2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之解答題（含解析）

2025年高考數(shù)學(xué)解密之解答題

一.解答題(共25小題)

1.(2024?瀘州模擬)設(shè)函數(shù)/(無)=|2尤-2|+|尤+2].

(1)解不等式/(X),,6-尤；

(2)令/(尤)的最小值為7；正數(shù)a,b,c滿足a+Z?+c=T,證明：-+-+.

abc3

2.(2024?長安區(qū)一模)AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,設(shè)限sinA=a(2+cosB).

(1)求3；

(2)若AABC的面積等于石，求AABC的周長的最小值.

9Z7?

3.(2024?天津)在AABC中，cos3=—,b=5,-=

16c3

(1)求a；

(2)求sinA；

(3)求cos(B—2A).

4.(2024?天津)設(shè)函數(shù)=

(1)求/(%)圖像上點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；

(2)若/(%)..〃(工-?)在xw(0,+oo)時恒成立，求a的值；

1

(3)若石,x2e(0,l),證明|/(%)-/(無2)I”一管戶,

5.(2024?西城區(qū)模擬)如圖，在三棱柱ABC-A耳G中，側(cè)面AACG為正方形，AB±AC,AB=AC=2,

。為BC的中點(diǎn).

(I)求證：4(^//平面&耳。；

(II)若ACL45,求二面角方-曲-A的余弦值.

B

6.(2024?撫州模擬)已知四棱錐尸-ABCD的底面是一個梯形，AB//DC.ZABC=9Q°,AB=BC=4,

CD=2,PA=PD=3,PB=PC=y/V7.

(1)證明：平面e4Z5_L平面ABCD；

(2)求二面角C-R4-O的余弦值.

2

7.(2024?鹽湖區(qū)一模)已知尸|、鳥是雙曲線d-0=1的左、右焦點(diǎn)，直線/經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)《,

與雙曲線左、右兩支分別相交于A、3兩點(diǎn).

(1)求直線/斜率的取值范圍；

(2)若耳B=3AB,求AAOB的面積.

8.(2024?一模擬)已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且AD是邊上的

高.(sinA-sinB)(a+b)=(c-0b)sinC.

(1)求角A;

(2)^sin(B-C)=—,a=5,求

10

221o

9.(2024?梅州模擬)己知橢圓C:5+[=im>6>0)的離心率為L且經(jīng)過點(diǎn)7(1,士).

ab22

(1)求橢圓C的方程；

(2)求橢圓C上的點(diǎn)到直線/:y=2x的距離的最大值.

10.(2024?江西模擬)我們約定，如果一個橢圓的長軸和短軸分別是另一條雙曲線的實軸和虛軸，則稱它

22

們互為“姊妹”圓錐曲線.已知橢圓G：土+2=1(0<6<2),雙曲線C,是橢圓C1的“姊妹”圓錐曲線,

4b

q,與分別為G，G的離心率，且60=孚，點(diǎn)N分別為橢圓G的左、右頂點(diǎn).

(1)求雙曲線C?的方程；

⑵設(shè)過點(diǎn)G(4,0)的動直線/交雙曲線C?右支于A,3兩點(diǎn)，若直線AM,3N的斜率分別為加，kBN.

⑺試探究心與原N的比值—是否為定值.若是定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由；

^BN

7

(而)求墳=窺+§凝v的取值范圍.

11.(2024?貴州模擬)已知函數(shù)/■(x)=Hnx.

(1)若函數(shù)g(x)=/(x)-a有兩個零點(diǎn)，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)己知A。，％),B(X2,y2),C(x3,%)(其中為<忍且為,x2,三成等比數(shù)列)是曲線y=/(x)

2

上三個不同的點(diǎn)，判斷直線AC與曲線y=/(x)在點(diǎn)3處的切線能否平行？請說明理由.

12.(2024?德城區(qū)校級三模)設(shè)函數(shù)/(無)=d+acosx,aeR.曲線y=〃尤)在點(diǎn)(0,/(O))處的切線方

程為y=x+2.

(I)求a的值；

(II)求證：方程f(x)=2僅有一個實根；

(III)對任意xe(0,+co),有f(x)＞無sinx+2,求正數(shù)k的取值范圍.

