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山東省濟(jì)南市歷城二中2024-2025學(xué)年高三周考數(shù)學(xué)試題二考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù),且滿足,當(dāng)時(shí),,則函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個數(shù)為()A.9 B.10 C.18 D.202.設(shè),是非零向量,若對于任意的,都有成立,則A. B. C. D.3.已知是第二象限的角,,則()A. B. C. D.4.已知正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都相等,是的中點(diǎn),則所成的角的余弦值為()A. B. C. D.5.設(shè)集合,,則集合A. B. C. D.6.函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點(diǎn),則a的值為()A.3 B.-3 C.2 D.-27.已知、分別為雙曲線:(,)的左、右焦點(diǎn),過的直線交于、兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),若,,則的離心率為()A.2 B. C. D.8.如圖,用一邊長為的正方形硬紙,按各邊中點(diǎn)垂直折起四個小三角形,做成一個蛋巢,將體積為的雞蛋(視為球體)放入其中,蛋巢形狀保持不變,則雞蛋中心(球心)與蛋巢底面的距離為()A. B. C. D.9.已知點(diǎn)是拋物線:的焦點(diǎn),點(diǎn)為拋物線的對稱軸與其準(zhǔn)線的交點(diǎn),過作拋物線的切線,切點(diǎn)為,若點(diǎn)恰好在以,為焦點(diǎn)的雙曲線上,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.10.拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)是上一點(diǎn),,則()A. B. C. D.11.已知函數(shù)若函數(shù)在上零點(diǎn)最多,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.12.半徑為2的球內(nèi)有一個內(nèi)接正三棱柱,則正三棱柱的側(cè)面積的最大值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標(biāo)系中,若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(3,4),則該雙曲線的準(zhǔn)線方程為_____.14.某次足球比賽中,,,,四支球隊(duì)進(jìn)入了半決賽.半決賽中,對陣,對陣,獲勝的兩隊(duì)進(jìn)入決賽爭奪冠軍,失利的兩隊(duì)爭奪季軍.已知他們之間相互獲勝的概率如下表所示.獲勝概率—0.40.30.8獲勝概率0.6—0.70.5獲勝概率0.70.3—0.3獲勝概率0.20.50.7—則隊(duì)獲得冠軍的概率為______.15.平行四邊形中,,為邊上一點(diǎn)(不與重合),將平行四邊形沿折起,使五點(diǎn)均在一個球面上,當(dāng)四棱錐體積最大時(shí),球的表面積為________.16.設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí),記最大值為,則的最小值為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知拋物線E:y2=2px(p>0),焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為3,拋物線E上的兩個動點(diǎn)A(x1,y1)和B(x2,y2),其中x1≠x2且x1+x2=1.線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)C.(1)求拋物線E的方程;(2)求△ABC面積的最大值.18.(12分)已知是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)在軸上,為坐標(biāo)原點(diǎn),且滿足,經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸的直線與拋物線交于、兩點(diǎn),且.(1)求拋物線的方程;(2)直線與拋物線交于、兩點(diǎn),若,求點(diǎn)到直線的最大距離.19.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若對恒成立,求的取值范圍.20.(12分)已知是遞增的等差數(shù)列,,是方程的根.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.21.(12分)一個工廠在某年里連續(xù)10個月每月產(chǎn)品的總成本(萬元)與該月產(chǎn)量(萬件)之間有如下一組數(shù)據(jù):1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.872.252.372.402.552.642.752.923.033.143.26(1)通過畫散點(diǎn)圖,發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以說明;(2)①建立月總成本與月產(chǎn)量之間的回歸方程;②通過建立的關(guān)于的回歸方程,估計(jì)某月產(chǎn)量為1.98萬件時(shí),產(chǎn)品的總成本為多少萬元?(均精確到0.001)附注:①參考數(shù)據(jù):,,,,.②參考公式:相關(guān)系數(shù),,.22.(10分)如圖,在四棱錐中,是等邊三角形,,,.(1)若,求證:平面;(2)若,求二面角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】
