博士計量經(jīng)濟學試題

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《計量經(jīng)濟學》博士研究生入學試題(A)解答

一、簡答題

1、指出穩(wěn)健標準誤和穩(wěn)健/統(tǒng)計量的適用條件。

答：穩(wěn)健標準誤和穩(wěn)健/統(tǒng)計量的適用條件是樣本容量較大的的場合。在大樣本容量的情況下，一

般在橫截面數(shù)據(jù)分析中總是報告穩(wěn)健標準誤。在小樣本情況下，穩(wěn)健f統(tǒng)計量不那么接近，分布，

從血口J能導致推斷失誤。

2、若回歸模型的隨機誤差項可能存在4(^>1)階自相關，應采用什么檢驗？其檢驗過程和檢驗

統(tǒng)計量是什么？

答：如果模型：y,=4)…的誤差項滿足：

g=P1G-1+夕2邑-2+…+Pq￡”q+匕，其中匕是白噪聲。

原假設“0：夕［=0,22=0,…，凡=0

那么，以下兩種回答都可以。

1)、(1).K對乙，巧，…，%(=12…,7)做OLS回歸，求出OLS殘差￡,；

(2).3對芭,,々,，…，%，百一自.2,…，￡,―/做(%5回歸，(+….丁)，得到中；

(3).計算⑵中的￡.，￡,_2,…，5r聯(lián)合尸檢驗統(tǒng)計量。若尸檢驗統(tǒng)計量大于臨界值，則判

定回歸模型的隨機誤差項存在ty(4>1)階自相關；否則，則判定判定回歸模型的隨機

誤差項不存在q(9>1)階自相關。

2)、完成了1)中的(1)、(2)兩步以后，運用布勞殊一戈弗雷檢驗(BreschGoldferytest)

LM=(JT-q)R2,由于它在原假設〃。成立時漸近服從I?./分布。當大于臨界值，

則判定回歸模型的隨機誤差項存在“(夕>1)階自相關；否則，判定回歸模型的隨機誤

差項不存在q(q>l)階自相關。

3、謬誤回歸的主要癥狀是什么？檢驗謬誤回歸的方法主要有哪些？在回歸中使用非平穩(wěn)的時間

序列必定會產(chǎn)生偽回歸嗎？

答:格蘭杰(Granger)和紐博爾德(Newbold)認為在用時間序列數(shù)據(jù)進行回歸估計時，如果R?在

數(shù)值上大于德賓-沃特森統(tǒng)計量，則我們應當懷疑有謬誤回歸存在.

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檢驗謬誤回歸的方法主耍是用DF和ADF檢驗考察回歸的殘差是否服從1(0),進出判定變量之

間的關系是否為協(xié)積的，從而檢驗出謬誤回歸的存在性。

回歸中使用非平穩(wěn)的時間序列不一定會產(chǎn)生謬誤回歸，比如兩個協(xié)積的變量，雖然它們可以非

平穩(wěn)，但是不會產(chǎn)生謬誤回歸。

4、一般的幾何滯后分布模型具有形式：y=。+雙￡(1-4)\乙+￡,,E(￡,)=0,

I=O

=b2a*,0<2<1o

如何對這類模型進行估計，才能獲得具有較好性質(zhì)的參數(shù)估計量？

答：對一般的幾何滯后分布模型y,,有限的觀測不可能估計無限的參

*=0

數(shù)。為此，必須對模型形式進行變換：

00

注意到：)%=%)+%42(1-2)'蒼+|+弓-1，從而：

1=0

由于y-與相關，所以該模型不能用OLS方法進行估計，必須采用諸如工具變量等方法

進行估計，才能獲得具有較好性質(zhì)的參數(shù)估計量。

5、假定我們要估計一元線性回歸模型：

2

y=a±px,+q,Mq)=0,cov(^,^)-cra>rs

但是擔心看可能會有測量誤差，即實際得至U的3可能是京=匕+匕，匕是白噪聲。如果已經(jīng)知道

存在與X；相關但與￡,和匕不相關的工具變量z,,如何檢驗工是否存在測量誤差？

答：已知存在與X；相關但與J和匕不相關的工具變量z,,用最小二乘法估計模型X；=旬+。,+匕，

得到殘差苗=年-年-4小把殘差工作為解釋變量放入回歸方程y,=a+您+即+%,用最小二

乘法估計這個人工回歸，對顯著性假設運用通常的一檢驗。

"0：3=0(匕與j之間沒有相關性)

儲：5工()(匕與J之間有相關性)

