浙江省杭州市拱墅區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附答案）

浙江省杭州市拱墅區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中有且只有一項(xiàng)符合題意，多選、錯(cuò)選、不選均不得分．1.已知點(diǎn)是拋物線焦點(diǎn)，若拋物線上的點(diǎn)到的距離為，則點(diǎn)到軸的距離為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)條件，利用拋物線的定義，即可求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)到的距離為，則，得到，故選：A.2.已知向量，，且與垂直，則k的值為（）A. B. C.1 D.2【正確答案】C【分析】依據(jù)條件，計(jì)算坐標(biāo)，再利用數(shù)量積為0計(jì)算即可.【詳解】因，，則，因與垂直，則，得.故選：C3.在四面體中，M點(diǎn)在線段上，且，G是的重心，已知，，，則等于（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合重心的性質(zhì)以及空間向量的線性運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)镚是的重心，則，由，得，所以.故選：C.4.若等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．則取得最小值時(shí)n的值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【正確答案】B【分析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)及前項(xiàng)和公式可得的通項(xiàng)公式，由可得等差數(shù)列的前4項(xiàng)為負(fù)數(shù)，從第五項(xiàng)開(kāi)始為正數(shù)，即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，，所以，，，所以，所以，所以，解得，所以等差數(shù)列的前4項(xiàng)為負(fù)數(shù)，從第五項(xiàng)開(kāi)始為正數(shù)，所以取得最小值時(shí)為4.故選.5.已知、為圓不同兩點(diǎn)，且滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】求出，題目轉(zhuǎn)化為、到直線的距離之和，變換得到，計(jì)算得到答案.【詳解】因?yàn)椤⒃趫A上，所以，，，且，因?yàn)?，則，因?yàn)椋瑒t是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，表示、到直線的距離之和，原點(diǎn)到直線的距離為，如圖所示：，，是的中點(diǎn)，作于，且，，，故在圓上，.故的最小值為.故選：D.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是首先求出，再將題意轉(zhuǎn)化為表示、到直線的距離之和，最后利用中位線性質(zhì)和圓外點(diǎn)外圓上點(diǎn)距離最值問(wèn)題解決.6.已知為正方形的中心，分別為的中點(diǎn)，若將正方形沿對(duì)角線翻折，使得二面角的大小為，則此時(shí)的值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由二面角的概念，結(jié)合空間向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求得結(jié)果.【詳解】如圖所示，易知，所以結(jié)合已知有，易知，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，所以，,故選：A.7.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，在其相鄰兩項(xiàng)之間插入個(gè)，得到新的數(shù)列，記的前項(xiàng)和為，則使成立的的最小值為（）A.28 B.29 C.30 D.31【正確答案】B【分析】根據(jù)題意分析得的項(xiàng)的情況，求出當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)的，找出的最小值.【詳解】由題意得數(shù)列的前項(xiàng)依次為：，個(gè)，，個(gè)，，個(gè)，，個(gè)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以使成立的的最小值為.故選：B.8.設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知點(diǎn)在橢圓上，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)題意，利用橢圓的定義，求得的面積為，結(jié)合，求得，進(jìn)而得到，代入橢圓的方程，得到，轉(zhuǎn)化為，即可求解.【詳解】由橢圓，可得，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，由橢圓的定義知，因?yàn)?，可得，即，可得，所以，所以的面積為，可得，解得，又因?yàn)椋傻?，即，將點(diǎn)代入橢圓的方程，可得，整理得，因?yàn)椋傻?，即，解得和（舍去），即橢圓的離心率為.故選：D.二、多選題：本大題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知事件發(fā)生的概率分別為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若與互斥，則B.若與相互獨(dú)立，則C.若，則與相互獨(dú)立D.若發(fā)生時(shí)一定發(fā)生，則【正確答案】BC【分析】選項(xiàng)A，利用互斥事件的概率公式，即可求解；選項(xiàng)B，利用，求得，即可求解；選項(xiàng)C，利用相互獨(dú)立的判斷方法，即可求解；選項(xiàng)D，由題知，即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)榕c互斥，則，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，與相互獨(dú)立，則，所以選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以，由相互?dú)立的定義知與相互獨(dú)立，所以選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)榘l(fā)生時(shí)一定發(fā)生，所以，則，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：BC.10.