由已知可得函數(shù)f(x)的周期與對稱軸,函數(shù)F(x)=f(x)在區(qū)間上零點(diǎn)的個數(shù)等價(jià)于函數(shù)f(x)與g(x)圖象在上交點(diǎn)的個數(shù),作出函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如圖,數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】函數(shù)F(x)=f(x)在區(qū)間上零點(diǎn)的個數(shù)等價(jià)于函數(shù)f(x)與g(x)圖象在上交點(diǎn)的個數(shù),由f(x)=f(2﹣x),得函數(shù)f(x)圖象關(guān)于x=1對稱,∵f(x)為偶函數(shù),取x=x+2,可得f(x+2)=f(﹣x)=f(x),得函數(shù)周期為2.又∵當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x,且f(x)為偶函數(shù),∴當(dāng)x∈[﹣1,0]時(shí),f(x)=﹣x,g(x),作出函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如圖:由圖可知,兩函數(shù)圖象共10個交點(diǎn),即函數(shù)F(x)=f(x)在區(qū)間上零點(diǎn)的個數(shù)為10.故選:B.本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,屬于中檔題.2.D【解析】
畫出,,根據(jù)向量的加減法,分別畫出的幾種情況,由數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】由題意,得向量是所有向量中模長最小的向量,如圖,當(dāng),即時(shí),最小,滿足,對于任意的,所以本題答案為D.本題主要考查了空間向量的加減法,以及點(diǎn)到直線的距離最短問題,解題的關(guān)鍵在于用有向線段正確表示向量,屬于基礎(chǔ)題.3.D【解析】
利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.【詳解】因?yàn)?由誘導(dǎo)公式可得,,即,因?yàn)?所以,由二倍角的正弦公式可得,,所以.故選:D本題考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角的正弦公式;考查運(yùn)算求解能力和知識的綜合運(yùn)用能力;屬于中檔題.4.C【解析】試題分析:設(shè)的交點(diǎn)為,連接,則為所成的角或其補(bǔ)角;設(shè)正四棱錐的棱長為,則,所以,故C為正確答案.考點(diǎn):異面直線所成的角.5.B【解析】
先求出集合和它的補(bǔ)集,然后求得集合的解集,最后取它們的交集得出結(jié)果.【詳解】對于集合A,,解得或,故.對于集合B,,解得.故.故選B.本小題主要考查一元二次不等式的解法,考查對數(shù)不等式的解法,考查集合的補(bǔ)集和交集的運(yùn)算.對于有兩個根的一元二次不等式的解法是:先將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù),且不等號的另一邊化為,然后通過因式分解,求得對應(yīng)的一元二次方程的兩個根,再利用“大于在兩邊,小于在中間”來求得一元二次不等式的解集.6.A【解析】
求出,對分類討論,求出單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn),結(jié)合三次函數(shù)的圖像特征,即可求解.【詳解】,若,,在單調(diào)遞增,且,在不存在零點(diǎn);若,,在內(nèi)有且只有一個零點(diǎn),.故選:A.本題考查函數(shù)的零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查分類討論思想,熟練掌握函數(shù)圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.7.D【解析】
作出圖象,取AB中點(diǎn)E,連接EF2,設(shè)F1A=x,根據(jù)雙曲線定義可得x=2a,再由勾股定理可得到c2=7a2,進(jìn)而得到e的值【詳解】解:取AB中點(diǎn)E,連接EF2,則由已知可得BF1⊥EF2,F(xiàn)1A=AE=EB,設(shè)F1A=x,則由雙曲線定義可得AF2=2a+x,BF1﹣BF2=3x﹣2a﹣x=2a,所以x=2a,則EF2=2a,由勾股定理可得(4a)2+(2a)2=(2c)2,所以c2=7a2,則e故選:D.本題考查雙曲線定義的應(yīng)用,考查離心率的求法,數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.對于圓錐曲線中求離心率的問題,關(guān)鍵是列出含有中兩個量的方程,有時(shí)還要結(jié)合橢圓、雙曲線的定義對方程進(jìn)行整理,從而求出離心率.8.D【解析】
