2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：正弦定理和余弦定理（含解析）

正弦定理和余弦定理專(zhuān)題突破（典型例題與跟蹤訓(xùn)練）-2025年高考數(shù)

學(xué)一輪復(fù)習(xí)

一、單選題

1.已知空間向量i+6+c=0，卜|=2,慟=3,付=4,則cos（a,6）=（）

A.-B.-C.—D.—

2324

2.在VA2C中，a,6是/A,ZB,所對(duì)的邊，已知bcos3=acosA,則VABC的形狀是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

3.設(shè)VABC內(nèi)角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,已知=2sinAsinBsinC,若VABC的周

長(zhǎng)為1.則sinA+sin5+sinC=（）

A.1B.-C.-D.2

24

4.在VABC中，角AB,C的對(duì)邊分別為a1,c,若tanB=-石,6=病^,則①十。）=（）

ac

A.6B.4C.3D.2

1+A/2sinA_sin2C

5.在VABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，6,c,且/+02-52=總。

l-V2cosAl+cos2C

則角A的大小為（）

兀c5兀-7兀-3兀

A.—B.—C.—D.—

1212124

135

6.記VABC的三個(gè)內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別為。也c,若—A8+—￡—,3,貝（Jcos5的取

cab\_2

值范圍為（）

.「15]「15]「1「

A.—JB.—C.—D.-4

_2__68__28__6_

7.為測(cè)量塔的高度，因地理?xiàng)l件的限制，分別選擇C點(diǎn)和一建筑物DE的樓頂E為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，已

知點(diǎn)A為塔底，AC。在水平地面上，塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如圖所示）.測(cè)得。=18m,

AD=15m,在C點(diǎn)處測(cè)得E點(diǎn)的仰角為30。，在E點(diǎn)處測(cè)得8點(diǎn)的仰角為60。，則塔的高度約為

（）（A/3?1.732,精確到0.1m）

B

C.38.4mD.39.6m

8.“長(zhǎng)太息掩涕兮，哀民生之多艱”，端陽(yáng)初夏，粽葉飄香，端午是一大中華傳統(tǒng)節(jié)日.小瑋同學(xué)在當(dāng)

天包了一個(gè)具有藝術(shù)感的肉粽作紀(jì)念，將粽子整體視為一個(gè)三棱錐，肉餡可近似看作它的內(nèi)切球（與

其四個(gè)面均相切的球，圖中作為球。）.如圖：已知粽子三棱錐尸-ABC中，PA=PB=AB=AC=BC,

H、/、J分別為所在棱中點(diǎn)，D、E分別為所在棱靠近P端的三等分點(diǎn)，小瑋同學(xué)切開(kāi)后發(fā)現(xiàn)，沿

平面CDE或平面打〃切開(kāi)后，截面中均恰好看不見(jiàn)肉餡.則肉餡與整個(gè)粽子體積的比為（）.

A,空nC.雪

D.——兀

9%2754

二、多選題

9.將銳角三角形VABC置于平面直角坐標(biāo)系中，B（-1,O）,C（1,O）,A為x軸上方一點(diǎn)，設(shè)VABC中

NA、NB、NC的對(duì)邊分別為。、b、c且bccosA=8,則VABC的外心縱坐標(biāo)可能落在以下（）區(qū)

間內(nèi).

10.在VABC中，。為BC上一點(diǎn),AB=2,AC=1,A=,則（

2

A.當(dāng)AO為角A的角平分線時(shí)，AD=-

B.BC=6

C.當(dāng)。為BC中點(diǎn)時(shí)，AD=—

2

D.VABC的外接圓半徑為1

11.在VABC中，內(nèi)角A,B,C對(duì)邊分別為a,b,c,則下列說(shuō)法中正確的有（）

jr

A.若a=6,A=~,則VABC周長(zhǎng)的最大值為18

B.若a=6,b+c=8,則VABC面積的最大值為6行

C.若AB=3,AC=1,M為3c的中點(diǎn)，且貝UBC=2指

D.若角A的內(nèi)角平分線交2C于點(diǎn)。，且器=；，。=3,則VABC面積的最大值為3

三、填空題

12.已知VABC的三個(gè)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=5/=7,c=8,則A+C=.

