2024年廣東省廣州市海珠區(qū)中考數(shù)學一模試卷

2024年廣東省廣州市海珠區(qū)中考數(shù)學一模試卷

題號―?二三總分

得分

一、選擇題（本大題共10小題，共30分）

1.下列各數(shù)中，無理數(shù)是（）

A.V4B.巳C.3D謁

2.下列圖形中，中心對稱圖形是（）

XDZ\

11、15,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）

C.15D.17

4.下列計算中，正確的是（）

A.（3a3）2=9a9B.3a4-3b=6ab

C.d+M=n2D.—Sn+2。=—2a

5.如圖，△ABC中，LABC=90°,沿8c所在的直線向右

平移得到△DEG下列結(jié)論中不肯定成立的是（）

A.EC=CF

B.乙DEF=90°

C.AC=DF

D.AC//DF

6.如圖，辦BCD的周長是32,對角線AC、相交于點。，點E

是AD的中點，BD=12,則ADOE的周長為（）

A.16B.14C.22D.18

7.如圖，在。。中，,1。=3,ZC=60°,則劣弧笳的長度為（）

A.67r

B.97rA

C.2n

D.37r

8.某小區(qū)原有一塊長為30米，寬為20米的矩形康樂健身區(qū)域，現(xiàn)方案在這一場地四

周（場內(nèi)）筑?條寬度相等的健走步道，其步道面積為214平方米，設(shè)這條步道的寬

度為X米，可以列出方程是（）

A.(30-2x)(20-2x)=214

B.(30-x)(20-x)=30x20-214

C.(30-2x)(20-2x)=30x20-214

D.（30+2x）（20+2%）=30x20-214

9.如圖，4、8是雙曲線y=3上的兩點，過4點作力。，之軸，父。8

于點。，垂足為點C,若△力。。的面積為1,。為OB的中點，則

k的值為（）

B*

C.3

D.4

10.若二次函數(shù)y=QX?—6QX+3(QV0),當2WxW5時，8WyW12,則a的值是()

A.1B.—1C.-gD.-1

二、填空題（本大題共6小題，共18分）

11.若分式W的值等于1，則“=.

12.二次函數(shù)y=-（x+I）2-8的圖象的頂點坐標是____.

13.已知圓錐的母線長為4,底面半徑為3,則圓錐的側(cè)面積等于.

14.若實數(shù)m滿足J（77i-1產(chǎn)=1一m，則m的取值范圍是.

15.菱形的兩個內(nèi)角的度數(shù)比是1：3,一邊上的高長是4,則菱形的面積是.

16.如圖，在。。中，AC,是直徑，Z.BOC=60。，點P是劣弧49上任意一點（不與4、

8重合），過P作AC垂線，交力。、8D所在直線于點E、F,過點P作8。垂線，交BD、

笫2頁，共23頁

4c所在直線于點G、W,下列選項中，正確的是

①泊祭

?Z.GPE=60°；

③PG+PE最大值為乎4。：

④-當△P￡7Y三△CBA時,S"GF：S矩形ABCD='：8.

三、解答題(本大題共9小題，共72分)

17.解不等式組：中二：三十2

18.如圖，已知點E在。A8CD邊。力延長線上，且力E=AD.求證:

四邊形/EBC是平行四邊形.

19.已知丁二^^一七.

a￡-b￡a-b

(1)化簡7;

(2)若a、6是方程/-7%+5=0的兩個根，求T的值.

20.2024春開學，為防控新冠病毒，同學進校必需戴口罩，測體溫，某校開通了小B、

C三條人工測體溫的通道，在三個通道中，可隨機詵擇其中的一個通過.

(1)其中一-個同學進校內(nèi)時由A通道過的概率是：

(2)求兩同學進校內(nèi)時，都是。通道過的概率.(用畫“樹狀圖”或“列表格”)

21.某地為了讓山頂通電，需要從山腳點3開頭接駁電線，經(jīng)過中轉(zhuǎn)站。，再連通到山

頂點4處，測得山頂4的高度4C為300米，從山腳B到山頂力的水平距離8C是500米，

斜面BD的坡度i=l：2(指。/與BF的比)，從點?？聪螯cA的仰角為45。.

