2024年三角函數(shù)知識點歸納

三角函數(shù)一、任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)1．任意角(1)角的概念的推廣①按旋轉(zhuǎn)方向不一樣分為正角、負(fù)角、零角．②按終邊位置不一樣分為象限角和軸線角．角的頂點與原點重疊，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重疊，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．第一象限角的集合為第二象限角的集合為第三象限角的集合為第四象限角的集合為終邊在軸上的角的集合為終邊在軸上的角的集合為終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為(2)終邊與角α相似的角可寫成α＋k·360°(k∈Z)．終邊與角相似的角的集合為(3)弧度制①1弧度的角：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角．②弧度與角度的換算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③半徑為的圓的圓心角所對弧的長為，則角的弧度數(shù)的絕對值是④若扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，周長為，面積為，則，，．2．任意角的三角函數(shù)定義設(shè)α是一種任意角，角α的終邊上任意一點P(x，y)，它與原點的距離為，那么角α的正弦、余弦、正切分別是：sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)．（三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦）3．特殊角的三角函數(shù)值角度函數(shù)030456090120135150180270360角a的弧度0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π3π/22πsina01/2√2/2√3/21√3/2√2/21/20-10cosa1√3/2√2/21/20-1/2-√2/2-√3/2-101tana0√3/31√3-√3-1-√3/300二、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式A.基礎(chǔ)梳理1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1；（在運用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時，若開方，要尤其注意判斷符號）(2)商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα.（3）倒數(shù)關(guān)系：2．誘導(dǎo)公式公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cos_α，其中k∈Z.公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tanα.公式三：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cos_α，．公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，.公式五：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cos_α，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα.公式六：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cos_α，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sin_α.誘導(dǎo)公式可概括為k·eq\f(π,2)±α的各三角函數(shù)值的化簡公式．口訣：奇變偶不變，符號看象限．其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變是指函數(shù)名稱的變化．若是奇數(shù)倍，則函數(shù)名稱要變(正弦變余弦，余弦變正弦)；若是偶數(shù)倍，則函數(shù)名稱不變，符號看象限是指：把α當(dāng)作銳角時，根據(jù)k·eq\f(π,2)±α在哪個象限判斷原三角函數(shù)值的符號，最終作為成果符號．B.措施與要點一種口訣1、誘導(dǎo)公式的記憶口訣為：奇變偶不變，符號看象限．2、四種措施在求值與化簡時，常用措施有：(1)弦切互化法：重要運用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)化成正、余弦．(2)和積轉(zhuǎn)換法：運用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化．（、、三個式子知一可求二）(3)巧用“1”的變換：1＝sin2θ＋cos2θ=sin＝taneq\f(π,4)（4）齊次式化切法：已知，則三、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)學(xué)習(xí)目的：1會求三角函數(shù)的定義域、值域2會求三角函數(shù)的周期：定義法，公式法，圖像法（如與的周期是）。3會判斷三角函數(shù)奇偶性4會求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間5懂得三角函數(shù)圖像的對稱中心，對稱軸6懂得，，的簡樸性質(zhì)知識要點梳理1、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象的作圖措施：五點法：先取橫坐標(biāo)分別為0，的五點，再用光滑的曲線把這五點連接起來，就得到正弦曲線和余弦曲線在一種周期內(nèi)的圖象。2、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)：（1）定義域：都是R。（2）值域：都是，對，當(dāng)時，取最大值1；當(dāng)時，取最小值－1；對，當(dāng)時，取最大值1，當(dāng)時，取最小值－1。