13.已知三角形ABC中，BC=6,角A的平分線交3C于點(diǎn)。，若器=g,則三角形ABC面積的

最大值為

14.如圖所示，A,B,C是相隔不遠(yuǎn)的三座山峰的峰頂，地理測(cè)繪員要在A,B,C三點(diǎn)進(jìn)

行測(cè)量，在C點(diǎn)測(cè)得3點(diǎn)的仰角為30。，B與C的海拔高度相差180m；在B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰

角為45.設(shè)A,B,C在同一水平面上的射影分別為A,y,C',且NAC5=ZAEC=30.

則A與C兩點(diǎn)的海拔高度差為m.

四、解答題

15.在VABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且(a-2c)cosB+6cosA=0.

⑴求角B；

b

(2)右sinA=3sinC,求一.

TT

16.記VA2C的內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知csinB=bsin(C+§).

⑴求C；

(2)若人=6,且VABC的面積為66，求VABC的周長(zhǎng).

17.在VA3C中，點(diǎn)。是邊AC上一點(diǎn)，且

(1)若48=胸，BC=1,且sinNA8C=^^,求cosZADB的值;

10

(2)若ZA8O=F，且BD=2框,求VABC面積的最小值；

⑶若CZ)=3ZM,ZABD=ZBCD,且VABC的面積為12,求A3的值.

18.設(shè)一ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且

(b+a)(sinZABC-sinZBAC)=c(sinZABC-sinC),BC,AC邊上的兩條中線AO,BE相交于點(diǎn)尸.

⑴求/BAC；

⑵若AD=幣,BE=2,cosZDPE=—,求A5C的面積.

14

19.某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組，為測(cè)量學(xué)校附近正在建造中的某建筑物的高度，在學(xué)校操場(chǎng)選擇了同一條

直線上的A,B,C三點(diǎn)，其中AC=40m,點(diǎn)3為AC中點(diǎn)，興趣小組組長(zhǎng)小王在A,B,C三點(diǎn)

上方5m處的A,Bi，G觀察已建建筑物最高點(diǎn)E的仰角分別為。，夕，/，其中tana=1,tan￡=2,

tan7=3,點(diǎn)。為點(diǎn)￡在地面上的正投影，點(diǎn)％為。E上與A，4，G位于同一高度的點(diǎn).

(1)求建造中的建筑物已經(jīng)到達(dá)的高度OE;

sinZ4D^

⑵求sin/BQ?的值.

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案DDBBBBBBBDAC

題號(hào)11

答案ACD

1.D

【分析】設(shè)A5=a,3C=A,CA=c,在VABC中由余弦定理求解.

【詳解】空間向量a+Z?+c=O，同=2,忖=3,6=4,

則a,b,c三向量可能構(gòu)成三角形的三邊.

B

如圖，設(shè)AB=a,BC=b,CA=c問(wèn)=2,則VABC中，|AB|=2,|BC|=3,|CA|=4同=2,

|AB|2+BC|2-|CA|24+9-161

/.cosa,b=-cosZABC=--------------------；-------=---------------=—.

2xAB\x\BC\2X2X34

故選：D

2.D

【分析】利用正弦定理邊化角，再利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)求解即得.

【詳解】在VA6C中，由h以）5_8=〃以%24及正弦定理，得sin3cos3=sinAcosA,

則sin2A=sin2B,而0v2Av2兀0v2B<2K,0<2（A+B）<2;c,

JI

因止匕24=23或24+23=兀，即A=3或A+B=,,

所以VA5c是等腰三角形或直角三角形.

故選：D

3.B

【分析】根據(jù)正弦定理可得4=2RsinA,6=2RsinB,c=2RsinC,利用面積公式可得R=l,再結(jié)合周

長(zhǎng)公式運(yùn)算求解.

【詳解】由正弦定理三=一二=一J=2R（R為VABC的外接圓半徑），

sinAsmBsinC

可得〃=27?sinA,b=27?sinB,c=2RsinC,

且A氏Cc（0,71）,則sinA,sin氏sinC均為正數(shù),

因?yàn)閊AABC=—absinC=—x2i?sinAx2RsinBxsinC=2sinAsinBsinC,

22

可得H=1,

又因?yàn)閂A6C的周長(zhǎng)為a+Z?+c=2HsinA+2HsinB+2HsinC=2(sinA+sin_B+sinC)=1,

所以sinA+sin8+sinC=萬(wàn).

故選：B.

4.B

【分析】利用余弦定理結(jié)合整體代入思想求解即可.

