余弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)-APOS理論

余弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)——APOS理論?一、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能目標(biāo)學(xué)生能夠理解余弦定理的內(nèi)容，掌握余弦定理的表達(dá)式。學(xué)生能夠運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問(wèn)題：已知三邊求三角、已知兩邊及其夾角求第三邊。學(xué)生能初步運(yùn)用余弦定理判斷三角形的形狀。2.過(guò)程與方法目標(biāo)通過(guò)對(duì)余弦定理的探究，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、猜想等邏輯思維能力。經(jīng)歷從向量方法、解析方法等多角度推導(dǎo)余弦定理的過(guò)程，體會(huì)多種數(shù)學(xué)思想方法的融合應(yīng)用，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。在運(yùn)用余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用性，增強(qiáng)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際的意識(shí)。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)通過(guò)探究活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神。讓學(xué)生在合作交流中感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。

二、教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)余弦定理的推導(dǎo)過(guò)程。余弦定理的內(nèi)容及表達(dá)式。余弦定理在解三角形中的應(yīng)用。2.教學(xué)難點(diǎn)余弦定理的向量法推導(dǎo)及理解。靈活運(yùn)用余弦定理解決各種解三角形問(wèn)題，包括判斷三角形的形狀。

三、教學(xué)方法1.APOS理論指導(dǎo)教學(xué)活動(dòng)（Action）階段：通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)際操作和探索活動(dòng)，如測(cè)量三角形的邊長(zhǎng)和角度等，讓學(xué)生在活動(dòng)中初步感受余弦定理的應(yīng)用。過(guò)程（Process）階段：組織學(xué)生對(duì)活動(dòng)過(guò)程進(jìn)行反思和分析，嘗試從不同角度推導(dǎo)余弦定理，如利用向量知識(shí)、解析幾何方法等，深入理解定理的形成過(guò)程。對(duì)象（Object）階段：幫助學(xué)生將余弦定理作為一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行理解和掌握，明確其內(nèi)容、表達(dá)式和應(yīng)用條件，能夠準(zhǔn)確運(yùn)用定理解決相關(guān)問(wèn)題。圖式（Schema）階段：引導(dǎo)學(xué)生將余弦定理納入已有的知識(shí)體系，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。2.講授法：對(duì)重要的概念、定理和公式進(jìn)行清晰準(zhǔn)確的講解，確保學(xué)生理解基礎(chǔ)知識(shí)。3.討論法：組織學(xué)生就推導(dǎo)過(guò)程、應(yīng)用實(shí)例等進(jìn)行討論，激發(fā)學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生之間的交流與合作，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力和自主探究能力。4.練習(xí)法：設(shè)計(jì)適量的針對(duì)性練習(xí)題，讓學(xué)生通過(guò)練習(xí)鞏固所學(xué)知識(shí)，提高運(yùn)用余弦定理解決問(wèn)題的能力，及時(shí)反饋學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，便于調(diào)整教學(xué)策略。

四、教學(xué)過(guò)程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課（約5分鐘）1.展示問(wèn)題情境如圖，某隧道施工隊(duì)為了開(kāi)鑿一條山地隧道，需要測(cè)算隧道通過(guò)這座山的長(zhǎng)度。工程技術(shù)人員先在地面上選一適當(dāng)位置A，量出A到山腳B、C的距離，分別是AC=500m，AB=800m，再用測(cè)角儀測(cè)出∠BAC的大小是60°。已知A、B、C在同一平面上，試求BC的長(zhǎng)。2.提出問(wèn)題同學(xué)們，在這個(gè)實(shí)際問(wèn)題中，我們已知三角形的兩邊及其夾角，如何求出第三邊的長(zhǎng)度呢？這就是我們今天要研究的內(nèi)容余弦定理。

