中線，過(guò)B、E兩點(diǎn)的拋物線y=o%2+器x+c與x軸相交于A、歹兩點(diǎn)（A在

尸的左側(cè)）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）等邊I30MN的頂點(diǎn)M、N在線段AE上，求AE及4〃的長(zhǎng)；

（3）點(diǎn)尸為團(tuán)ABO內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)機(jī)=B4+P3+PO,請(qǐng)直接寫出加的最小值，以及加取

得最小值時(shí)，線段AP的長(zhǎng).

7.［問(wèn)題背景］17世紀(jì)有著"業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國(guó)律師皮耶德?費(fèi)馬，提出一個(gè)問(wèn)題：

求作三角形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，使它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小后來(lái)這點(diǎn)被稱之為“費(fèi)馬點(diǎn)”

如圖，點(diǎn)尸是VABC內(nèi)的一點(diǎn)，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到AP'C',則可以構(gòu)造出等

邊,APP'，得AP=PP,CP=CP',所以2+的值轉(zhuǎn)化為PP+PB+PC'的值，

當(dāng)8,P,P',C四點(diǎn)共線時(shí)，線段BC的長(zhǎng)為所求的最小值，即點(diǎn)尸為VABC的"費(fèi)馬點(diǎn)”.

如圖1,點(diǎn)尸是等邊VA3C內(nèi)的一點(diǎn)，連接R4,PB,PC,將R4c繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。

得到.APC.

①若尸4=3,則點(diǎn)P與點(diǎn)P之間的距離是；

②當(dāng)PA=3,PB=5,PC=4時(shí)，求的大小;

⑵如圖2,點(diǎn)尸是VABC內(nèi)的一點(diǎn)，且NBAC=90。，AB=6,AC=273.^PA+PB+PC

的最小值.

BC

圖2

8.背景資料：在已知VABC所在平面上求一點(diǎn)P,使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最

小.這個(gè)問(wèn)題是法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被

人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”.如圖1,當(dāng)VA8C三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)尸在VABC內(nèi)部，當(dāng)

ZAPB=ZAPC=ZCPB=120°時(shí)，則R4+尸8+PC取得最小值.

圖1圖2

(1)如圖2,等邊VABC內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)尸到頂點(diǎn)A、8、C的距離分別為3,4,5,求一APB

的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將一尸繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP'處，此時(shí)ACP瑪ABP

這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA、PB、尸C轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出Z4PB=

知識(shí)生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120。的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊

在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與VABC的另一頂點(diǎn)，則連線通過(guò)三角形內(nèi)部

的費(fèi)馬點(diǎn).請(qǐng)同學(xué)們探索以下問(wèn)題.

(2)如圖3,VABC三個(gè)內(nèi)角均小于120。，在VABC外側(cè)作等邊三角形ABB',連接CB',求

證：C3‘過(guò)VABC的費(fèi)馬點(diǎn).

(3)如圖4,在RTABC中，ZC=90°,AC=1,NABC=30。，點(diǎn)P為VABC的費(fèi)馬點(diǎn)，連

接AP、BP、CP,求Bl+PB+PC的值.

⑷如圖5,在正方形ABCZ)中，點(diǎn)E為內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接AE、BE、CE,且邊長(zhǎng)AB=2；

求AE+3E+CE的最小值.

9.如圖，EIABC中，回BAC=45°,AB=6,AC=4,尸為平面內(nèi)一點(diǎn)，求2及BP+小AP+3PC

最小值

BC

10.在正方形ABCD中，點(diǎn)E為對(duì)角線AC（不含點(diǎn)A）上任意一點(diǎn)，AB=2后;

（1）如圖1,將回ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到回DCF,連接EF；

①把圖形補(bǔ)充完整（無(wú)需寫畫(huà)法）；②求所2的取值范圍；

（2）如圖2,求BE+AE+DE的最小值.