13.(2024?天津)已知四棱柱中，底面ABCD為梯形，AB//CD,AA_L平面ABCD,

AD1AB,其中AB=A/\=2,AD=DC=1.N是耳G的中點(diǎn)，M是的中點(diǎn).

(1)求證：ON//平面C旦M；

(2)求平面CBM與平面BB.C.C的夾角余弦值;

(3)求點(diǎn)3到平面的距離.

14.(2024?畢節(jié)市模擬)某地區(qū)工會利用“健步行APP”開展健步走活動.為了解會員的健步走情況，工

會在某天從系統(tǒng)中抽取了100名會員，統(tǒng)計了當(dāng)天他們的步數(shù)(千步為單位)，并將樣本數(shù)據(jù)分為[3,5),

[5,7),[7,9),…，[17,19),[19,21]九組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(I)根據(jù)頻率分布直方圖，估計樣本數(shù)據(jù)的70%分位數(shù);

(II)據(jù)統(tǒng)計，在樣本數(shù)據(jù)[3,9),[9,15),[15,21]的會員中體檢為“健康”的比例分別為』』』，

535

以頻率作為概率，估計在該地區(qū)工會會員中任取一人，體檢為“健康”的概率.

頻率

3

15.(2024?南開區(qū)校級模擬)已知AABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、b、c,滿足已知

ccosB+bcosC=-----?

2cosA

(1)求角A的大小；

(2)若cosB=,求sin(23+A)的值；

(3)若AABC的面積為生叵，a=3,求AABC的周長.

3

16.(2024?開福區(qū)校級三模)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，B4_L底面ABCD,底面ABCD是矩形,

PA=2AD=4,且PC=2后，點(diǎn)E在尸C上.

(1)求證：班＞_L平面上4C；

(2)若E為尸C的中點(diǎn)，求直線PC與平面AED所成的角的正弦值.

17.(2024?保定三模)如圖，在三棱柱ABC-A耳G中，CA=CB,四邊形AB4A為菱形，乙鉆4=：，

AQ±4c.

(1)證明：BC=BBl.

(2)已知平面ABC_L平面AB4A，求二面角8-CG-A的正弦值.

18.(2024?東湖區(qū)校級一模)已知各項均不為0的數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且4=1,5“=q4：+1

(1)求｛%｝的通項公式;

(2)若對于任意〃eN*,”成立，求實數(shù)X的取值范圍.

4

19.（2024?如皋市模擬）如圖，在三棱柱ABC-ABIG中，AC=BB、=2BC=2,ZCBB,=2NCAB=9,

且平面ABC±平面BgCB.

（1）求證：平面ABC_L平面ACB]；

（2）設(shè)點(diǎn)P為直線BC的中點(diǎn)，求直線A尸與平面AC月所成角的正弦值.

20.（2024?回憶版）已知雙曲線。:9-/二皿〃0。），點(diǎn)/5,4）在。上，上為常數(shù)，0＜左＜1,按照如下

方式依次構(gòu)造點(diǎn)匕（"=2,3,.）,過6_]斜率為左的直線與C的左支交于點(diǎn)。,1，令匕為關(guān)于y軸的

對稱點(diǎn)，記匕的坐標(biāo)為（乙，%）.

（1）若左=；,求尤2，〉2；

（2）證明：數(shù)列｛%-%｝是公比為生的等比數(shù)列；

1-k

（3）設(shè)S,,為^P?P?+lP?+2的面積，證明：對任意的正整數(shù)n,S“=Sn+l.

21.（2024?長安區(qū)校級一模）已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且4=3,Sn=an+rr-1.

（1）求的通項公式；

（2）若」,Tn=b｝b2+b2b3+...+bnbn+l,求?

a?

22

22.（2024?江西一模）已知橢圓E:三+匕=1的左右頂點(diǎn)分別為A、3,點(diǎn)C在E上，點(diǎn)M（6,%）,N（6,yN）

95

分別為直線AC、3C上的點(diǎn).

（1）求為》的值；

（2）設(shè)直線3M與橢圓E的另一個交點(diǎn)為D,求證：直線8經(jīng)過定點(diǎn).

