專題5.1 導(dǎo)數(shù)的概念及其意義（9類必考點）（人教A版2019選擇性必修第二冊）（原卷版）-1

專題5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【知識梳理】 1【考點1：變化率問題】 3【考點2：導(dǎo)數(shù)的定義】 4【考點3：求曲線切線的斜率（傾斜角）】 5【考點4：已知切線（斜率）求參數(shù)】 5【考點5：在曲線上一點的切線方程】 6【考點6：過一點的切線方程】 7【考點7：兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題】 8【考點8：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求最值】 9【知識梳理】1．瞬時速度(1)平均速度設(shè)物體的運動規(guī)律是s=s(t)，則物體在到+t這段時間內(nèi)的平均速度為=.(2)瞬時速度①物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.

②一般地，當(dāng)t無限趨近于0時，無限趨近于某個常數(shù)v，我們就說當(dāng)t趨近于0時，的極限是v，這時v就是物體在t=時的瞬時速度，即瞬時速度v==.2．拋物線切線的斜率(1)拋物線割線的斜率設(shè)二次函數(shù)y=f(x)，則拋物線上過點、的割線的斜率為=.(2)拋物線切線的斜率一般地，在二次函數(shù)y=f(x)中，當(dāng)x無限趨近于0時，無限趨近于某個常數(shù)k，我們就說當(dāng)x趨近于0時，的極限是k，這時k就是拋物線在點處切線的斜率，即切線的斜率k==.3．函數(shù)的平均變化率函數(shù)平均變化率的定義

對于函數(shù)y=f(x)，設(shè)自變量x從變化到+x，相應(yīng)地，函數(shù)值y就從f()變化到f(+x).這時，x的變化量為x，y的變化量為y=f(+x)-f().我們把比值，即=叫做函數(shù)y=f(x)從到+x的平均變化率.4．函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)切線的定義在曲線y=f(x)上任取一點P(x,f(x))，如果當(dāng)點P(x,f(x))沿著曲線y=f(x)無限趨近于點(,f())時，割線P無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線T(T是直線T上的一點)稱為曲線y=f(x)在點處的切線.(2)函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在x=處的導(dǎo)數(shù)f'()就是切線的斜率，即f'().這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義.相應(yīng)地，切線方程為.5．導(dǎo)函數(shù)的定義從求函數(shù)y=f(x)在x=處導(dǎo)數(shù)的過程可以看到，當(dāng)x=時，f'()是一個唯一確定的數(shù).這樣，當(dāng)x變化時，y=f'(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù)).y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)有時也記作y'，即f'(x)=y'=.在曲線上一點的切線方程—解題秘籍：①求出切點的坐標②求出函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)③得切線方程.過一點的切線方程—解題秘籍：設(shè)切點為，則斜率，過切點的切線方程為：，∵過點，∴然后解出的值，有幾個值，就有幾條切線.公切線—解題秘籍：①設(shè)切點，②建立切線方程，③代入點到切線方程中，利用此時切點在切線且在曲線上，即同時滿足方程：解出切點坐標，從而寫出切線方程．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求最值—解題秘籍：①兩個動點分別在一個函數(shù)圖象和一條直線上.若兩個動點分別在函數(shù)和直線上，那么當(dāng)在點處的切線與直線平行時，到直線的距離.②若兩個動點分別在函數(shù)和函數(shù)上，那么當(dāng)直線與直線平行時，且與相切，則切點到的距離.【考點1：變化率問題】【知識點：變化率問題】1．（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（

）A．6 B．3 C．2 D．12．（24-25高二上·江蘇宿遷·期末）函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（

）A． B． C． D．3．（2025高二下·河南商丘·開學(xué)考試）函數(shù)從到的平均變化率為（

）A． B． C． D．4．（2025高二·全國·課堂例題）物體運動方程為（位移單位：m，時間單位：s），若，則下列說法中正確的是（

）A．18m/s是物體從開始到3s這段時間內(nèi)的平均速度B．18m/s是物體從3s到這段時間內(nèi)的速度C．18m/s是物體在3s這一時刻的瞬時速度D．18m/s是物體從3s到這段時間內(nèi)的平均速度5．（24-25高二上·北京朝陽·期末）建設(shè)大型水庫可實現(xiàn)水資源的合理分配和綜合利用，提高水資源的社會經(jīng)濟效益.已知一段時間內(nèi)，甲，乙兩個水庫的蓄水量與時間的關(guān)系如下圖所示.下列敘述中正確的是（