圖1圖2

參考答案

1.解：如圖所示，繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到3ApC,取P'CA'C的中點(diǎn)M,N,

圖1

團(tuán)CP=CP',AP=A'P',AC=AC=4,ZPCM=90°,CM=P'M=-P'C,

2

在RtPCM中，CM=；PC,=，

^PM=\PC2+[^PC^=^-PC,

在，4尸（中，點(diǎn)加,"是「仁,46的中點(diǎn)，

^MN=-A'P',且AP=A'尸'，

2

^MN=~AP,

2

^-AP+BP+—PC=BP+PM+MN<BN,

22

當(dāng)點(diǎn)氏P,M,N共線時(shí)，BP+PW+MN取得最小，最小為BN的值，

如圖所示，過(guò)點(diǎn)N作NG,3c延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

0C7/=-A,C=-AC=2,

22

回VABC是等邊三角形，繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到APC,

0ZACB=60°,ZACA'=90°,

團(tuán)ZNCG=180°-ZACB-ZACA=30°,

團(tuán)NG=；CN=1,CG=yJCN2-NG2=^22-l2=>/3-

^\BG=BC+CG=4+y/3,

在RtABNG中，BN2=BG2+NG2=(4+呵+F=20+8』,

0^AP+BP+^-PC^的最小值為20+8宕.

2.(1)解：過(guò)點(diǎn)。作DG_L3C,交3c延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

0ZBAC=45°,AB=AC=血，

EZACB=ZABC=45°,ABAC=90°,

回BC=0A3=0x忘=2，

ElABCD,

回ZDCG=ZABC=45°,CD=AB=近,ED=-BD,

2

0DG1BC,

回。G=CG=—C￡>=—?721,

22

在中，3G=3C+CD=2+1=3,BD=1BG+DG?="+F=可，

0￡D=-BD=-?Vio—,

222

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：ED=FD,EDLFD,

回一團(tuán)尸是等腰直角三角形，

^EF=y/2ED=y/2?—小,

2

故答案為：EF=也,

(2)解：連接AG,AF,

D

0Zfi4C=9O°,AB//CD,

^ACLGD,?GCA1ECD90?,

又B1GC=EC,AC^DC,

0GG4均ECD(SAS),

^GA=ED,?GAC?EDC,

^\ED=FD,EDLFD,

^GA=FD,?AGC?GDF90??GAC?EDC90?180?,

^GA//FD,

回四邊形AGDF是平行四邊形，

^AH=-AD=-121,

22

0叵AH=51=CD,

^>/2AH=CD，

(3)解：將3PC繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到ABPG,連接C'H,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，CP=CP,BP=BP,ZPBP=90°,

QPW=?BP，

^HP+CP+42BP=HP+CP'+P'P<C'H.當(dāng)尸'尸在線段CH上時(shí)取得最小值,

延長(zhǎng)C3與DA延長(zhǎng)線交于點(diǎn)/,過(guò)點(diǎn)B作R/人尸少于點(diǎn)J,連接B”，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，BC'=BC=2,NPBP'=90。，

^\AD//BC,

0ZA/B=9O°,21AB?ABC45?,

0ZB=M=—AB=—?y/21,

22

在Rt/C組中，IC^IB+BC=1+2=3,IH=IA+AH=1+1=2,

CH=y/lC2+IH2=V32+22=V13，

05'C?田，即：SBCL：醋再明加2,解得:―普，

在RtIBH中,即/=,由2+田2=后,

PJ工巫=巫

國(guó)PH=JH-

131313

為網(wǎng)1挺1=色

回sHPB=；PH?BJ

2131313

故答案為：SHPB=^.

3.(1)證明：過(guò)點(diǎn)。分別作BC,AC的垂線，垂足為E,F,

A

回CD平分一AC3,DEIBC,DF1AC,

SDE=DF,

又團(tuán)/B=60°,

0DE=BD-sin60°=—BD,貝！IDE=OB=且2。，

22

又回AD="8。,

—BD

0sinA=&2k-1,

AD13BD2

0ZA=3O°；

(2)BC=AB+CG,理由如下:

延長(zhǎng)54,使得BH=BC,連接CH,

H

0ZABC=6O°,BH=BC,

回為等邊三角形,

回CB=CH,ZBCH=60°,

回CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至CP,

0CE=CF,ZECF=60°,則/fiCH—NACB=/ECF—NACB,

aNECH=NFCB,

0ABCF^AHCE(SAS),

@BF=HE,ZBFC=ZHEC,貝！|ZA￡H=NCFG,

⑦BF=FG,

^BF=HE=FG,

又回E為AC中點(diǎn)，

^\AE=CE=CF,

團(tuán)△AEHg^C尸G(SAS),

0AH=CG,

^\BC=BH=AB+AH=AB+CG；

(3)團(tuán)NABC=60。，AC=BC,

團(tuán)VABC是等邊三角形，

33

如圖，作CMLC4,且CM=/C4,作CNLCQ,且CN=^CQ,

,CMCN3i_---------J?3

則育=&=5，QN=^CQ2+CN2=^CQ,

CN3CO2

團(tuán)sin/CQN=——二〒，cosZCQN=—=-^

QNV13QN屈'f

則ZACM=ZQCN=90°,

^\ZACM-ZACN=ZQCN-ZACNf則ZACQ=NMCN

團(tuán)AACQS/XMOV,

MNCM33

團(tuán)--------5--，即：MN=-AQ,

AQCA/2

(3/n

^3AQ+2BQ+J13CQ=2-AQ+BQ+^~CQ=2(MN+BQ+QN)>2BM

/

即：點(diǎn)Q,N都在線段3M上時(shí)，3AQ+28Q+JBC。有最小值，如下圖,

過(guò)點(diǎn)C作CRL3M,過(guò)點(diǎn)M作MTJ_3c交BC延長(zhǎng)線于T,

則N3RC=NB770=9O。，

32

CR=CQsinZCQN=-j=CQ,QR=CQ?cosNCQN=-=CQ,

“~V13V13

又國(guó)/CBR=/MBT,

團(tuán)△CBRS/\VBT,

BRBT

團(tuán)---=----，

CRMT

團(tuán)VA6C是等邊二角形，設(shè)3C=a

3

SZACB=60°,AC=BC=a,則CM=—〃，

2

團(tuán)NACM=90。，

回ZAfCT=30°,則CT=CM-COS30°=M。，MT=CM-sin30o=-a,

44

BQ+—f=CQ+

,.BRBT_反二a4a

則n由赤=說(shuō)可侍rZB:

33

-^=CQ-a

V134

整理得.岳8°+工=4+36得嘰巫巫

,3CQ33CQ13

由翻折可知，BP=BQ,

^BPBQ2回+3屈

'CQ~CQ~B

4.解：延長(zhǎng)。C到H,使得CH=2BC=8,則28=46，在NCBH的內(nèi)部作射線即，使

得/PBJ=NCBH,使得BJ=^BP，連接夕，JH,AH.

BCBH

JBPsHBC,

ZBPJ=ZBCH=90°f

二PJ=JB『-PB?="#PBy_PB?=2PB,

PB_BC

ZPBC=ZJBH,

BJ~BH

PBCS&JBH,

.PCPB逐

??---------—'---,

JHBJ5

：.HJ=yf5PC

:.PA+2PB+非PC=PA+PJ+HJ，

PA+PJ+JHNAH,

二.PA+2尸8+石尸02,42+12?=4回,

.?.尸4+2尸8+正尸。的值最小，最小值為4碗.

5.(1)證明：3MN的形狀是等邊三角形，理由如下;