(1)斜面4。的坡度i一；

(2)求電線+8。的長度(結(jié)果保留根號).

22.一次函數(shù)y=kx+h(kW0)的圖象與反比例函數(shù)y=工的圖象相交于4(2,〃)，

8(-3,-4)兩點.

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)以直線％=2為對稱軸，作直線y=kx+b的軸對稱圖形，交x軸于點C,連接AC,

求入。的長度.

23.在RtazlCB中，Z.ACB=90°,以4c長為半徑作04

(1)尺規(guī)作圖：將AACB繞點4順時針旋轉(zhuǎn)得使得點C的

對應(yīng)點C'落在線段AB上(保留作圖痕跡，不用寫畫法)；

(2)在(1)的條件下，若線段8'A與。4交于點P,連接8P.

①求證：與。4相切；

②假如C4=5,CB=12,與夕C'交于點。，連接04求04的

長.

24.如圖，AC.8。為00的直徑，且力C_LB0,P、Q分

別為半徑08、。力(不與端點重合)上的動點，直線PQ交

。0于時、N.

(1)比較大?。篶os/OPQsin/OQP；

(2)請你推斷MP-NP與OP-cos乙OPQ之間的數(shù)量關(guān)

系，并給出證明；

(3)當N4P0=60。時，設(shè)MQ=mMP,NQ=n-NP.

笫4頁，共23頁

①求m+n的值；

②以。。為邊在0D上方構(gòu)造矩形ODKS,已知。。=1,0S=>/3-l，在Q點的移動

過程中，1+恒亙絲一三恒為非負數(shù)，請直接寫出實數(shù)c的最大值.

MKMK

25.已知拋物線y=ax2+bx-1與%軸交于A(-2,0)和B(2,0).

(1)求拋物線的解析式；

(2)取拋物線上異于4、8的?個動點C,作C關(guān)于%軸的對稱點C',直線4C'交拋物線

于點0.

①記宜線C。與％軸的夾角為a(a<90。)，求a：

②假如△/1DC掩蓋的區(qū)域內(nèi)的點肯定分布在四個象限內(nèi)，且44QC內(nèi)角中有一個鈍

角0滿足105。V夕<135°,求點C橫坐標的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：74=2.3是整數(shù)，之是分數(shù)，這些都屬于有理數(shù)；

立是無理數(shù).

2

故選：D.

無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù).理解無理數(shù)的概念，肯定要同時理解有理數(shù)的概念，有理

數(shù)是整數(shù)與分數(shù)的統(tǒng)稱.即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無

理數(shù).由此即可求解.

本題主要考查了無理數(shù)的定義，其中學校范圍內(nèi)學習的無理數(shù)有：乃，27r等；開方開不

盡的數(shù)；以及像0.1010010001...,等有這樣規(guī)律的數(shù).

2.【答案】C

【解析】解：選項人、B、D都不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。后與

原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形，

選項C能找到這樣的?個點，使圖形繞某?點旋轉(zhuǎn)180。后與原來的圖形重合，所以是中

心對稱圖形，

故選：C.

依據(jù)中心對稱圖形的概念推斷.把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。，假如旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠

與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.

本題考查的是中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要查找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與

原圖重合.

3.【答案】R

【解析】解：將這6個數(shù)據(jù)從小到大排列為：11、12、13、15、17、18,

所以中位數(shù)為誓=14,

故選:B.

將一組數(shù)據(jù)依據(jù)從小到大（或從大到?。┑陌ご闻帕校偃鐢?shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中

間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).假如這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平

均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

笫6頁，共23頁

本題考查了中位數(shù)，留意求中位數(shù)的時候首先要排序.

