統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制(spc)與休哈特控制圖(二)

統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制（SPC）與休哈特控制圖（二）

第五章休哈特控制圖

一、特控制圖的種類及其用途

國(guó)標(biāo)GB4091常規(guī)控制圖是針對(duì)休哈特控制圖的。根據(jù)該國(guó)標(biāo)，常規(guī)休哈特控制圖如表常規(guī)的休

哈特控制圖。表中計(jì)件值控制圖與計(jì)點(diǎn)值控制圖又統(tǒng)稱計(jì)數(shù)值控制圖。這些控制圖各有各的用途，

應(yīng)根據(jù)所控制質(zhì)量指標(biāo)的情況和數(shù)據(jù)性質(zhì)分別加以選擇。常規(guī)的休哈特控制圖表中的二項(xiàng)分布和泊

松分布是離散數(shù)據(jù)場(chǎng)合的兩種班型分布，它們超出3。界限的第I類錯(cuò)誤的概率。當(dāng)然未必恰巧等

于正態(tài)分布3。界限的第1類錯(cuò)誤的概率a=0.0027,但無(wú)論如何總是個(gè)相當(dāng)小的概率。因此，可以應(yīng)

用與正態(tài)分布情況類似的論證，從而建立p、pn、c、u等控制圖。

常規(guī)的休哈特控制圖

數(shù)據(jù)分布控制圖簡(jiǎn)記

計(jì)址值正態(tài)分布均值-極差控制圖

“一R控制圖

均值-標(biāo)準(zhǔn)差擰制圖

X-R控制圖

中位數(shù)-極差控制圖Xmed-R控制圖

單值-移動(dòng)極差控制圖x-Rs控制圖

計(jì)件值二項(xiàng)分布不合格品率控制圖P控制圖

不合格品數(shù)控制圖Pn控制圖

計(jì)點(diǎn)值泊松分布單位缺陷數(shù)控制圖U控制圖

缺陷數(shù)控制圖C控制圖

現(xiàn)在簡(jiǎn)單說(shuō)明各個(gè)控制圖的用途:

1.X-R控制圖。對(duì)于計(jì)量值數(shù)據(jù)而言，這是最常用最基本的控制圖。它用于控制對(duì)象為長(zhǎng)度、

重量、強(qiáng)度、純度、時(shí)間和生產(chǎn)量等計(jì)量值的場(chǎng)合。

X控制圖主要用于觀察分布的均值的變化,R控制圖用于觀察分布的分散情況或變異度的變化,

而不一R圖則將二者聯(lián)合運(yùn)用，用于觀察分布的變化。

2.文一s控制圖與x—R圖相似，只是用標(biāo)掂差圖（s圖）代替極差圖（R圖）而己。極差計(jì)算簡(jiǎn)便,

故R圖得到廣泛應(yīng)用，但當(dāng)樣本大小n>10或口，這時(shí)應(yīng)用極差估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差。的效率減低，需要應(yīng)

用s圖來(lái)代替R圖。

3.X.MED-R控制圖與工一R圖也很相似,只是用中位數(shù)圖（XMED圖）代替均值圖（工圖）。所謂中

位數(shù)即指在一組按大小順序排列的數(shù)列中居中的數(shù)。例如,在以下數(shù)列中2、3、7、13、18,中位數(shù)

為17。又如，在以下數(shù)列中2、3、7、9、13、18,共有偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)。這時(shí)中位數(shù)規(guī)定為中間兩個(gè)數(shù)的

7+9

均值。在本例即2=8。由于中位數(shù)的計(jì)算比均值簡(jiǎn)單,所以多用于現(xiàn)場(chǎng)需要把測(cè)定數(shù)據(jù)直接記入

控制圖進(jìn)行控制的場(chǎng)合,這時(shí)為了簡(jiǎn)便，當(dāng)然規(guī)定為奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)。

4.x—Rs控制圖。多用于下列場(chǎng)合:對(duì)每一個(gè)產(chǎn)品都進(jìn)行檢驗(yàn),采用自動(dòng)化檢查和測(cè)量的場(chǎng)合;

取樣費(fèi)時(shí)、昂貴的場(chǎng)合；以及如化工等過(guò)程，樣品均勻，多抽樣也無(wú)太大意義的場(chǎng)合。由于它不像前

三種控制圖那樣能取得較多的信息，所以它判斷過(guò)程變化的靈敏度?要差一些。

5.P控制圖。用于控制對(duì)象為不合格品率或合格品率等計(jì)數(shù)值質(zhì)量指標(biāo)的場(chǎng)合。這里需要注意

的是，在根據(jù)多種檢杳項(xiàng)目總合起來(lái)確定不合格品率的情況，當(dāng)控制圖顯示異常后難以找出異常的

原因。因此，使用p圖時(shí)應(yīng)選擇重要的檢查項(xiàng)目作為判斷不合格品的依據(jù)。常見(jiàn)的不良率有不合格

品率、廢品率、交貨延遲率、缺勤率，郵電、鐵道部門(mén)的各種差錯(cuò)率等等。

6.Pn控制圖。用于控制對(duì)象為不合格品數(shù)的場(chǎng)合。設(shè)n為樣本大小-戶為不合格品率,則t為不

合格品個(gè)數(shù)。所以取pn作為不合格品數(shù)控制圖的簡(jiǎn)記記號(hào)。由于計(jì)算不合格品率需進(jìn)行除法，比較

麻煩,所以在樣本大小相同的情況下，用此圖比校方便。

7.c控制圖。用于控制一部機(jī)器,一個(gè)部件,一定的長(zhǎng)度，一定的面枳或任何一定的單位中所出現(xiàn)