由旋轉(zhuǎn)知，BN=BM,0M8N=6O°

團(tuán)為等邊三角形

故答案為：等邊三角形；

圖1

(2)解：設(shè)AB=a,

^AB+AC=10,

BAC=W-AB=10-a,

在R3ABC中，根據(jù)勾股定理得,

BC2=AB2+AC2=a2+(10-a)2

=2a2-20a+100

=2(a-5『+50,

0(a-5)2>O,

02（a-5）2+5O>5O,BPBC2>50,

0BC>5A/2，

即8C的最小值為5夜；

（3）解：如圖3,

將AABE繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AABEl

0BAB￡00A'BE',

^A'E'B=^AEB,AB=A'B,A'E'=AE,BE'=BE,0￡BE'=6OO,

回SEBE為等邊三角形，

fflB￡'￡=0B￡￡'=6O°,EE'=BE,

SAE+BE+CE=A'E'+EE'+CE,

要AE+8E+CE最小，即點(diǎn)AlE',E,C在同一條線上，即最小值為AC

過(guò)點(diǎn)4作AHaCB,交CB的延長(zhǎng)線于凡

在R3A,8中，EL4,BF=180°-EL4BA-0ABC=6O°,

設(shè)BF=x,則A'8=2x,

根據(jù)勾股定理得，A'F=^3X,

SAB=A'B,

SAB=2x,

0AB+BC=6,

0BC=6-AB=6-2x,

0CF=BF+BC=6-x,

3

在RtA4/C中，根據(jù)勾股定理得，A'C2=A'F2+CF2=3x2+(6-x)2=4(x--)2+27,

3

團(tuán)當(dāng)x二—，即A8=2x=3時(shí)，4c2最小,

2

,

此時(shí)，BC=6-3=3,AF=A/3X=—,

2

團(tuán)平行四邊形公園ABC。的面積為3x±a=%8(平方千米).

22

6.(1)過(guò)E作EG0OD于G

fflBOD=0EGD=9O°,0D=0D,

00BOD00EGD,

回點(diǎn)B(0,2),0ODB=3O",

可得OB=2,00=273;

0E為BD中點(diǎn)，

|?|-E-G--D-E--.G.D.-—1

BODBOD_2

0EG=1,GD=73

回OG=石

團(tuán)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(6，1)

國(guó)拋物線y=加+*x+c經(jīng)過(guò)8(0,2)、E(6l)兩點(diǎn)，

01=a(V3)2+^xV3+2.

可得

回拋物線的解析式為》=-三2+*》+2.

(2)回拋物線與x軸相交于A、F,A在歹的左側(cè)，

回A點(diǎn)的坐標(biāo)為卜6,0).

過(guò)E作EGBx軸于G

0AG=2A/3,EG=1,

團(tuán)在AAGE中，ZAGE=90°,

AE=?2國(guó)+廿=713.

過(guò)點(diǎn)。作。KEIAE于K,

可得△AOKEBAEG.

OKEG

0-----------.

AOAE

OK1

EMK=辦。2一。片=M1.

13

甌QWN是等邊三角形,

EI/WO=60°.

A/39

SKMOK13__V13.

tanZKMO出一13

SAM=AK+KM=AK-KM=曳1

以AB為邊做等邊三角形AO，B,以0A為邊做等邊三角形AOB，；

易證0E=0B=2,0OBE=6O°,則AOBE是等邊三角形;

連接00，、BB\AE,它們的交點(diǎn)即為m最小時(shí)，P點(diǎn)的位置（即費(fèi)馬點(diǎn)）;

0OA=OB',EIB,OB=0AOE=15OO,OB=OE,

EEAOEEBB'OB；

a0BzBO=0AEO；

00BOP=0EOPZ,而IBBOE=60°,

E0POP'=6O°,

E0PC^為等邊三角形，

回OP=F>P',

回PA+PB+PO=AP+OP'+P'E=AE；

即m最，j、=AE=

如圖；作正AOBE的外接圓回Q,

根據(jù)費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)知E1BPO=120°,則回PBO+I3BC)P=60°,而I3EBO=[3EOB=60°；

fflPBE+0POE=18O°,0BPO+0BEO=18O°；

即B、P、0、E四點(diǎn)共圓；

易求得Q(―,1),則H(亞，0)；

33

I3AH=逑；

3

由割線定理得：AP?AE=OA?AH,

即：AP=0A?AH4-AE=73x4-713=

313

故：，"可以取到的最小值為而

當(dāng)機(jī)取得最小值時(shí)，線段A尸的長(zhǎng)為獨(dú)i

13

7.(1)①如圖，將4c繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。,

貝=/R4P=60。，

0APP為等邊三角形，

-PP'=PA=3.