4.【答案】0

【解析】解：4（3。3）2=9。6,故4不符合題意；

B、3a與3b不屬于同類項，不能合并，故8不符合題意；

C、a6-a3=a3,故C不符合題意；

Dy—5a+3Q=—2a,故。符合題意；

故選：D.

利用同底數(shù)塞的除法的法則，合并同類項的法則，同底數(shù)騫的乘法的法則，積的乘方的

法則對各項進行運算即可.

本題主要考查同底數(shù)哥的除法，合并同類項，積的乘方，同底數(shù)累的乘法，解答的關(guān)鍵

是對相應(yīng)的運算法則的把握.

5.【答案】A

【解析】解：MC沿直角邊BC所在的直線向右平移得到△DEF,

AC//DF,AABC為DEF,

:.Z.ACB=乙DFE,乙DEF=/.ABC=90°,AC=DF,BC=EF,

BC-CE=EF-CE,即BE=CF,

二選項8、C、。正確，不符合題意，

選項A錯誤，符合題意；

故選：A.

由平移的性質(zhì)得出△ABCw^DEF,得出對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，即可得出結(jié)論.

本題考查了平移的性質(zhì)：①平移不轉(zhuǎn)變圖形的外形和大小；②經(jīng)過平移，對應(yīng)點所連

的線段平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等.

6.【答案】B

【解析】解：?.?四邊形4BCO是平行四邊形，

AAB=CD,AD=BC,OB=OD=^BD=6,

2

?.R/BCD的周長為32,

???CD+BC=16,

???點E是CD的中點，

DE=^CD,?！晔恰?0的中位線，

OE=-BC,

2

:.DE+OE=(CD+BQ=8,

.*.△DOE的周長=OD+DE+OE=6+8=14；

故選:B.

由平行四邊形的性質(zhì)和三知條件得出。0=6,CD+BC=16,再證明0E是△BCD的中

位線，得出DE+0E=8,即可得出結(jié)果.

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理；嫻熟把握平行四邊形的性質(zhì)，運用

三角形中位線定理是解決問題的關(guān)鍵.

7.【答案】C

【解析】解：由題意可得：^AOB=2ZC=2X60°=120°,

???劣弧?的長度為工鬻三=27r.

1oU

故選：C.

依據(jù)圓周角定理可得440B,再依據(jù)弧長公式計算即可.

本題考查弧長公式，解題的關(guān)鍵是記住弧長公式1=黑.

8.【答案】C

【解析】解:設(shè)健走步道的寬度為工米,依據(jù)題意得:(30-2x)(20-2x)=30x20-214,

故選：C.

設(shè)出健走步道的寬度，然后依據(jù)面積間的關(guān)系列出方程求解即可.

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系并列出方程.

9.【答案】B

【解析】解：如圖，過點B作BE1%軸,垂足為E,

A.B是雙曲線y=：上的兩點，過力點作AC_L%軸,

?*,S^AOC=S4BOEf

?：AC//BE,

???△OCDOEBi

.S4COD_(00)2

??SABOE~W，

笫8頁，共23頁

乂是OB的中點,

.OP_1

??——9

OB2

...￡ACOD=:

S&BOE4

.SdCOD_1

SAAOC4，

.SbAOD_3

-SAAOC-R

又S—oo=1，

AS^AOC=￡J=弓4?刈，

k>0,

?8

???k=w，

故選:B.

依據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)〃的幾何意義以及相像二角形的件質(zhì)可得守二：,進而得出

“A0C4

受皿=；,求出三角形40C的面積，依據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)上的幾何意義求出答案.

ShAOC4

本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，相像三角形性質(zhì)，把握相像三角形的面枳比等

于相像比的平方是解決問題的關(guān)鍵.

10.【答案】D

【解析】解：在丫=-6ax+3,a<0,開口向下，對稱軸為％=3,

???當2W%W5時，8<y<12,

??.x=3時，y取得最大為12,

:.12=9a-18a+3?

Aa=—1.

故選：D.

