山大《材料力學(xué)》教案

材料力學(xué)教案

山東大學(xué)土建與水利學(xué)院

工程力學(xué)系

目錄

第一篇基本內(nèi)容

第一章緒論

第二章桿件的內(nèi)力截面法

第三章桿件的應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算

第四章桿件的變形簡(jiǎn)單超靜定問(wèn)題

第五章應(yīng)力狀態(tài)分析強(qiáng)度理論

第六章組合變形

第七章壓桿穩(wěn)定

第八章交變應(yīng)力與疲勞極限

第二篇加深與擴(kuò)展內(nèi)容

第九章能量法

第十章超靜定結(jié)構(gòu)

第十一章動(dòng)載荷

第十二章扭轉(zhuǎn)與彎曲的幾個(gè)補(bǔ)充問(wèn)題

第十三章應(yīng)力與應(yīng)變分析

第十四章含裂紋構(gòu)件的斷裂

第十五章平面圖形的幾何性質(zhì)

第1章緒論

一、基本要求

1.了解材料力學(xué)的任務(wù)；

2.理解對(duì)變形固體的基本假設(shè)；

3.理解內(nèi)力、應(yīng)力、應(yīng)變等基本概念;

4.了解桿件變形的基本形式。

二、內(nèi)容提要

1.材料力學(xué)的任務(wù)

1）術(shù)語(yǔ)

載荷作用于結(jié)構(gòu)上的主動(dòng)力統(tǒng)稱(chēng)為載荷或荷載

結(jié)構(gòu)建筑物或機(jī)械承受載荷時(shí)起骨架作用的部分

構(gòu)件結(jié)構(gòu)的組成部分

2）構(gòu)件的三項(xiàng)基本要求

足夠的強(qiáng)度：構(gòu)件在外載作用下，抵抗破壞的能力。

足夠的剛度：構(gòu)件在外載作用下，抵抗變形的能力。

穩(wěn)定性要求：構(gòu)件在壓力載荷作用下保持原有平衡狀態(tài)的能力。

3）材料力學(xué)的任務(wù)

（1）研究構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性；

（2）研究材料的刀學(xué)性；

（3）合理解決安全與經(jīng)濟(jì)之間的矛盾。

4）材料力學(xué)的的研究方法

（I）理論分析

（2）實(shí)驗(yàn)研究

2.變形固體的基本假設(shè)

1）變形固體固體因受外力作用而變形，故稱(chēng)為變形固體。材料力學(xué)研究

對(duì)象是變形固體。

2）變形固體的基本假設(shè)

連續(xù)性假設(shè)：假設(shè)組成固體的物質(zhì)不留空隙地充滿(mǎn)了整個(gè)體積，故固體在其

整個(gè)體積內(nèi)是連續(xù)的?？砂蚜W(xué)量表示為固體點(diǎn)的位置坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。

均勻性假設(shè)：假設(shè)固體內(nèi)到處有相同的力學(xué)性能。從而可用局部反映整體。

各向同性假設(shè)：假設(shè)沿任何方向固體的力學(xué)性能都相同。

小變形

3.基本概念

1）內(nèi)力在外力作用下，物體內(nèi)部各部分之間相互作用力的變化量稱(chēng)為附

加內(nèi)力，簡(jiǎn)稱(chēng)內(nèi)力。

2）截面法用截面假想地把構(gòu)件分成兩部分,

以顯示并確定內(nèi)力的方法。

用截面法求內(nèi)力的步驟為：

圖1.1

（1）截開(kāi)在欲求內(nèi)力的截面處假想將桿件分為兩部分，留下一部分（一

般為外力較少的一部分）為研究對(duì)象。

（2）代替用內(nèi)力代替棄去部分對(duì)留下部分的作用力；

（3）平衡由留下部分的平衡條件，確定未知的內(nèi)力。

3）應(yīng)力單位面積上的內(nèi)力。

平均應(yīng)力pm=—（1.1）

AL-.-i?kFclF

全應(yīng)力p=limpni=lim——=——

MTOA4->O^4dA

（1.2）

正應(yīng)力垂直于截面的應(yīng)力分量，用符號(hào)。表示。

切應(yīng)力相切于截面的應(yīng)力分量，用符號(hào)工表示。

應(yīng)力的量綱：

國(guó)際單位制：Pa（N/n?）、MPa、GPa

工程單位制:kgf/m\kgf/cm2

4）變形在載荷作用下，構(gòu)件的尺寸和形狀發(fā)生變化

稱(chēng)為變形。

5）應(yīng)變

線(xiàn)應(yīng)變單位長(zhǎng)度上的變形量，無(wú)量綱，其物理意義是

構(gòu)件上一點(diǎn)沿某一方向變形量的大小。平均線(xiàn)應(yīng)變

MN'-MN

(1.3)

MNA5

MN-MN「△〃…、

線(xiàn)應(yīng)變￡=lim---------=lim——(1.4)

MNTQMNA。AS

切應(yīng)變一點(diǎn)單元體兩棱直角的改變量。

/=lim工-NZ/W(1.5)

2

4.桿件變形的基本形式

1）桿件：長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于橫向尺寸的構(gòu)件，稱(chēng)為桿件。圖1.4桿件

主要幾何因素是橫截面和軸線(xiàn)，其中橫截直是與軸線(xiàn)垂直的截面；軸線(xiàn)是

橫截面形心的連線(xiàn)。

直桿軸線(xiàn)為直線(xiàn)的桿。

曲桿軸線(xiàn)為曲線(xiàn)的桿。形心軸線(xiàn)

等直桿橫截面的形狀和大小不變的直桿。D

橫橫曲

2）桿件的基本變形形式

形心釉觀

（1）拉伸（或壓縮）（圖1.6（a））

受力：作用于桿件兩端的外力大小相等，方向相

圖1.5

反，且與桿件軸線(xiàn)重合。變形：桿件變形是沿軸線(xiàn)的方向伸長(zhǎng)或縮短。

(2)剪切(圖1.6(b))