23.（2024?河南模擬）設(shè)任意一個無窮數(shù)列｛%｝的前〃項之積為7；,若V〃eN*,Tn^[an],則稱｛4｝是T

數(shù)列.

（1）若｛%｝是首項為-2,公差為1的等差數(shù)列，請判斷他“｝是否為T數(shù)列？并說明理由；

（2）證明：若｛4｝的通項公式為?！?G2",則｛凡｝不是T數(shù)列；

5

(3)設(shè)｛4｝是無窮等比數(shù)列，其首項4=5,公比為q(q>0),若｛.“｝是T數(shù)列，求q的值.

24.(2024?江西一模)在AABC中，已知內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且AABC的面積為6,

點(diǎn)。是線段3c上靠近點(diǎn)3的一個三等分點(diǎn)，AD=1.

(1)若ZADC=—,求c；

3

(2)若廿+4°2=11,求sinNBAC的值.

25.(2024?河南模擬)如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)。在邊3c上，且CD=2BD,E為邊AB的中點(diǎn).S是

平面ABC外一點(diǎn)，且(SA+SB)-SC=(AB+2AC)SC=0.

(1)證明：SC_LSD；

(2)已知DE=1,SD=娓,SE=3,直線3c與平面SDE所成角的正弦值為述.

3

(z)求△SDE的面積；

(而)求三棱錐S-ABC的體積.

6

2025年高考數(shù)學(xué)解密之解答題

參考答案與試題解析

解答題(共25小題)

1.(2024?瀘州模擬)設(shè)函數(shù)/(x)=|2x—2|+|x+2|.

(1)解不等式/(x),,6-x；

(2)令/(尤)的最小值為7；正數(shù)a,b,c滿足a+Z?+c=T,證明：-+-+.

abc3

【答案】(1){x|-3M1};(2)證明見解析.

【考點(diǎn)】絕對值不等式的解法；不等式的證明

【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；不等式的解法及應(yīng)用；推理和證明；對應(yīng)思想；分析法

【分析】(1)分類討論x的取值，脫掉絕對值符號，解不等式，可得答案；

(2)分類討論x的取值，求出了(無)的最小值為T,將d+0+3m+6+c)展開，利用基本不等式證明

abc

i14

(―+—+—)(a+6+c)..16,即可證明結(jié)論.

abc

【解答】解：(/)當(dāng)％<一2時，/(x)?6-x,即一2x+2—x—2,6—x,解得x...—3,故一3,,x<—2；

當(dāng)一2漱上1時，/(%),,6—％,即一2x+2+x+2,6—尤，/.4?6,貝！]一2漱上1；

當(dāng)了>1時，/(%),,6—%,即2x—2+x+2,6—x,解得及，5，故/<不，5，

綜上所述，原不等式的解集為{x|-3轟此|)；

(2)證明：若光<一2,貝!J/(%)=—3]>6；

若一2張上1,貝lJ/(x)=—x+4..3；

若x>1,貝!j/(x)=3x>3,

所以函數(shù)/(%)的最小值T=3,故a+"c=3.

又a、b,c為正數(shù),

inii114_,.114.、/bac4ac4b..lba.c4a,c4Z?”

(z—I1—)x3—(—I1—)X/(Q+/?+c)—6H111--------11..6+2J——I-2J---F2J——=16.

abcabcabacbc\ab\ac\bc

當(dāng)且僅當(dāng)。=6=3,c=3時等號成立，

42

所以L雪上當(dāng)

abc3

【點(diǎn)評】本題考查不等式的證明，基本不等式的換一法，屬于中檔題.

2.(2024?長安區(qū)一模)AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,設(shè)J拓sinA=a(2+cosB).

(1)求3；

7

(2)若AABC的面積等于石，求AABC的周長的最小值.

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用；解三角形

【專題】綜合題；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；分析法；轉(zhuǎn)化法；解三角形；不等式

【分析】(1)先利用邊角互化將6bsinA=a(2+cosB)轉(zhuǎn)化為關(guān)于3的方程，求出Nfi.

(2)因為3已知，所以求面積的最小值即為求ac的最小值，結(jié)合余弦定理和基本不等式可以求得.

