高等數(shù)學(xué) 數(shù)列的極限學(xué)習(xí)資料

第一章二、收斂數(shù)列的性質(zhì)三、極限存在準則一、數(shù)列極限的定義第三節(jié)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束數(shù)列的極限四、極限運算法則數(shù)學(xué)語言描述:一、數(shù)列極限的定義引例.設(shè)有半徑為

r

的圓,逼近圓面積S.如圖所示,可知當

n無限增大時,無限逼近S

(劉徽割圓術(shù))

,當n

>

N時,用其內(nèi)接正

n

邊形的面積總有劉徽目錄上頁下頁返回結(jié)束劉徽目錄上頁下頁返回結(jié)束數(shù)列極限的直觀描述：

當n無限增大時，無限接近一個數(shù)a當n無限增大時，可以任意小，要多小就有多小當n大到一定的程度后，能小于事先給定的任意小的正數(shù)正整數(shù)N，當時，有（嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)語言）定義:自變量取正整數(shù)的函數(shù)稱為數(shù)列,記作或稱為通項(一般項).若數(shù)列及常數(shù)a有下列關(guān)系:當n>

N

時,總有記作此時也稱數(shù)列收斂

,否則稱數(shù)列發(fā)散

.幾何解釋:即或則稱該數(shù)列的極限為a,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例如,趨勢不定收斂發(fā)散機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.用數(shù)列極限的定義證明證:欲使即只要因此,取則當時,就有故機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.設(shè)證明證:欲使只要即取則當時,就有故機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.設(shè)證明證:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束令則先考察不等式因此，只要取則當時,就有故例4.證明證:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束當由因此，只要取則當時,就有故二、收斂數(shù)列的性質(zhì)證:

用反證法.及且取因故存在N1,從而同理,因故存在N2,使當n>N2時,有1.收斂數(shù)列的極限唯一.使當n>N1時,假設(shè)從而矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當n>N

時,故假設(shè)不真!滿足的不等式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.

證明數(shù)列是發(fā)散的.

證:

用反證法.假設(shè)數(shù)列收斂,則有唯一極限a

存在.取則存在N,但因交替取值1與－1,內(nèi),而此二數(shù)不可能同時落在長度為1的開區(qū)間使當n>N

時,有因此該數(shù)列發(fā)散.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.收斂數(shù)列一定有界.證:

設(shè)取則當時,從而有取則有由此證明收斂數(shù)列必有界.說明:

此性質(zhì)反過來不一定成立.例如,雖有界但不收斂.有數(shù)列機動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.收斂數(shù)列的保號性.若且時,有證:對a>0,取推論:若數(shù)列從某項起(用反證法證明)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束*********************4.收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限.證:設(shè)數(shù)列是數(shù)列的任一子數(shù)列.若則當時,有現(xiàn)取正整數(shù)K,使于是當時,有從而有由此證明*********************機動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、極限存在準則由此性質(zhì)可知,若數(shù)列有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限,例如，

發(fā)散!夾逼準則;單調(diào)有界準則;柯西審斂準則.則原數(shù)列一定發(fā)散.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:1.夾逼準則

(準則1)

(P53)證:

由條件(2),當時,當時,令則當時,有由條件(1)即故機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.證明證:利用夾逼準則.且由機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.設(shè)證:利用夾逼準則.而令機動目錄上頁下頁返回結(jié)束，求2.單調(diào)有界數(shù)列必有極限

(準則2

)

(P54)

(證明略)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.設(shè)證明數(shù)列極限存在.(P56～P57)證:利用二項式公式,有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束大大正又比較可知機動目錄上頁下頁返回結(jié)束根據(jù)準則2可知數(shù)列記此極限為e,

e為無理數(shù),其值為即有極限.原題目錄上頁下頁返回結(jié)束又*3.柯西極限存在準則(柯西審斂原理)

(P58)數(shù)列極限存在的充要條件是:存在正整數(shù)N,使當時,證:“必要性”.設(shè)則時,有使當因此“充分性”證明從略.有柯西目錄上頁下頁返回結(jié)束四、數(shù)列極限的運算法則：

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束若都收斂，則下列等式成立：（此式要求）例7.設(shè)解:由例3，知當機動目錄上頁下頁返回結(jié)束求當顯然仍有當由綜上所述，總有例8.求解:用夾逼準則。機動目錄上頁下頁返回結(jié)束由所以更一般地，有以下推論：無窮小量與有界數(shù)列的積仍為無窮小，特別地，無窮小量與收斂數(shù)列的積仍為無窮小例9.求解:注意到機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例10.判斷數(shù)列解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束的收斂性，其中若收斂，試求其極限。注意到及從而，由準則2知極限存在。令則由令有內(nèi)容小結(jié)1.數(shù)列極限的“

–N

”

定義及應(yīng)用2.收斂數(shù)列的性質(zhì):唯一性;有界性;保號性;任一子數(shù)列收斂于同一極限3.極限存在準則:夾逼準則;單調(diào)有界準則;柯西準則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束４.極限運算法則：和、差、積、商思考與練習(xí)1.如何判斷極限不存在?方法1.

找一個趨于∞的子數(shù)列;方法2.

找兩個收斂于不同極限的子數(shù)列.2.已知,求時,下述作法是否正確?說明理由.設(shè)由遞推式兩邊取極限得不對!此處機動目錄上頁下頁返回結(jié)束作業(yè)P362(2),4,6P522(2),(3)P595(1),6,7第三節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束故極限存在，備用題

1.設(shè),且求解：設(shè)則由遞推公式有∴數(shù)列單調(diào)遞減有下界，故利用極限存在準則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

2.

設(shè)證:顯然證明下述數(shù)列有極限.即單調(diào)增,又存在“拆項相消”法劉徽(約225–295年)我國古代魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家.他撰寫的《重差》對《九章算術(shù)》中的方法和公式作了全面的評注,指出并糾正了其中的錯誤,在數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)理論上作出了杰出的貢獻.他的“割圓術(shù)”求圓周率“割之彌細,所失彌小,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精確”的重要極限思想.

的方法:柯西(1789–1857)法國數(shù)學(xué)家,他對數(shù)學(xué)的貢獻主要集中在微積分學(xué),《