山東省泰安市第二中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)含解析

山東省泰安市第二中學(xué)20232024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、選擇題（每題5分，共40分）1.若函數(shù)$f(x)=\sqrt{3x^22x+1}$在$x=1$處取得最小值，則該函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢.$x\geq1$B.$x\leq1$C.$x>1$D.$x<1$2.已知集合$A=\{x|x^23x+2\leq0\}$和集合$B=\{x|x<3\}$，則$A\capB$的元素個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.43.已知數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=n^2+2n$，則數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為（）A.$a_n=2n+1$B.$a_n=2n1$C.$a_n=2n$D.$a_n=n^2$4.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$P(x,y)$滿足$x^2+y^2=1$，則$x+y$的取值范圍是（）A.$[\sqrt{2},\sqrt{2}]$B.$[1,1]$C.$[\sqrt{3},\sqrt{3}]$D.$[2,2]$5.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=3n^2+2n$，則數(shù)列$\{a_n\}$的公差為（）A.6B.5C.4D.36.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$在區(qū)間$[0,1]$上是增函數(shù)，則$f(x)$在區(qū)間$[1,2]$上是（）A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.常數(shù)函數(shù)D.無法判斷7.已知$x,y$是方程$x^24x+3=0$的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則$x^2+y^2$的值為（）A.4B.5C.6D.78.已知$f(x)=x^33x+2$，若$f(a)=0$，則$f'(a)$的值為（）A.1B.0C.1D.2二、填空題（每題5分，共20分）9.已知函數(shù)$f(x)=\log_2(x^23x+2)$的定義域?yàn)?[a,b]$，則$a+b$的值為__________。10.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=2n^2+3n$，則數(shù)列$\{a_n\}$的公差為__________。11.已知函數(shù)$f(x)=x^22x+3$，若$f(x)\geq0$，則$x$的取值范圍是__________。12.已知直線$l:y=mx+2$與圓$x^2+y^2=4$相切，則$m$的值為__________。三、解答題（共40分）13.（10分）已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x+1}$，求$f(x)$的單調(diào)區(qū)間。14.（10分）已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=5n^23n$，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式。15.（10分）已知函數(shù)$f(x)=x^33x^2+2x$，求$f(x)$的極值。16.（10分）已知直線$l:y=kx+1$與圓$x^2+y^2=4$相交于兩點(diǎn)$A$和$B$，求線段$AB$的長度。解析部分：一、選擇題解析1.根據(jù)題意，函數(shù)$f(x)=\sqrt{3x^22x+1}$在$x=1$處取得最小值，說明$3x^22x+1$在$x=1$處取得最小值，且最小值非負(fù)。因?yàn)?3x^22x+1$是一個(gè)開口向上的二次函數(shù)，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(\frac{2a},f(\frac{2a}))$。計(jì)算得$a=3,b=2$，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$。由于$f(x)$的最小值非負(fù)，所以$f(\frac{1}{3})\geq0$，即$\frac{2}{3}\geq0$，因此$f(x)$的定義域?yàn)?x\geq\frac{1}{3}$，即選項(xiàng)A正確。2.集合$A$的解為$x^23x+2\leq0$，解得$x\in[1,2]$；集合$B$的解為$x<3$。因此，$A\capB$的解為$x\in[1,2]$，元素個(gè)數(shù)為2，即選項(xiàng)B正確。3.已知數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=n^2+2n$，則$a_n=S_nS_{n1}=(n^2+2n)[(n1)^2+2(n1)]=2n+1$，即選項(xiàng)A正確。4.點(diǎn)$P(x,y)$滿足$x^2+y^2=1$，即$P$在單位圓上。根據(jù)圓的參數(shù)方程，$x=\cos\theta,y=\sin\theta$，則$x+y=\cos\theta+\sin\theta$。由于$1\leq\cos\theta,\sin\theta\leq1$，所以$2\leq\cos\theta+\sin\theta\leq2$，即選項(xiàng)D正確。5.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=3n^2+2n$，則$a_n=S_nS_{n1}=(3n^2+2n)[3(n1)^2+2(n1)]=6n1$。因此，數(shù)列$\{a_n\}$的公差為$d=a_2a_1=(6\times21)(6\times11)=5$，即選項(xiàng)B正確。6.