江蘇省蘇州市昆山周市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附答案）

江蘇省蘇州市昆山周市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.從6名同學(xué)中選出正、副組長(zhǎng)各1名，不同的選法種數(shù)是（）A.30種 B.11種 C.15種 D.35種【正確答案】A【分析】根據(jù)題意，從6名同學(xué)中選出正、副組長(zhǎng)各1名是個(gè)排列問題，可得答案.【詳解】由題意可得不同的選法種數(shù)是種.故選：A.2.已知函數(shù)滿足，則（）A. B.1 C. D.2【正確答案】B【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可得到結(jié)論.【詳解】由得，所以，解得.故選：B3.兩名輔導(dǎo)教師與3名獲獎(jiǎng)學(xué)生站成一排照相，要求2名教師分別站在兩側(cè)，則不同的站法共有（）種．A.6 B.12 C.60 D.120【正確答案】B【分析】?jī)?yōu)先考慮特殊位置，先排輔導(dǎo)老師，再排學(xué)生即可.【詳解】由題意，2名教師分別站在兩側(cè)，則，再排學(xué)生，，則不同的站法共有種.故選：B4.已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C.或 D.【正確答案】C【分析】由題設(shè)知處的切線斜率為2，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)幾何意義列方程求點(diǎn)的橫坐標(biāo)則P點(diǎn)可求.【詳解】由題直線的斜率為，故曲線在處的切線斜率為2，而，所以，則，即，故點(diǎn)的坐標(biāo)為或.故選：C.5.函數(shù)，的最小值是（）A. B. C.0 D.無最小值【正確答案】A【分析】求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性即可求最值.【詳解】因?yàn)?，，所以，，?dāng)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，，在上單調(diào)遞減，又，，，所以在上的最小值為.故選：A6.甲?乙?丙等七人相約到電影院看電影《長(zhǎng)津湖》，恰好買到了七張連號(hào)的電影票，若甲?乙兩人必須相鄰，且丙坐在七人的正中間，則不同的坐法的種數(shù)為（）A.240 B.192 C.96 D.48【正確答案】B【分析】分三步：先安排丙，再安排甲、乙，然后安排其他四人.【詳解】丙在正中間（4號(hào)位）；甲?乙兩人只能坐12，23或56，67號(hào)位，有4種情況，考慮到甲?乙的順序有種情況；剩下的4個(gè)位置其余4人坐有種情況；故不同的坐法的種數(shù)為.故選：B.7.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由題意可知，對(duì)任意的，，由參變量分離法可得，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的值域，即可得出實(shí)數(shù)的最小值.【詳解】由得，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則對(duì)任意的，，可得，令，其中，則對(duì)任意的恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，所以，，故的最小值為.故選：B.8.若存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意，成立，則稱是在區(qū)間上的“倍函數(shù)”．已知函數(shù)和，若是在的“倍函數(shù)”，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)“倍函數(shù)”定義可知，在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)并求出其在上的最小值即可得出的取值范圍是.【詳解】根據(jù)題意可得，存在實(shí)數(shù)，對(duì)于任意，恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則；當(dāng)，恒成立，所以在單調(diào)遞減，即，即即可所以的取值范圍是.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多頂符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選頂，每選對(duì)一個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)一個(gè)得2分9.如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則以下說法正確的為（）A.是函數(shù)的極值點(diǎn)B.函數(shù)在處取最小值C.函數(shù)在處切線的斜率小于零D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增【正確答案】AD【分析】結(jié)合圖象，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)情況，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系、極值點(diǎn)和最值定義以及導(dǎo)數(shù)幾何意義即可得解.【詳解】對(duì)于AD，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故AD正確；對(duì)于B，由A可知，在時(shí)取到最小值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由于，所以函數(shù)在處切線的斜率大于零，故C錯(cuò)誤.