（二）探索研究，形成定理（約20分鐘）1.活動(dòng)（Action）階段讓學(xué)生分組討論如何解決上述問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生回憶三角形的相關(guān)知識(shí)，嘗試用不同的方法來(lái)求解BC的長(zhǎng)度。學(xué)生可能會(huì)想到利用三角函數(shù)的知識(shí)來(lái)求解，但發(fā)現(xiàn)無(wú)法直接得到答案。教師適時(shí)提示學(xué)生可以借助向量的方法來(lái)解決問(wèn)題。2.過(guò)程（Process）階段教師引導(dǎo)學(xué)生回顧向量的數(shù)量積公式：\(\vec{a}\cdot\vec=|\vec{a}||\vec|\cos\theta\)。設(shè)\(\overrightarrow{AB}=\vec{c}\)，\(\overrightarrow{AC}=\vec\)，\(\overrightarrow{BC}=\vec{a}\)，則\(\vec{a}=\vec\vec{c}\)。對(duì)\(\vec{a}=\vec\vec{c}\)兩邊平方可得：\(\vec{a}^2=(\vec\vec{c})^2=\vec^22\vec\cdot\vec{c}+\vec{c}^2\)根據(jù)向量數(shù)量積公式\(\vec\cdot\vec{c}=|\vec||\vec{c}|\cosA\)，可得：\(|\vec{a}|^2=|\vec|^2+|\vec{c}|^22|\vec||\vec{c}|\cosA\)即\(a^2=b^2+c^22bc\cosA\)同理，通過(guò)類似的方法可以推導(dǎo)出：\(b^2=a^2+c^22ac\cosB\)\(c^2=a^2+b^22ab\cosC\)3.對(duì)象（Object）階段教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)余弦定理的內(nèi)容：余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。表達(dá)式：\(a^2=b^2+c^22bc\cosA\)\(b^2=a^2+c^22ac\cosB\)\(c^2=a^2+b^22ab\cosC\)強(qiáng)調(diào)公式中各字母的含義：\(a,b,c\)為三角形的三邊，\(A,B,C\)分別為邊\(a,b,c\)所對(duì)的角。4.圖式（Schema）階段教師引導(dǎo)學(xué)生思考余弦定理與勾股定理的關(guān)系：當(dāng)\(C=90^{\circ}\)時(shí)，\(\cosC=0\)，此時(shí)\(c^2=a^2+b^2\)，余弦定理就變成了勾股定理。說(shuō)明余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。讓學(xué)生分析余弦定理的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，思考如何記憶這些公式。引導(dǎo)學(xué)生從公式的對(duì)稱性、邊與角的關(guān)系等方面進(jìn)行記憶。

（三）例題講解，應(yīng)用定理（約20分鐘）1.已知三邊求三角例1：在\(\triangleABC\)中，已知\(a=7\)，\(b=5\)，\(c=3\)，求\(A\)、\(B\)、\(C\)。解：由余弦定理\(\cosA=\frac{b^2+c^2a^2}{2bc}\)可得：\(\cosA=\frac{5^2+3^27^2}{2\times5\times3}=\frac{25+949}{30}=\frac{1}{2}\)因?yàn)閈(0^{\circ}\ltA\lt180^{\circ}\)，所以\(A=120^{\circ}\)。由余弦定理\(\cosB=\frac{a^2+c^2b^2}{2ac}\)可得：\(\cosB=\frac{7^2+3^25^2}{2\times7\times3}=\frac{49+925}{42}=\frac{11}{14}\)利用計(jì)算器可得\(B\approx38.21^{\circ}\)。則\(C=180^{\circ}AB=180^{\circ}120^{\circ}38.21^{\circ}\approx21.79^{\circ}\)。講解要點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生明確已知三邊求三角的解題步驟，即分別代入余弦定理公式求出三個(gè)角的余弦值，再根據(jù)角的范圍確定角的大小。強(qiáng)調(diào)計(jì)算過(guò)程中的準(zhǔn)確性，注意符號(hào)問(wèn)題和角度的取值范圍。讓學(xué)生思考是否還有其他方法求解，拓寬學(xué)生的思維。2.已知兩邊及其夾角求第三邊例2：在\(\triangleABC\)中，已知\(b=3\)，\(c=5\)，\(A=120^{\circ}\)，求\(a\)。解：由余弦定理\(a^2=b^2+c^22bc\cosA\)可得：\(a^2=3^2+5^22\times3\times5\times\cos120^{\circ}\)\(=9+2530\times(\frac{1}{2})\)\(=9+25+15\)\(=49\)所以\(a=7\)。講解要點(diǎn)：讓學(xué)生理解已知兩邊及其夾角求第三邊的解題思路，直接代入余弦定理公式進(jìn)行計(jì)算。提醒學(xué)生注意公式中各項(xiàng)的準(zhǔn)確代入，特別是夾角的余弦值。引導(dǎo)學(xué)生思考如何根據(jù)已知條件快速準(zhǔn)確地選擇合適的公式進(jìn)行求解。3.判斷三角形的形狀例3：在\(\triangleABC\)中，已知\(a^2+b^2c^2=ab\)，試判斷\(\triangleABC\)的形狀。解：由余弦定理\(\cosC=\frac{a^2+b^2c^2}{2ab}\)，將\(a^2+b^2c^2=ab\)代入可得：\(\cosC=\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}\)因?yàn)閈(0^{\circ}\ltC\lt180^{\circ}\)，所以\(C=60^{\circ}\)。講解要點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生分析已知條件與余弦定理的關(guān)系，通過(guò)代入公式求出角\(C\)的余弦值，進(jìn)而確定角\(C\)的大小。讓學(xué)生思考如何根據(jù)角\(C\)的大小判斷三角形的形狀，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力?？偨Y(jié)判斷三角形形狀的一般方法：通過(guò)已知條件結(jié)合正弦定理或余弦定理求出角的大小或邊的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀。