受力：桿件兩側(cè)作用大小相等，方向相反，作用線(xiàn)相距很近的外力。變形:

桿件的兩部分沿外力作用方向發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，由矩形變?yōu)槠叫兴倪呅巍?/p>

■1I--TJ-

圖1.6

(3)扭轉(zhuǎn)(圖1.6(c))

受力：在垂直于桿軸線(xiàn)的平面內(nèi)作用一對(duì)大小相等，方向相反的外力偶。

變形：桿件的任意兩個(gè)橫截面發(fā)生繞軸線(xiàn)的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。

(4)彎曲(圖1.6(d))

受力：在包含桿軸的縱向平面內(nèi)作用一對(duì)大小相等、方向相反的力偶或在垂

直于桿件

軸線(xiàn)方向作用橫向力。

變形：桿件軸線(xiàn)由直線(xiàn)變?yōu)榍€(xiàn)。

組合變形：桿件同時(shí)發(fā)生幾種基本變形，稱(chēng)為組合變形。

第2章桿件的內(nèi)力、截面法

一、基本要求

1.了解軸向拉伸與壓縮、扭轉(zhuǎn)、彎曲的概念；

2.掌握用截面法計(jì)算基本變形桿件截面上的內(nèi)力;

3.熟練掌握基本變形桿件內(nèi)力圖的繪制方法。

二、內(nèi)容提要

1.軸向拉伸和壓縮

1)軸向拉伸或壓縮的概念

受力特點(diǎn)：外力或合外力與軸線(xiàn)重合；

變形特點(diǎn)：桿件產(chǎn)生沿軸線(xiàn)方向的伸長(zhǎng)或縮短。

計(jì)算簡(jiǎn)圖為：

圖2-1

2)軸力

軸向拉壓時(shí),桿件截面上分布內(nèi)力系的合力的作用線(xiàn)與桿件軸線(xiàn)重合，稱(chēng)為

軸力。一般用乙表示，單位為牛頓(N)。

軸力的正負(fù)號(hào)規(guī)定：拉為正，壓為負(fù)。

3）圖

表示軸力沿桿件軸線(xiàn)變化規(guī)律的圖線(xiàn)。該圖一般以平行于桿件軸線(xiàn)的橫坐標(biāo)

X軸表示橫截叫立置，縱軸表示對(duì)應(yīng)橫截面上軸力的大小。正的軸力畫(huà)在X軸上

方，負(fù)的軸力畫(huà)在X軸下方。

2.扭轉(zhuǎn)

1）扭轉(zhuǎn)的概念

受力特點(diǎn)：在桿件兩端垂直于桿軸線(xiàn)的平面內(nèi)作用一對(duì)大小相等，方向相反

的外力偶。

變形特點(diǎn)：橫截面形狀大小未變，只是繞軸線(xiàn)發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。

軸：以扭轉(zhuǎn)為主要變形的桿件稱(chēng)為軸。

計(jì)算簡(jiǎn)圖為:

圖2-2

2）外力偶矩

傳動(dòng)軸所受的外力偶矩通常不是直接給出，而是根據(jù)軸的轉(zhuǎn)速〃與傳遞的功

率。來(lái)計(jì)算。

當(dāng)功率尸單位為千瓦（kW）,轉(zhuǎn)速為〃（r/min）時(shí)，外力偶矩為

%=9549-（N.m）

n

當(dāng)功率P單位為馬力（PS）,轉(zhuǎn)速為〃（r/min）時(shí)，外力偶矩為

M°=7024-（N.m）

n

3）扭矩、扭矩圖

當(dāng)外力偶矩已知，利用截面法可求任一橫截面上的內(nèi)力偶矩一扭矩，用7表

Zjxo

扭矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定：按右手螺旋法則，r矢量背離截面為正，指向截面為負(fù)

（或矢量與截面外法線(xiàn)方向一致為正，反之為負(fù)）。

表示扭矩隨桿件軸線(xiàn)變化規(guī)律的圖線(xiàn)稱(chēng)為扭矩圖。扭矩圖作法與軸力圖相

似。正的扭矩畫(huà)在X軸上方，負(fù)的扭矩畫(huà)在X軸下方。

3.彎曲內(nèi)力

1）基本概念縱向?qū)ΨQ(chēng)面

變曲變形：桿件在垂直于其軸線(xiàn)的載荷作用]

下，使原為直線(xiàn)的軸線(xiàn)變?yōu)榍€(xiàn)的變形稱(chēng)為彎曲變

形。尸產(chǎn)11

以彎曲變形為主要變形的桿件稱(chēng)為梁。U一一r

對(duì)稱(chēng)彎曲：工程中最常見(jiàn)的梁，其橫截面一般軸線(xiàn)I1

至少有一根對(duì)稱(chēng)軸，因而整個(gè)桿件有一個(gè)包含軸線(xiàn)圖23

的縱向?qū)ΨQ(chēng)面。若所有外力都作用在該縱向?qū)ΨQ(chēng)面

內(nèi)時(shí)，梁彎曲變形后的軸線(xiàn)將是位于該平面內(nèi)的一條R-----------------.

修1九4

曲線(xiàn)，這種彎曲形式稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)彎曲。其力學(xué)模型如圖2?3所示。

2)梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖靜定梁：所有支座反力均可由靜力平衡方程確定的梁。

靜定梁的基本形式有簡(jiǎn)支梁、懸臂梁、外伸梁。計(jì)算簡(jiǎn)圖分別如圖2-4(a)、

(b)、(c)所示。3)剪力和彎矩

剪力：受彎構(gòu)件任意橫截面上與橫截面相切的分布內(nèi)力系的合力，稱(chēng)為剪力,

用&表示。

彎矩：受彎構(gòu)件任意橫截面上與橫截面垂直的分布內(nèi)力系的合力偶矩，稱(chēng)為

彎矩，用”表示。

剪力和彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定：從梁中取出長(zhǎng)為公的微段，若橫截面上的剪力

使dX微段有左端向上而右端向下的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，此剪力尺規(guī)定為正，反之