【詳解】因?yàn)?=而，所以〃=3ac，而絲土立=日±幺主=且土《+2,

acacac

2兀i

在VASC中，tanB=—A/3,所以5=3-,故cos3=—],

由余弦定理得cosB=d±巨二上=-1，代入〃=3ac得，

2ac2

Q2+3a2+C231?A-/+C?

-------，---—----。-。-==——，故------=2，

2ac2ac2-----2ac

,,a2+2ac+c2a+c2___.缶/語(yǔ)

故z-----------=------+2=2+2=4,故B正確.

acac

故選：B

5.B

【分析】借助余弦定理計(jì)算可得8=聿，借助三角恒等變化公式化簡(jiǎn)可得應(yīng)sinB=0sin]c-；J,代

入計(jì)算即可得角A的大小.

【詳解】因?yàn)椤?+。2一〃=百〃°,由余弦定理得2〃ccos3=,

所以COS8=?3,又8e(0,7t),所以B=?

26

巾41+^2sinAsin2C2sinCeosCsinC

因?yàn)?---r=-----=；------

1—A/2COSA1+cos2C2cos2ccosC

所以cosC+^2sinAcosC=sinC-也cosAsinC，

即V2sin(A+C)=sinC-cosC,

又A+C=TI—B,所以四sin5=V^sin[c—；),

所以5=C—：或B+C—?二兀(舍)，

所以C=?+：=1J,所以A=n-2-C=兀一?一

64126

故選：B.

6.B

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得。=3c,6=〃c,結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解.

iuunauim〃uum

【詳解】因?yàn)锳B+8C=AC，且與2+3BC=4AC,

cab

則1=』=K,即a=3c,6=〃c,

cab

10-2?

可得cosB='+｝一"

lac2x3cxc6

525

因?yàn)椤╡不3,則〃~e—,9,

_2JL4J

BP10-/J2e1,",RJ-cosB=——-e—

所以cosB的取值范圍為

故選：B.

7.B

【分析】現(xiàn)從四棱錐C-ABED中提取兩個(gè)直角三角形qECD和△BEF的邊角關(guān)系，進(jìn)而分別解出兩

個(gè)三角形邊DE,8尸的長(zhǎng)，求出塔AB的高度即可.

【詳解】AB_L平面AC。，￡>E_L平面ACD,

過(guò)點(diǎn)E作EF_LAB,交AS于點(diǎn)尸，則有￡F=AD,AF=ED,

在RtAECD中，因?yàn)镹ECD=30,所以。E=CDtanNDCE=18xtan30=6坦，

在RtABE尸中，因?yàn)镹BE尸=60,所以8尸=石尸?tanZBEB=15xtan60°=15百，

則43=8/+4/=8尸+即=156+66=216=36.401.

故選：B.

8.B

【分析】設(shè)易知PA=PB=A2=AC=BC=氈，且尸G=Z，設(shè)肉餡球半徑為r,CG=x,

33

根據(jù)中點(diǎn)可知P到CP的距離d=4r,sinZPFC=^-=4r,根據(jù)三角形面積公式及內(nèi)切圓半徑公式

PF

可得x=l,結(jié)合余弦定理可得cos/RFC=:，進(jìn)而可得PC=友，sinZPFC=—,可得內(nèi)切球

333

半徑且可知三棱錐為正三棱錐，再根據(jù)球的體積公式及三棱錐公式分別求體積及比值.

【詳解】

如圖所示，取A3中點(diǎn)為尸，PFcDE=G,

為方便計(jì)算，不妨設(shè)尸尸=CF=1,

由PA=P3=AB=AC=3C,可知PA=PB=AB=AC=BC=^^,

3

又。、E分別為所在棱靠近尸端的三等分點(diǎn)，

22

則以？=一尸尸=一，

33

且AB_LPF,AB±CF,PFCF=F,PF,CFu平面尸CT"

即AB,平面尸Cb,

又ABu平面ABC,則平面PC「_L平面ABC,

設(shè)肉餡球半徑為乙CG=x,

由于H、I、J分別為所在棱中點(diǎn)，且沿平面H〃切開(kāi)后，截面中均恰好看不見(jiàn)肉餡,

d174r

則尸到5的距離d=4r,，皿/尸"=而=4'，S”尸.丁「,

又SGFC+g+，解得：工=1,

1+--1

CF2+FG2-CG21

故cosZPFC=9

2CFFG21-3

3

PF2+CF2-PC21+1-PC2_1

XcosZPFC=

2PFCF2-1-1-3

解得PC=1!-,sin/尸尸。=三一，

33

所以：sinZ.PFC=^2L--,解得T=y=—jir3=-n

316球381

由以上計(jì)算可知：尸-ABC為正三棱錐，

林、/Jc“I1心”?/112732A/3V34722^6

□V=-,SAR0?d=一,一?AB?AC?sin/?SAC?4r=一?一?---?---------4,-----=------,

粽3.3232332627

也兀

所以比值為器哈.