依據(jù)二次函數(shù)解析式推斷出開口方向和對稱軸，再依據(jù)當2WXW5時，8WyW12,可

得到》在頂點處取得最大值，即可求出a值.

本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是依據(jù)二次函數(shù)增減性推斷出在何處取得最值.

11.【答案】0

【解析】解：由分式々的俏等于1,得

X+1

—=1,

去分母得％+1=1,

解得％=0，

經(jīng)檢驗％=0是分式方程的解.

故答案為：0.

依據(jù)分式的值，可得分式方程，依據(jù)解分式方程，可得答案.

本題考查了分式的值，解分式方程要檢驗方程的解.

12.【答案】(-1,-8)

【解析】解：???二次函數(shù)y=—(％+1)2—8,

該函數(shù)圖象的頂點坐標為(-1,-8),

故答案為：(―1,-8).

依據(jù)題目中二次函數(shù)的頂點式，可以直接寫出頂點坐標.

本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是由二次函數(shù)頂點式可以宜接寫出頂點坐標.

13.【答案】127r

【解析】解：???底面半徑為3,

???圓錐的底面周長為2x3TI=6TC,

二側(cè)面枳=4x6TT+2=12TT,

故答案為127r.

圓錐的側(cè)面積就等于經(jīng)母線長乘底面周長的一半.依比公式計算即可.

本題主要考查了圓錐的測面積的計算公式，牢記公式是解題的關(guān)鍵.

14.【答案】m<l

【解析】解：由題意可知：771-1W0，

解得：7九M1.

故答案為：m<l.

依據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出m的取值范圍.

本題考查的是二次根式的化簡求值，把握二次根式的性質(zhì)：值二|a|是解題的關(guān)鍵.

15.【答案】16A/2

【解析】解；如圖所示：過點。作OE_L4?于點E,

???菱形的兩個內(nèi)角的度數(shù)比是1：3,

第10頁，共23頁

3Z/1=乙ADC,AA+LADC=180°,

:.Z.A=45°,

則乙ADE=45°,

:.AE=ED=4,

:.AD=4近，

菱形的面積是4x4V2=16VL

故答案為：16企.

直接利用菱形的性質(zhì)結(jié)合平行線的性質(zhì)得出匕力=45。，進而求出菱形邊長，即可得出答

案.

此題主要考查了菱形的嚀質(zhì)，正確求出菱形的內(nèi)角度數(shù)是解題關(guān)鍵.

16.【答案】①②④

【解析】解：???PG1BD,PE1AC,

:.乙PEH=Z.PGF=90°,

乙HPE=Z-FPG,

??△PEHfPGF,

故①正確；

vZ.BOC=60。，

:.LGOE=1800-Z-BOC=120°,

在四邊形PGOE中，乙GPE=360°-(APGO+Z.PEO+4GOE)=60°,

故②正確；

分別連接P4PO,PB,過點P作PM14B于點M,

???S^POB+S“04=S^0AB+S&PAB?

??，08?PG+^OA-PE=SAOAB+.PM,

vOA=OB,

???PG+PE=至3+”?PM,

DAnA

???當PM最大時，PG+PE的值最大，此時點P為劣弧的中點，點M在線段OP上，

P01AB,PA=PB,

???乙BOP=60°,

22

...OM=；OP=；04,AB=2BM=2\OB--OA=43OA，

22yj4

：,PM=；OP=：O4

22

ShOAB=\AB^OM=IXV3O/1。42，

??.PG+P￡的最大值為三迎理+ex三04=更。｛+C。力=仃。力，

OAOA222

故③錯誤；

當△PEHWACBA時,貝JPE=BC,

OB=OC,^BOC=60°,

???△OBC是等邊三角形，

???OB=BC,

即PE=OB,

此時點E,戶均與點。重合，

二AC=BC,OA=OB=OC=00,

???四邊形力8。。是矩形，

???ZGP。=60°,

???LPOG=30°,

PG=-OP=-OA,

22

由勾股定理得0G=在04

2

.?.△PG尸的面不只為工x立04x-OA=—OA2^

2228

矩形力BCD的面積=ABBC=?OAxOA=百0不，

二S^PGF：S矩形ABCD=1：8.