為負(fù)(或使梁產(chǎn)生順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的剪力規(guī)定為正，反之為負(fù))，如圖2-5(a)、(b)

所示；若彎矩使公微段的彎曲變形凸向下時(shí)，截面上的彎矩M規(guī)定為正，反之

為負(fù)(或使梁下部受拉而上部受壓的彎矩為正，反之為負(fù))，如圖2-5(c)、(d)

zpiiiiticp

口O

所示o圖2-5

根據(jù)內(nèi)力與外力的平衡關(guān)系，若外力對(duì)截面形心取矩為順時(shí)針力矩，則該力

在截面上產(chǎn)生正的剪力，反之為負(fù)的剪力(順為正，逆為負(fù))；固定截面，若外

力或外力偶使梁產(chǎn)生上挑的變形，則該力或力偶在截面上產(chǎn)生正的彎矩，反之為

負(fù)的彎矩(上挑為正，下壓為負(fù))。4)剪力方程和彎矩方程

一般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置不同而變化。若以坐標(biāo)X

表示橫截面在梁軸線(xiàn)上的位置，則橫截面上的剪力和彎矩可以表示為X的函數(shù)，

即&=&(x)

M=M(x)

上述函數(shù)表達(dá)式稱(chēng)為梁的剪力方程和彎矩方程。

5)剪力圖和彎矩圖

為了直觀地表達(dá)剪力品和彎矩〃沿梁軸線(xiàn)的變化規(guī)律，以平行于梁軸線(xiàn)的

橫坐標(biāo)x表示橫截面的位置，以縱坐標(biāo)按適當(dāng)?shù)谋壤硎卷憫?yīng)橫截面上的剪力和

彎矩，所繪出的圖形分別稱(chēng)為剪力圖和彎矩圖。

剪力圖和彎矩圖的繪制方法有以下兩種：

(1)剪力、彎矩方程法：即根據(jù)剪力方程和彎矩方程作圖。其步驟為：

第一，求支座反力。

第二，根據(jù)截荷情況分段列出入。)和Mfr)。

在集中力(包括支座反力)、集中力偶和分布載荷的起止點(diǎn)處，剪力方程和

彎矩方程可能發(fā)生變化，所以這些點(diǎn)均為剪力方程和彎矩方程的分段點(diǎn)。

第三，求控制截面內(nèi)力，作&、M圖。一般每段的兩個(gè)端點(diǎn)截面為控制截

面。在有均布載荷的段內(nèi)，&的截面處彎矩為極值，也作為控制截面求出其

彎矩值。將控制截面的內(nèi)力值標(biāo)在的相應(yīng)位置處。分段點(diǎn)之間的圖形可根據(jù)剪力

方程和彎矩方程繪出。并注明ELax'MLax的數(shù)值。

（2）微分關(guān)系法：即利用載荷集度、剪力與彎矩之間的關(guān)系繪制剪力圖和

彎矩圖。

載荷集度4（%）、剪力&（X）與彎矩聞（x）之間的關(guān)系為：

也（X）=q(x)

dx

dM(x)

dx

d2M(x)也(x)

=儀x)

dx2dx

根據(jù)上述微分關(guān)系，由梁上載荷的變化即可掛知剪力圖和彎矩圖的形狀。

（a）若某段梁上無(wú)分布載荷，即式x）=0,則該段梁的剪力&（x）為常量，剪

力圖為平行于x軸的直線(xiàn)；而彎矩/（X）為x的一次函數(shù)，彎矩圖為斜直線(xiàn)。

（b）若某段梁上的分布載荷=q（常量），則該段梁的剪力代（x）為x的

一次函數(shù)，剪力圖為斜直線(xiàn)；而M（x）為x的二次函數(shù)，彎矩圖為拋物線(xiàn)。當(dāng)q>0

（今向上）時(shí)，彎矩圖為向下凸的曲線(xiàn)；當(dāng)g<0（9向下）時(shí)，彎矩圖為向上凸

的曲線(xiàn)。

（c）若某截面的剪力代（%）=0,根據(jù)處"2=0,該截面的彎矩為極值。

dx

利用以上各點(diǎn)，除可以校核已作出的剪力圖和彎矩圖是否正確外，還可以利

用微分關(guān)系直接繪制剪力圖和彎矩圖，而不必再建立剪力方程和彎矩方程，其步

驟如下:

第一，求支座反力（對(duì)懸臂梁，若從自由端畫(huà)起，可省去求支反力）；

第二，分段確定剪力圖和彎矩圖的形狀；

第三，求控制截面內(nèi)力，根據(jù)微分關(guān)系繪剪力圖和彎矩圖；

第四,確定|八|

I3Imax

\F\可能出現(xiàn)的地方：①集中力廠作用處；②支座處?？赡艹霈F(xiàn)的

ISJlmaxIImax

地方：①剪力月=0的截面；②集中力/,'作用處；③集中力偶必作用處。

6）平面剛架和平面曲桿的彎曲內(nèi)力

剛架：桿系結(jié)構(gòu)若在節(jié)點(diǎn)處為剛性連接，則這種結(jié)構(gòu)稱(chēng)為剛架。

平面剛架：由在同一平面內(nèi)、不同取向的桿件，通過(guò)桿端相互剛性連接而組

成的結(jié)構(gòu)。

各桿連接處稱(chēng)為剛節(jié)點(diǎn)。

剛架變形時(shí)，剛節(jié)點(diǎn)處各桿軸線(xiàn)之間的夾角保持不變。靜定剛架：凡未知反

力和內(nèi)力能由靜力學(xué)平衡條件確定的剛架。

平面剛架各桿的內(nèi)力，除了剪力和彎矩外，一般還有軸力。作剛架內(nèi)力圖的

方法和步驟與梁相同，但因剛架是由不同取向的阡件組成，習(xí)慣上按下列約定：

彎矩圖畫(huà)在各桿的受壓一側(cè)，且不注明正、負(fù)號(hào)。剪力圖及軸力圖可畫(huà)在剛架軸

線(xiàn)的任一側(cè)（通常正值畫(huà)在剛架外側(cè)），且必須注明正負(fù)號(hào)；剪力正負(fù)號(hào)的規(guī)定

與梁相同，軸力仍以拉伸為正，壓縮為負(fù)V

平面曲桿：軸線(xiàn)為一平面曲線(xiàn)的桿。平面曲桿橫截面上的內(nèi)力情況及其內(nèi)力

圖的繪制方法，與剛架相類(lèi)似。

三、典型例題分析

例2-1在圖2-6（a）中，沿桿件

軸線(xiàn)作用居、凡。已知：E=6kN,

F2=18kN,B=8kN,居=4kN。試求各段

橫截面上的軸力，并作軸力圖。

解：1.計(jì)算各段軸力

4C段：以截面將桿分為兩段，

取左段部分（圖（b））。

由Z工=0得

FNI=F.=6kN

（拉力）

。段：以截面2?2將桿分為兩段，

取左段部分（圖（c））。

由2死=0得

FN2=FH

kN（壓力）

&2的方向與圖中所示方向相反。

段：以截面3?3將桿分為兩段，取右段部分（圖（d））。

由ze=o得

入3=一￡=—4kN（壓力）

心3的方向與圖中所示方向相反。

2.繪軸力圖

以橫坐標(biāo)x表示橫截面位置，縱軸表示對(duì)應(yīng)橫截面上的軸力乙，選取適當(dāng)比

例，繪出軸力圖（圖（e））。在軸力圖中正的軸力（拉力）畫(huà)在x軸上側(cè)，負(fù)的

軸力（壓力）畫(huà)在x軸下側(cè)。

例2-2傳動(dòng)軸在組2-7(a)所示。主動(dòng)輪4輸入功率為P4=36kW,從動(dòng)

輪尻C、。輸出功率分別為幾=&=11kW,Po=14kW,軸的轉(zhuǎn)速為〃=300r/min。

試作軸的扭矩圖。

解：1.計(jì)算各輪上的外力偶矩

MA=9549^-=1146N-m

/In

MB=MC=9549^-=

n

=9549生=446N-m

n

2.計(jì)算各段扭矩

段：以截面將軸分為兩

5cI—I圖2-7

段，取左段部分(圖(b)l由平衡方

程

7；+%=0

得

T.=-MR=-350N-m

負(fù)號(hào)說(shuō)明Tx所假定的方向與實(shí)際扭矩相反

同理，在。段內(nèi)，

T2+Mc+MB=0

「

/=-MCC-MDR=-700Nm

在4。段內(nèi)，

T廣MD=446N-m

3.以橫坐標(biāo)x表示橫截面位置，縱軸表示對(duì)應(yīng)橫截面上的扭矩大小，選取

適當(dāng)比例，繪出扭矩圖。正的扭矩畫(huà)在x軸上側(cè)，負(fù)的扭矩

畫(huà)在x軸下側(cè)。I

例2?3圖示簡(jiǎn)支梁受集中力尸作用，試?yán)眉袅Ψ匠?/p>

和彎矩方程繪出該梁的剪力圖和

彎矩圖。解：1.求支反力。

由ZK=°，Z%(戶(hù))=°，得

圖2-8

廠Fb「Fa

死二7，&二7

2.列剪力、彎矩方程

X

在力C段內(nèi)，F(xiàn)s(x)=FA=-^-,(0<x<iz)M(x)=FA'X=-^-,(0<x<67)

在宛段內(nèi)

尼（X）=F=-N（"X</）

M(x)=%(1-x)=學(xué)(/7),(〃<X</)3.求控制截面內(nèi)力，作剪

力圖、彎矩圖。

品圖：在力。、C6段內(nèi)，剪力方程均為常數(shù)，因此兩段剪力圖均為平行于x

%右=牛,左、右兩側(cè)截面的

軸的直線(xiàn)。在集中力F作用處，&c左二一I9

剪力值發(fā)生突變，突變量=華-(-r)=b；M圖：在4C、C5段內(nèi)，彎矩方

程”(X)均是工的一次函數(shù)，因此兩段彎矩圖均為斜直線(xiàn)。求出控制截面彎矩

MA=MB=O,Me=與,標(biāo)在M-x坐標(biāo)系中，并分別連成直線(xiàn)，即得該梁的

彎矩圖。顯然在集中力/；作用處左、右兩側(cè)截面上彎矩值不變，但在該截面處彎

矩圖斜率發(fā)生突變，因此在集中力少作用處彎矩圖上為折角點(diǎn)。

例2-4受均布載荷作用的簡(jiǎn)支梁，如圖2-9

所示，試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：1.求支反力

FAy=FBy=7/2

圖2-9

3.求控制截面內(nèi)力，作剪力圖、彎矩圖。

2(。)=生((/)=4

〃（0）=0,M（/）=0,"（介*

為max=^-

在某一段上作用分布載荷，剪力圖為一斜直線(xiàn)，彎矩圖為一拋物線(xiàn)。且在

入=0處彎矩"取得極值。

例2-5如圖2T0所示簡(jiǎn)支梁，在C點(diǎn)處受矩為Me的集中力偶作用，試作

梁的剪力圖和彎矩圖.

解：1.求支反力

由平衡方程ZM"）=0和￡M/（戶(hù)）=0得

L尸M,

F*=FB=-^

2.列剪力、彎矩方程

在AC段內(nèi)

%（勸=%=,，（0<》4。）

?。▁）=FAy-x=^-x,（0<x<a）

在BC段內(nèi)

^S2（X）=FBy=牛,（。W）

I

3.求控制截面內(nèi)力，作剪力圖、彎矩圖。

人（O）"sC）"牛

/W（o）=A/（/）=O,M右=今^~

在集中力偶作用處，彎矩圖上發(fā)生突變，突變值為-牛-乎=/0,而

剪力圖無(wú)改變。

例2-6如圖2-11所示簡(jiǎn)支梁。試寫(xiě)出梁

的剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩

圖。

解：1.求支反力。

由平衡方程工〃8（戶(hù)）=0和

圖2-11

(戶(hù))=0求得

2.列剪力、彎矩方程

AC段：

3/

居(x)=F「qx=-ql-qx(0<x<-)

o2

iai/

M(x)=Fx--qx2=-qlx--qx2(0<x<-)