注意，由y=a+我可推得y-夕一位,=能+應，即：￡,=dv,+u,<,

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利用對“=a+/K+j所做回歸得到的殘差3替代%,對系數(shù)6作OLS估計，當”檢驗顯著時就

表明X,與邑之間有相關性，即%存在測量誤差。否則就沒有。

6、考慮一個單變量平穩(wěn)過程

M=%）+%）■+幾芭+與（1）

這里,=/7D（O,cr2）以及|aj<lo

由于（1）式模型是平穩(wěn)的，,和項都將達到靜態(tài)平衡值，即對任何/有：

<=MK）,/=E（x）

于是對（1）式兩邊取期望，就有

），.=劭+藥<+兒/+'/?(2)

也就是

?。()(夕0+夕I)*1,1*

y=———+~尤=k+kx(3)

1-(71]一%01

這里占是〈關于R的長期乘數(shù)，

重寫（1）式就有：

=。0+（四—一k（、_4毛_［）+。0琳+3(4)

我們稱（4）式為（1）式的誤差修正機制（Error-correctionMechanism）表達式（ECM）0在（4）

式中我們可以發(fā)現(xiàn)長期均衡的正、負偏離對短期波動的作用是對稱的。假如這種正、負偏離

對短期波動的作用不是對稱的，那么模型應該如何設計與估計？

答：若對誤差修正（ECM）模型，假如發(fā)現(xiàn)長期均衡的正、負偏離對短期波動的作用是非對稱的

話，模型可以設計如下：

1”叫演為虛擬變量，表示Y偏離的方向。

其中九=?