的缺陷數(shù)目。如布匹上的疵點(diǎn)數(shù),鑄件上的砂眼數(shù),機(jī)器設(shè)備的缺陷數(shù)或故障次數(shù)，傳票的誤記數(shù),每

頁(yè)印刷錯(cuò)誤數(shù)，辦公室的差錯(cuò)次數(shù)等等。

8.u控制圖。當(dāng)上述一定的單位,也即樣品的大小保持不變時(shí)可以應(yīng)用c控制圖，而當(dāng)樣品的大

小變化時(shí)則應(yīng)換算為平均每單位的缺陷數(shù)后再使用U控制圖。例如,在制造厚度為21M的鋼板的生

產(chǎn)過(guò)程中，一批樣品是2平方米的，下一批樣品是3平方米的。這時(shí)就都應(yīng)換算為平均每平方米的缺

陷數(shù)，然后再對(duì)它進(jìn)行控制。

二、應(yīng)用控制圖需要考慮的一些問(wèn)題

應(yīng)用控制圖需要考慮以下一些問(wèn)題：

1.控制圖用于何處?原則上講,對(duì)于任何過(guò)程，凡需要對(duì)質(zhì)量進(jìn)行控制管理的場(chǎng)合都可以應(yīng)用控

制圖。但這里還要求:對(duì)于所確定的控制對(duì)象一質(zhì)量指標(biāo)應(yīng)能夠定量，這樣才能應(yīng)用計(jì)量值控制圖。

如果只有定性的描述而不能夠定量,那就只能應(yīng)用計(jì)數(shù)值控制圖.所控制的過(guò)程必須具有重復(fù)性,即

具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律。對(duì)于只有一次性或少數(shù)幾次的過(guò)程顯然難于應(yīng)用控制圖進(jìn)行控制。

2.如何選擇控制對(duì)象?在使用控制圖時(shí)應(yīng)選擇能代表過(guò)程的主要質(zhì)量指標(biāo)作為控制對(duì)象。一個(gè)

過(guò)程往往具有各種各樣的特性,需要選擇能夠真正代表過(guò)程情況的指標(biāo)。例如,假定某產(chǎn)品在強(qiáng)度方

面有問(wèn)題，就應(yīng)該選擇強(qiáng)度作為控制對(duì)象。在電動(dòng)機(jī)裝配車間，如果對(duì)于電動(dòng)機(jī)軸的尺寸要求很高，

這就需要把機(jī)軸直徑作為我們的控制對(duì)象。在電路板沉銅缸就要選擇甲醛、NaOH、的濃度以及

沉銅速率作為多指標(biāo)統(tǒng)一-進(jìn)行控制。

3.怎樣選擇控制圖？選擇控制圖主要考慮下列幾點(diǎn)：首先根據(jù)所控制質(zhì)量指標(biāo)的數(shù)據(jù)性質(zhì)來(lái)進(jìn)

行品，如數(shù)據(jù)為連續(xù)值的應(yīng)選擇X—R、工一s、XME1)一Rs或x—Rs圖；數(shù)據(jù)為計(jì)件值的應(yīng)選擇p

或pn圖，數(shù)據(jù)為計(jì)點(diǎn)值的應(yīng)選擇c或u圖。其次,要確定過(guò)程中的異常因素是全部加以控制（全控）

還是部分加以控制（選控），若為全控應(yīng)采用休哈特圖等;若為選控,應(yīng)采用選控圖，參見(jiàn)第七章（一）；

若為單指標(biāo)可選擇一元控制圖，若為多指標(biāo)則須選擇多指標(biāo)控制圖，參見(jiàn)第七章（二）。最后,還需要

考慮其他要求，如檢出力大小，抽取樣品、取得數(shù)據(jù)的難易和是否經(jīng)濟(jì)等等。例如要求檢出力大可采

用成組數(shù)據(jù)的控制圖，如大一R圖。

4.如何分析控制圖？如果在控制圖中點(diǎn)子未出界，同時(shí)點(diǎn)子的排列也是隨機(jī)的，則認(rèn)為生產(chǎn)過(guò)程

處于穩(wěn)定狀態(tài)或控制狀態(tài)。，如果控制圖點(diǎn)子出界或界內(nèi)點(diǎn)排列非隨機(jī)，就認(rèn)為生產(chǎn)過(guò)程失控。

對(duì)于應(yīng)用控制圖的方法還不夠熟悉的工作人員來(lái)說(shuō),即使在控制圖點(diǎn)子出界的場(chǎng)合,也首先應(yīng)該

從下列幾方面進(jìn)行檢查:樣品的取法是否隨機(jī),數(shù)字的讀取是否正確，計(jì)算有無(wú)錯(cuò)誤，描點(diǎn)有無(wú)差錯(cuò)，

然后再來(lái)調(diào)查生產(chǎn)過(guò)程方面的原因,經(jīng)驗(yàn)證明這點(diǎn)十分重要。

5.對(duì)于點(diǎn)子出界或違反其他準(zhǔn)則的處理。若點(diǎn)子出界或界內(nèi)點(diǎn)排列非隨機(jī),應(yīng)執(zhí)行第二章（五）