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$在區(qū)間$[0,1]$上是增函數(shù)，說明$f'(x)>0$在該區(qū)間上恒成立。計(jì)算得$f'(x)=\frac{2x}{(x^2+1)^2}$，在$[0,1]$上$f'(x)<0$，因此$f(x)$在區(qū)間$[1,2]$上是減函數(shù)，即選項(xiàng)B正確。7.已知$x,y$是方程$x^24x+3=0$的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則$x+y=4$，$xy=3$。根據(jù)$x^2+y^2=(x+y)^22xy$，代入得$x^2+y^2=4^22\times3=10$，即選項(xiàng)C正確。8.已知$f(x)=x^33x+2$，則$f'(x)=3x^23$。若$f(a)=0$，則$a^33a+2=0$。由于$f'(a)=0$，說明$3a^23=0$，解得$a=1$或$a=1$。分別代入$f'(a)$，得$f'(1)=0$，$f'(1)=0$，因此$f'(a)$的值為0，即選項(xiàng)B正確。二、填空題解析9.函數(shù)$f(x)=\log_2(x^23x+2)$的定義域?yàn)?x^23x+2>0$，解得$x\in(\infty,1)\cup(2,+\infty)$。因此，$a=\infty,b=+\infty$，$a+b=\infty++\infty$，由于無窮大和無窮小的和無法確定，因此此題無解。10.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=2n^2+3n$，則$a_n=S_nS_{n1}=(2n^2+3n)[2(n1)^2+3(n1)]=4n+1$。因此，數(shù)列$\{a_n\}$的公差為$d=a_2a_1=(4\times2+1)(4\times1+1)=5$。11.已知函數(shù)$f(x)=x^22x+3$，若$f(x)\geq0$，則$x^22x+3\geq0$。計(jì)算得$x^22x+3=(x1)^2+2$，因此$f(x)\geq2$。所以$x$的取值范圍是$(\infty,+\infty)$。12.已知直線$l:y=mx+2$與圓$x^2+y^2=4$相切，則圓心到直線的距離等于半徑。計(jì)算得圓心$(0,0)$到直線$l$的距離為$d=\frac{|0+2|}{\sqrt{m^2+1}}=2$，解得$m=\pm\sqrt{3}$。三、解答題解析13.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x+1}$的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=\frac{1}{(x+1)^2}$。由于$f'(x)<0$，說明$f(x)$在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)遞減。14.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=5n^23n$，則$a_n=S_nS_{n1}=(5n^23n)[5(n1)^23(n1)]=10n8$。15.函數(shù)$f(x)=x^33x^2+2x$的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=3x^26x+2$。令$f'(x)=0$，解得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$。計(jì)算得$f(1)=0$，$f(\frac{2}{3})=\frac{2}{27}$。因此，$f(x)$的極大值為$\frac{2}{27}$，極小值為0。16.已知直線$l:y=kx+1$與圓$x^2+y^2=4$相交于兩點(diǎn)$A$和$B$，則線段$AB$的長度等于圓的直徑。由于圓的半徑為2，所以$AB=2\times2=4$。一、選擇題答案1.A2.B3.B4.A5.C6.D7.C8.B二、填空題答案9.210.111.312.4三、解答題答案13.解：函數(shù)f(x)=sqrt(3x^22x+1)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x1。令f'(x)=0，解得x=1/3。因此，函數(shù)在x=1/3處取得極值。由于f''(x)>0，說明此極值為最小值。14.解：已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=3n^22n，則an=SnSn1=(3n^22n)[3(n1)^22(n1)]=6n5。15.解：函數(shù)f(x)=x^33x^2+2x的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x^26x+2。令f'(x)=0，解得x=1或x=2/3。計(jì)算得f(1)=0，f(2/3)=22/27。因此，f(x)的極大值為22/27，極小值為0。16.解：直線l:y=kx1與圓x^2+y^2=4相切，則圓心到直線的距離等于半徑。計(jì)算得圓心(0,0)到直線l的距離為d=|01|/sqrt(k^2+1)=2，解得k=±sqrt(3)。1.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。示例：選擇題第1題考查了函數(shù)的極值問題，解答題第13題涉及導(dǎo)數(shù)求解極值。2.數(shù)列與數(shù)列求和知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和公式。示例：選擇題第3題和解答題第14題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和問題。3.解析幾何知識(shí)點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系、圓的方程、點(diǎn)到直線的距離。示例：選擇題第6題和解答題第16題涉及直線與圓的切線問題。4.不等式與方程知識(shí)點(diǎn)：一元二次不等式、不等式的解法。示例：選擇題第2題考查了一元二次不等式的解法。5.函數(shù)的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性