下列結(jié)論正確的是（）A.，，若，則或B.是直線的一個(gè)方向向量C.直線與直線之間的距離是D.與點(diǎn)的距離為1，且與點(diǎn)的距離為4的直線共有3條【正確答案】BD【分析】由直線平行的判定求參數(shù)判斷A；寫出直線斜率，結(jié)合斜率與方向向量關(guān)系確定一個(gè)方向向量判斷B；將化為，應(yīng)用平行線的距離公式判斷C；兩點(diǎn)公式求，轉(zhuǎn)化為判斷兩個(gè)外切的圓的公切線的條數(shù)判斷D.【詳解】A：若，顯然，則，可得，故A錯(cuò)誤；B：的斜率為，顯然是直線的一個(gè)方向向量，故B正確；C：由即，與的距離為，故C錯(cuò)誤；D：由，以為圓心，半徑分別為的兩個(gè)圓外切，所以，只需判斷兩圓公切線的條數(shù)即可，顯然一共有3條，故D正確.故選：BD11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，且，則（）A. B.C. D.【正確答案】ACD【分析】令得到，將代入可判斷A；分別求出，，可判斷B；求出和的值可判斷C；利用累乘法求出可判斷D.【詳解】令得，則，即，對(duì)于A，令得，，所以，故A正確；對(duì)于B，，，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由知，當(dāng)時(shí)，，則有，，所以，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)且時(shí)，由得，，故D正確，故選：ACD．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知數(shù)據(jù)，，，，的方差為6，則數(shù)據(jù)，，，，的方差為_(kāi)_____；【正確答案】【分析】根據(jù)公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)據(jù)，，，，的方差為6，所以數(shù)據(jù)，，，，的方差為：故13.如圖，有一個(gè)質(zhì)地均勻的正八面體，八個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字1到8.將該八面體連續(xù)拋擲三次，按順序記錄它與地面接觸的面上的數(shù)字，則這三個(gè)數(shù)恰好構(gòu)成等差數(shù)列的概率為_(kāi)_________.【正確答案】##【分析】利用古典概率模型以及等差數(shù)列的定義即可求解.【詳解】由題意可知所有可能情況共有種，按順序記錄的三個(gè)數(shù)恰好構(gòu)成等差數(shù)列，可以按照公差為分類，其中公差為和的做法數(shù)對(duì)應(yīng)相等.公差為0的有共8種做法；公差為1的有共6種做法，同公差為的；公差為2的有共4種做法，同公差為的；公差為3的有共2種做法，同公差為的；所以三個(gè)數(shù)恰好構(gòu)成等差數(shù)列的概率.故答案為:.14.拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)過(guò)拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸．過(guò)拋物線：上的點(diǎn)（不為原點(diǎn)）作的切線，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作，垂足為，直線（為拋物線的焦點(diǎn)）與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)，則的取值范圍是______．【正確答案】【分析】設(shè)點(diǎn)，切線的方程為，繼而求得切線的斜率，由可求得的方程，與直線聯(lián)立可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，繼而消參可求得點(diǎn)的軌跡方程，則結(jié)合圖形可求得得范圍.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為拋物線：上的點(diǎn)（不為原點(diǎn)），所以可設(shè)點(diǎn)，且當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切點(diǎn)為原點(diǎn)不合題意；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，可設(shè)為，聯(lián)立，消去可得，化簡(jiǎn)可得，令，可得，化簡(jiǎn)可得，即，又，所以的斜率，所以的方程，因?yàn)辄c(diǎn)，所以的斜率為，則的方程為，聯(lián)立，解得，即，當(dāng)時(shí)，的方程為，的方程則或，滿足由兩式相除可得，即由，可得再代入，可得，化簡(jiǎn)可得，可得，可知點(diǎn)軌跡為半徑為的圓，圓心為,結(jié)合圖形可知，又，，則.故答案：四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.2024年奧運(yùn)會(huì)在巴黎舉行，中國(guó)代表團(tuán)獲得了40枚金牌，27枚銀牌，24枚銅牌，共91枚獎(jiǎng)牌，取得了境外舉辦奧運(yùn)會(huì)的最好成績(jī)，運(yùn)動(dòng)員的拼搏精神給人們留下了深刻印象．為了增加學(xué)生對(duì)奧運(yùn)知識(shí)的了解，弘揚(yáng)奧運(yùn)精神，某校組織高二年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了奧運(yùn)知識(shí)能力測(cè)試．根據(jù)測(cè)試成績(jī)，將所得數(shù)據(jù)按照分成6組，其頻率分布直方圖如圖所示．（1）求該樣本的第75百分位數(shù)；（2）試估計(jì)本次奧運(yùn)知識(shí)能力測(cè)試成績(jī)的平均分；（3）該校準(zhǔn)備對(duì)本次奧運(yùn)知識(shí)能力測(cè)試成績(jī)不及格（60分以下）的學(xué)生，采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽出5名同學(xué)，再?gòu)某槿〉倪@5名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)進(jìn)行情況了解，求這2名同學(xué)分?jǐn)?shù)在各一人的概率．