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文檔簡介

概率與統(tǒng)計基礎(chǔ):課程介紹本課程旨在幫助學(xué)生掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本理論和應(yīng)用方法。通過系統(tǒng)學(xué)習(xí),培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析思維和解決實際問題的能力??己朔绞桨ǎ浩綍r作業(yè)、課堂表現(xiàn)、期中考試和期末考試。概率論與數(shù)理統(tǒng)計發(fā)展簡史117世紀(jì)帕斯卡與費馬的通信開啟概率理論218世紀(jì)伯努利家族貢獻(xiàn)大量定理319-20世紀(jì)高斯、拉普拉斯推動統(tǒng)計學(xué)發(fā)展4現(xiàn)代計算機(jī)技術(shù)促進(jìn)應(yīng)用擴(kuò)展概率與統(tǒng)計的實際應(yīng)用工程領(lǐng)域質(zhì)量控制與可靠性分析金融行業(yè)風(fēng)險評估與投資組合優(yōu)化醫(yī)療健康臨床試驗設(shè)計與療效分析人工智能機(jī)器學(xué)習(xí)算法基礎(chǔ)基本事件與樣本空間樣本空間(S)隨機(jī)試驗所有可能結(jié)果的集合基本事件樣本空間中的單個元素隨機(jī)事件樣本空間的子集,由多個基本事件組成事件的分類與表示簡單事件只包含一個基本事件1復(fù)合事件包含多個基本事件2必然事件等于樣本空間S3不可能事件空集?4頻率與概率相對頻率事件發(fā)生次數(shù)/試驗總次數(shù)隨試驗次數(shù)增加趨于穩(wěn)定概率三種解釋古典概型:等可能性頻率派:頻率極限貝葉斯派:主觀信念度量概率的公理化定義非負(fù)性公理任何事件A的概率P(A)≥0規(guī)范性公理樣本空間S的概率P(S)=1可加性公理互斥事件概率相加等于并集概率古典概率模型1/6單個骰子點數(shù)為4的概率1/52抽一張黑桃A的概率1/2硬幣正面朝上概率古典模型的局限性等可能假設(shè)現(xiàn)實中往往不成立有限樣本空間無法處理無限樣本空間蒙特卡洛方法用大量模擬克服局限條件概率與全概率公式條件概率公式P(A|B)=P(A∩B)/P(B)全概率公式事件B通過完備事件組分解應(yīng)用步驟尋找完備事件組并逐一計算貝葉斯公式先驗概率事件發(fā)生的初始信念證據(jù)/似然觀察到的新信息后驗概率綜合新證據(jù)后的概率更新事件的獨立性事件獨立性定義P(A∩B)=P(A)·P(B)多事件獨立需要兩兩獨立且聯(lián)合獨立條件獨立給定C條件下,A和B獨立獨立性檢驗驗證乘法公式是否成立概率樹與有序事件樹形圖構(gòu)建按事件發(fā)生順序畫分支條件概率標(biāo)記每個分支標(biāo)記轉(zhuǎn)移概率路徑概率計算沿路徑相乘得聯(lián)合概率總概率求和多條路徑概率相加古典分布:均勻分布與伯努利實驗均勻分布各點概率相等骰子、輪盤賭例子伯努利實驗只有兩種結(jié)果:成功/失敗典型例子:拋硬幣成功概率p,失敗概率q=1-p隨機(jī)變量的定義隨機(jī)變量概念從樣本空間到實數(shù)集的映射函數(shù)離散隨機(jī)變量取值有限或可數(shù)無限連續(xù)隨機(jī)變量取值在區(qū)間上連續(xù)變化隨機(jī)變量的分布律分布函數(shù)(CDF)的定義與性質(zhì)1定義F(x)=P(X≤x)2單調(diào)性x1<x2則F(x1)≤F(x2)3右連續(xù)性limF(x+h)=F(x),h→0+4規(guī)范性limF(x)=0,x→-∞limF(x)=1,x→+∞常見離散分布:二項分布成功次數(shù)概率泊松分布及應(yīng)用排隊論顧客到達(dá)銀行的次數(shù)稀有事件單位時間內(nèi)故障發(fā)生次數(shù)網(wǎng)絡(luò)流量服務(wù)器請求次數(shù)幾何分布與負(fù)二項分布幾何分布首次成功前失敗次數(shù)P(X=k)=q^k·p應(yīng)用:抽查直到發(fā)現(xiàn)第一個不合格產(chǎn)品負(fù)二項分布第r次成功前失敗次數(shù)包含幾何分布為特例(r=1)應(yīng)用:釣魚直到釣到r條魚所需次數(shù)常見連續(xù)分布:均勻分布概率密度函數(shù)f(x)=1/(b-a),a≤x≤b隨機(jī)數(shù)發(fā)生器計算機(jī)生成[0,1]隨機(jī)數(shù)時間模型隨機(jī)到達(dá)時間點舍入誤差測量誤差建模正態(tài)分布與中心極限定理68.3%μ±σ范圍概率95.4%μ±2σ范圍概率99.7%μ±3σ范圍概率指數(shù)分布與記憶性概率密度函數(shù)f(x)=λe^(-λx),x≥0無記憶性P(X>s+t|X>s)=P(X>t)壽命分析設(shè)備失效時間建模服務(wù)系統(tǒng)等候時間與服務(wù)時間Gamma分布與卡方分布Gamma分布形狀參數(shù)α,尺度參數(shù)β表示α個獨立指數(shù)分布隨機(jī)變量之和卡方分布自由度k的Gamma分布特例k個標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量平方和分布應(yīng)用領(lǐng)域假設(shè)檢驗可靠性分析生存分析隨機(jī)變量的期望離散