故④正確，

???正確的是①②④，

故答案為：

利用△「￡1，一△PGG得裝二器，可知①止確；由四邊形內(nèi)角和為360。，可知②正確;

第12頁，共23頁

分別連接PA，P。，PB,過點尸作PM1AB于點M,由面積法知PG+PE=至智+皆?PM,

OAOA

當PM最大時，PG+PE的值最大，此時點P為劣弧48的中點，點M在線段OP上，可說

明③錯誤；當APEy三ACB力時，得PE=BC,則PE=OB,此時點E,F均與點。重合，

由勾股定理得0G=立04,△PGF的面積為2x^-OAx-OA=3。42,再表示矩形48CD

22228

的面積，可推斷④正確.

本題是相像形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，相像三角形的判定與性質(zhì)，等邊三隹形

的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)等學問，利用面枳法表示PG+PE是解題的關(guān)鍵.

17.【答案】解：修一：7+2幺，

由①得：%>1?

由②得：x>2,

則不等式組的解集為義>2.

【解析】分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分即可.

此題考查了解一元一次不等式組，嫻熟把握不等式組的解法是解本題的關(guān)鍵.

18.【答案】證明：???四邊形/BCD是平行四邊形，

???AD=BC,AD//BC,

vAE=AD,

???AE=BC>

-AE//BC,

???四邊形4EBC是平行四邊形.

【解析】依據(jù)一組對邊平行一旦相等的四邊形是平行四邊形即可證明結(jié)論.

本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是嫻熟把握平行四邊形的性質(zhì)和判定,

屬于中考基礎(chǔ)題.

2aa+b

19.【答案】解:(1)7

(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)

2a-(a+b)

(a+b)(a-b)

(a+b)(a-b)

(2)a、b是方程/一7%+5=0的兩個根,

???a+b=7,

則丁=

【解析】(1)原式通分并利用同分母分式的減法法則計算，約分即可得到結(jié)果；

(2)利用根與系數(shù)的關(guān)系求出a+b的值，代入計算即可求出值.

此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，嫻熟把握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.

20.【答案"

【解析】解：(1)???共有三個同學測體溫，分別是小、E、C,

其中一個同學進校內(nèi)時由A通道過的概率是最

故答案為：;;

(2)畫樹狀圖如下：

共有9種等狀況數(shù)，其中兩同學進校內(nèi)時都是C通道過的有1種狀況，

則兩同學進校內(nèi)時.，都是。通道過的概率是

(1)直接依據(jù)概率公式求解即可；

(2)依據(jù)題意畫出樹狀圖得出全部等狀況數(shù)，找出符合條件的狀況數(shù)，然后依據(jù)概率公

式即可得出答案.

此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.留意畫樹狀圖法與列表法可以不重復(fù)不遺漏

的列出全部可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的大事；樹狀圖法適合兩步或兩步以上

完成的大事；留意概率=所求狀況數(shù)與總狀況數(shù)之比.

21.【答案】1：1

【解析】解：(1)由題意得：

Z.AED=90°,Z/1DE=45°,

在中，m九45°=空=1,

第14頁，共23頁

???斜面40的坡度i=l：1,

故答案為：1：1；

(2)由(1)得：AE=DE,

設(shè)力E=0E=%米，

則DE=CF=%米，

vAC=300米，BC=500米，

:.EC=AC-AE=(300-x)米，BF=BC-CF=(500-x)米，

:.OF=EC=(300-x)米，

?.?斜面BC的坡度i=l：2,

DF1

J.一=

BF2

BF=2DF,

500-x=2(300-xi,

解得：x-=100,

二8戶=400米，OF=200米，4E=OE=100米，

在Rt△BDF中，BD=d'BF?+DM=V4002+2002=200V5(米)，

在Rt△4OE中，AD=y/AE2+DE2=V10024-1002=100口(米)，

AD+BD=(100或+2006)米，

???電線4D+BD的長度為(100&+200遮)米.