【正確答案】（1）分；（2）分；（3）.【分析】（1）根據(jù)頻率和為1求得，再由百分位數(shù)的定義求第75百分位數(shù)；（2）由頻率直方圖的平均數(shù)求法求平均分；（3）根據(jù)分層抽樣確定5人中的人數(shù)分布，再應(yīng)用列舉法求古典概型的概率.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，可得，由，，所以樣本的第75百分位數(shù)位于區(qū)間，設(shè)為，則，所以分.【小問(wèn)2詳解】由題設(shè)分；【小問(wèn)3詳解】由題設(shè)，的頻率比為，故抽取的5人中有2人為、有3人為，任抽2人有，共10種情況，其中分?jǐn)?shù)在各一人有，共6種情況，所以這2名同學(xué)分?jǐn)?shù)在各一人的概率.16.在中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且，．（1）求；（2）如圖，M為邊AC上一點(diǎn)，且，，求的面積．【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合二倍角公式，化簡(jiǎn)整理，可求得的值，根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合的范圍，即可求得，代入公式，即可求得答案.（2）根據(jù)（1）可求得，進(jìn)而可求得，根據(jù)余弦定理，可求得，進(jìn)而可求得，代入面積公式，即可求得答案.【詳解】（1）∵，∴，利用正弦定理邊化角，∴，∵，∴，∴，又，∴，∴，∴，∴．（2）由（1）可得：，∴，在中，即，∴，∵，∴，∴，∴，，∴的面積為．解題的關(guān)鍵是熟練掌握正弦定理、余弦定理、面積公式并靈活應(yīng)用，化簡(jiǎn)時(shí)需注意角度的范圍，考查計(jì)算化簡(jiǎn)的能力，屬中檔題.17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（3）若對(duì)任意恒成立．求實(shí)數(shù)的取值范圍．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【分析】（1）根據(jù)題設(shè)遞推關(guān)系有，結(jié)合等差數(shù)列定義判斷證明；（2）應(yīng)用錯(cuò)位相減法及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求；（3）將問(wèn)題化為恒成立，作差法判斷右側(cè)的最小值，即可得參數(shù)范圍.【小問(wèn)1詳解】由，則，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)、公差均為的等差數(shù)列；【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，即，所以，則，所以，所以.【小問(wèn)3詳解】由題可得，整理得恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，即的最小值為，綜上，.18.如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2菱形，，，分別是，的中點(diǎn).（1）求證；平面；（2）若，，，求平面與平面所成角的余弦值.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）.【分析】（1）利用中位線的性質(zhì)構(gòu)造線線平行，再利用線面平行的判定證明即可；（2）根據(jù)線面垂直的判定先證明平面，再建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算面面夾角即可.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)為，連接，.點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，是的中位線，即，，在菱形中，，.，，即四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，平面.【小問(wèn)2詳解】連接，，，，，平面，平面，平面，又平面，，，又，則，所以.即直線，，兩兩垂直.如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，.設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，由得取.由得取.設(shè)平面與平面所成角為，則，即平面與平面所成角的余弦值為.19.已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率.（1）求雙曲線C的方程；（2）記雙曲線C的右頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作直線，與C的左支分別交于兩點(diǎn)，且，為垂足.（i）證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出點(diǎn)坐標(biāo)；（ii）判斷是否存在定點(diǎn)，使得為定值，若存在說(shuō)明理由并求出點(diǎn)坐標(biāo).【正確答案】（1）（2）（i）證明見(jiàn)解析，；（ii）存在，，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用待定系數(shù)法結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)即可求得雙曲線C的方程：（2）（i）設(shè)直線方程為，與雙曲線方程聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理，并結(jié)合條件進(jìn)行運(yùn)算，即可證明直線過(guò)定點(diǎn)；（ii）由，此時(shí)存在以為斜邊的直角三角形，從而可知存在定點(diǎn)為中點(diǎn)滿足，從而可求出點(diǎn)坐標(biāo)【小問(wèn)1詳解】由題意，雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為，可得，解得，所以雙曲線方程【小問(wèn)2詳解】證明：（i）由（1）知，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，，即，設(shè)，由韋達(dá)定理可得.因?yàn)?，所以，可得，即，即，整理得，即，即，可得，解得，將代?/p>