A2822

CB段：

心⑶=-弓=-，("x</)

M(x)=&(/-x)=|qlQ—x)4<x</)

o2

3.求控制截面內(nèi)刀，繪。、M圖

A圖：AC段內(nèi)，剪力方程氏(工)是x的一次函數(shù)，剪力圖為斜直線(xiàn)，求出兩

個(gè)端截面的剪力值，F(xiàn)SL/,Fsc=.ql，標(biāo)在G-x坐標(biāo)系中，連接兩點(diǎn)

即得該段的剪力圖。CB段內(nèi)，剪力方程為常數(shù)，求出其中任一截面的內(nèi)力值，

連一水平線(xiàn)即為該段剪力圖。梁AB的剪力圖如圖2-11(b)所示。

M圖：AC段內(nèi)，彎矩方程A/(x)是x的二次函數(shù)，彎矩圖為二次曲線(xiàn)，求

出兩個(gè)端截面的彎矩，=0,A/。='夕/2,分別標(biāo)在M—X坐標(biāo)系中。在乙二o

處彎矩取得極值。令剪力方程大(刈=0,解得工=孑，求得物《/)=擊/2,標(biāo)

在M-x坐標(biāo)系中。根據(jù)上面三點(diǎn)繪出該段的彎矩圖。CB段內(nèi)，彎矩方程MQ)

是x的一次函數(shù)，分別求出兩個(gè)端點(diǎn)的彎矩，標(biāo)在x坐標(biāo)系中，并連成直線(xiàn)。

AB梁的M圖如圖2-11(c)所示。

例2例梁的受力如圖2-12(a)所示,試?yán)梦⒎株P(guān)系作梁的心、/圖。

解：1.求支反力C

F=3k]|邙JjN.mHokNfm|

由平衡方程z儲(chǔ)(戶(hù))=°和

戶(hù))=0求得_06m__06m>2m_

F=\0kN,5kN7kN

AFB=-0.5m_

2.分段確定曲線(xiàn)形狀

3kNskN

由于載荷在力、。處不連續(xù)，應(yīng)將梁2.4kN.m

分為三段繪內(nèi)力圖。l.25kN.m

1.2kN.m

l.8kN.m

圖2-12

根據(jù)微分關(guān)系空a=g（x）,理警=心（對(duì)，亙辿舁=包3=貝幻，在

dxdxdx~dx

。和4。段內(nèi)，q=0,剪力圖為水平線(xiàn)，彎矩圖為斜直線(xiàn)；段內(nèi)，q=常數(shù)，

且為負(fù)值，剪力圖為斜直線(xiàn)，歷圖為向上凸的拋物線(xiàn)。

3.求控制截面的內(nèi)力值，繪人、必圖

人圖：心E=-3kN,外伯=7kN，據(jù)此可作出C力和力。兩段入圖的水平

線(xiàn)。網(wǎng)『=7kN,FSBf.=-5kN,據(jù)此作出。3段用圖的斜直線(xiàn)。

M圖：Mc=0,M.r=-1.8KN-m,據(jù)此可以作出C4段彎矩圖的斜直線(xiàn)。

A支座的約束反力FA只會(huì)使截面A左右兩側(cè)剪力發(fā)生突變，不改變兩側(cè)的彎矩

值，故M/左="缶=".=-1.8KN-m,MD^=2.4kN-m,據(jù)此可作出力。段彎

矩圖的斜直線(xiàn)。。處的集中力偶會(huì)使。截面左右兩側(cè)的彎矩發(fā)生突變，故需求

出M訪(fǎng)=-L2KN?m,=0；由。3段的剪力圖知在E處4=0,該處彎矩

為極值。根據(jù)8E段的平衡條件￡、=0,知8E段的長(zhǎng)度為0.5m,于是求得

=1.25kN-mo根據(jù)上述三個(gè)截面的彎矩值可作出03段的M圖。

對(duì)作出的2、A7圖要利用微分關(guān)系和突變規(guī)律、端點(diǎn)規(guī)律作進(jìn)一步的校核。

如。8段內(nèi)的均布載荷為負(fù)值，該段入圖的斜率應(yīng)為負(fù)；。段的外為負(fù)值，該

段"圖的斜率應(yīng)為負(fù)；段的大為正值，該段M圖的斜率應(yīng)為正；支座/處

剪力圖應(yīng)發(fā)生突變，突變值應(yīng)為10kN；。處有集中力偶，。截面左右兩側(cè)的彎

矩應(yīng)發(fā)生突變，而且突變值應(yīng)為3.6kN-m；支座8和自由端C處的彎矩應(yīng)為零等。

例2-7剛架受力如圖2-13（a）所示。試?yán)L出剛架的內(nèi)力圖。

解：1.分段列出內(nèi)力方程

對(duì)C4段距右端為X］的截面6（xJ=O,終（xj=-尸,M（x1）=Ev］（0<x］<a）

對(duì)34段距8端為冷的截面

"包）=尸，

&(工2)=qx?，M{X2)=Fa--qx；(0<x2</)

2.作內(nèi)力圖

由內(nèi)力方程繪出內(nèi)力圖，然圖和2圖可以畫(huà)在桿軸的任一側(cè)，一般正值畫(huà)

在剛架外側(cè)，并標(biāo)明正負(fù)號(hào)。彎矩圖畫(huà)在各桿的受壓一側(cè)，且不注明正、負(fù)號(hào)。

例2-8曲桿受力如圖2?14(a)示。試?yán)L出曲桿的彎矩圖

圖⑹Fs圖?FN圖

圖274

解：1.建立內(nèi)力方程

用圓心角為。的橫截面取隔離體，其受力圖如圖2?14(b)所示。由平衡條

件求得

Fs(0)=Fcos0

舔(夕)=一手sing

(3)繪曲桿內(nèi)力圖

由內(nèi)力方程繪出的內(nèi)力圖如圖(c)、(d)>(e)所示。

第3章應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算

一.內(nèi)容提要

木章介紹了桿件發(fā)生基本變形時(shí)的應(yīng)力計(jì)算，材料的力學(xué)性能，以及基本變形的強(qiáng)度計(jì)