1。y,^fM

當以正偏離時，=i,誤差修正項系數(shù)為

當上為負偏離時，=o,誤差修正項系數(shù)為心。

參數(shù)估計的方法可用MLE,也可用OLS。

7、檢驗計量經(jīng)濟模型是否存在異方差，可以用布羅歇一帕甘檢驗（BreuschPagan）和懷

特（White）檢驗，請說明這二種檢驗的差異和適用性。

答:當人們猜測異方差只取決于某些解釋變量時，布羅歇一帕甘檢驗（BreuschPagan）比較適合

使用；當人們猜測異方差不僅取決于某些解釋變量，還取決于這些自變量的平方和它們的交叉

乘積項時，懷特（White）檢驗比較適合使用。雖然，有時使用布羅歇一帕甘檢驗無法檢驗出

異方差的存在，但用懷特（White）檢驗卻能檢測出來。不過，懷特（White）檢驗要用掉很多

自由度。

8、在模型設定時，如果遺漏重要變量，那么模型中保留下來的變量系數(shù)的OLS估計是無

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偏和一致的嗎？請舉簡例說明。

答：在模型設定時，如果遺漏重要變量，那么模型中保留下來的變量系數(shù)的OLS估計通常是有偏和

不一致的。例如，假定工資模型為：

如果估計時遺漏了變量〃/也，得到如下估計模型：

即使假定ed〃c,exper無關,我們也容易證明反與A也都是有偏和不一致的，且有：

由于/73>0,并且變量比/〃c與a〃〃正相關，因此，。是正偏誤和不-一致的。

二、綜合題

1、為了比較A、8和。三個經(jīng)濟結(jié)構(gòu)相類似的城市由于不同程度地實施了某項經(jīng)濟改革政策后的

績效差異，從這三個城市總計+NB+N。個企業(yè)中按一定規(guī)則隨機抽取〃八+〃H+〃（.個樣本企

業(yè)，得到這些企業(yè)的勞動生產(chǎn)率），作為被解釋變量,如果沒有其它可獲得的數(shù)據(jù)作為解釋變量，

并且A城市全面實施這項經(jīng)濟改革政策，B城市部分實施這項經(jīng)濟改革政策，。城市沒有實施這

項經(jīng)濟改革政策。如何建立計量經(jīng)濟模型檢驗A、8和C這三個城市之間由于不同程度實施某項

經(jīng)濟改革政策后存在的績效差異？

解：把4、8兩個城市中第i企業(yè)的勞動生產(chǎn)率y寫成如下模型：

、=&+即4+加防+與，

（1）

這里，虛擬變量。八可表示為：

J1,第i個企業(yè)來自于城市A（2）

L[（）,其它

A[1,第i個企業(yè)來自于城市4（3）

，寸0.其它

于是，參數(shù)a表示城市C企業(yè)的期望勞動生產(chǎn)率，而參數(shù)/表示城市A企業(yè)的期望勞動生產(chǎn)率

與城市C企業(yè)的期望勞動生產(chǎn)率之間的差異，即a+夕表示城市A企業(yè)的期望勞動生產(chǎn)率;參數(shù)/表

示城市B企業(yè)的期望勞動生產(chǎn)率與城市C企業(yè)的期望勞動生產(chǎn)率之間的差異，即。+/表示B城市

企業(yè)的期望勞動生產(chǎn)率，即：

a+=1,Df^=0

頊y,）=a+y，DAi=o,DBi=\（4）

a、DAi=0,DBi=0

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要檢驗城市A企業(yè)的期望勞動生產(chǎn)率與城市B企業(yè)的期望勞動生產(chǎn)率之間的有無顯著差異，改

寫模型為：

X=a+8DA.+yiDBi+DA.）+s.,

其中，8-p-yx與?N（0Q2）；

此時，有：

a+y+S,DAi=1,DBi=0

E（y）=<a+y,。*=（）,。所=1（5）

a,D.S=0

運用t檢驗看參數(shù)6是否顯著地不為0,否則就認為城市A企業(yè)的期望勞動生產(chǎn)率與城市B企業(yè)的

期望勞動生產(chǎn)率之間無顯著差異

2、用觀測值y，…,y20和x（），為，…,與（）估計模型

得到的OLS估計值為

R2=0.86和a2=25

括號內(nèi)為t統(tǒng)計量。由于自的t值較小，去掉滯后回歸自變量為-重新估計模型，這時，R2為多少？

解：去掉滯后回歸自變量X“后所估計的模型可以看作是無約束模型：

在約束條件：R0=o之下所得到的估計。這里，R=（o,o,l）,6=（a,0o，0）o

設無約束模型的OLS殘差向量為e,帶約束模型的OLS殘差向量為公，則有:

=—e'e—25?從而可得至ll：ee=20&2=2x25=500

20

（八、

令。=（XX）T=&L，則有4=乍幺從而可得到：。22

二A=0.0256

心

yJC22

注意到帶約束模型的OLS殘差平方和與無約束模型的殘差平方和存在如下關系:

可推得：SST=——

由i篝?麗,\-R2r

同理，由解T一怒可推得：耳點一等之一警（1一店

所以，/?-=1-(1_/?-)=1-^2112X0.24=0.86

v

片e'e)500

3、對線性回歸模型:

(z=1,2,…,〃)(1)

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滿足后沼工0。假定Zj可以作為七合適的，具變量，且Vc”（e|Z）=b2/,請導出，具變量

估計量，并給出它的極限分布。

解：由于瓜月工（），所以參數(shù)向量夕的OLS估計將是不一致的。假定Z,可以作為為合適的工具

變量，對模型進行變換：

Z,」=zHF+ZR--------------------------------------------------(2)

TTT

從而有：=p￡z/；+￡z向-------------------(3)

1=11=11=1

1T1T2T

根據(jù)：^[-7=^2,.^]=0,—^Z,.Z；--------(4)

7Tr=i7TJ=I/r=i

并且PIMJZz#)PHRJZz￡)=加h?°=0

所以運用OLS估計方法，可得：吼二唇川恪z3-----------------（5）

注意到:何時一萬出沙；］［煮沙

由（4）和中心極限定理，可得：

"（吼一〃）的極限分布為正態(tài)N（0,/M"）分布,其中：M==plim，之z,W

T/-I

也就是，：BN'N'

4、考慮如下受限因變量問題：

1）、二元離散選擇模型中的Logit模型，在給定W，，=1,2,…,N條件之下方=1的條件概率為:

在重復觀測不可得的情況下，運用極大似然估計方法證明：

其中T=（1,X.，3,與），立=1：皆2）。

2）、為什么利用觀測所獲得的正的數(shù)據(jù)4來估計Tobit模型是不合理的？

3）、對Tobit模型：），：=%/+與，i=l,2,…，〃以及與服從正態(tài)N（0,/）分布，

y,=y；，若y；>o；乂=。，若y：?。；

求：（1）>E（）“y：>0）；

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（2）、對重復觀測不可得的情況詳細說明Heckman提出的模型估計方法。