）A．在這段時間內(nèi)，甲，乙兩個水庫蓄水量的平均變化率均大于0B．在這段時間內(nèi)，甲水庫蓄水量的平均變化率大于乙水庫蓄水量的平均變化率C．甲水庫在時刻蓄水量的瞬時變化率大于乙水庫在時刻蓄水量的瞬時變化率D．乙水庫在時刻蓄水量的瞬時變化率大于乙水庫在時刻蓄水量的瞬時變化率6．（2025高二上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于時的瞬時變化率，則（

）A． B．1 C．2 D．【考點2：導(dǎo)數(shù)的定義】【知識點：導(dǎo)數(shù)的定義】1．（24-25高二上·安徽六安·期末）若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)存在，且，則（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·江蘇淮安·期末）已知函數(shù)在處可導(dǎo)，且，則等于（

）A． B． C．1 D．3．（2025高二下·浙江溫州·開學(xué)考試）若函數(shù)滿足，則（

）A．1 B．2 C． D．4．（24-25高二上·陜西榆林·期末）已知函數(shù)在處可導(dǎo)，則（

）A． B． C． D．5．（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）若，則（

）A． B．6 C．3 D．-36．（2025高三·上?！るS堂練習(xí)）已知函數(shù)，其中，(1)求曲線在，，，處的切線的斜率；(2)說明這些斜率值是如何變化的．【考點3：求曲線切線的斜率（傾斜角）】【知識點：求曲線切線的斜率（傾斜角）】1．（2025高二下·全國·課前預(yù)習(xí)）若函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，則曲線在處的切線的傾斜角．2．（24-25高二上·湖南邵陽·期末）已知拋物線上一點，則在點處的切線的傾斜角為（

）A． B． C． D．3．（2025高二下·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)，它們在平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則的大小關(guān)系是（

）

A．B．C．D．

4．（2025高二上·江蘇·階段練習(xí)）點在曲線上，設(shè)曲線在點處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【考點4：已知切線（斜率）求參數(shù)】【知識點：已知切線（斜率）求參數(shù)】1．（2025·四川·模擬預(yù)測）若曲線在點處的切線方程是，則．2．（2025高三上·湖南·階段練習(xí)）曲線的一條切線為，則．3．（24-25高二上·福建三明·期末）若曲線在點處的切線方程是，則．4．（2025高三下·上海寶山·階段練習(xí)）已知為正實數(shù)，直線與曲線相切，則的最小值為.5．（2025高三下·廣東惠州·階段練習(xí)）若直線與曲線相切，則（

）A． B．1 C． D．6．（2025高三上·安徽·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象與x軸相切，則a的值為（

）A． B． C． D．【考點5：在曲線上一點的切線方程】【知識點：在曲線上一點的切線方程】1．（24-25高二下·甘肅臨夏·期末）曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．2．（2025高二上·全國·課后作業(yè)）已知曲線上一點，求：(1)曲線在點處的切線的斜率；(2)曲線在點處的切線方程.3．（2025高二上·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)．(1)求曲線上任意一點處的切線斜率；(2)求曲線在點處的切線方程．【考點6：過一點的切線方程】【知識點：過一點的切線方程】1．（2024·新疆·二模）過點且與曲線相切的直線方程為（

）A． B．C．或 D．或2．（2025高二下·河北·開學(xué)考試）已知函數(shù)（，）的圖象過點，且．(1)求，的值；(2)求曲線過點的切線方程．3．（24-25高二上·重慶·期末）已知曲線，(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求過點且與曲線相切的直線方程.【考點7：兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題】【知識點：兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題】1．（24-25高二上·陜西西安·期末）若曲線在點處的切線與直線垂直，則實數(shù)a的值為（

）A．－4 B．－3 C．4 D．32．（24-25高二下·安徽合肥·期中）若曲線在點處的切線與直線垂直，則實數(shù)a的值為（

）A．1 B． C．2 D．33．（24-25高二下·江西·期中）設(shè)曲線在點處的切線與直線平行，則實數(shù)（

）A． B．C． D．4．（24-25高二下·湖北·期中）若直線是曲線與曲線的公切線，則（

）．A．26 B．23 C．15 D．115．（2025高三·全國·專題練習(xí)）若直線與函數(shù)和的圖象分別相切于點，則（

）A．2 B． C． D．6．（2024·廣東江蘇·高考真題）若曲線在點處的切線也是曲線的切線，則.7．（24-25高三上·遼寧·期中）已知直線是曲線和的公切線，則的值為.8．（2025高三上·廣西南寧·階段練習(xí)）已知曲線與的公切線為，則實數(shù).【考點8：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求最值】【知識點：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求最值】1．（2025高二下·福建寧德·階段練習(xí)）設(shè)點在曲線上，點在直線上，則的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．2．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知