的20個(gè)字，立即追查原因并采取措施防止它再次出現(xiàn)。應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出，正是執(zhí)行了第二章（五）的

20個(gè)字，才能取得貫徹預(yù)防原則的作用。因此,若不執(zhí)行這20個(gè)字,就不如不搞控制圖，

6.對(duì)于過(guò)程而言，控制圖起著告警鈴的作用，控制圖點(diǎn)子出界就好比告警鈴響，告訴現(xiàn)在是應(yīng)該

進(jìn)行查找原因、采取措施、防止再犯的時(shí)刻了。雖然有些控制圖，如X—R控制圖等,積累長(zhǎng)期經(jīng)驗(yàn)

后，根據(jù)工圖與R圖的點(diǎn)子出界情況，有時(shí)可以大致判斷出是屬于哪方面的異常因素造成的，但一般

來(lái)說(shuō),控制圖只起告警鈴的作用，而不能告訴這種告警究竟是由什么異常因素造成的。要找出造成異

常的原因，除去根據(jù)生產(chǎn)和管理方面的技術(shù)與經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決外,應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出，應(yīng)用兩種質(zhì)量診斷理論

和兩種質(zhì)量多元診斷理論來(lái)診斷的方法是十分重要的。有關(guān)內(nèi)容參見(jiàn)第七章。

7.控制圖的重新制定?？刂茍D是根據(jù)穩(wěn)定狀態(tài)卜的條件（人員、設(shè)備、原材料、工藝方法、壞

境，即4M1E）來(lái)制定的。如果上述條件變化,如操作人員更換或通過(guò)學(xué)習(xí)操作水平顯著提高，設(shè)備更新,

采用新型原材料或其他原材料，改變工藝參數(shù)或采用新工藝，環(huán)境改變等,這時(shí),控制圖也必須重新

加以制定。由于控制圖是科學(xué)管理生產(chǎn)過(guò)程的重要依據(jù)，所以經(jīng)過(guò)相當(dāng)時(shí)間的使用后應(yīng)重新抽取數(shù)

據(jù)，進(jìn)行計(jì)算,加以檢驗(yàn)。

8.控制圖的保管問(wèn)題，控制圖的計(jì)算以及日常的記錄都應(yīng)作為技術(shù)資料加以妥善保管。對(duì)于點(diǎn)

子出界或界內(nèi)點(diǎn)排列非隨機(jī)以及當(dāng)時(shí)處理的情況都應(yīng)予以記錄，因?yàn)檫@些都是以后出現(xiàn)異常時(shí)查找

原因的重要參考資料。有了長(zhǎng)期保存的記錄，便能對(duì)該過(guò)程的質(zhì)量水平有清楚的了解,這對(duì)于今后在

產(chǎn)品設(shè)計(jì)和制定規(guī)格方面是十分有用的。

三、工-R（均值-極差）控制圖

對(duì)于計(jì)量值數(shù)據(jù)，工一R（均值一極差）控制圖是最常用、最重要的控制圖，因?yàn)樗哂邢铝袃?yōu)點(diǎn)：

1.適用范圍廣。對(duì)于工圖而言，計(jì)量值數(shù)據(jù)x服從正態(tài)分布是經(jīng)常出現(xiàn)的。若x非正態(tài)分布，則

當(dāng)樣本大小n<4或5時(shí)，根據(jù)中心極限定理知道x近似正態(tài)分布。對(duì)于R圖而言，通過(guò)在電子計(jì)算

機(jī)上的統(tǒng)計(jì)模擬實(shí)驗(yàn)證實(shí):只要總體分布不是太不對(duì)稱的,R的分布沒(méi)有大的變化。這就從理論上說(shuō)

明了x-R圖適用的范圍廣泛。

2.靈敏度高。％圖的統(tǒng)計(jì)量為均值L反映在x上的偶然波動(dòng)是隨機(jī)的，通過(guò)均值的平均作用，

這種偶然波動(dòng)得到一定程度的抵消；而反映在x上的異常波動(dòng)往往是在同一個(gè)方向的,它不會(huì)通過(guò)均

值的平均作用抵消。因此、正圖檢出異常的能力高。至于R圖的靈敏度則不如x圖高。

現(xiàn)在說(shuō)明一下彳一R圖的統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)，假定質(zhì)量特性服從正態(tài)分布N(u,O"),且u,1均已知。若

xl,x2,...,xn是大小為n的樣本,則樣本均值為

xl+x2+…+初

x=n

由于X服從正態(tài)分布N(p,O'/n),并且樣本均值落入下列兩個(gè)界限

o

u-ZQ/2-Za/2Jn(5.3-la)

o

U+ZaZ2=四+Za/24^⑸3-lb)

間的概率為1-a。因此若N與o已知，則式⑸3Ta)與式⑸37b)可分別作為樣本均值的控制圖的上

下控制界限。如前述,通常取Za/2=3,即采用3?？刂平缦?。當(dāng)然，即使x的分布是非正態(tài)的,但由于

中心極限定理,上述結(jié)果也近似成立。

在實(shí)際工作中，U與。通常未知，這時(shí)就必須應(yīng)用從穩(wěn)態(tài)過(guò)程所取的預(yù)備樣本的數(shù)據(jù)對(duì)它們進(jìn)

行估計(jì)。預(yù)備樣本通常至少取25個(gè)(根據(jù)判穩(wěn)準(zhǔn)則(2),最好至少取35個(gè)預(yù)備樣本)。設(shè)取m個(gè)樣本,

每個(gè)樣本包含n個(gè)觀測(cè)值。樣本大小n主要取決于合理分組的結(jié)構(gòu),抽樣與檢查的費(fèi)用,參數(shù)估計(jì)的

效率等因素,n通常取為4,5或6。令所取的m個(gè)樣本的均值分別為儲(chǔ)，???,?、,則過(guò)程的U的最

佳估計(jì)量”為總均值工，即

————.