（四）課堂練習(xí)，鞏固提高（約10分鐘）1.已知\(a=4\)，\(b=5\)，\(c=6\)，求\(\cosA\)，\(\cosB\)，\(\cosC\)。2.在\(\triangleABC\)中，已知\(a=2\sqrt{3}\)，\(b=2\)，\(A=60^{\circ}\)，求\(c\)。3.在\(\triangleABC\)中，已知\(a^2=b^2+c^2+bc\)，試判斷\(\triangleABC\)的形狀。學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)，教師巡視指導(dǎo)，及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問(wèn)題并進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo)。練習(xí)結(jié)束后，抽取部分學(xué)生進(jìn)行板演，展示解題過(guò)程，其他學(xué)生進(jìn)行評(píng)價(jià)，教師進(jìn)行總結(jié)點(diǎn)評(píng)，強(qiáng)調(diào)解題的關(guān)鍵步驟和注意事項(xiàng)。

（五）課堂小結(jié)，布置作業(yè)（約5分鐘）1.課堂小結(jié)引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容：余弦定理的推導(dǎo)過(guò)程，包括向量法、解析法等。余弦定理的內(nèi)容和表達(dá)式。余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，如已知三邊求三角、已知兩邊及其夾角求第三邊、判斷三角形的形狀等。讓學(xué)生分享本節(jié)課的學(xué)習(xí)收獲和體會(huì)，教師進(jìn)行補(bǔ)充和完善。2.布置作業(yè)書(shū)面作業(yè)：教材課后習(xí)題第1、2、3題。拓展作業(yè)：在\(\triangleABC\)中，已知\(\sinA:\sinB:\sinC=3:5:7\)，求最大角的余弦值。實(shí)踐作業(yè)：測(cè)量一個(gè)三角形地塊的三條邊長(zhǎng)，運(yùn)用余弦定理計(jì)算出地塊的三個(gè)內(nèi)角，并實(shí)地驗(yàn)證測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確性。

五、教學(xué)反思1.在教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)創(chuàng)設(shè)實(shí)際問(wèn)題情境引入新課，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用性。在后續(xù)的教學(xué)中，可以進(jìn)一步挖掘生活中的實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生更加深刻地體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系。2.運(yùn)用APOS理論指導(dǎo)教學(xué)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。通過(guò)活動(dòng)、過(guò)程、對(duì)象、圖式四個(gè)階段的教學(xué)，讓學(xué)生逐步理解和掌握余弦定理。在教學(xué)過(guò)程中，要注意引導(dǎo)學(xué)生積極參與各個(gè)階段的活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生自主探究和合作交流，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決問(wèn)題的能力。3.在余弦定理的推導(dǎo)過(guò)程中，向量法是一種重要的方法。在教學(xué)時(shí)，要注重引導(dǎo)學(xué)生理解向量法的思路和原理，讓學(xué)生體會(huì)向量在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。同時(shí)，也可以介紹其他推導(dǎo)方法，拓寬學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。4.在例題講解和課堂練習(xí)環(huán)節(jié)，要注重對(duì)學(xué)生解題思路的引導(dǎo)和解題規(guī)范性的要求。通過(guò)具體的例題和練習(xí)，讓學(xué)生掌握運(yùn)用余弦定理解決問(wèn)題的方法和技