算。

1.拉伸與壓縮變形

Li拉（壓）桿的應(yīng)力

i.i.i拉（壓）桿橫截面上的正應(yīng)力

拉壓桿件橫截面上只有正應(yīng)力且為平均分布，或計(jì)算公式為

a=—（3-1）

A

式中《V為該橫截面的軸力，A為橫截面面積。

正負(fù)號(hào)規(guī)定拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。

公式（3-1）的適用條件：

（1）桿端外力的合力作用線(xiàn)與桿軸線(xiàn)重合，即只適于軸向拉（壓）桿件；

（2）適用于離桿件受力區(qū)域稍遠(yuǎn)處的橫截面；

（3）桿件上有孔洞或凹槽時(shí)，該處將產(chǎn)生局部應(yīng)力集中現(xiàn)象，橫截面上應(yīng)力分布很不

均勻；

（4）截面連續(xù)變化的直桿，桿件兩側(cè)棱邊的夾角20°時(shí)，可應(yīng)用式（3-1）計(jì)算，

所得結(jié)果的誤差約為3%。

1.1.2拉（壓）桿斜截面上的應(yīng)力（如圖3-1）

圖3-1

拉壓桿件任意斜截面（a圖）上的應(yīng)力為平均分布，其計(jì)算公式為

全應(yīng)力〃“二(rcosa(3-2)

2

正應(yīng)力（Ja-crcosa（3-3）

切應(yīng)力ra=1sin2a（3-4）

式中O■為橫截面上的應(yīng)力。

正負(fù)號(hào)規(guī)定：

a由橫截面外法線(xiàn)轉(zhuǎn)至斜械面的外法線(xiàn)，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，反之為?fù)。

17,拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。

ra對(duì)脫離體內(nèi)一點(diǎn)產(chǎn)生順時(shí)針力矩的〃為正，反之為負(fù)。

兩點(diǎn)結(jié)論：

（1）當(dāng)。=0°時(shí)，即橫截面上，達(dá)到最大值，即（cJmax=。。當(dāng)。=90°時(shí)，即

縱截面上，。&=900=0。

（2）當(dāng)a=45°時(shí)，即與桿軸成45°的斜截面上，1達(dá)到最大值，即（%）母=?

2

1.2拉（壓）桿的應(yīng)變和胡克定律

（1）變形及應(yīng)變

桿件受到軸向拉力時(shí)，軸向伸長(zhǎng)，橫向縮短；受到軸向壓力時(shí)，軸向縮短，橫向伸長(zhǎng)。

如圖3-2。

『二二二二二二i；

?/?

Lt

圖3-2

軸向變形A/=/,-/

軸向線(xiàn)應(yīng)變￡=與

橫向變形\b=b,-b

橫向線(xiàn)應(yīng)變￡'=竺

h

正負(fù)號(hào)規(guī)定伸長(zhǎng)為正，縮短為負(fù)。

（2）胡克定律

當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。即

<y-Es（3-5）

或用軸力及桿件的變形量表示為

式中EA稱(chēng)為桿件的抗拉（壓）剛度，是表征桿件抵抗拉壓彈性變形能力的量。

公式（3-6）的適用條件：

（a）材料在線(xiàn)彈性范圍內(nèi)工作，即?！瓷?；

（b）在計(jì)算△/時(shí)，/長(zhǎng)度內(nèi)其N(xiāo)、E、力均應(yīng)為常量。如桿件上各段不同，則應(yīng)分段計(jì)算,

求其代數(shù)和得總變形。即

(3-7)

（3）泊松比

當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限時(shí)，橫向應(yīng)變與軸向應(yīng)變之比的絕對(duì)值。即

V=(3-8)

1.3材料在拉（壓）時(shí)的力學(xué)性能

131低碳鋼在拉伸時(shí)的力學(xué)性能

應(yīng)力一一應(yīng)變曲線(xiàn)如圖3-3所示。

圖3-3低碳鋼拉伸時(shí)的應(yīng)力一應(yīng)變曲線(xiàn)

卸載定律:在卸載過(guò)程中，應(yīng)力和應(yīng)變按直線(xiàn)規(guī)律變化。如圖3-3中4/直線(xiàn)。

冷作硬化：材料拉伸到強(qiáng)化階段后，卸除荷載，再次加載時(shí)，材料的比例極限升高，而

塑性降低的現(xiàn)象，稱(chēng)為冷作硬化。如圖3-3中/何曲線(xiàn)。圖3-3中，of'為未經(jīng)冷作硬化，

拉伸至斷裂后的塑性應(yīng)變，dr為經(jīng)冷作硬化，再拉伸至斷裂后的塑性應(yīng)變。

四個(gè)階段四個(gè)特征點(diǎn)，見(jiàn)表1-1。

表1-1低碳鋼拉伸過(guò)程的四個(gè)階段

階段圖■特征點(diǎn)說(shuō)明

中線(xiàn)段

彈性階段oab

比例極限bp%為應(yīng)力與應(yīng)變成正比的最高應(yīng)力

彈性極限5，以為不產(chǎn)生殘余變形的最高應(yīng)力

屈服階段be

屈服極限q為應(yīng)力變化不大而變形顯著增加時(shí)的最低

應(yīng)力

強(qiáng)化階段ce

抗拉強(qiáng)度火為材料在斷裂前所能承受的最大名義應(yīng)力

局部形變階段ef產(chǎn)生頸縮現(xiàn)象到試件斷裂

表1-1

主要性能指標(biāo)，見(jiàn)表1-2。

表1-2主要性能指標(biāo)

性能性能指標(biāo)說(shuō)明

彈性性能彈性模量E

當(dāng)時(shí)，E=—

強(qiáng)度性能材料出現(xiàn)顯著的塑性變形

屈服極限

材料的最大承載能力

抗拉強(qiáng)度外

塑性性能如6/.-/材料拉斷時(shí)的塑性變形程度

延伸率＞=-L^_xlOlnOno%/

A-A.材料的塑性變形程度

T截Z面T收T縮Z率3=—『XINi。N。O％/

1.3.2低碳鋼在壓縮時(shí)的力學(xué)性能

圖3-4低碳鋼壓縮時(shí)的應(yīng)力一應(yīng)變曲線(xiàn)

應(yīng)力一一應(yīng)變曲線(xiàn)如圖3-4中實(shí)線(xiàn)所示。

低碳鋼壓縮時(shí)的比例極限屈服極限彈性模最E與拉伸時(shí)基本相同，但他不出

r?