【解答】解：(1)因為標(biāo)sinA=a(2+cosB).

由正弦定理得退sin8sinA=sinA(2+cosB).

顯然sinA>0,所以6sinB-cosZ?=2.

所以2sin(5——)=2，BG(0,^-).

6

匕匚n兀兀-2冗

623

(2)依題意叵^=退，r.ac=4.

4

所以〃+c..2y[ac=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時取等號.

又由余弦定理得b2=a2+c2—2accosB=a2+c2+ac..3ac=12./.b..2y/3.

當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時取等號.

所以\ABC的周長最小值為4+2百.

【點(diǎn)評】本題主要考查解三角形、基本不等式等知識，意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)核

心素養(yǎng)，屬于中檔題.

QZ77

3.(2024?天津)在AABC中，cos5=Z,b=5,-=

16c3

(1)求a；

(2)求sinA；

(3)求cos(B—2A).

【答案】⑴4；(2)"；(3)—.

464

【考點(diǎn)】正弦定理；兩角和與差的三角函數(shù)；余弦定理

【專題】邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法

【分析】(1)設(shè)。=2左，則c=3h左>0,利用余弦定理能求出a；

(2)由同角三角函數(shù)關(guān)系式，先求出sin3.再由正弦定理求出sinA.

(3)利用二倍角公式求出sin2A,再由同角三角函數(shù)關(guān)系式求出cos2A,利用兩角差三角函數(shù)能求出

8

cos(B-2A).

【解答】解：(1)在AABC中,COS5=2,b=5,-=

16c3

設(shè)a=2k,則c=3左，k>0,

9左2+4左2—259

/.cosB=—，

2x3左x2左16

解得k=2,

.a=2k=4；

(2)由(1)得a=4,c=6,sin5=Jl-

45

由正弦定理得上—,即

sinAsinBsinA5幣

16

解得sinA=—

4

(3)-a<b,sinA=—<-=sin—,「.A是銳角，且A〈匹，

4244

3A/7

si.n2A=2sinAcosA=2x-7-7-xJI-

4V8

cos(B—2A)=cosBcos2A+sinBsin2A

915A/73a

=一X——I-----X----

168168

57

64

【點(diǎn)評】本題考查余弦定理、正弦定理、二倍角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式、兩角差三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識,

考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

4.(2024?天津)設(shè)函數(shù)/(%)=%歷x.

(1)求/(%)圖像上點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；

(2)若/(%)..”(X-6)在％w(0,+8)時恒成立，求a的值;

1

(3)若玉，x2G(0,l),證明1/(%)-1%一入21,

【答案】(1)y=x-l；

(2)2；

(3)詳見解答過程.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

9

【專題】邏輯推理；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算；整體思想

【分析】(1)先對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可切線斜率，進(jìn)而可求切線方程；

(2)設(shè)g(t)=a(f-1)-2加,命題等價于對任意te(0,+oo),都有g(shù)(t)..O,利用特殊值賦值法，即可求解；

(3)結(jié)合重要不等式f-1.可先證明對0<a<6,有Ina+1<""—<Inb+1，然后結(jié)合王，羽的

b-a

各種情況進(jìn)行證明即可.

【解答】解：(1)由于/(x)=x/nx,故/''(X)=人a+1,

所以f(1)=0,f'(1)=1,

所以所求的切線經(jīng)過(1,0),且斜率為1,

故其方程為y=x-l；

11

(2)設(shè)/z⑺=/一1一/加，貝(==—,從而當(dāng)Ovrvl時“?)<0,當(dāng)1>1時〃?)>0,

tt

所以力⑺在(0,1］上遞減，在口，+8)上遞增,這就說明(1),

即/-1..如，且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，=1,

設(shè)g?)=2lnt，

貝！J/(x)-a{x-=xlnx-a(x-G)=—1)—21n—T=)=x,

五

當(dāng)xe(0,y)時，《的取值范圍是(0,+oo),

所以命題等價于對任意fe(0,+oo),都有g(shù)?)..O.

一方面，若對任意1w(0,+oo),都有g(shù)?)..O,則對％w(0,+oo),

112

■W—a(t—1)—2加，—a(t—1)+2歷—ci(j—1)+2(—1)=at-\----Q—2,

取I=2,得Q,a—l,故a.1>。.