U=R=(X,+X2+>e+xr)/m(5.3-2)

于是x可作為x圖的中心線。

為了建立控制界限，需要估計(jì)過(guò)程的標(biāo)準(zhǔn)差?？梢愿鶕?jù)m個(gè)樣本的極差或標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)進(jìn)行估計(jì)。

應(yīng)用極差進(jìn)行估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)是極差計(jì)算簡(jiǎn)單,所以至今R圖的應(yīng)用較s圖為廣。

現(xiàn)在討論極差法。設(shè)Xl,X2,...,Xn為一大小為n的樣本,則此樣本的極差R為最大觀測(cè)值Xmax與最

小觀測(cè)值Xmin之差，即

R=Xmax-Xmin(5.3-3)

若樣本取自正態(tài)總體，可以證明樣本極差R與總體標(biāo)準(zhǔn)差O有下列關(guān)系：令歸R/。,可以證明

E(W);d2,為一與樣本大小n有關(guān)的常數(shù),于是,o的估計(jì)量為。=E(R)/d2。

令m個(gè)樣本的極差為RI,R2,...,Rm,則樣本平均極差為

R\4-R2+...+Rm

R=團(tuán)(5.3-4)

故。的估計(jì)量為

0=E(R)/d2(5.3-5)

若樣本大小n較小,則用極差法估計(jì)總體方差與用樣本方差去估計(jì)總體方差的效果是一樣的。

但當(dāng)n較大,如n>10或12,則由于極差沒(méi)有考慮樣本在Xnax與Xmin之間的觀測(cè)值的信息,故極差法的

效率迅速降低。但在實(shí)際工作中，X-R圖一般取n=4,5或6,所以極差法是令人滿意的。

若取H的估計(jì)量為％,0的估計(jì)量為E(R)/d2,則入圖的控制線為

o0

UCL”+3?=x+3R、

R=X+AI

CL=ux(5.3-6)I

oo

LCL印-3五R=x-A2R>

式中

o

Ai=3dl4n(5.3—7)

為一與樣本大小n有關(guān)的常數(shù),參見(jiàn)附錄V計(jì)量值控制圖系數(shù)表。

由上述，已知樣本極差R與過(guò)程標(biāo)準(zhǔn)差o有關(guān),因此可以通過(guò)R來(lái)控制過(guò)程的變異度,這就是R

圖1。R圖的中心線即UR=為了確定R圖的控制界限，需要對(duì)。R進(jìn)行估計(jì)。若質(zhì)量特性服從正態(tài)

分布，令w:R/o,可以證明(JW=d3(d3為-"與樣本大小n有關(guān)的常數(shù))，于是從R二No知知CR=。wo=d3o。

由于。未知，故從式°=E(R)/d2得8的估計(jì)量為

0=d3A/d2(5.3-8)

根據(jù)上述,得到R圖的控制線如下

—8

UCL=%+3°R弋%+35=R+3d3R/d2、

CL=&U"=R(5.3-9)”

LCL=%-30R光戰(zhàn)-35=R-3d3R/d2

4*D3=l-3d3/d2,D4=l+3d3/d2,則代入上式后，得R圖的控制線為

UCL=D?耳、

CL二R(5.3-10)I

LC［尸DR

式中，系數(shù)D3、D4參見(jiàn)計(jì)量值控制圖系數(shù)表。

現(xiàn)在我們通過(guò)例子說(shuō)明建立刀一R圖的步驟,其他控制圖的建立步驟也與此類似。

例5.3-1廠方要求對(duì)汽車引擎活塞環(huán)的制造過(guò)程建立x—R控制圖進(jìn)行控制?，F(xiàn)取得25個(gè)樣

本，每個(gè)樣本包含5個(gè)活塞環(huán)的直徑的觀測(cè)值，如活塞環(huán)直徑的數(shù)據(jù)表所示。

解我們按下列步驟進(jìn)行。

步驟1:取預(yù)備數(shù)據(jù)。已取得預(yù)備數(shù)據(jù)如活塞環(huán)直徑的數(shù)據(jù)表所示。

步驟2:計(jì)算樣本均值X。例如,對(duì)于第一個(gè)樣本,我們有

74.030+74.002十74019十73.992十74.008

工1=5=74.010

其余類推。

步驟3:計(jì)算樣本極差Ro例如,對(duì)于第一個(gè)樣本,xinax=74.030,xmin=73.992,于是有

Rl=74.030-73.992=0.058

其余類推。

活塞環(huán)直徑的數(shù)據(jù)