(1)依據(jù)題意可得N4ED=90。，AADE=45°,然后在在At△ADE中，利用銳角三角函

數(shù)的定義進行計算即可解答；

(2)設(shè)力E=DE=x米，則DE=CF=x米，從而表示出MF,8F的長，再利用斜面8。的

坡度”1：2,列出關(guān)于x的方程，進行計算即可求出工的值，然后分別在Rt△BDF^Rt△

ADE中，利用勾股定理求出/ID,8。的長，進行計算即可解答.

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，嫻熟把握銳角三隹函

數(shù)的定義，以及坡度是解題的關(guān)鍵.

22.【答案】解：⑴???點B(-3,-4)在反比例函數(shù)y=

圖象上，

m=-3x(—4)=12.

二反比例函數(shù)的表達式為y=g

(2)???點A(2,〃)在反比例函數(shù)y=苫圖象匕

???n=2—=6,

4(2,6),

將點/、B的坐標代入一次函數(shù)y=kr+b中，

(2k+b=6

l-3k+b=-4'

解得:[J：2-

所以一次函數(shù)的解析式為：y=2x4-2,

令y=0,則2%+2=0,解得無二一1,

???D(-1,O),

:.AD=7(2+I)2+62=3后

???以直線4=2為對稱軸.作直線y=kx+匕的軸對稱圖形，

二對稱軸過點4點。的對稱點C，

-%AC=AD=3V5.

【解析】(1)利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式；

(2)利用反比例函數(shù)解析式確定出點4的坐標，再用待足系數(shù)法求出函數(shù)解析式，進一步

求得宜線力8與x軸的交點。，利用勾股定理求得力D,然后利用軸對稱的性質(zhì)得出AC=

AD.

本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，

反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，軸對稱的性質(zhì)，嫻

熟把握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵.

23.【答案】解：(1)取0A與4B的交點為C',

①以C'為圓心，適當長強為半徑畫弧，交于點凡F；

②分別以E,F為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于點G、H；

③作直線GH；

④以C'為圓心BC長為半徑畫弧，交GH于B'；

⑤連接AB'；

則△力C'夕即為所求，如下圖所示：

第16頁，共23頁

B

(2)①?.?△/。缶'是44CB繞點4順時針旋轉(zhuǎn)而成，且41cB=90%

AB=AB',4/C?=90。，

???P點在。A上，

^AC=AP,

在△45P和△AB'C'中,

(AB=AB'

l￡BAP=LB'AC'y

UP=AC

.*.△ABPZAAB'C'(SAS),

Z-APB=乙AC'B'=90。,

???AP是。力的半徑，

???8P是OA的切線；

②如卜圖：

???Z.ACB=90。，4C是。人的半徑，

???8C是。4的切線，且A4CB是直角三角形,

vCA=5,CB=12,

--AB=VCA2+CB2=N/52+122=13,

???sin^ABC

AB13

???BP是。A的切線，

???乙ABC=Z.ABP,

故sin乙48P=亮,

令OC'=5k,OB=13k,

???BC=12k,

-AB=AC+8C',且力C'=AC=5,

13=54-12k,

解得k=g

?5

ocr=5x-=—,

33

在々△4。'。中，由勾股定理得，0力=70c2+4c，2=J（T）2+52二手,

即0A的長為至亙.

3

【解析】（1）取04與的交點為C',過。'作的垂線，以C'為圓心8。長為半徑畫瓠,

交垂線于B',連接力夕即可；

（2）①依據(jù)115證4ABPZAAB'C,得出=90唧可；

②依據(jù)勾股定理求出的長，依據(jù)三角函數(shù)得出籌=搐，令。C'=5匕0B=13k,求

U”JLJ

出k值，利用勾股定理求出。4即可.