27

故選：B.

9.BD

【分析】利用余弦定理求得〃+片=20,然后可得8<〃<12,利用二次函數(shù)性質(zhì)求出征的范圍，結(jié)

合已知可得cosAe,結(jié)合平方關(guān)系和正弦定理求出半徑范圍，即可求縱坐標(biāo)范圍.

【詳解】由題知，。=2,Z?ccosA=8,由余弦定理得2x8=Z?2+c2—4=62+。2=20,

又8sC="+6?2=4+廿—（20*）>0,解得b>2應(yīng),同理：c>20，

lab4Z?

所以8<62<20-=12,

所以吩d=/（20-"=一.一107+100,

由二次函數(shù)性質(zhì)可得96<6%2<100,BP446<be<10,

又cosA=，>0,所以cosAe|■，手），

因?yàn)锳為銳角，所以sinA=J1-cos?Acig,1],

2

即外接圓半徑為R，則2R=1T⑸，即Re號(hào)⑸，

sinA|_3）[3）

由外心定義可知，VABC的外心在V軸上，

記VABC的外心縱坐標(biāo)為%,則為=|,V2j,

因?yàn)榕c和（■|^，野交集非空，與（。，1）和0,m交集為空間，

所以BD正確，AC錯(cuò)誤.

故選：BD

10.AC

【分析】利用三角形面積公式計(jì)算判斷A；利用余弦定理判斷B；利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算判斷

C；利用正弦定理求出外接圓半徑判斷D.

|JT1JT12冗

【詳解】對(duì)于A,由SAMO+SAACLSA^C，^-x2xADsinj+-xlxADsin-=-x2xlxsin—,解得

2

AD=-,A正確;

2兀22

對(duì)于B,在VABC中，AB=2,AC=1,A=—,由余弦定理得BC=2+l-2x2xlx(-1)=V7,B

錯(cuò)誤;

222

對(duì)于C,AD=-(AB+AC),貝I]|AD|=-7+AC+2ABAC=-.2+l-2x2xl。正

222V

確;

__1BC1近互

i\=—

對(duì)于D,VABC的外接圓半徑2sinA2上T，D錯(cuò)誤.

2

故選：AC

11.ACD

【分析】對(duì)于A,由正弦定理得b=4若sinB,c=4gsinC,從而由8+C=等結(jié)合三角恒等變換公式

得a+b+c=6+12sin3+力，進(jìn)而得解.

..14一

對(duì)于B,由基本不等式結(jié)合b+c=8得由余弦定理得cosA=^1,故由面積公式

be

2

SARC=—bcsinA=—bcyJl-cosA即可求解;

22

對(duì)于C,由/BM4+NCM4=7t即cos/3M4+cos/CM4=0結(jié)合余弦定理即可求解;

對(duì)于D,^BAD=ACAD=a,ABDA=/3,先由正弦定理空=當(dāng)2和gg=吧區(qū)0

得6=2c,

BDsmaC-Dsina

5oi/------------

接著由余弦定理得cosA=z-言，從而由一元二次函數(shù)性質(zhì)結(jié)合SMC=］歷sinA=/Ji—cos2A即

可得解.

abc匚46

【詳解】對(duì)于A,由題以及正弦定理得sinA「sin2-sinC.兀

sm—

3

所以b=46sin8,c=4^sinC,

所以/?+c=4>/3sinB+4^3sinC=4百sinB+4百sin[-2兀-B

3

’61

=4百sinB+4A/3——cos3+—sin8=6百sin8+6cos3

122

、

=12sinB+—cosB=12sin5+^,

2

7

所以a+b+c=6+12sin(B+F),

2兀jr71571,所以sinlB+S1

因?yàn)锽e0,,所以8GI''

3o66

所以o+Z?+c?12,18],故VABC周長(zhǎng)的最大值為18,故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)?=b+c22^/^,所以歷416,當(dāng)且僅當(dāng)〃=c=4時(shí)等號(hào)成立,