再取/=J—，得0,,a.J—F2,

——a-2—2~xJ2a—a-2——-,

aa

所以a=2.

另一方面，若a=2,則對任意/￡(0,+oo)都有g(shù)(t)=2(t-1)-2lnt=2h(t)..0，滿足條件.

綜合以上兩個方面知a=2.

證明：(3)先證明一個結(jié)論：對0<a<"<Ina+1</(Z?)~/(a)<Inb+1.

b-a

證明：前面已經(jīng)證明不等式-1../加，

I幾一

,,blnb-alnaalnb—alna,,

故---------=----------+ITnb=-r^n-+lTnb<l+lnb，

b-ab-a--1

a

10

口blnb-alnablnb-blnaA

且-------------=---------------FIrna=-------FITna>-------FIna=1+IRna,

b-ab-a1-—\~—

bb

71blnb-alna

所以Ina+1<---------<I1nbz+11,

b-a

日口71于（b）-f（a）771

即Ina+1<------<Inb+

b-a

由/'（%）=加+1，可知當(dāng)。<%<,時，f\x）<0,當(dāng)時—

ee

所以在（0,-］上單調(diào)遞減，在［L+OO）上單調(diào)遞增.

ee

不妨設(shè)與,馬，下面分三種情況（其中有重合部分）證明本題結(jié)論.

情況一：當(dāng)!張叱/〈I時，有I/（%1）—/（%2）1=/（工2）一/（再）〈（加式2+1）（/一芯）<%2一%<J/一再'結(jié)論成

e

立；

情況二：當(dāng)0<玉麴/2，時，有|/（玉）一/（%2）1=/（玉）一/（無2）=%"叫一％2加％

e一一一一

對任意的ce（0,-］,設(shè)夕⑴=xlnx-clnc-y/c-x，則（p\x）=lnx+\+—.

e2yjc-x

由于“⑴單調(diào)遞增，且有

cC

+1+

2」應(yīng)2e“岳

1r12

且當(dāng)x..c----------x>一時，由一,..In——1可知，

4(勿2_i)222jc-x。

C

“(%)=Inx+1-1------->In—+1H---}-二—」---(In--1)..0.

24c—x22y/c—x21c—xc

所以“（%）在（0,c）上存在零點(diǎn)%,再結(jié)合“（%）單調(diào)遞增，即知0〈Xv/0時d（無）<0,%vxvc時“（%）>0

故0(x)在(0,%］上遞減，在區(qū)，c］上遞增.

①當(dāng)不領(lǐng)k。時，有0(%),,夕(c)=0；

②當(dāng)0〈尤〈無。時，由于&/"■!■=—2/(丘),，-2/d)=2<l,故我們可以取qe(G/"Ll).

ceec

從而當(dāng)。<%<―^—r時,由Nc—X>q4c,

1-4

可得e(x)=xlnx—clnc—yjc—x<—clnc—y/c—x<—clnc—q4c=\［c{4cln——^)<0?

c

再根據(jù)9(%)在(0,%］上遞減，即知對0<xvx0都有0(x)vO；

11

綜合①②可知對任意0＜用，c，都有0（球,0,即（p{x）=xlnx-clnc-y/c-x?0.

根據(jù)c￡（0」]和0＜玉，c的任意性，取c=%2，%=玉，就得至（jx/nX]-/—%，，0

e

xxxlnx

所以17（%）-/（%2）l=f（i）-/（2）=\\-x2lrvc^-國

情況三：當(dāng)o〈%麴A9＜i時，根據(jù)情況一和情況二的討論，

e

可得I/（石）一/（一）I轟jX\J*2-％，"（—）一/（%）?烈卜2Q-X],

eveeVe

而根據(jù)〃x）的單調(diào)性，知|/（不）—/（毛）1,,或"5）T（X,）I,,"當(dāng)一/（尤,）1?

ee

故一定有1/（尤1）-/（%）|,,-尤1成立.

綜上，結(jié)論成立.

【點(diǎn)評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義在切削方程求解中的應(yīng)用，還考查了由不等式恒成立求解參數(shù)范圍,

及不等式的證明，屬于難題.