本題主要考查圓的綜合學問，嫻熱把握基本作圖方法，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股

定理，切線的判定等學,可是解題的關(guān)鍵.

24.【答案】=

【解析】解：⑴?.T11BD,

Z-POQ=90°,

**-cos乙OPQ=,，sin4OQP=黑,

???cosZ.OPQ=s\nz.OQP,

故答案為：=:

(2)如圖1,

第18頁，共23頁

MP-NP=20P-cosZ-OPQ,理由如下:

作OE1MMN于E,

EM=EN,

：.PM=EM+PE=EN+PE,

NP=EN-PE,

:.PM-NP=2PE,

vPE=OP?cosZ-OPQ,

:.PM—NP=2OP?cos乙OPQ；

(3)v①MQ=m?MP,NQ=n*NP,

MQNQ

???m=—,n=一,

MPNP

MQ,NQMQNP+NQMP

771+71=----H------=-------------------,

MPNPMPNP

???Z.AOP=90°,/-APO=60°,

???tan600=^=V3,

設(shè)OP=x,OA=V3x>

PB=OB—OP=\[3x—x?PD=OD+OP=y/3x4-x?

MP-NP=PB-PD=2x2,

???MQ-NP+NQ-MP=(PM—PQ)?NP+(NP+PQ].MP

=PM?NP-PQ?NP+NP?MP+PQ?MP

=4x2+(MP-NP)?PQ

=4x2—2OP-cosZ.OPQ-PQ

=4x2+2OP2

=6x2,

6x2_

Am+n=—=3；

(3)如圖2,

連接0M,在OP的延長線上截取PE=2OP,

:絲=空=6

OPOM

,:乙POM=乙MOE,

???△POAfs^MOE,

：EMOMB

?—PM=—OP=VJ,

EM=WPM,

???MK+V5MP=MK+EM,

當Q、M、K共線時，MK+V5Mp最小，

^Rt^KDE^P，DK=0S=6-1，DE=OD+3OP=1+V3?

???EK=J(b+1產(chǎn)+(乃一1)2=2叵

^^一￡

MKMK~

???cWMK+V5Mp恒成立，

??.c的最大值是2企.

(1)依據(jù)三角函數(shù)定義做出推斷即可；

⑵作OE1MMN于E,可推出PM-NP=2PE,而PE=OP-coscOPQ,從而得出PM-

NP=2OP-cos乙OPQ；

(3)①可得出m+九=導然MQ.靠腎MP,”="，。＜=百如可推出MP.NP=

PB-PD=2x2,MQ-NP+NQ-MP=6x2,進而求得結(jié)果：

②連接OM,在。P的延長線上截取PQ=2OP,可推出APOM?aMOQ,進而得出QM=

V5PM，從而MK+V5Mp=MK+QM,當Q、M、K共線時，MK+V5Mp最小，進一

步求得結(jié)果.

本題考查了三角函數(shù)的定義，圓的有關(guān)性質(zhì)，相像三角形的判定和性質(zhì)等學問，解決問

題的關(guān)鍵是作幫助線，構(gòu)造相像三角形.

第20頁，共23頁

25.【答案】解：⑴???拋物線y=a%2+bx-1與3軸交于4(一2,0)和8(2,0),

(4a—2b-1=0

14a4-2b-1=0

_1

a=

解得：4f

,b=0

該拋物線的解析式為y=_i：

4

(2)①如圖1,設(shè)且tH±2,直線CD

交比怙于巴交y鈾于產(chǎn)，

???C'與C關(guān)于工軸對稱，

C'[t,—+1),

設(shè)直線AC'的解析式為y=kx+c,

(-2k+c=0

則比+c=--t2+V

4

k=--(t-2)

解得：；，

c=—(t—2)

???直線AC的解析式為y=-；(t-2)x-；(t-2),

42

y=-^(t-2)x-1(t-2)

聯(lián)立方程組得:

y+-1

%=-2p2=4-t

解得:卜=產(chǎn)一