答案：

1）、證明：對Logit模型，其似然函數(shù)可寫成如下形式：

即）=n[P（M=/）]、'?=°k）Tv,--------------------（1）

1=1

（1）式的對數(shù)似然函數(shù)為：

N

log[F（x；/7）]+（1-X-）log[l-F（x；/?）]}-----------（2）

（2）式關于參數(shù)夕的一階導數(shù)為：

于是，一階條件為：_expU^）1-------（3）

句l+exp（.r；^）J

NN

由（3）式可知：2凹七=2）四------------（4）

1=11=1

由于片=（1,當，4，…，％）中第一分量為常數(shù)L所以根據(jù)（4）式可得到：

2）、假定我們考慮的Tobil模型為：），：=必?+不i=l,2,…，〃以及明.服從正態(tài)

N（0,（y2）分布，滿足必=5：，若y：＞0；yf.=0,若y；K0。

則有：＞0）"?+或花＞-加='+二?黑）

即；E（）“y；＞0）=x\P+o）=x\P+b#\p

賦""：力氣x

UH）/l-（P（-A；/?/o-）W/b）

也就是僅僅考慮利用觀測所獲得的正的數(shù)據(jù)y：來估計Tobit模型，所獲得的參數(shù)夕的估計

是有編的，并且其數(shù)值大于由力并且依賴于綱，這就是僅僅運用正觀測值子樣本來估計Tobit

①（?）

模型的不合理性。

3）、我們知道，對于Tobit模型有這樣的結(jié)論:

=印+o"=邙+(J^(1)

這里，取二?！脊?。

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如果有.關于4的估計，就可得到"的一致估計。

JamesHeckman設計出了一種相對比較簡單的兩步估計法，但這個估計法能夠得到夕的一致估

計。

（I）在重復觀測不可得的條件下，具體的估計步驟如下：

第一步，我們通過Probil模型來區(qū)分“y；〉0”的觀測和“y；<0”的觀測，可以得到：

-{馬=1|%}=p{y->o|xf}=P{-〉r-M=①（中）,

運用極大似然估計方法有：

=位中（硒r口-明夕）『

(2)

/(￡)=￡[”①(0+(1—zjn(l—①(。))](3)

對數(shù)似然函數(shù)為:

f=l

根據(jù)：甯=￡Z,一6（力）

。（“瀘）怎=。，利用數(shù)值運算方法可以求得/“,，這樣就

C，P,=1中（山7）口-%朗

很容易獲得:=少也

①（皿））

第二步，我們在獲得了％之后，考慮下述模型:

y=X；?+偵+%?(i=\,2,…，N)(4)

其中，我們假定《滿足高斯一馬爾可夫條件。于是,運用OLS方法可以得到Tobit模型的參數(shù)

估計成。但是，需要注意的是，《完全可能不滿足高斯一馬爾可夫條件，出現(xiàn)序列相關或異方差的

現(xiàn)象，因此，需要運用廣義最小二乘法（GLS）或可行的廣義最小二乘法（FGLS）。一般情況下，由

OLS方法得到的t檢驗是有偏的。另外，Heckman的二步估計法不如Fair的極大似然估計法那樣

有效。因此，只要可能的話，最好采用極大似然估計法。

《計量經(jīng)濟學》博士研究生入學試題（B）解答

一、簡答題

1、說明隨機游動過程和單位根過程的聯(lián)系與差異？如何檢驗某個經(jīng)濟變量具有單位根？

答：隨機游動過程在形式上與單位根過程完全一樣，但它們之間的本質(zhì)性差異在?上。當是白噪

聲時，我們就稱該過程為隨機游動過程（randomwalk）；當邑是平穩(wěn)過程時，該過程就是單位根

過程。隨機游動過程是單位根過程的一種特殊情形，它是非平穩(wěn)過程。

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如果某個經(jīng)濟變量的數(shù)據(jù)發(fā)生過程滿足，假定隨機干擾項〃，獨立同服從于均值