樣本序號(hào)觀測(cè)值門(mén)Ri

174.03074.00274.01973.99274.00874.0100.038

273.99573.99274.00174.00174.01174.0010.019

373.98874.02474.02174.00574.00274.0080.036

474.00273.99673.99374.01574.00974.0030.022

573.99274.00774.01573.98974.01574.0030.026

674.00973.99473.99773.98574.01473.9960.024

773.99574.00673.99473.00073.00574.0000.012

873.98574.00373.99374.01573.98873.9970.030

974.00873.99574.00974.00574.00474.0040.014

1073.90S74.0007S.99()74.00773.99573.90S0.017

1173.99473.99873.99473.99573.99073.9940.008

1274.00474.00074.00774.00073.99674.0010.011

1373.98374.00273.99873.99974.00774.0060.029

1474.00673.96773.99474.00073.98473.9900.039

1574.01274.01474.99873.99974.00774.0060.016

1674.00073.98474.00573.99873.99673.9970.021

1773.99474.01273.98674.00574.00774.0010.026

1874.()0674.01074.01874.00374.00074.007().018

1973.98474.00274.00374.00573.99773.9980.021

2074.00074.01074.01374.02074.00374.0070.018

2173.99874.01074.01374.02074.00374.0090.020

2274.00473.99973.99074.00674.00974.0020.019

2374.01073.98973.99074.00974.01474.0020.025

2474.01574.00873.99374.00074.01074.0050.022

2573.98273.98473.99574.01774.01373.9980.035

小計(jì)1850.0240.581

平均74.0010.023

2525

汴

步驟4:計(jì)算樣本總均值％與平均樣本極差乂

.由于M=1850.024,?='=0.581,

故

1Vw1850.024

x=25/=i=25=74.001

10.581

-=25i=i=25=o.023

步驟5:計(jì)算R圖與x圖的控制線。計(jì)算x—R圖應(yīng)該從R圖開(kāi)始，因?yàn)閤圖的控制界限中包含元,

所以若過(guò)程的變異度失控:則計(jì)算出來(lái)的這些控制界限就沒(méi)有多大意義。

對(duì)于樣本大小n=5,從附錄V查得D3=0,D4=2.115,又從步驟4知R=0.023,于是代入式(5.3T0)后,

得到R圖的控制線為

UCL=DR

4=2.115(0.023)=0.049

CL=R=O.023

LQ產(chǎn)03R=0(0.023)=0

如x—R控制圖所示。

事實(shí)上,LCL=D3R=(l-3d2/d3)R,當(dāng)n=5,l-3d2/d3=1-3(0.864)/2.326=-0.114為負(fù)值，但R

不可能為負(fù)，故此時(shí)LCL不存在。這里,LCL=0不過(guò)作為R的自然下界而已。當(dāng)把25個(gè)預(yù)備樣本的極

差描點(diǎn)在R圖中后，根據(jù)判斷穩(wěn)態(tài)的準(zhǔn)則(1)知過(guò)程的變異度處于控制狀態(tài)。

于是可以建立X圖。

圖3,5.3-1例3.5.3—1的w-R控制圖

對(duì)于樣本大小n=5,從附錄V查得A2=0.577,又從步驟4知％=74.001,R=0.023,于是

0o

代入式UCL=p+3冊(cè)%x+3d2&R=x+A2R、

CL=u*工>

oo

LCL=|i-3x-3dl4nR=X-AIR>

后，得到x圖的控制線為

UCL=X+AR=74.001+0.577(0.023)=74.014

CL=^=74.001

LCI產(chǎn)x-AR=74.o()1—0.577(0.023)=73.988

如圖(工-R控制圖)所示,當(dāng)把預(yù)備樣本的均值描點(diǎn)在工圖中后，根據(jù)判斷穩(wěn)態(tài)的準(zhǔn)則⑴知過(guò)程的

均值處于穩(wěn)態(tài)。由于工圖和R圖都處于統(tǒng)計(jì)穩(wěn)態(tài),且從該廠知過(guò)程也處于技術(shù)穩(wěn)態(tài)，于是上述x-R圖

表例中F-R圖的日常管理數(shù)據(jù)

樣K序號(hào)觀身與K

?74.01274.0157403C7398674.000。4.儂0')44

273.99574.0107399C7401574.00174.0020025

373.98773.99973.98574CCO73990-3.9920DL5

4X.008749074.CC673.991400674.30.019

574.003UOOO74.CC172.986”3.99773K970.017

S75.99-”.00374.01574.02074.00474.C070026

7

74.00874.00274.C1S73.99574,00574.C060023

37400174.00473.99073.95673.99873.S980.0114??

974.01574,00074.01574.02574.00074.C110025

1074.03074.03574.0CO74.0167401274.C13003C

11Z.0(il73.9903.99574.0107402474.CC40034

1274.01574,02374.02474.0057401974.0170019

1374.0357401074.01274.0157402574.0200025

1474.on7401374.03674.02574.02674.0230023

1574.01C740D574.92974.CC074.02074.0150029

可加以延長(zhǎng),作為控制用控制圖供日常管理之用。

步驟6:延長(zhǎng)上述X-R圖的控制界限作控制用控制圖。為了進(jìn)行日常管理，該廠又取了15個(gè)樣

本，參見(jiàn)工一R圖的日常管理數(shù)據(jù)表。在計(jì)算出各個(gè)樣本的工與R后在工一R圖描點(diǎn)，如工一R圖用

于日常管理圖所示。從圖中可見(jiàn)，x圖在第11個(gè)樣本后的幾個(gè)點(diǎn)子均出界，說(shuō)明存在異常因素。事

實(shí)上,從x圖上第9、第10個(gè)點(diǎn)子后的點(diǎn)子逐漸上升的趨勢(shì)已可看出這是由于過(guò)程均值逐漸增大的

結(jié)果。

例中3一R圖用于日常管理

現(xiàn)在對(duì)X-R圖進(jìn)行一些討論:

1.如何聯(lián)合應(yīng)用x—R圖查找異常。如表(X-R圖的判斷)所示,表中情況一、二、四的判斷

2-

是成立的，至于情況三，現(xiàn)在說(shuō)明如下：對(duì)于正態(tài)分布總體N(p,0),只有H變化而。不變，則在X圖

將由于描點(diǎn)出界的概率增大而告警;但若只有。變化,而H不變,這時(shí)不僅R圖將由于描點(diǎn)出界的概

率增大而告警，且x圖中描點(diǎn)出界的概率也增大,從而也會(huì)告警。所以在情況三,R圖告警可以判斷o

變化,而工圖同時(shí)告警則不能判斷p一定發(fā)生變化，因?yàn)橛锌赡苁怯捎?。變化引起的，卜i是否發(fā)生變化

應(yīng)視具體情況而定。

X—R圖的判斷

情況R圖判斷

X圖

—告警未告警u變化

二未告警告警。變化

三告警告警。變化,至于R變化是否發(fā)生應(yīng)視具體情況而定

四未告警未告警正常

圖3.5.3-3容差圖

2.容差圖。在X圖上的描點(diǎn)是樣木的平均值X而非樣木的各個(gè)測(cè)量值x,有時(shí)將樣本中的逐個(gè)x

反映在規(guī)格界限的容差圖中是有用的，如圖（容插圖）所示。圖中的豎線表示該樣本中各個(gè)x值的

范圍，規(guī)格界限為74.000+0.03。從圖（容插圖）可見(jiàn)，圖（X—R圖用于日常管理圖）連續(xù)4個(gè)點(diǎn)

子出界并非是由于樣本的個(gè)別異常觀測(cè)值造成的，而是由于過(guò)程均值的偏移而造成的。我們求得從

第9組到第15組樣本的總均值為74.015,若過(guò)程均值從原來(lái)的穩(wěn)定值74.001偏移到此值,則將產(chǎn)生

6.43%的不合格品。

-LSL

3.控制界限、規(guī)格界限與自然容差界限間的關(guān)系。x—R圖的控制界限與規(guī)格界限亳無(wú)關(guān)系完

全是兩碼事。規(guī)格界限是由技術(shù)經(jīng)濟(jì)要求所決定的,而控制界限則是由過(guò)程的以標(biāo)準(zhǔn)差a度量的自

然變異度，亦即過(guò)程的自然容差界限所決定的.兩者不可混為一談，如圖（控制界限、規(guī)格界限于自

然容差界限）所示。

4.應(yīng)用x-R的一些注意事項(xiàng)：

（1）合理分組原則。在收集數(shù)據(jù)進(jìn)行分組時(shí)要遵循休哈特的合理分組原則：1）組內(nèi)差異僅由偶然

波動(dòng)（偶然因素）造成;2）組間差異主要由異常波動(dòng)（異常因素）造成下面作些說(shuō)明。

首先,若過(guò)程穩(wěn)定，則在過(guò)程中只存在偶然波動(dòng)（偶然因素），它由3。方式中的。所反映。如果確

定。值不僅有偶然波動(dòng)而且還有異常波動(dòng)，則。值增大,也即上下控制界限的間隔加大。在極端情況

卜，若異常波動(dòng)全部進(jìn)入。值的計(jì)算，則上卜控制界限的間隔將大到使任何點(diǎn)都不會(huì)出界。從而控制

圖就失去了控制的作用。因此,一個(gè)樣本組內(nèi)各個(gè)樣品特性值的差異要求盡可能由偶然波動(dòng)造成。

這就要求同一個(gè)樣本組的各個(gè)樣品的取樣應(yīng)在短時(shí)間內(nèi)完成。

其次，各個(gè)樣本組的統(tǒng)計(jì)量平均值也是有差異的。由于偶然波動(dòng)始終存在,它必然會(huì)對(duì)此差異有

影響，但這種影響是微小的。若過(guò)程異常,要求統(tǒng)計(jì)量平均值之間的差異主要由異常波動(dòng)（異常因素）

造成,這樣便于由控制圖檢出異常。這就要求在容易產(chǎn)生異常的場(chǎng)合增加抽樣頻率,反之,亦然。

（2）經(jīng)濟(jì)性。抽樣的費(fèi)用不得高于所獲得的效益。

（3）樣本大小n和抽樣頻率。若用工控制圖去檢出過(guò)程的較大偏移，例如2。或更大的偏移,則可

用較小的樣本（如n=4,5或6）即可將其檢出，若檢出較小的過(guò)程偏移，則需用較大的樣本，甚至需要

n=15至25。當(dāng)然,較小的樣本在抽樣時(shí)正好碰到過(guò)程偏移的可能性也小。因此，可以采用添加警戒

限和其他判定界內(nèi)點(diǎn)非隨機(jī)排列的原則，來(lái)提高控制圖檢出過(guò)程小偏移的能力，而不采用大樣本的

作法。對(duì)于R圖，若采用小樣本則對(duì)于檢出過(guò)程標(biāo)準(zhǔn)差的偏移是不很靈敏的，但大樣本用極

差法估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的效率將迅速降低。因此,對(duì)于n>10的樣本,應(yīng)該采用s圖而不用R圖。