5.（2024?西城區(qū)模擬）如圖，在三棱柱ABC-A耳G中，側(cè)面AACG為正方形，ABLAC,AB=AC=2,

。為BC的中點(diǎn).

（I）求證：4（7//平面4片。；

（II）若ACLAB,求二面角D—AB1-A的余弦值.

【答案】（/）證明過程請見解答；（II）一*.

【考點(diǎn)】直線與平面平行；二面角的平面角及求法

【專題】空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；向量法；空間角；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】（/）連接42,設(shè)A1B「M=E,連接DE,由中位線的性質(zhì)知DE//AC,再由線面平行的判定

定理，即可得證；

（II）先證的，AC,相兩兩相互垂直，再以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角，

即可得解.

12

【解答】(1)證明：連接AB,設(shè)AB「ABJ=E，連接上，則E為A|B的中點(diǎn),

因為。為3c的中點(diǎn)，

所以。E//AC,

又ACC平面ABQ，￡>Eu平面ABQ,

所以AC//平面A2Q.

y

(II)解：因為AB_LAC，AB±AC,且ACf|AC=C,

所以AB_L平面AACC1，

又Mu平面AACG，所以ABL/V"

又A4,_LAC,

所以AB,AC,招兩兩相互垂直，

故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0),男(2,0,2),0(1,1,0),C(0,2,0),

所以福=(2,0,2)屈=(1,1,0),

設(shè)平面ABtD的法向量為〃z=(x,y,z),

則I"相=0,即(2x+2z=0,

[m-AD=0,[x+y=0.

令x=-l,所以m=(-1,1,1),

因為AC_L平面4至4，

所以AC=(0,2,0)是平面AABa的一個法向量,

13

所以*"品IrS

由題意知，二面角D-A4-A的平面角為鈍角，

所以二面角￡>-陰-A的余弦值為-手.

【點(diǎn)評】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面平行的判定定理，線面垂直的判定、性質(zhì)定理，以

及利用向量法求二面角是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

6.（2024?撫州模擬）已知四棱錐尸-ABCD的底面是一個梯形，AB//DC.ZABC=90°,AB=BC=4,

CD=2,PA=PD=3,PB=PC=^V7.

（1）證明：平面A4￡>_L平面ABCD；

（2）求二面角C-上的余弦值.

D

【考點(diǎn)】平面與平面垂直；二面角的平面角及求法

【專題】空間角；向量法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】（1）分別取4），BC的中點(diǎn)O,E,連接OP,OE,PE,結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)與勾股定理,

可證OP_LAZ）,OP±OE,從而知OP_L平面ABCD,再由面面垂直的判定定理，即可得證；

（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角，即可得解.

【解答】（1）證明：分別取AD,3c的中點(diǎn)O,E,連接OP,OE,PE,

在直角梯形ABCD中，OE=1（AB+C￡>）=3,AD=?AB-CD?+BC?=26,

因為PA=PD=3,

所以O(shè)P_LA￡）,MOP=^PA2-（|AD）2=2,

又PB=PC=歷,E是3c的中點(diǎn)，

2

所以PE=Jpg?_（lfiC）=-J13,

所以O(shè)產(chǎn)+o“2=尸左，即OPrOE,

=O,AD,OEu平面ABCD,

所以O(shè)P_L平面ABCD,

14

因為OPu平面B4D,所以平面上4D_L平面ABCD.

(2)解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4(4,4,0),C(0,0,0),。(2,0,0),尸(3,2,2),

所以AP=(-1,-2,2),CA=(4,4,0),04=(2,4,0),

、門fa乙小,心目、?.m-AP=-x-2y+2z=0

設(shè)平面P4C的法向重為機(jī)=(%,y,z),則<

m-CA=4x+4y=0

?。?—2,則y=2,z=l,所以沆=(一2,2,1),

_,n-AP=-a-2b+2c=Q

設(shè)平面24。的法向量為〃=(a,b,c),則〈

n?DA=2Q+4Z?=0

取匕=1,則〃二一2,c=Q,所以〃=(—2,1,0),

m-n4+22小

所以cos<m,n>=

\m\-\n\J4+4+1Xq5’

由圖可知，二面角。-口4-。為銳角，

故二面角C-上4-。的余弦值為竽.