（3）周期性：，的最小正周期都是2；（4）奇偶性與對稱性：①正弦函數(shù)是奇函數(shù)，對稱中心是，對稱軸是直線；②余弦函數(shù)是偶函數(shù)，對稱中心是，對稱軸是直線；（正(余)弦型函數(shù)的對稱軸為過最高點或最低點且垂直于軸的直線，對稱中心為圖象與軸的交點）。（5）單調(diào)性：上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減。尤其提醒，別忘了！3、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)：（1）定義域：。（2）值域是R，無最大值也無最小值；（3）奇偶性與對稱性：是奇函數(shù)，對稱中心是，尤其提醒：正(余)切型函數(shù)的對稱中心有兩類：一類是圖象與軸的交點，另一類是漸近線與軸的交點，但無對稱軸，這是與正弦、余弦函數(shù)的不一樣之處。（4）單調(diào)性：正切函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)。但要注意在整個定義域上不具有單調(diào)性。4、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)函函數(shù)性質(zhì)圖象定義域值域最值當(dāng)時，；當(dāng)時，．當(dāng)時，；當(dāng)時，．既無最大值也無最小值周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)．對稱性對稱中心對稱軸對稱中心對稱軸對稱中心無對稱軸5、研究函數(shù)性質(zhì)的措施：類比于研究的性質(zhì)，只需將中的當(dāng)作中的。函數(shù)y＝Asin（x＋）（A＞0，＞0）的性質(zhì)。（1）定義域：R（2）值域：[-A,A]（3）周期性：①和的最小正周期都是。②的最小正周期都是。（4）單調(diào)性：函數(shù)y＝Asin（x＋）（A＞0，＞0）的單調(diào)增區(qū)間可由2k－≤x＋≤2k＋，k∈z解得；單調(diào)減區(qū)間可由2k＋≤x＋≤2k＋，k∈z解得。在求的單調(diào)區(qū)間時，要尤其注意A和的符號，通過誘導(dǎo)公式先將化正。如函數(shù)的遞減區(qū)間是______（答：解析：y=，因此求y的遞減區(qū)間即是求的遞增區(qū)間，由得，因此y的遞減區(qū)間是四、函數(shù)的圖像和三角函數(shù)模型的簡樸應(yīng)用知識要點幾種物理量：=1\*GB3①振幅：；=2\*GB3②周期：；=3\*GB3③頻率：；=4\*GB3④相位：；=5\*GB3⑤初相：．函數(shù)體現(xiàn)式確實定：A由最值確定；由周期確定；由圖象上的特殊點確定.函數(shù)，當(dāng)時，獲得最小值為；當(dāng)時，獲得最大值為，則，，．3、函數(shù)圖象的畫法：①“五點法”――設(shè)，令＝0，求出對應(yīng)的值，計算得出五點的坐標(biāo)，描點後得出圖象；②圖象變換法：這是作函數(shù)簡圖常用措施。4、函數(shù)y＝sinx的圖象經(jīng)變換可得到的圖象yy=sinxy=sinxXXXxxx橫坐標(biāo)伸（縮）倍左（右）平移縱坐標(biāo)伸（縮）A倍y=sinx左（右）平移縱坐標(biāo)伸（縮）A倍橫坐標(biāo)伸（縮）倍左（右）平移橫坐標(biāo)伸（縮）倍橫坐標(biāo)伸（縮）倍縱坐標(biāo)伸（縮）A倍橫坐標(biāo)伸(縮)倍縱坐標(biāo)伸（縮）A倍左（右）平移左（右）平移縱坐標(biāo)伸（縮）A倍5、函數(shù)的圖象與圖象間的關(guān)系：①函數(shù)的圖象向左（>0）或向右（<0）平移個單位得的圖象；②函數(shù)圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)楸緛淼?，得到函?shù)的圖象；③函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)楸緛淼腁倍，得到函數(shù)的圖象；④函數(shù)圖象向上（）或向下（）平移個單位，得到的圖象。要尤其注意，若由得到的圖象，則向左或向右平移應(yīng)平移個單位，如要得到函數(shù)y＝sin(2x－eq\f(π,3))的圖象，只需將函數(shù)y＝sin2x的圖象()(A)向左平移eq\f(π,3)個單位(B)向右平移eq\f(π,3)個單位(C)向左平移eq\f(π,6)個單位(D)向右平移eq\f(π,6)個單位6、函數(shù)y＝Acos（x＋）和y=Atan（x＋）的性質(zhì)和圖象的變換與y＝Asin（x＋）類似。三角恒等變換1、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵；=3\*GB2⑶；=4\*GB2⑷；=5\*GB2⑸（）；=6\*GB2⑹（）．如；（答案：）2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：=1\*GB2⑴．如cos2eq\f(5π,12)＋cos2eq\f(π,12)＋coseq\f(5π,12)coseq\f(π,12)的值等于；（答案：eq\f(5,4)）=2\*GB2⑵升冪公式降冪公式，．=3\*GB2⑶．3、二弦歸一把兩個三角函數(shù)的和或差化為一種三角函數(shù)：，其中．4、三角變換時運算化簡的過程中運用較多的變換，靈活運用三角公式，掌握運算化簡的措施．常用的措施技巧如下：（1）角的變換：在三角化簡，求值，證明中，體現(xiàn)式中往往出現(xiàn)較多的異角，可根據(jù)角與角之間的和差，倍半，互補(bǔ)，互余的關(guān)系，尋找條件與結(jié)論中角的關(guān)系，運用角的變換，使問題獲解，對角的變形如：①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；②；問：；；③；④；⑤；等等.如[1].（答案：）[2]若cos(α＋β)＝eq\f(4,5)，cos(α－β)＝－eq\f(4,5)，且eq\f(π,2)＜α－β＜π，eq\f(3π,2)＜α＋β＜2π，則cos2α＝_____，cos2β＝_____.（答案：－eq\f(7,25)，－1）[3]已知則；（答案：）（2）函數(shù)名稱變換：三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)中正余弦是基礎(chǔ)，一般化切為弦，變異名為同名（二弦歸一）。如；（3）常數(shù)代換：在三角函數(shù)運算，求值，證明中，有時需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，例如常數(shù)