在確定正圖和R圖的樣本大小時(shí)，X圖和R圖的操作特性曲線是有用的。至于抽樣頻率,實(shí)踐表

明多傾向于采用小樣本、短間隔而不是大樣本、長(zhǎng)間隔。

(4)X圖和R圖檢出過(guò)程質(zhì)量偏移的能力可由其操作特性曲線(簡(jiǎn)稱0C曲線)來(lái)描述。

1)文圖的檢定能力和0C曲線。假定過(guò)程標(biāo)準(zhǔn)差o為常數(shù),若過(guò)程均值由穩(wěn)定狀態(tài)值no偏移到

另一值u1,其中口尸卬+人。，則在偏移后第一個(gè)抽取的樣本未檢出此偏移的概率(即第II類錯(cuò)誤的

概率)或B風(fēng)險(xiǎn)為

B=P{LCLWXUCL|口二口1=uO+K。}⑸3-11)

-2-

由于X?N(內(nèi)0/n),而入圖的上下控制界限分別為

o

UCL"0+3&,

o

UCL=pO-3孤,

于是,可將式(5.3—11)寫(xiě)成

UCLTi+K)UCLTi+K)

|3=(D[]-(D[]

j+3。/冊(cè)-(1+K)乩-3。/6-(乩+K，)

二6[0/4n]-(D[。/冊(cè)]

=<D(3-K^)-<i)(-3-K^)(5.3-12)

式中,<p為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積分布函數(shù),參見(jiàn)附錄I表A—1。根據(jù)式芹①(3-KC)-(D(-3-KM)可作出

X圖的0C曲線如H變化而o一定時(shí)X圖的0C曲線圖所示。從圖中可見(jiàn)，當(dāng)n一定時(shí),6值隨K的增

加而減少;而當(dāng)K一定時(shí),B值隨n的增加也減少。當(dāng)樣本大小n<4,5或6時(shí)，式圖由偏移后第一個(gè)樣

本就檢出過(guò)程的小偏移并不有效。例如,若偏移為1.06n=5,則由此圖可查得p近似等于0.75,于是

此偏移由第一個(gè)樣本檢出的.概率僅僅為1一戶1一0.75=0.25;此偏移由第一個(gè)樣本檢出的概率為

p(l—0)=0.75(1—0.75)=0.19;...;此偏移由第K個(gè)樣本檢出的概率為目"(1一位。一般,為檢出

此偏移的期望樣本個(gè)數(shù)為，

2"6"(1—8)=西(5.3-13)

1.0

Itl3.5.3-S〃變化而。一定時(shí)三圖的OC曲戲

由此,在本例有1/(1一B)=1/().25=4,即若n=5,在X圖檢出1.0。的偏移的期望樣本個(gè)數(shù)為4

個(gè)。

以上討論是當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差。一定而均值u變化時(shí)X圖的0C曲線。若u值一定而。變化,不妨設(shè)

標(biāo)準(zhǔn)差由。偏移至Uo=Klo,則與式(5.3-12)類似地可得出B風(fēng)險(xiǎn)為

乩+3。/6一乩.)-30/冊(cè)_A

K。/冊(cè)]-<1)[KR&]

二6(3/KI)-①(-3/KI)(5.3-14)

表5.3—4是根據(jù)式(5.3一14)計(jì)算得到的P值。由此表可知，X圖不僅對(duì)g的變化具有檢定

能力，而且對(duì)o的變化也具有檢定能力,也就是說(shuō),即使當(dāng)p保持不變而a變化時(shí)也會(huì)在X圖上反映

出來(lái)，這與X—R圖的判斷表一致。此外，當(dāng)M不變而。變化時(shí),。值與樣本大小n無(wú)關(guān)(見(jiàn)式

(5.3-14))o

表5.3—4u一定。變化時(shí)X圖的B值

K、11.522.5345

表A及。同時(shí)變化時(shí)x甚為，管(11=4)

23456

0C.866406528O.M80.451i?3830

0.50.8285065630.53280.44350.3780

!.?0.685305S260.4931。?②3?.3638

1.50.4987047720.43320.3810.3413

2，0.3083035980.36120.33，0.3121

2.50.158702486O.2S5?0.2SM0.2783

3.00.0658015740.21440.23B40.2417

3.50.0228009090.1525。.⑶10.2046

4.00.0052、00477O.1C260.1443C.1691

4.50.0023002280.06550.106)0.1539

5.00.00：2000980.03960.07610.1065

5.50.00：0000380.02260.05220.3815

6.00.00：0OOH30.01220.(3460.3606

B0.99730.95450.86640.79680.68280.54680.4514

另外，還可以討論均值U及標(biāo)準(zhǔn)差。同時(shí)變化時(shí)X圖的第II類錯(cuò)誤概率0值，這里只給出的計(jì)

算公式及當(dāng)"4時(shí)的。值(見(jiàn)表H及。同時(shí)變化時(shí)X圖的P值(n=4))

3-KM-3—KM

P=<D[Ki]-(1)[Ki](5.3-15)