期望計算E(X)=∑x·P(X=x)連續(xù)期望計算E(X)=∫x·f(x)dx線性性質(zhì)E(aX+b)=a·E(X)+b決策應(yīng)用投資回報,風(fēng)險評估方差與協(xié)方差高階矩k階矩E(X^k)k階中心矩E[(X-μ)^k]偏度(三階標(biāo)準(zhǔn)化矩)衡量分布對稱性峰度(四階標(biāo)準(zhǔn)化矩)衡量分布尖銳程度隨機(jī)變量的函數(shù)分布函數(shù)法求Y=g(X)的分布函數(shù)再求導(dǎo)密度函數(shù)變換利用Jacobian行列式矩母函數(shù)法適用于線性變換和平方變換多維隨機(jī)變量聯(lián)合分布F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)聯(lián)合密度f(x,y)=?2F/?x?y區(qū)域概率雙重積分計算邊緣分布與條件分布邊緣分布離散:f_X(x)=∑f(x,y)連續(xù):f_X(x)=∫f(x,y)dy消去其他變量的分布條件分布f_Y|X(y|x)=f(x,y)/f_X(x)給定一個變量值后的分布條件分布計算期望:E(Y|X=x)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)XY1(正相關(guān))Y2(負(fù)相關(guān))隨機(jī)變量獨立性判別獨立性定義F(x,y)=F_X(x)·F_Y(y)離散隨機(jī)變量P(X=x,Y=y)=P(X=x)·P(Y=y)連續(xù)隨機(jī)變量f(x,y)=f_X(x)·f_Y(y)相關(guān)系數(shù)獨立則ρ=0,反之不成立常用聯(lián)合分布模型二維正態(tài)分布需要5個參數(shù):μ_x,μ_y,σ_x,σ_y,ρ多項分布二項分布的多維推廣多維泊松過程描述多種事件同時發(fā)生分布函數(shù)與隨機(jī)變量變換Y=g(X)的分布求解步驟方法CDF方法F_Y(y)=P(Y≤y)=P(g(X)≤y)3變量替換法利用Jacobian行列式4應(yīng)用示例平方變換、指數(shù)變換等重要不等式1切比雪夫不等式P(|X-μ|≥kσ)≤1/k22馬爾可夫不等式非負(fù)隨機(jī)變量X,P(X≥a)≤E(X)/a3柯西-施瓦茨不等式[E(XY)]2≤E(X2)·E(Y2)4實際應(yīng)用價值無需知道具體分布即可估計概率界限大數(shù)定律弱大數(shù)定律樣本均值依概率收斂到總體均值臨界值:P(|X?_n-μ|<ε)→1強(qiáng)大數(shù)定律樣本均值幾乎必然收斂到總體均值更強(qiáng)的收斂性:P(limX?_n=μ)=1實際應(yīng)用拋硬幣頻率趨近于0.5保險公司風(fēng)險評估基礎(chǔ)長期投資回報率計算中心極限定理實用解釋抽樣分布與樣本均值分布樣本均值分布X?~N(μ,σ2/n)方差縮小規(guī)律樣本量n增大,方差減小正態(tài)性大樣本下趨于正態(tài)統(tǒng)計推斷基礎(chǔ)構(gòu)建置信區(qū)間與假設(shè)檢驗Bootstrap方法簡介重采樣原理從原樣本有放回地抽取新樣本統(tǒng)計量計算對每個Bootstrap樣本計算興趣統(tǒng)計量分布估計大量重復(fù)形成統(tǒng)計量經(jīng)驗分布優(yōu)勢無需假設(shè)總體分布形式適用于復(fù)雜統(tǒng)計量數(shù)理統(tǒng)計基本概念總體研究對象的全體樣本從總體中抽取的部分統(tǒng)計量樣本函數(shù),不含未知參數(shù)統(tǒng)計推斷點估計與區(qū)間估計參數(shù)估計方法:矩估計法基本原理樣本矩等于總體矩矩等式建立E(X^k)=(1/n)∑X_i^k方程求解解出未知參數(shù)估計值方法優(yōu)勢計算簡單,應(yīng)用廣泛最大似然估計(MLE)似然函數(shù)構(gòu)建L(θ)=∏f(x_i;θ)對數(shù)似然lnL(θ)=∑lnf(x_i;θ)最大化求解求導(dǎo)數(shù)等于零的參數(shù)值區(qū)間估計及置信區(qū)間置信區(qū)間定義包含真實參數(shù)的隨機(jī)區(qū)間置信水平區(qū)間包含參數(shù)的概率(通常95%)區(qū)間寬度與樣本量n相關(guān),n增大區(qū)間變窄均值區(qū)間X?±z_(α/2)·σ/√n假設(shè)檢驗基礎(chǔ)零假設(shè)H?默認(rèn)或保守假設(shè)備擇假設(shè)H?研究者希望證明的觀點檢驗統(tǒng)計量基于樣本數(shù)據(jù)的計算值P值與顯著性P<α?xí)r拒絕H?單樣本均值檢驗(t檢驗)檢驗假設(shè)H?:μ=μ?vsH?:μ≠μ?檢驗統(tǒng)計量t=(X?-μ?)/(S/√n)自由度df=n-1決策規(guī)則|t|>t_(α/2,n-1)時拒絕H?應(yīng)用場景樣本量小,總體標(biāo)準(zhǔn)差未知方差分析簡介1單因素方差分析比較多組均值是否相等變異分解總變異=組間變異+組內(nèi)變異F檢驗F=(組間均方)/(組內(nèi)均方)應(yīng)用場景產(chǎn)品質(zhì)量對比,教學(xué)方法評估卡方獨立性檢驗類別A類別B類別C類別D類別E相關(guān)與回歸分析r相關(guān)系數(shù)-1≤r≤1

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