故選：AD10.一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的5個(gè)白球和2個(gè)黑球，下列說法正確的是（）A.從中取3個(gè)球，則不同的取法種數(shù)是；B.從中取2個(gè)球，則顏色不同的取法種數(shù)是10；C.從中取3個(gè)球，則顏色不同的取法種數(shù)是；D.從中取3個(gè)球，則顏色相同的種數(shù)是．【正確答案】ABD【分析】依題意由組合數(shù)公式及分步乘法原理計(jì)算可得.【詳解】根據(jù)題意，一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的個(gè)白球和個(gè)黑球，共個(gè)球，從中取個(gè)球，則有種取法，A選項(xiàng)正確；從中取2個(gè)球，則顏色不同的取法種數(shù)是，B選項(xiàng)正確；從中取3個(gè)球，則顏色不同的取法種數(shù)是，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；從中取3個(gè)球，則顏色相同種數(shù)是，D選項(xiàng)正確.故選：ABD．11.2024年3月，中華人民共和國(guó)全國(guó)人民代表大會(huì)與中國(guó)人民政治協(xié)商會(huì)議在北京召開（以下簡(jiǎn)稱“兩會(huì)”），兩會(huì)結(jié)束后，5名人大代表A，B，C，D，E站成一排合影留念，則下列說法正確的是（）A.若A與B相鄰，則有48種不同站法B.若C與D不相鄰，則有24種不同站法C.若B在E的左邊（可以不相鄰），則有60種不同站法D.若A不在最左邊，D不在最中間，則有78種不同站法【正確答案】ACD【分析】利用捆綁法求A與B相鄰的排法數(shù)，判斷選項(xiàng)A；利用插空法求C與D不相鄰的排法數(shù)，判斷選項(xiàng)B；根據(jù)倍縮法求B在E的左邊的排法數(shù)，判斷選項(xiàng)C；優(yōu)先考慮的位置，結(jié)合排列知識(shí)和兩大計(jì)數(shù)原理求A不在最左邊，D不在最中間的排法，判斷選項(xiàng)D.【詳解】若A與B相鄰，則有種不同站法，A正確；若C與D不相鄰，則有種不同站法，B錯(cuò)誤；若B在E的左邊（可以不相鄰），則有種不同站法，C正確；若A不在最左邊，D不在最中間，當(dāng)A排在最中間時(shí)，滿足條件的排法有種，當(dāng)A不排在最中間時(shí)，滿足條件的排法有種，故共有種不同排法，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分．12.將3張相同的消費(fèi)券分給9個(gè)人，每人至多分到1張，則不同的分法共有_______種．【正確答案】84【分析】依題意可得9人中有3人各得1張消費(fèi)券，利用組合數(shù)公式計(jì)算可得.【詳解】依題意可得9人中有3人各得1張消費(fèi)券，則不同的分法共有種．故84.13.已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax存在最大值0，則a＝________.【正確答案】【分析】先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，然后分類討論，根據(jù)單調(diào)性確定出函數(shù)在處取得最值，構(gòu)造出關(guān)于a的方程，求出a的值.【詳解】當(dāng)a≤0時(shí)，恒成立，即函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，不存在最大值；當(dāng)a＞0時(shí)，令，解得當(dāng)時(shí)，f′(x)＞0，函數(shù)f′(x)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，f′(x)＜0，函數(shù)f′(x)單調(diào)遞減.即：解得：故答案：本題考查了利用函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)中參數(shù)值的問題，屬于簡(jiǎn)單題，其中分類討論思想是解題的關(guān)鍵，注意分類標(biāo)準(zhǔn)的確定.14.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為_________．【正確答案】或【分析】由題意構(gòu)造，進(jìn)而在上是增函數(shù)，根據(jù)奇偶函數(shù)的定義判斷的奇偶性，原不等式等價(jià)于，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式即可.【詳解】令，則，由當(dāng)時(shí)，，所以，即在上是增函數(shù)，由題意是定義在上的偶函數(shù)，所以，所以，所以是偶函數(shù)，在遞減，所以，，即不等式等價(jià)為，所以，解得或．故或四、解答題：本題共5小題，共計(jì)77分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（1）解不等式：．（2）求證：．【正確答案】；證明見解析【分析】（1）根據(jù)排列數(shù)公式化簡(jiǎn)不等式，解不等式即可求解；（2）根據(jù)組合數(shù)公式證明即可.【詳解】（1）因?yàn)樗裕?，由，得：，化?jiǎn)得：，令，解得，，所以不等式的解集為，又因?yàn)椋曰?，所以不等式：的解集?（2）根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)有：，所以左邊右邊，等式得證.16.為了某次航天任務(wù)，準(zhǔn)備從8名預(yù)備隊(duì)員中（其中男4人，女4人）中選擇4人作為航天員參加該次任務(wù)．