A

"C

P

BC

②團(tuán)0ABe為等邊三角形，

BAB=AC,E1B4P+EIB4c=60°,

又回AAPP是等邊三角形，

H3E4C+/C4尸'=60°,

00BAP=ZCAP\

AB=AC

在她BP與△ACP中，＜/BAP=ZCAP',

AP=AP'

0EL4BPEAACP(SAS),

SBP=CP'=5,PP'=3,PC=4,

0pp'-+PC2=CP'2,:./CPP'=90°,

ZAPC=ZAPP'+NCPP1=60。+90。=150。，

又回旋轉(zhuǎn)，0ZAP'C=ZAPC==150°；

(2)如圖，將0Ape繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到APC,

在必ABC中，BC=JAB?+3=心+=隹,

AC=-BC,:.ZABC=30°,ZACB=60°,

2

.-.ZACP+ZfiCP=60°,

又回ZACP=ZACP,ZACP+ZACP=60°,

ZACP+ZACP^60°,BCP+ZACP+ZACP+ZACP=120°,

過(guò)A作ADSBC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,

則ZACD=ZBCD-ZBC4z=180°-120°=60°,

ZCAD=30°,

AC=AC=2A/3,/.CD=y/3（30。所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）,

AD=y/AC2-CD2=3，

NPCP'=60°,PC=CP',;.CPP為等邊三角形,

當(dāng)B、P、尸、次四點(diǎn)共線時(shí)，R4+P3+PC和最小，

在RtABDA'中，BD=BC+CD=46+矣=55DA!=3,

BA=y/BD2+DA'2=J（5A/3）2+32=2721,

0PA+PB+PC的最小值為201.

8.（1）解：連結(jié)尸P,

0ABP回△ACP',

^BAP=^CAP',^APB=^AP'C,AP=AP'=3,BP=CP'=4,

回0ABe為等邊三角形，

00BAC=6O°

^EPAP'=^PAC+^CAP'=^PAC+^BAP=60°,

回明PP為等邊三角形，

,^PP'=AP=3,0App=60°,

在APPC中，PC=5,

PP'-+P'C2=32+4?=25=PC2,

EBPPC是直角三角形，0Ppe=90。，

EEL4P'C=0APP+[3PPC=6O°+9O°=15O°,

aa4PB=EL4P'C=150°,

故答案為150。；

A

(2)證明：將ZkAPB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到ZUBP,連結(jié)尸P,

^EAPBB^AB'P',

^AP=AP',PB=PB',AB=AB',

aaR4P=aB/8'=60°,

回a4Pp和方均為等邊三角形,

SPP'=AP,

PA+PB+PC=Pf+PB'+PC,

回點(diǎn)C,點(diǎn)P,點(diǎn)尸'，點(diǎn)"四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC^CB',

回點(diǎn)尸在C2'上，

回C2'過(guò)VABC的費(fèi)馬點(diǎn).

(3)解：將回AP8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到EL4P/，連結(jié)3夕，PP',

^AP'=AP,AB'=AB,

^3\PAP'=^BAB'=G0Q,

EEL4Pp和EL48夕均為等邊三角形，

^PP'=AP,BB'=AB,SABB'=&0°,

團(tuán)PA+PB+PC=PP'+PB'+PC

團(tuán)點(diǎn)C,點(diǎn)、P,點(diǎn)P,點(diǎn)皮四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC^CB',

0ZC=9O°,AC=1,ZABC=30°,

0A8=2AC=2,根據(jù)勾股定理BC=VAB2-AC2=萬(wàn)了=6

^BB'=AB=2,

aaC88'=a48C+ElABB'=30°+60°=90°,

回在RtEICBB'中，B'C=^BC2+BB'2=J(石『+22=77

^\PA+PB+PC?,^CB'=41；

(4)解：將I38CE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得至膽ICE",連結(jié)￡￡1BB',過(guò)點(diǎn)8作交A8延

長(zhǎng)線于E

00BCE00C￡,5,,

SBE=B'E',CE=CE',CB=CB',

^CE'=^\BCB'=60a,

aa￡CE與ESC夕均為等邊三角形，

0￡F=￡C,BB'=BC,055c=60。，

^AE+BE+CE=AE+EE'+E'B',

團(tuán)點(diǎn)C,點(diǎn)、E,點(diǎn)El點(diǎn)"四點(diǎn)共線時(shí)，AE+BE+CE=AE+EE'+E'B'^=AB',

團(tuán)四邊形A3CD為正方形，

SAB=BC=2,0ABe=90°,

EHF22'=180°-a4BC-E]C23'=180J90°-60°=30°,

WF3\AF,

0BF=|BB,=1X2=1,BF=JBB'2_BF=5

[?L4F=AB