由余弦定理得cosA=—/（6+。）2-。2-2兒_8?-62-26c_14_1

2bc2bc2bcbe

2

所以SARC~—besmA=-bcy/l-cosA=—be

ABC222

=1M)2_(14—bc)2=⑦be-49<77x16-49=3幣,

所以VABC面積的最大值為3嶼，故B錯(cuò)誤；

仕］+AM2-c2+AM2-b2

對(duì)于C,因?yàn)?BM4+NCM4=7i,所以以___________+?___________

=0，

2AMx@2AMx-

22

所以〉2AM2=b2+c2即a2=-4AM2+2（Z?2+c2）=-4x72'+2x（l2+32）=12,

所以BC=2退，故C正確;

對(duì)于D,設(shè)/&10=n。4￡>=。,/3￡乂=￡,貝iJNCD4=7i—/J,

所以由正弦定理得”=包也=smgm=泣,

BDsinaCDsinasina

ARAT

所以黑=焦，又由題可知30=1,8=2,所以6=2c,

BDCD

當(dāng)且僅當(dāng)°2=5即°=如時(shí)，等號(hào)成立，所以VABC面積的最大值為3,故D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在求解面積S^cugbcsinA的最大值問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是利用已知條件結(jié)合正弦定

理或基本不等式求出邊b和c的關(guān)系或求出其積的最值，再利用余弦定理cosA="+/一將角轉(zhuǎn)化

2bc

成邊，從而建立三角形的面積函數(shù)，進(jìn)而再借助基本不等式或一元二次函數(shù)性質(zhì)即可探求最大值.

12.生

3

TT

【分析】在VA3C中，利用余弦定理求出8=即可求得A+C.

【詳解】在VA3C中，。=5*=7,c=8,由余弦定理，

因?yàn)?武0,兀），所以2=三，

又在VABC中，A+B+C=n,

所以A+C號(hào)2兀

2兀

故答案為：y.

13.12

【分析】設(shè)AB=x，NBAC=e,貝ljAC=2x,結(jié)合正弦定理表示得5ABeAC?sinZBAC,由余弦

定理可得尤與。的關(guān)系式，聯(lián)立前式由同角三角函數(shù)和二次函數(shù)性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求解.

cryAo

【詳解】設(shè)dAi,則對(duì)由正弦定理可得碇藐①，

CD叱②

對(duì)/CD,由正弦定理可得sinZADCU，

sinZG4￡>

BDI

y,ZADB+ZADC=7t,所以sin/AD3=sin/ADC,又——=一，

DC2

Ar1o

聯(lián)立①②式可得=則AC=2x,

AB1

12

貝JSAMC=|ABACsinZBAC=1x-2Tsin6）=xsin6*,

AB2+AC2-BC25f-36

對(duì)VABC,由余弦定理可得cosNBAC=

2ABAC4x2

則S2=x4.sin2e=x4.（]_cos2g）=x4.]_25/-3601+362

16

〔I4尤一刀

/2、Q

當(dāng)V=20時(shí)，S?有最大值，S=^x256=144,所以5mM=12.

\/max16

故答案為：12

14.360

【分析】通過(guò)圖像確定A與C兩點(diǎn)的海拔高度差為血+AE可求解.

【詳解】如圖，作,由題知ZBCZ)=30,5D=180m,

A

則C'B'=C￡)=—^-=180^m,

tan30

在dA'B'C'中，因?yàn)镹A，C'B'=NA'B'C'=30

B'CA'B'

所以NC'A3'=120,由正弦定理得

sinNC'AB'~smZA'C'B'

180若x1

B'C'smZA'C'B'2

解得A2'==180m

smZC'A'B'

2

作3ELA4'，CFLAA,則ZABE=45,所以AE=3E=A3'=180m,

所以A與C兩點(diǎn)的海拔高度差A(yù)尸=3D+AE=360(m).

故答案為：360

71

15.WB=~.

(2)-=V7.

c

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，結(jié)合和角正弦公式求解即得.

(2)由正弦定理角化邊，再利用余弦定理求解即得.

【詳解】(1)在VABC中，由(a-2c)cosB+bcosA=。及正弦定理，得

sinAcosB-2sinCcosB+sinBcosA=0,

即2sinCeosB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC,而sinC>0,

解得cos5=],又0<3<兀，

2

jr

所以3=全

(2)在VABC中，由sinA=3sinC及正弦定理，得a=3c,

由余弦定理得：b2=a2+c2—2accosB=9c2+c2—2?3c?c?—=7c2,解得8=

所以“=近.

c

一71

16.(1)C=§；

⑵10+26.