抗壓強(qiáng)度叫,

1.3.3鑄鐵拉伸時(shí)的力學(xué)性能

<(>

圖3-5鑄鐵拉伸時(shí)的應(yīng)力一應(yīng)變曲線(xiàn)

應(yīng)力---應(yīng)變曲線(xiàn)如型3-5所不。

應(yīng)力與應(yīng)變無(wú)明顯的線(xiàn)性關(guān)系，拉斷前的應(yīng)變很小，試驗(yàn)時(shí)只能側(cè)得抗拉強(qiáng)度彈

性模量E以總應(yīng)變?yōu)?.1%時(shí)的割線(xiàn)斜率來(lái)度量。

133鑄鐵壓縮時(shí)的力學(xué)性能

應(yīng)力----應(yīng)變曲線(xiàn)如型3-6所示。

u>

圖3-6鑄鐵壓縮時(shí)的應(yīng)力一應(yīng)變曲線(xiàn)

鑄鐵壓縮時(shí)的抗壓強(qiáng)度比拉伸時(shí)大4—5倍，破壞時(shí)破裂面與軸線(xiàn)成45。?35°。宜于做

抗壓構(gòu)件。

1.3.4塑性材料和脆性材料

延伸率5〉5%的材料稱(chēng)為塑性材料。

延伸率b〈5%的材料?稱(chēng)為脆性材料。

1.3.5屈服強(qiáng)度?2

對(duì)于沒(méi)有明顯屈服階段的塑性材料，通常用材料產(chǎn)生().2%的殘余應(yīng)變時(shí)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力

作為屈服強(qiáng)度，并以表示。

1.4強(qiáng)度計(jì)算

許用應(yīng)力材料正常工作容許采用的最高應(yīng)力，止極限應(yīng)力除以安全系數(shù)求得。

塑性材料［。］=2;脆性材料［。］="

其中4,％稱(chēng)為安全系數(shù)，且大于1。

強(qiáng)度條件：構(gòu)件工作時(shí)的最大工作應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用應(yīng)力。

對(duì)軸向拉伸(壓縮)桿件

a=—<［CT］(3-9)

AL」

按式(1-4)可進(jìn)行強(qiáng)度校核、截面設(shè)計(jì)、確定許克載荷等三類(lèi)強(qiáng)度計(jì)算。

2.扭轉(zhuǎn)變形

2.1切應(yīng)力互等定理

受力構(gòu)件內(nèi)任意一點(diǎn)兩個(gè)相互垂直面上，切應(yīng)力總是成對(duì)產(chǎn)生，它們的大小相等，方向

同時(shí)垂直指向或者背離兩截面交線(xiàn)，且與截面上存在正應(yīng)力與否無(wú)關(guān)。

2.2純剪切

單元體各側(cè)面上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力的受力狀態(tài)，稱(chēng)為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。

2.3切應(yīng)變

切應(yīng)力作用卜，單元體兩相互垂直邊的直角改變量稱(chēng)為切應(yīng)變或切應(yīng)變，用匯表示。

2.4剪切胡克定律

在材料的比例極限范第內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比，即

T=Gy(3-10)

式中G為材料的切變模量，為材料的乂一彈性常數(shù)(另兩個(gè)彈性常數(shù)為彈性模量E及泊松

比V)，其數(shù)值由實(shí)驗(yàn)決定。

對(duì)各向同性材料,E、v.G有下列關(guān)系

E

G=-----------(3-11)

2(1+v)

2.5圓截面直桿扭轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)力和強(qiáng)度條件

251橫截面上切應(yīng)力分布規(guī)律

用截面法可求出截面上扭矩，但不能確定切應(yīng)力在橫截面上的分布規(guī)律和大小。需通過(guò)

平面假設(shè)，從幾何、物理、平衡三方面才能唯一確定切應(yīng)力分布規(guī)律和大小。

(1)沿半徑成線(xiàn)性分布，圓心處7=0,最大切應(yīng)力在圓截面周邊上。

(2)切應(yīng)力方向垂直半徑，圓截面上切應(yīng)力形成的流向與該截面上扭矩轉(zhuǎn)向相等，圖3?7。

2.5.2切應(yīng)力計(jì)算公式

橫截面上某一點(diǎn)切應(yīng)力大小為

(3-12)

式中Ip為該截面對(duì)圓心的極慣性矩,戶(hù)為欲求的點(diǎn)至圓心的距離。

圓截面周邊上的切應(yīng)力為

T

「max(3-13)

式中叱=41稱(chēng)為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，R為圓截面半徑。

，R

2.5.3切應(yīng)力公式討論

(1)切應(yīng)力公式(3-12)和式(3-13)適用于材料在線(xiàn)彈性范圍內(nèi)、小變形時(shí)的等圓

截面直桿；對(duì)小錐度圓截面直桿以及階梯形圓軸亦可近似應(yīng)用，其誤差在工程允

許范圍內(nèi)。

(2)極慣性矩和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)叱是截面幾何特征量，計(jì)算公式見(jiàn)表3-3。在面枳

不變情況下，材料離散程度高，其值愈大；反映出軸抵抗扭轉(zhuǎn)破壞和變形的能力

愈強(qiáng)。因此，設(shè)計(jì)空心軸比實(shí)心軸更為合理,

表3-3

jrdA

p-32

實(shí)心圓

（外徑為d）

叱包

116

空心圓

〃32d

（外徑為D,a=一

D

內(nèi)徑為d）

W=—(1-?4)