【點(diǎn)評】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面、面面垂直的判定定理，利用向量法求二面角是解

題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

2

7.(2024?鹽湖區(qū)一模)已知月、月是雙曲線d-q=l的左、右焦點(diǎn)，直線/經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)《，

與雙曲線左、右兩支分別相交于A、3兩點(diǎn).

(1)求直線/斜率的取值范圍；

(2)^EB=~AB,求AAOB的面積.

14

【答案】(1)(-忘我；

⑵處.

5

15

【考點(diǎn)】雙曲線與平面向量

【專題】數(shù)形結(jié)合；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；方程思想；綜合法

【分析】(1)設(shè)直線/的方程為y=?x+2),將該直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立，根據(jù)直線與雙曲線的位

置關(guān)系可得出關(guān)于實數(shù)%的不等式組，即可解得上的取值范圍；

(2)設(shè)直線/的方程為彳=〃沙-2,設(shè)點(diǎn)4%,%)、B(X2,y2),由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出%=5%,

將直線/的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出機(jī)的值，可得出|%|的值，然后利用三角形的面

積公式可求得AAO3的面積.

2_____

【解答】解：(1)在雙曲線f---=1中，a=l9b=?,則c=[a1+b?=Jl+3=2,

3

該雙曲線的左焦點(diǎn)為耳(-2,0),若直線/的斜率不存在，則直線/與雙曲線交于左支上的兩點(diǎn)，不合乎題意，

設(shè)直線/的方程為y=左(兀+2),設(shè)點(diǎn)4再，%)、B(X2,y2),

聯(lián)立(y:2)可得(嚴(yán)-3)x2+4k2x+(4左2+3)=0,

[3x-y=3

因為直線/與雙曲線左、右兩支分別相交于A、5兩點(diǎn)，

--3*0

所以，1=16/-4伏2-3)(442+3)=36(42+1)>0,解得-6<k〈布,

4左2+3八

=---<0

I1-甘-3

因此，直線/的斜率的取值范圍是(-君,6).

(2)因為耳2=(尤2+2,%)，AB=(X2-xl,y2-y1'),

由月8=；48可得%=；(%-%)，則%=5%，

當(dāng)直線/與x軸重合時，則點(diǎn)4-1,0)、8(1,0),片8=(3,0),AB=(2,0),

16

%=陽一2一/0o八

292

設(shè)直線/的方程為X=沖-2（機(jī)。0）,聯(lián)立22KTl#(3m-l)y-12my+9=0,

3x-y=3

由（1）可得,=左€（-6,0）巳,（。,6），則山〈一日或機(jī)>[,

由韋達(dá)定理可得%+%=，貝，

6%=1u%=3jr_1

95x4m2解得機(jī)=±第，貝|]匹|=|白^|=*，

%%=5y；，即

3m2-I-(3m2-I)273m-110

i6/7

所以，SAAOB=SBOf；-S,Aoq=;|O用l=4|%|=^--

【點(diǎn)評】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，考查了直線與雙曲線的綜合，考查了方程思想及數(shù)形結(jié)合思想，屬于

中檔題.

8.（2024?一模擬）已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且AD是3c邊上的

高.(sinA—sinB)(a+b)=(c-A/2Z?)sinC.

（1）求角A;

（2）若sin（B-C）=受，a=5,求A￡）.

10

【答案】（1）-；

4

（2）6.

【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理；解三角形

【專題】解三角形；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計算題；轉(zhuǎn)化思想

【分析】（1）利用正弦定理化簡己知等式可得6+c2-/=J%c,利用余弦定理可得cosA=交，結(jié)合

2

AG（0,7i）,即可求解A的值；

（2）由題意利用三角函數(shù)恒等變換可求tan5=3tanC,設(shè)A￡>=x,BD=y,DC=z=—^~,

2'BDy

tanC=-,由題意可得3y=2z,又y+z=5,解得：z=3,y=2,利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用即可求

Z

解.