先求出球心到四個支點(diǎn)所在球的小圓的距離,再加上側(cè)面三角形的高,即可求解.【詳解】設(shè)四個支點(diǎn)所在球的小圓的圓心為,球心為,由題意,球的體積為,即可得球的半徑為1,又由邊長為的正方形硬紙,可得圓的半徑為,利用球的性質(zhì)可得,又由到底面的距離即為側(cè)面三角形的高,其中高為,所以球心到底面的距離為.故選:D.本題主要考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,以及球的性質(zhì)的綜合應(yīng)用,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及推理與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9.D【解析】
根據(jù)拋物線的性質(zhì),設(shè)出直線方程,代入拋物線方程,求得k的值,設(shè)出雙曲線方程,求得2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,利用雙曲線的離心率公式求得e.【詳解】直線F2A的直線方程為:y=kx,F(xiàn)1(0,),F(xiàn)2(0,),代入拋物線C:x2=2py方程,整理得:x2﹣2pkx+p2=0,∴△=4k2p2﹣4p2=0,解得:k=±1,∴A(p,),設(shè)雙曲線方程為:1,丨AF1丨=p,丨AF2丨p,2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,2c=p,∴離心率e1,故選:D.本題考查拋物線及雙曲線的方程及簡單性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.10.B【解析】
根據(jù)拋物線定義得,即可解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所?故選B本題考查拋物線定義,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.11.D【解析】
將函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線的交點(diǎn)的個數(shù)問題,畫出函數(shù)的圖象,易知直線過定點(diǎn),故與在時(shí)的圖象必有兩個交點(diǎn),故只需與在時(shí)的圖象有兩個交點(diǎn),再與切線問題相結(jié)合,即可求解.【詳解】由圖知與有個公共點(diǎn)即可,即,當(dāng)設(shè)切點(diǎn),則,.故選:D.本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)的問題,曲線的切線問題,注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于較難的壓軸題.12.B【解析】
設(shè)正三棱柱上下底面的中心分別為,底面邊長與高分別為,利用,可得,進(jìn)一步得到側(cè)面積,再利用基本不等式求最值即可.【詳解】如圖所示.設(shè)正三棱柱上下底面的中心分別為,底面邊長與高分別為,則,在中,,化為,,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,此時(shí).故選:B.本題考查正三棱柱與球的切接問題,涉及到基本不等式求最值,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
代入求解得,再求準(zhǔn)線方程即可.【詳解】解:雙曲線經(jīng)過點(diǎn),,解得,即.又,故該雙曲線的準(zhǔn)線方程為:.故答案為:.本題主要考查了雙曲線的準(zhǔn)線方程求解,屬于基礎(chǔ)題.14.0.18【解析】
根據(jù)表中信息,可得勝C的概率;分類討論B或D進(jìn)入決賽,再計(jì)算A勝B或A勝C的概率即可求解.【詳解】由表中信息可知,勝C的概率為;若B進(jìn)入決賽,B勝D的概率為,則A勝B的概率為;若D進(jìn)入決賽,D勝B的概率為,則A勝D的概率為;由相應(yīng)的概率公式知,則A獲得冠軍的概率為.故答案為:0.18本題考查了獨(dú)立事件的概率應(yīng)用,互斥事件的概率求法,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】
依題意可得、、、四點(diǎn)共圓,即可得到,從而得到三角形為正三角形,利用余弦定理可得,且,要使四棱錐體積最大,當(dāng)且僅當(dāng)面面時(shí)體積取得最大值,利用正弦定理求出的外接圓的半徑,再又可證面,則外接球的半徑,即可求出球的表面積;【詳解】解:依題意可得、、、四點(diǎn)共圓,所以因?yàn)椋?,,所以三角形為正三角形,則,,利用余弦定理得即,解得,則所以,當(dāng)面面時(shí),取得最大,所以的外接圓的半徑,又面面,,且面面,面所以面,所以外接球的半徑所以故答案為:本題考查多面體的外接球的相關(guān)計(jì)算,正弦定理、余弦定理的應(yīng)用,屬于中檔題.16.【解析】