（1）若參加此次航天任務(wù)的航天員要求有男性也有女性，共有多少種選法？（結(jié)果用數(shù)字作答）（2）若選中的4名航天員需分配到A，B，C三個(gè)實(shí)驗(yàn)室去，其中每個(gè)實(shí)驗(yàn)室至少一名航天員，共有多少種選派方式？（結(jié)果用數(shù)字作答）【正確答案】（1）（2）【分析】（1）航天員要求有男性也有女性，先根據(jù)人數(shù)分類，再結(jié)合組合數(shù)公式用分步計(jì)數(shù)原理求解；（2）先選4名航天員，然后分為2，1，1的三組，然后分配到A，B，C實(shí)驗(yàn)室即可.【小問1詳解】由題意，分成3種情況討論：有1名女性，3名男性，共有種選法，有2名女性，2名男性，共有種選法，有3名女性，1名男性，共有種選法，所以共有種選法，即參加此次航天任務(wù)有男性也有女性的選法，共有68種選法；【小問2詳解】由題意，先選4名航天員，然后分為2，1，1的三組，然后分配到A，B，C實(shí)驗(yàn)室，共有種方法.所以每個(gè)實(shí)驗(yàn)室至少一名航天員，共有2520種選派方式.17.某學(xué)校高二年級(jí)一個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，決定對(duì)某“著名品牌”系列進(jìn)行市場(chǎng)銷售量調(diào)研，通過對(duì)該品牌的系列一個(gè)階段的調(diào)研得知，發(fā)現(xiàn)系列每日的銷售量（單位：千克）與銷售價(jià)格（元/千克）近似滿足關(guān)系式，其中，為常數(shù).已知銷售價(jià)格為6元/千克時(shí)，每日可售出系列15千克.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若系列的成本為4元/千克，試確定銷售價(jià)格的值，使該商場(chǎng)每日銷售系列所獲得的利潤(rùn)最大.【正確答案】（1）；（2）當(dāng)銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，系列每日所獲得的利潤(rùn)最大.【詳解】分析：（1）根據(jù)題意已知銷售價(jià)格為6元/千克時(shí)，每日可售出系列15千克.即可求出a得到解析式；（2）設(shè)該商場(chǎng)每日銷售系列所獲得利潤(rùn)為，然后根據(jù)利潤(rùn)計(jì)算式得出具體表達(dá)式，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)求最值思維求解即可.詳解：（1）有題意可知，當(dāng)時(shí)，，即，解得，所以.（2）設(shè)該商場(chǎng)每日銷售系列所獲得的利潤(rùn)為，則，，令，得或（舍去），所以當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，即時(shí)函數(shù)取得最大值.所以當(dāng)銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，系列每日所獲得的利潤(rùn)最大.點(diǎn)睛：考查函數(shù)表示，導(dǎo)函數(shù)最值的應(yīng)用，正確理解題意，寫出具體表達(dá)式，然后借助導(dǎo)數(shù)分析思維求解是解題關(guān)鍵，做此類題要有耐心，認(rèn)真審題，讀懂題意，屬于中檔題.18.已知函數(shù)（1）若函數(shù)在處取得極小值，求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）已知，且函數(shù)的極大值是1，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【正確答案】（1）；（2）答案見詳解；（3）答案見詳解.【分析】（1）求導(dǎo)，由題意可知，解得a，b，并驗(yàn)證即可；（2）求導(dǎo)，分，，三種情況討論即可；（3）由（2）可求出函數(shù)的極值，通過討論極值即可判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).【小問1詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極小值，所以，解得，此時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，取到極小值，符合題意.所以.【小問2詳解】，令，則或，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問3詳解】由（2）可知，當(dāng)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到極大值，即，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到極小值，即，當(dāng)即時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)即時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)即時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn).19.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線平行，求函數(shù)的極值；（2）若，對(duì)于任意，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【正確答案】（1）極小值為，極大值為（2）【分析】（1）首先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，列式求參數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的極值；（2）首先不等式變形