為0,方差為4的分布時，檢驗它是否具有單位根可以用迪基和富勒（DF）檢驗；

如果放寬對隨機干擾項的限制，允許隨機干擾項應服從一個平穩(wěn)過程，即吃=才。27,在這種的

7=0

情況下，它是否具有單位根可以用增廣的迪基和富勒（ADF）檢驗。

2、冰積的概念是什么？如何檢驗兩個序列是協(xié)積的？

答：如果工和七都是非平穩(wěn)/⑴過程變量，則我們自然會預期它們的差，或者諸如4=咒-%-巴工

一類的任何線性組合也是/⑴的。但是，有一種很重要的情形就是“=X-%-%為是一個平穩(wěn)的

/⑻過程。這一情形我們稱乂和為是協(xié)積的。協(xié)積意味著孫和為擁有相似的隨機趨勢，于是它們

的差酊就是平穩(wěn)的，它們相互之間絕不會偏離太遠。協(xié)積變量％和西之間表現(xiàn)出一種定義為

），,=%+%%的長期均衡關系，而G是均衡誤差，表示對長期均衡關系的一種短期偏離。

通過檢驗誤差,-因-％%是否平穩(wěn)，我們判斷上和再之間是否協(xié)積。因為我們不能觀察

儲,所以就使用迪基一富勒（DF）檢驗，通過檢驗最小二乘估計的殘差自="-自-制七的平穩(wěn)性

來替代。

3、在二元離散選擇的模型中解釋變量/變化作用的符號與其系數(shù)A的符號有什么關系？為什

么？至少寫出二點關于丁帥”模型與二元離散選擇的模型的區(qū)別？

答：在Probit模型、Logit模型中的參數(shù)是無法直接解釋的。我們可以通過如下微分來考察這些模

型：

畔上0=[-7=exp]—|（HP）?\P=。（后夕以（1）

河2JJ

F二一向一二L『瓦（2）

這里，。（后⑶表示標準正態(tài)密度函數(shù)。這些微分度量了與變化的邊際作用。4變化的邊際作

用都依賴于4的數(shù)值。在（1）和（2）兩種情況下，/變化作用的符號與其系數(shù)乩的符號是相一

致的。

力力〃模型與二元離散選擇的模型的區(qū)別：（1）概率單位模型和Tobit模型的區(qū)別是前者因

變量使用的是啞變量，后者因變量使用的是刪尾的連續(xù)變量；（2）Tobit模型中乃=0要比），：＞0

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時K=）,；有更重的權(quán)數(shù)，因為有Pr｛）”O(jiān)|xJ=Pr｛y；工0|七｝,這是其它離散選擇模型所不具備

的。

4、海德拉斯（Hildreth）和盧（Lu）（I960）檢查分析了30個月度的時間序列觀測數(shù)據(jù)（從1951

年3月到1953年7月），定義了如下變量：

cons=每人冰激凌的消費量（按品脫計）

income=每周平均的家庭收入（按美元計）

price=每品脫冰激凌的價格（按美元計）

temp=平均氣溫（°F）

1）、用cons對income,price,tem和常數(shù)作線性回歸模型，得到DW統(tǒng)計量的數(shù)值為1.0212,

請說明模型存在什么病態(tài)？

答：說明模型的隨機誤差項可能存在序列相關，因此，用cons對income,price,tem和常數(shù)作線

性回歸模型所得到的參數(shù)估計可信度低。

2）、上述模型中加入平均氣溫的一階滯后項tem（-1）,得到力W=1.5822,并且該項的系數(shù)估計

為負，請說明加入該項的作用以及系數(shù)為負的經(jīng)濟含義。

答：模型中加入平均氣溫的一階滯后項te口（T）后，有助于改善隨機誤差項存在序列相關所帶來的

干擾和影響；該項系數(shù)為負說明，如果上月的平均氣溫很高，當月趨于正常的話，當月每人冰

激凌的消費量不會保持上個月的高水平，只會有所下降，并與當月的平均氣溫呈正向因果關系;

反之也一樣。

3）、請寫出2）中模型的另一種表達式，說明該表達式中變量系數(shù)的符號，解釋符號的經(jīng)濟意義。

答:若const=aQ+axprice,+a.incomet+a3te/npl+aAtempt_x+,且其參數(shù)滿足：

%<0,?2>0,>0,<0,且有%>-%,因為，一般當月的平均氣溫對每人當

月冰激凌的消費量影響最大。

我們可以把上述模型進行變形，即：

其中，各個變量的系數(shù)滿足四<0,?2>0,4>0,/>0o

這說明每人月冰激凌的消費量受價格的抑制影響，而收入與當月的平均氣溫與每人冰激凌

消費量的走向一致，當月平均氣溫的變化量與每人冰激凌消費量的變化也是一致的。

4、說明配和調(diào)整的聲之間的差異，為什么在多變量線性回歸模型的擬合評價中人們主要用肥，

而不是一般的決定系數(shù)相呢?