易知,設(shè),,利用絕對值不等式的性質(zhì)即可得解.【詳解】,設(shè),,令,當(dāng)時(shí),,所以單調(diào)遞減令,當(dāng)時(shí),,所以單調(diào)遞增所以當(dāng)時(shí),,,則則,即故答案為:.本題考查函數(shù)最值的求法,考查絕對值不等式的性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想及邏輯推理能力,屬于難題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)y2=6x(2).【解析】
(1)根據(jù)拋物線定義,寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程,列方程即可得解;(2)根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)表示出|AB|和點(diǎn)到直線的距離,得出面積,利用均值不等式求解最大值.【詳解】(1)拋物線E:y2=2px(p>0),焦點(diǎn)F(,0)到準(zhǔn)線x的距離為3,可得p=3,即有拋物線方程為y2=6x;(2)設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),則,y0,kAB,則線段AB的垂直平分線方程為y﹣y0(x﹣2),①可得x=5,y=0是①的一個解,所以AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)C為定點(diǎn),且點(diǎn)C(5,0),由①可得直線AB的方程為y﹣y0(x﹣2),即x(y﹣y0)+2②代入y2=6x可得y2=2y0(y﹣y0)+12,即y2﹣2y0y+2y02=0③,由題意y1,y2是方程③的兩個實(shí)根,且y1≠y2,所以△=1y02﹣1(2y02﹣12)=﹣1y02+18>0,解得﹣2y0<2,|AB|,又C(5,0)到線段AB的距離h=|CM|,所以S△ABC|AB|h?,當(dāng)且僅當(dāng)9+y02=21﹣2y02,即y0=±,A(,),B(,),或A(,),B(,)時(shí)等號成立,所以S△ABC的最大值為.此題考查根據(jù)焦點(diǎn)和準(zhǔn)線關(guān)系求拋物線方程,根據(jù)直線與拋物線位置關(guān)系求解三角形面積的最值,表示三角形的面積關(guān)系常涉及韋達(dá)定理整體代入,拋物線中需要考慮設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)的技巧,處理最值問題常用函數(shù)單調(diào)性求解或均值不等式求最值.18.(1);(2).【解析】
(1)求得點(diǎn)的坐標(biāo),可得出直線的方程,與拋物線的方程聯(lián)立,結(jié)合求出正實(shí)數(shù)的值,進(jìn)而可得出拋物線的方程;(2)設(shè)點(diǎn),,設(shè)的方程為,將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,結(jié)合求得的值,可得出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo),由此可得出點(diǎn)到直線的最大距離.【詳解】(1)易知點(diǎn),又,所以點(diǎn),則直線的方程為.聯(lián)立,解得或,所以.故拋物線的方程為;(2)設(shè)的方程為,聯(lián)立有,設(shè)點(diǎn),,則,所以.所以,解得.所以直線的方程為,恒過點(diǎn).又點(diǎn),故當(dāng)直線與軸垂直時(shí),點(diǎn)到直線的最大距離為.本題考查拋物線方程的求解,同時(shí)也考查了拋物線中最值問題的求解,涉及韋達(dá)定理設(shè)而不求法的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,屬于中等題.19.(1)或;(2)或.【解析】試題分析:(1)根據(jù)絕對值定義將不等式化為三個不等式組,分別求解集,最后求并集(2)根據(jù)絕對值三角不等式得最小值,再解含絕對值不等式可得的取值范圍.試題解析:(1)等價(jià)于或或,解得:或.故不等式的解集為或.(2)因?yàn)椋核?,由題意得:,解得或.點(diǎn)睛:含絕對值不等式的解法有兩個基本方法,一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論,二是利用絕對值的幾何意義求解.法一是運(yùn)用分類討論思想,法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透,解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用,這是命題的新動向.20.(1);(2).【解析】
(1)方程的兩根為,由題意得,在利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出;(2)利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求出.【詳解】方程x2-5x+6=0的兩根為2,3.由題意得a2=2,a4=3.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,則a4-a2=2d,故d=,從而得a1=.所以{an}的通項(xiàng)公式為an=n+1
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