’t16

2.5.4強(qiáng)度條件

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)、全軸中最大切應(yīng)力不得超過(guò)材料允許極限值，否則將發(fā)生破壞。因此，強(qiáng)

度條件為

r^=—4]（3-14）

\%/max

對(duì)等圓截面直桿

%x=—<[r]（3-15）

L

Wt」

式中[〃為材料的許用切應(yīng)力。

3.彎曲變形的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算

3.1梁橫截面上正應(yīng)力

3.1.1中性層的曲率與彎矩的關(guān)系

1M

-二萬(wàn)（3-16）

PW

式中，夕是變形后梁軸線(xiàn)的曲率半徑；E是材料的彈性模量；/后是橫截面對(duì)中性軸Z

軸的慣性矩。

3.1.2橫截面上各點(diǎn)彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式

M

F(3-17)

式中，M是橫截面上的彎矩；人的意義同上；y是欲求正應(yīng)力的點(diǎn)到中性軸的距離。

由式（3?17）可見(jiàn)，正應(yīng)力。的大小與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比。橫截面上中性軸的一

側(cè)為拉應(yīng)力，另一側(cè)為壓應(yīng)力。

在實(shí)際計(jì)算中，正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)可根據(jù)梁的變形情況來(lái)確定，位于中性軸凸向一側(cè)的各點(diǎn)均

為拉應(yīng)力，而位于中性軸凹向一側(cè)的各點(diǎn)均為壓應(yīng)力。

最大正應(yīng)力出現(xiàn)在距中性軸最遠(yuǎn)點(diǎn)處

5儂二崢7M』(3-18)

W.

式中，k二」一稱(chēng)為抗彎截面系數(shù)。對(duì)于/zxb的矩形截面，W.=-bh2-,對(duì)于直徑為D

'max'6

的圓形截面，憶=二。二對(duì)于內(nèi)外徑之比為。=8■的環(huán)形截面，底=二。（1--）。

32D’32

若中性軸是橫截面的對(duì)稱(chēng)軸，則最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力數(shù)值相等，若不是對(duì)稱(chēng)軸，則最大

拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力數(shù)值不相等。

3.2梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件

梁的最大工作應(yīng)力不得超過(guò)材料的容許應(yīng)力，其表達(dá)式為

心=必以傘］（3-19）

ma\%LJ

由正應(yīng)力強(qiáng)度條件可進(jìn)行二方面的計(jì)算：

（1）校核強(qiáng)度即已知梁的幾何尺寸、材料的容許應(yīng)力以及所受載荷，校核正應(yīng)力

是否超過(guò)容許值，從而檢撿梁是否安全。

（2）設(shè)計(jì)截面即已知載荷及容許應(yīng)力,可由式憶之max確定截面的尺寸

百

（3）求許可載荷即已知截面的幾何尺寸及容許應(yīng)力，按式“％用V匕確定許

可載荷。

對(duì)于由拉、壓強(qiáng)度不等的材料制成的上下不對(duì)稱(chēng)截面梁（如丁字形截面、上下不等邊

的工字形截面等），其強(qiáng)度條件應(yīng)表達(dá)為

」「—

_二_乙m一ax必W口/1(3-20a)

%電］(3-20b)

*,

式中，分別是材料的容許拉應(yīng)力和容許壓應(yīng)力：乂,乃分別是最大忖應(yīng)力點(diǎn)和最

大壓應(yīng)力點(diǎn)距中性軸的距啕。

若梁上同時(shí)存在有正、負(fù)彎矩，在最大正、負(fù)彎矩的橫截面上均要進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。

3.3梁的切應(yīng)力

譚(3-21)

式中，Q是橫截面上的剪力；S；是距中性軸為y的橫線(xiàn)與外邊界所圍面積對(duì)中性軸的靜矩;

L是整個(gè)橫截面對(duì)中性軸的慣性矩；b是距中性軸為y處的橫截面寬度。

3.3.1矩形截面梁

切應(yīng)力方向與剪力平行，大小沿截面寬度不變，沿高度呈拋物線(xiàn)分布。

切應(yīng)力計(jì)算公式

60|h2

y2(3-22)

hh3[4

最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸各點(diǎn)處，ra=--o

32A

3.3.2工字形截面梁

切應(yīng)力主要發(fā)生在腹板部分，其合力占總剪力的95~97%,因此截面上的剪力主要由腹

板部分來(lái)承擔(dān)。

切應(yīng)力沿腹板高度的分布亦為二次曲線(xiàn)。計(jì)算公式為

X含，(小〃)+4T。-23)

式中各符號(hào)可參看。

另外，沿翼緣水平方向也有不大的切應(yīng)力，計(jì)算公式為

E=里4(3-24)

2人

翼緣部分的水平切應(yīng)力沿翼緣寬度按直線(xiàn)規(guī)律變化，并與腹板部分的豎向剪切應(yīng)力形成

所謂的剪應(yīng)力流。由于這部分切應(yīng)力較小，一般不予考慮，只是在開(kāi)口薄壁截面梁的彎曲中

才用到它。

3.3.3圓形截面梁

橫截面上同一高度各點(diǎn)的切應(yīng)力匯交于一點(diǎn)，其豎直分量沿截面寬度相等，沿高度呈拋

物線(xiàn)變化。

最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上，其大小為

_7rd22d

.耍.0丁丁，2

r(3-25)

maxT>_j4oA

圓環(huán)形截面上的切應(yīng)力分布與圓截面類(lèi)似。

3.4切應(yīng)力強(qiáng)度條件

梁的最大工作切應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用切應(yīng)力，即

：

7_QmaxSmax<](3-26)

式中，*■■"11141人是梁上的最大切應(yīng)力值；SMiiiaa.、s是中性軸一側(cè)面積對(duì)中性軸的靜矩；人/是橫

截面對(duì)中性軸的慣性矩；b是"方處截面的寬度。對(duì)于等寬度截面，