__!1__yN2

（N-（p+l））白e，,嘴口而

答：由于支=1

（A^l）S（Z-y）2

因此，當模型中引入另外的回歸變量時，無論這個變量是否合理，R2值永遠不會減小。正是

用于修正自由度的擬合優(yōu)度度量，即：

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于是，當模型中引入另外的回歸變量時，展值也許就會減小。因此，尸并不依賴于模型中解

釋變量的個數(shù)，這也就是在多變量線性回歸模型的擬合評價中人們主要用R2,而不是用一般的擬

合優(yōu)度上。

5、對于一種簡化的異方差模型，即假定：Var—Xj—這里假定九可以被。估計

的。那么關于參數(shù)夕的可行的廣義最小二乘估計（FGLS）量如何得到？它是否還具有廣義最小

一乘估計的優(yōu)良性質(zhì)？

答：假定網(wǎng)廠區(qū)/為上/月，兒是已知的。于是，關于參數(shù)夕的廣義最小二乘估計（GLS）量適

用于下述轉(zhuǎn)換了的模型：

很明顯，轉(zhuǎn)換了的模型的隨機擾動項具有同方差。這樣，就產(chǎn)生了GLS估計量：

a「N]TN

PGIS=ZX2M凹

-r=l」7

由于兒可以被冗估計，則得到參數(shù)夕可行的廣義最小二乘估計（FGLS）量，即

人「N八J-'N人

=22

PFGLS^4xixixiyi

_J=：Jz=i

顯然，/「GIA不再具有無偏性的性質(zhì)，但一致性繼續(xù)保持。

7、在美國有人對密歇根的AnnArbor的大學生進行調(diào)查，認為男生和女生對空間（用R00MPER度

量）和距學校的距離（用DIST度量）具有不同的觀點。試問如何利用租金（用RENT度量）數(shù)

據(jù)對下述模型：

用尸檢驗法檢驗假設句J>以〃,（￡女）？

注：SEY為虛擬變量——（1;如果是女生；0；如果是男生）。

答：假定被調(diào)查的男大學生和女大學生人數(shù)分別為M和N-M，利用被調(diào)查的男大學生和女大學

生的數(shù)據(jù)分別對下述模型：

JV.N-NX

工或百

進行OLS估計，得到端=上—,逍=—且-----。

于是，對原假設%：嫉=/和備擇假設^>4。

A2

檢驗統(tǒng)計量為尸=粵在原假設“°：編=七成立時服從AN「3,N-N「3）

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分布。若卜,卜"a（Ni，N-N「S）,則拒絕原假設設〃0，認為火"為J>V"（￡女）成立；否則，就

認為&r（￡男）>（￡女）不成立。

8、為了研究美國住房需求情況，我們利用對3120個家庭調(diào)查的截面資料資料，對以下回歸模型:

其中Q=3120個家庭中的任何一個家庭每年所需要的住房面積平方英尺數(shù)；

P=家庭所在地住房的價格；

Y二家庭收入。

假設我們認為住房需求由兩個方程組成，一個描述黑人的住房需求，另一個描述白人的住

房需求，這個模型可以寫成：

logQ=77]+=210g尸+夕31°§丫+￡；白人家庭

,o+lo+

g0=Xi/2g/slogy+6,；黑人家庭

我們希望對黑人需求方程的系數(shù)等于白人需求方程的系數(shù)的原假設進行檢驗。這個假設是聯(lián)

合假設：A=/142=Y1A=Yi

為了對上述假設進行檢驗，我們首先對上述模型進行估計，并將每個方程的誤差平方和相加，

得到ESSw=13640?，F(xiàn)在，假設原假設為真，則模型簡化為

logQ=px+/?2logP+ftlog/4-^所有家庭

對這個模型進行估計，得到它的誤差平方和￡5S〃=138380我們能否認為系數(shù)全相等是正確的？

答：對于黑人需求方程的系數(shù)等于白人需求方程的系數(shù)的原假設進行檢驗，我們采用鄒檢驗（Chow

test）o在原假設成立時，尸=（空匚后汨'?網(wǎng)上3U4）,計算檢驗統(tǒng)計量

ESS^R3114

尸JESS=1：83fl,遠大于5%顯著性水平時網(wǎng)3,3114）的臨界值，所以拒絕

ESSUK/3\\413640/3114

黑人需求方程的系數(shù)等于白人需求方程的系數(shù)的原假設，它們之間存在顯著差異。

二、綜合題

1、假定模型的矩陣形式

y=X…，其中E?=。，E（X￡）=0；

1）、假定碌￡'）=。2/7，求在跖二廠條件下，參數(shù)夕的最小二乘估計量。

2）、假定￡（￡￡'）二。％且￡是正態(tài)向量N（0,cr2/J構(gòu)造檢驗原假設”0：R13=7-[q=rank（R）]

的檢驗統(tǒng)計量，并說明該檢驗統(tǒng)計量服從F分布。

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3)、如何判斷參數(shù)線性約束條件是否成立，請做說明。