【解答】解:(1)因為(sinA-sin))(a+6)=(c-6>)sinC,

利用正弦定理可得(a-b)(a+6)=(c-近b)c,可得。？+<?-/=近be,

利用余弦定理cosA="ci-=」羽也

2

由于A￡（0,乃），

所以

17

(2)因為sin(5-C)=Y^,可得sin5cosc-cosBsinC；，^①，

1010

又sin(B+C)=sinA=sin—=,可得sinBcosC+cosBsinC=②,

422

由①②得：sin3cosc=cosBsinC=』近,

1010

所以sm'cosC=3,可得2tan5=3tanC,即tanB=』tanC③,

cosBsinC22

在AABC中，ADLBC,設(shè)AD=無，BD=y,DC=z,

貝!JtanB=-----=—

BDy

tanC*x

CDz

所以由③可得土=3x2,整理得：3y=2z,

y2z

由于：y+z=5,

解得：z=3,y=2,

--r門,3?！浮?1-tanC

由于：tan5=tan(------C)=-------------

41-tanC

所以：土=—z,可得色=—3.整理可得/一5尤一6=0,

yi_￡

z3

【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)

算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題.

22]o

9.(2024?梅州模擬)己知橢圓C:二+±=1(°>5>0)的離心率為士，且經(jīng)過點(diǎn)7(1,士).

ab22

(1)求橢圓C的方程；

(2)求橢圓C上的點(diǎn)到直線/:y=2x的距離的最大值.

T2、際

【答案】(1)—；(2)嚀■.

45

【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征；直線與橢圓的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

【專題】圓錐曲線中的最值與范圍問題；設(shè)而不求法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想

18

【分析】(1)由橢圓的離心率，可得。，6的關(guān)系，設(shè)橢圓的方程，將點(diǎn)T的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可得

參數(shù)的值，即可得“，6的值，求出橢圓的方程；

(2)設(shè)與y=2x平行的直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，由判別式為0,可得參數(shù)的值，進(jìn)而求出兩條直

線的距離，即求出橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離.

【解答】解：⑴由橢圓的離心率為;，可得八一

22

可得3片=4廿，設(shè)橢圓的方程為：—+與=1,/>0,

又因為橢圓經(jīng)過點(diǎn)7(13,/,所以1++忘3=1，

解得r=1,

22

所以橢圓的方程為：、+乙=1;

43

(2)設(shè)與直線y=2x平行的直線的方程為y=2x+〃?,

y=2x+m

聯(lián)立尤22整理可得：19f+16/71￥+4瓶2—12=0,

——+—=1

143

△=162m2-4xl9x(4m2-12)=0,可得m2=19,則加=±^/I^,

所以直線y=2x+m至lj直線y=2x的星巨離d=—j=-=—^―.

所以橢圓C上的點(diǎn)到直線l-.y=2x的距離的最大值為迤.

5

【點(diǎn)評】本題考查橢圓方程的求法及直線與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

10.(2024?江西模擬)我們約定，如果一個橢圓的長軸和短軸分別是另一條雙曲線的實軸和虛軸，則稱它

22

們互為“姊妹”圓錐曲線.已知橢圓6：：+2=1(0<6<2),雙曲線C2是橢圓G的“姊妹”圓錐曲線，

%,e2分別為G，C2的離心率，且6?=乎，點(diǎn)N分別為橢圓G的左、右頂點(diǎn).

(1)求雙曲線C2的方程;

(2)設(shè)過點(diǎn)G(4,0)的動直線/交雙曲線C?右支于A,3兩點(diǎn)，若直線AM,3N的斜率分別為勤，kBN.

k

⑺試探究L與蜃7的比值皿是否為定值.若是定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由;

2

5)求取=心+耳左配的取值范圍.

【答案】(1)--/=1;

4

19

1311135

(2)⑺；(?)(---一一)0(—,-).

3436364

【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合

【專題】綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法

【分析】(1)由題意可設(shè)雙曲線C,:三-}=1,利用e?=姮，可求6；

4b4

(2)⑴設(shè)A(%,y),B(X,%)，直線m的方程為％=3+4，與雙曲線聯(lián)立方程組可得%+%=--，

2t—4

乂方二百二，進(jìn)而計算可得&