根據(jù)上表中數(shù)據(jù)可畫(huà)出如U及。同時(shí)變化時(shí)X圖的0C曲線所示的一系列0C曲線。由圖中可見(jiàn),

當(dāng)。增大,即K1值變大吐曲線的傾斜率變得平緩;而K1值較小時(shí)X圖的。值隨K值增大而激減,亦

即X圖檢出過(guò)程均值偏移的概率激增，即X圖的靈敏度增加八

圖3.5.3-70變化時(shí)代圖的OC曲線

K

圖3.5.3-6月及。同時(shí)變化時(shí)3圖的CK曲線

上述討論說(shuō)明X圖采用小樣本是合理的。雖然小樣本的p風(fēng)險(xiǎn)較大，但由于我們周期地抽取樣

本并檢驗(yàn)和在x圖上描點(diǎn),所以非?？赡茉诔槿『侠淼臉颖緜€(gè)數(shù)后就可檢出過(guò)程的偏移。此外，還可

采取增添警戒限和界內(nèi)點(diǎn)非隨機(jī)排列的判定準(zhǔn)則來(lái)提高尤圖檢出過(guò)程偏移的能力。

2）R圖的檢定能力和。C曲線。為了構(gòu)造R圖的僅0C曲線需要用到性R/。的分布。設(shè)

過(guò)程標(biāo)準(zhǔn)差從處于穩(wěn)定狀態(tài)的。偏移到°』KS（K）,則R圖的°C曲線（見(jiàn)圖3.5.3-7）給出了

此偏移未被第一個(gè)樣本檢出的概率，即P值。

從圖3.5.37圖中曲線可見(jiàn)，當(dāng)樣本大小n增加時(shí),p值減小，R圖的檢定能力提高，這點(diǎn)同工圖

的情況相同。但有?點(diǎn)是不同的，即入圖對(duì)。的變化有?定的檢定能力，但R圖對(duì)N的變化卻沒(méi)有檢

定能力，也即若。不變而N變化,不能在R圖上反映出來(lái)。另外，當(dāng)采用小樣本時(shí)，例如n=4,5或6時(shí),R

圖對(duì)檢出過(guò)程的偏移不是很有效。這時(shí)可采用前述增加控制圖靈敏度的措施。若樣本大小n>10或

12時(shí)，一般應(yīng)采用s圖來(lái)代替R圖。

3）X—R圖的檢定能力。分析了X圖和R圖的檢定能力，現(xiàn)在來(lái)分析X圖和R圖同時(shí)使用時(shí)的總

檢定能力。在樣本大小n較小時(shí)，7—R圖未能檢出過(guò)程偏移的概率等于它們個(gè)別未能檢出過(guò)程偏

移的概率的乘積。設(shè)B7為工圖未能檢出偏移的概率,pR為R圖未能檢出偏移的概率pR為x—R圖

未能檢出偏移的概率,則有

BT邛；?BR

例如，當(dāng)n=4時(shí),可以算得工一R圖的命值如表所示。對(duì)于不同的n可能算出不同的0T值。

表x-R圖的。值（〃=4）

X23456

00.56810.21500.0877104050.02(19

0.50.543,。.及670.0854)(13980.020€

1.00.449i0.18350.07900.03770.019$

1.50.327i0.1S030.0?0003450.0186

2.00.20220.11330.05790O3C*50.017C

2.5O.HM10.07830.僅58002600.0152

3.00.043t0.54960.0344002140.0132

3.50.01510.32860.0第4D.01700.0112

4.C0.00410.01500.0164D.01303.(X62

4.50.00150.CO720.01050.0096O.OC'i4

5.C0.0001OJ/3310.0(63Q.CO68J.0C68

5.5O.COOf0.00120.00360.CCM710GM

6.CO.COO((MOO4o.oceo0.00319.OC33

由表X一R圖的B值（n=4）中數(shù)據(jù)口］?見(jiàn)，同時(shí)應(yīng)用工圖和R圖的檢定能力比單獨(dú)使用工圖或R圖

的檢定能力大。

四、x-s（均值-標(biāo)準(zhǔn)差）控制圖

若樣本大小n較大，例如n>10或12,這時(shí)用極差法估計(jì)過(guò)程標(biāo)準(zhǔn)差的效率較低。最好在工一R

中用s圖代替R圖。

若°為一概率分布的未知方差，則樣本方差

1”-2

為"的無(wú)偏估計(jì)量，但樣本標(biāo)準(zhǔn)差S并非是O的無(wú)偏估計(jì)量。

若樣本取自正態(tài)總體，可以證明

。$=/\&,這里a為一與樣本大小n有關(guān)的常數(shù)。

現(xiàn)在,我們考慮。己知的情況，由于E(S)=C4O,故s圖中的中心線為C。。，于是s圖的控制線為

UCL=C4OO

+3J>C4、

CL二C4°(5.4-D

idO-3GV-C4

定義

J55=C4-3/一。4(5.4.2)

氏二C4+3

(5.4-3)

則代如上式后，得到已知的圖的控制線為

UCL=R0、

CL=C4o(5.4-4)

LCL=Ao,

式中，系數(shù)B5、B6可自附錄V表A—5查得。

若。未知，則必須根據(jù)以往的數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)。從E(s)=C。,有。二S/C4,這里

S二機(jī)I(5.4-5)

于是得到。未知情況的s圖的控制線為

51-

UCL=+3^4VC4

CL=s(5.4-6)

UCL=s-3C

定義

1____