4)、證明：對模型顯著性檢驗的統(tǒng)計量產(chǎn)飛_春聯(lián)一女_[),請說明原假設是什么？其中，K是

模型y=XB+￡在無約束條件下作OLS估計所得到的擬合優(yōu)度。

解：1)、要求在約束條件跖=/?下，參數(shù)向量夕的最小二乘估計量，目標是求向量函數(shù)

V(分)二6一乂4)心一乂/?)+2/1'(即一廠)達到最小時的參數(shù)向量瓦。

對上述函數(shù)求導可得：

=-2X,+2(XX)瓦+2*2=0(1)

=瓦=(XX)TX,一(XX)-欠兄=瓦、.一(XX)“R睨(2)

因為，破=r=值心-R(XXYR以(3)

所以，2=[R(XX)TR(%-瓦閆R(XX)T(R%"

(4)

即瓦=鼠—(XX)TR[R(XX廠行(R晨-力(5)

2)、

根據(jù)上式中帶約束參數(shù)向量的最小二乘估計公式，我們有：

瓦二鼠_(XX『MMXX)TR"H鼠"(6)

從而，可以得到帶約束參數(shù)向量模型的最小二乘估計殘差公式：

整理以后可得到：

也一%〃心.=(R%.一J[R(XX)TR『(R鼠">0(7)

也就是說,帶約束參數(shù)向量模型的最小二乘估計殘差平方和相對于無參數(shù)向量約束模型的最小

二乘估計殘差平方和會變大，即：

ee>ep

—^UOLS^UOLS

要檢驗原假設“。：刖=，?是否成立，需要構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量。根據(jù)(8)式中所體現(xiàn)的性質(zhì),

我們構(gòu)造尸檢驗統(tǒng)計量:

F=&3%咽小",這里q=m〃k(R)。

e晨-W-(p+l)]

(9)

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當原假設“。：跖=「成立并且誤差向量￡不僅滿足高斯一馬爾柯夫條件，還滿足正態(tài)分布時,

P_（。/?金-）'q

可以得到:服從自由度為（小N—〃一1）的尸

e嬴%ozs/[N-（P+1）]

分布，即產(chǎn)

3）、對于給定的檢驗水平a,若尸＞Ra（dN-〃-1）時，說明帶約束參數(shù)向量模型的最小二

乘估計殘差平方和或以與無參數(shù)向量約束模型的最小二乘估計殘差平方和或四與皿之間差異顯

著，此時，我們對參數(shù)向量的約束條件即=「不成立，也就是說在原始模型中并不存在參數(shù)之間的

這種約束關系。因此，我們拒絕原假設"0。若尸二片〃-1）時，說明帶約束參數(shù)向量模型

的最小二乘估計殘差平方和q4與無參數(shù)向量約束模型的最小二乘估計殘差平方和或之間

在統(tǒng)計上沒有什么差異，此時，我們對參數(shù)向量的約束條件R￡=廠是合理的，也就是說在原始模型

的參數(shù)之間確實存在著這種關系。因此，我們接受原假設“。。

4）、注意到無參數(shù)向量約束條件時模型的擬合優(yōu)度（或稱決定系數(shù)）和參數(shù)向量帶約束

條件時模型的擬合優(yōu)度（或稱決定系數(shù)）Rj分別為:

5S4,SSE

用二1一R2=]R

SSTu

從而有：SS耳尸Q—R；）SST/SSER=（1-RI）SSTL!

可以推得：SSER-SSEu=-幾次S=民-R）SS￡

這樣，殘差形式的尸檢驗統(tǒng)計量:

又可以寫成擬合優(yōu)度形式的尸檢驗統(tǒng)計量:

因此，當對模型顯著性檢驗的統(tǒng)計量產(chǎn)=7~辱見——則原假設指的是所有解釋變量的系數(shù)

（1-明（7-p-1）

都為零，即“0：/?,=P2=???=/?,=0o也就是當〃。成立時，有以二0。這時，對模型顯著性檢

驗的統(tǒng)計量F=7~至上——c。

2、對線性回歸模型:

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y=X…,其中隨機誤差向量￡滿足高斯-馬爾可夫條件。

1)、定義最小二乘估計量6.

