湖北競(jìng)賽數(shù)學(xué)試題及答案

湖北競(jìng)賽數(shù)學(xué)試題及答案姓名：____________________

一、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20題）

1.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，則f(x)的圖像的對(duì)稱軸是：

A.x=2

B.x=1

C.x=3

D.x=0

2.若等差數(shù)列{an}的公差為d，且a1+a3+a5=9，則a2+a4+a6的值為：

A.9

B.12

C.15

D.18

3.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,3)，點(diǎn)B(5,1)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是：

A.(3.5,2)

B.(3.5,2.5)

C.(4,2)

D.(4,2.5)

4.若等比數(shù)列{bn}的公比為q，且b1+b3+b5=27，則b2+b4+b6的值為：

A.27

B.54

C.81

D.108

5.已知函數(shù)f(x)=2x^3-3x^2+4x-1，則f(x)的圖像的拐點(diǎn)是：

A.(1,2)

B.(1,-2)

C.(0,1)

D.(0,-1)

6.在三角形ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，則∠C的度數(shù)是：

A.75°

B.120°

C.135°

D.150°

7.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，則f(x)的圖像的頂點(diǎn)是：

A.(2,-1)

B.(2,1)

C.(1,-1)

D.(1,1)

8.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,3)，點(diǎn)B(5,1)，則線段AB的長(zhǎng)度是：

A.√5

B.√10

C.√15

D.√20

9.若等差數(shù)列{an}的公差為d，且a1+a3+a5=9，則a2+a4+a6的值為：

A.9

B.12

C.15

D.18

10.已知函數(shù)f(x)=2x^3-3x^2+4x-1，則f(x)的圖像的極值點(diǎn)是：

A.(1,2)

B.(1,-2)

C.(0,1)

D.(0,-1)

11.在三角形ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，則∠C的度數(shù)是：

A.75°

B.120°

C.135°

D.150°

12.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，則f(x)的圖像的對(duì)稱軸是：

A.x=2

B.x=1

C.x=3

D.x=0

13.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,3)，點(diǎn)B(5,1)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是：

A.(3.5,2)

B.(3.5,2.5)

C.(4,2)

D.(4,2.5)

14.若等比數(shù)列{bn}的公比為q，且b1+b3+b5=27，則b2+b4+b6的值為：

A.27

B.54

C.81

D.108

15.已知函數(shù)f(x)=2x^3-3x^2+4x-1，則f(x)的圖像的拐點(diǎn)是：

A.(1,2)

B.(1,-2)

C.(0,1)

D.(0,-1)

16.在三角形ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，則∠C的度數(shù)是：

A.75°

B.120°

C.135°

D.150°

17.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，則f(x)的圖像的頂點(diǎn)是：

A.(2,-1)

B.(2,1)

C.(1,-1)

D.(1,1)

18.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,3)，點(diǎn)B(5,1)，則線段AB的長(zhǎng)度是：

A.√5

B.√10

C.√15

D.√20

19.若等差數(shù)列{an}的公差為d，且a1+a3+a5=9，則a2+a4+a6的值為：

A.9

B.12

C.15

D.18

20.已知函數(shù)f(x)=2x^3-3x^2+4x-1，則f(x)的圖像的極值點(diǎn)是：

A.(1,2)

B.(1,-2)

C.(0,1)

D.(0,-1)

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以表示為an=a1+(n-1)d，其中a1是首項(xiàng)，d是公差，n是項(xiàng)數(shù)。（）

2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以表示為an=a1*q^(n-1)，其中a1是首項(xiàng)，q是公比，n是項(xiàng)數(shù)。（）

3.若兩個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)相等，則這兩個(gè)函數(shù)在該點(diǎn)處的切線平行。（）

4.一個(gè)二次函數(shù)的圖像開(kāi)口向上，當(dāng)且僅當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)大于0。（）

5.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離公式是d=|Ax+By+C|/√(A^2+B^2)，其中A、B、C是直線Ax+By+C=0的系數(shù)。（）

6.若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，則該三角形的面積可以用海倫公式S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))計(jì)算，其中p是半周長(zhǎng)。（）

7.在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，則點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(-x,-y)。（）

8.若一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列的通項(xiàng)an可以表示為an=Sn-Sn-1。（）

9.在直角坐標(biāo)系中，兩條平行線的斜率相等。（）

10.若一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則在該區(qū)間內(nèi)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒大于0。（）

三、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）

1.簡(jiǎn)述如何求解一元二次方程x^2-5x+6=0的根。

2.請(qǐng)簡(jiǎn)述函數(shù)y=ax^2+bx+c（a≠0）的圖像特征，并說(shuō)明如何根據(jù)圖像判斷a的符號(hào)。

3.如何利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解不等式log_a(x)>log_a(2)。

4.請(qǐng)簡(jiǎn)述如何利用三角函數(shù)的周期性來(lái)證明一個(gè)三角恒等式。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述函數(shù)y=x^3-3x在區(qū)間[-2,2]上的單調(diào)性，并求出其極值。

2.論述如何利用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于任意正整數(shù)n，都有1^3+2^3+3^3+...+n^3=(n(n+1)/2)^2成立。

試卷答案如下：

一、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20題）

1.A

2.B

3.A

4.A

5.A

6.B

7.A

8.B

9.B

10.A

11.B

12.A

13.A

14.A

15.A

16.B

17.A

18.B

19.B

20.A

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.√

2.√

3.×

4.√

5.√

6.√

7.√

8.√

9.×

10.×

三、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）

1.解一元二次方程x^2-5x+6=0的根，可以使用配方法或者求根公式。配方法是將方程重寫為(x-a)^2=b的形式，然后解得x的值。求根公式是x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，代入a=1,b=-5,c=6，解得x=2或x=3。

2.函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖像特征包括：當(dāng)a>0時(shí)，圖像開(kāi)口向上，頂點(diǎn)在x軸下方；當(dāng)a<0時(shí)，圖像開(kāi)口向下，頂點(diǎn)在x軸上方。通過(guò)觀察頂點(diǎn)坐標(biāo)(-b/2a,c-b^2/4a)可以判斷a的符號(hào)。

3.利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解不等式log_a(x)>log_a(2)，可以將不等式轉(zhuǎn)換為x>2，因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)是單調(diào)遞增的。

4.利用三角函數(shù)的周期性證明三角恒等式，可以通過(guò)將等式兩邊的三角函數(shù)項(xiàng)轉(zhuǎn)換到同一個(gè)周期內(nèi)，然后利用周期性進(jìn)行化簡(jiǎn)和證明。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.函數(shù)y=x^3-3x在區(qū)間[-2,2]上的單調(diào)性可以通過(guò)求導(dǎo)數(shù)y'=3x^2-3來(lái)判斷。當(dāng)y'>0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)y'<0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減。求導(dǎo)得y'=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)。在區(qū)間[-2,1)上，y'<0，函數(shù)單調(diào)遞減；在區(qū)間(1,2]上，y'>0，函數(shù)單調(diào)遞增。極值點(diǎn)在x=1處，計(jì)算得極小值為y(1)=-2。

2.使用數(shù)學(xué)歸納法證明1^3+2^3+3^3+...+n^3=(n(n+1)/2)^2，首先驗(yàn)證n=1時(shí)，等式成立。然后假設(shè)n=