【分析】(1)由正弦定理邊化角，再利用和角的正弦公式求解即得.

(2)由面積公式求出。，再利用余弦定理求出c,即可求出周長(zhǎng).

IFIT

【詳解】(1)在VABC中，由csinB=6sin(C+§)及正弦定理，sinCsinB=sinBsin(C+-),

而sinB>0,則sin(C+￡)=sinC,即^sinC+且osC=sinC,

322

化簡(jiǎn)得tanC=VL又Ce(O,萬(wàn))，所以C=，

(2)由(1)及三角形面積公式，得工absinCJ也a=6而,解得a=4,

22

由余弦定理得c=Ja?+必-2abcosC=+6?-2x4x6x；=2幣,

所以VABC的周長(zhǎng)為”+6+°=10+2近.

17.⑴一魚(yú)I

13

⑵8出

(3)26

【分析】(1)借助三角函數(shù)基本關(guān)系可得cosNA3C,再利用余弦定理可得AC,最后借助正弦定理

計(jì)算即可得解；

(2)設(shè)54=加(根>0),3C=〃(〃>0),借助等面積法計(jì)算可得〃加=2〃7+4”，再利用基本不等式即

可得〃加232,最后利用面積公式計(jì)算即可得解；

(3)設(shè)ZM=x(x>0),AABD=d^<e<^,則可用表示出其余量，借助正弦定理計(jì)算可得

XSin

Rnt2-U-結(jié)合題目所給條件可得q.0“州2-2叫即可解出siMcos6,最后

BD=-----------------3xsin0=-----------------

sin0sin6

利用面積公式與余弦定理計(jì)算即可得解.

【詳解】(1)由題意知所以cosNABC=-J1-sin?NABC=-呵

XAC2=BA2+BC2-2BA-BCcosZABC=10+l-2xV10xlx=13,

^0

A(^A5

故Ac=jm,由正弦定理.得3M-sinZBCA，

sinZABCsinN3cA

10

訴“^x—

sin4cA=肩。35,

13

3回

所以cosNADB=cosZACB+^=-sinZACB=-

13

(2)設(shè)BA="Z("2>0),BC=n(n>0),g|SAABC=+SADBC,

所以工BA-BCsinZABC=-BA-BDsinZABD+-BC-BDsinNCBD,

222

BP—mnsin—=—/?-2^3sin—+—H-2\/3,

23262

所以mn=2m+4/i>2J2m4〃=4j2mn，所以nrn>32，

當(dāng)且僅當(dāng)2機(jī)=4〃，即機(jī)=8,〃=4時(shí)等號(hào)成立,

所以的面積ABC石

NABCSv=^BABCsinZABC=——mn>85/3,

4

即VA5C面積的最小值為8次;

(3)設(shè)DA=x(x>0),ZABD=6>0<6><,

JT

則CD=3x,ZBCD=0,NBAD=——20,

2

xBD

ADBD

在△鈿￡＞中，由正弦定理得sin?？伞啊?/p>

sinZABD~sinZBAD'

xsin[：-2e

所以皿=

sin。

在△BCD中，sinZBCD=-^,gpsin0=—,

DC3x

xsin(；—26

所以335凡所以3.收=

sin。

所以3sin2j=sin[g-2022

=cos20=cos0-sin0,所以4sin20=cos20,

又sin?e+cos?8=1,0<6<:,解得sin6=^^,cos3

255

所以=3xsin6=,CB=3xcos0=x,

55

訴"c_1^_13752舊_92

//T以——BRDn,CBR——X----XX----X——X，

NBCD22555

又CD―3DA,^ABC=12,所以S^CD=9,

所以|f=9,解得了=如，所以B￡>=孚x=3,

在△AB。中，由余弦定理cos/ABD=弛上空乙二絲

2BABD

得2石84+32-(后

千亍―2BAx3'

解得AB=2石或A8=與，又AB>BD,所以AB=26.

71

18.⑴H

⑵動(dòng)

【分析】(1)利用正弦定理邊角互化，再結(jié)合余弦定理求解即可；

(2)由余弦定理結(jié)合面積公式計(jì)算.

【詳解】(1)因?yàn)?。+。)(sin/ABC-sinZBAC)=c(sin/ABC-sinC),

所以由正弦定理得62+02一］