2)、如果X的第一列每個元素都是1,證明最小二乘殘差和為零，即>>,=0。

3)、令。=(4,比')'wRi：力=(b3b和X=(X?X2),推導：和打的表

達式。

4)、如果歷夕=/。與單位矩陣不成比例，試推出〃和/(GLS)方差形式。

解：1)、按照最小二乘的思想，我們定義該模型最小二乘估計量

注意，這時我們認為(XX)是可逆的矩陣。

2)、令X=(z,Xj,其中,,則根據(jù)殘差向量的矩陣形式e=),_Xb=[/_X(XX)7x]v,

可以得到；X2=0,于是可推得;

即有：X40

3)、令M=，-X|(X：X|尸X：],M2=[Z2-X2(X;X2)-'X;]

根據(jù)y=X^+X2p2^E(1)

由(1)式左乘M,可得：My=MX圈+MX2A+M￡------(2)

注意到：=0,可得：/?2---------(3)

-,

同理：M3X2=0，可得：bx=(X；M2X1)X；A/2J--------(4)

4)、如果反a與單位矩陣不成比例，則根據(jù):

可得：W/r(7?)=cr2(XX)■'(Xnx

由于=為對稱正定矩陣，所以存在非奇異矩陣P,滿足=也就是

Q=(P)7(P)L根據(jù)這一性質(zhì)，我們對模型進行變換：

2,

Py=PX^+P￡f顯然，Var(P￡)=P(y^P=(y'I。因此，對變換了的模型運用最小二

乘估計，得到：

從而,va\p(GLs^=(xn-1%)-1xn-,(o-2Q)Q-,x(xn-,x)-,=o-2(xn-'x)-,o

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3、假設年輕男性職員與年輕女性職員的工資之間存在著恒定的差別，為檢驗年輕男性職員與年輕

女性職員受教育的回報是否相同以及方便起見，在模型中只包含受教育水平和性別二個定性的

解釋變量。試設計模型既能體現(xiàn)存在恒定的工資差別，又能反映存在受教育回報上的差別，并

對模型參數(shù)的估計及其所蘊涵的意義進行討論。

解：假設年輕男性職員與年輕女性職員的工資(wage)之間存在著恒定的差別，同時為方便起見,

在模型中只包含受教育水平(edu)和性別(female)二個定性的解釋變量。為進行模型分析,

我們把定性的解釋變量轉(zhuǎn)換為可進行定量分析的虛擬變量，即：

由于本問題涉及的解釋變量多于1個虛擬變量，因此，當被解釋變量取為

log(卬age)時，這些虛擬的解釋變量系數(shù)就具有一種百分比的解釋。

為檢驗年輕男性職員與年輕女性職員受教育的回報是否相同，考慮到加入解釋變量交互項能

夠產(chǎn)生不同的斜率這一作用，我們設計如下模型：

log(wage),=(a0+feinale^-v(ai+八fenuilei)eduj+ci.........—(1)

在(1)式中代入勿山/力=0,就會發(fā)現(xiàn)，年輕男性職員這一組的截距為4,而受過初等

教育的斜率為％。對于年輕女性職員這一組，代入戶〃"七=1；于是其截距為。0+九，而

受過初等教育的斜率為2十為。因此，幾度量了年輕男性職員與年輕女性職員在截距上的

差異，力度量了年輕男性職員與年輕女性職員在受過初等教育回報上的差異。

要估計模型(1),我們可以把它改寫成：

log(wage)=female[+a]edui+%female?edui+-----------(2)

對模型(2)中我們可以用OLS方法估計出參數(shù)4,九0‘。

對于九必的取值可以分成如下四種情況：

(1)/0<0,/)<0；(2)/0<0,/1>0；(3)幾>0,%<0；

(4)/0>0,%>0o

其中，情形(1)/0<0,為<0表明，年輕女性職員組各種受教育水平的人的工資都比年輕

男性職員來得低，并且其工資差距隨著教育水平的提高而擴大；情形(2)/0<0,%>0表

明，年輕女性職員組的截距小于年輕男性職員組，但年輕女性職員組的斜率卻大于年輕男性

職員組，這意味著年輕女性職員在受教育水平低的時候，其工資比年輕男性職員來得低，但

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隨著年輕女性職員受教育水平的提高，其工資水平會接近和超過年輕男性職員。情形（3）

與情形（4）的解釋相類似，這里略去。

4、投資學說中的資本存量調(diào)整原理認為人們根據(jù)最近的市場需求情況預期當前的需求量

}'；，然后根據(jù)生產(chǎn)技術(shù)關系確定最合適的資本存量K；為：K；=v,從而得到必

要的凈投資量=陽

1）、為什么這種投資計劃當期內(nèi)不一定能實現(xiàn)？

2）、說明為什么實際凈投資量必