1.3 圓柱的體積（學霸課堂筆記）-2023-2024學年數(shù)學六年級下冊同步培優(yōu)講義（北師大版）

1.3圓柱的體積第一部分第一部分知識清單1.已知圓柱的底面積求體積：圓柱的體積=底面積×高V=Sh2.已知圓柱的底面半徑求體積：圓柱的體積=圓周率×半徑2×高V=πr2h3.已知圓柱的底面直徑求體積：圓柱的體積=圓周率×（直徑÷2）2×高V=π(d÷2)2h4.已知圓柱的底面周長和高，求圓柱的體積:先根據(jù)周長求出半徑：r=C÷π÷2再求出底面積：S=π(C÷π÷2)2最后再求出體積：V=π(C÷π÷2)2h5.高相等的長方體和圓柱體的體積關(guān)系：底面積大的體積就大。6.解決圓柱體積的實際問題：我們常常把一個體積轉(zhuǎn)化成另一個體積：如正方體溶鑄成圓柱體；小石子放入水中水面升高等等。第二部分第二部分典型例題例1：一個長6米的圓柱體狀的木頭，把它平均截成相等的三段，表面積增加了20平方分米，則這個圓柱體木頭的體積是（

）。A．30立方米 B．300立方分米 C．600立方分米 D．60立方米答案：B分析：沿著與底面平行的方向截成相等的三段，增加了4個底面積，增加的面積÷4＝圓柱的底面積，圓柱的底面積×圓柱的高＝圓柱的體積，代入數(shù)值即可解答。詳解：20÷4＝5（平方分米）6米＝60分米5×60＝300（立方分米）這個圓柱體木頭的體積是300立方分米。故答案為：B例2：一個圓柱形蓄水池的底面直徑是6米，深是3米，這個蓄水池的容積是（

）立方米。A．56.52 B．84.78 C．113.04 D．169.56答案：B分析：根據(jù)圓柱的容積公式：容積＝底面積×高，代入數(shù)據(jù)，即可解答。詳解：3.14×（6÷2）2×3＝3.14×32×3＝3.14×9×3＝28.26×3＝84.78（立方米）一個圓柱形蓄水池的底面直徑是6米，深是3米，這個蓄水池的容積是84.78立方米。故答案為：B例3：把一根3米長的圓柱形木頭平均截成3個小圓柱，表面積增加了12.56平方分米，這根木頭的體積是()立方分米。答案：94.2分析：把一根圓柱形木頭平均截成3個小圓柱，要截2次，表面積比原來增加（2×2）個橫截面的面積，據(jù)此用（12.56÷4）即可求出橫截面的面積，就是圓柱的底面積，再根據(jù)“圓柱的體積公式V＝sh”進行計算即可。詳解：（3－1）×2＝2×2＝4（個）3米＝30分米12.56÷4×30＝3.14×30＝94.2（立方分米）即這根木頭的體積是94.2立方分米。例4：一根圓柱形鐵桶，底面周長是62.8cm，高是100cm，它的體積是()cm3。答案：31400分析：根據(jù)圓的周長公式：周長＝π×半徑×2，半徑＝周長÷π÷2，代入數(shù)據(jù)，求出圓柱形鐵桶的底面半徑，再根據(jù)圓柱的體積公式：體積＝底面積×高，代入數(shù)據(jù)，即可解答。詳解：62.8÷3.14÷2＝20÷2＝10（cm）3.14×102×100＝3.14×100×100＝314×100＝31400（cm3）一根圓柱形鐵桶，底面周長是62.8cm，高是100cm，它的體積是31400cm3。：基礎(chǔ)過關(guān)練一、選擇題1．把一個棱長是6分米的實心正方體木塊削成一個最大的圓柱，削去部分的體積是（

）立方分米。A．46.44 B．100.48 C．102.96 D．169.562．把一根長3米的圓柱形木料截成3段小圓柱后，表面積比原來增加了0.6平方米，原來這根木料的體積是（

）立方米。A．0.3 B．0.4 C．0.45 D．0.63．下面運用了“轉(zhuǎn)化”思想方法的有（

）。

A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④4．一個圓柱形汽油桶，從內(nèi)部量得它的底面半徑是5分米，深12分米，如果每升汽油重0.75千克，這個汽油桶最多可裝汽油（

）千克。A．753.6 B．502.4 C．628 D．706.55．把一鐵塊完全浸沒在一個底面半徑是20厘米的圓柱形水槽中，水面上升了3厘米但沒溢出，這塊鐵塊的體積是（

）立方分米。（取3.14）A．3768 B．3.768 C．0.3768 D．376.8二、填空題6．把圓柱的底面分成許多相同的扇形、然后按下圖的方式把圓柱切開，再拼成一個近似的長方體。已知長方體的長是12.56，高是2，這個圓柱的側(cè)面積是()，體積是()，長方體的表面積比圓柱增加了()。

7．一個底面積是14平方分米，高是2.5分米的圓柱，它的體積是()立方分米。8．一個直徑12米的半圓形魚池的周長是()米，占地面積是()平方米。向魚池中注入0.8米深的水，再放一些石頭和小魚，水面上升了5厘米，魚池注入了()升水，石頭和小魚的總體積是()立方米。9．一個圓柱的底面半徑是10cm，高是30cm，它的底面周長是()cm，底面積是()cm2，側(cè)面積是()cm2，體積是()cm3。10．一個圓柱的底面半徑是4cm，高是10cm，它的底面周長是()cm，側(cè)面積是()，體積是()。三、判斷題11．體積相等的兩個圓柱，一定是等底等高的。()12．求正方體、長方體、圓柱體的體積都可以用公式：體積＝底面積×高。()13．如左圖，用兩張這樣的紙可分別卷成高8厘米的圓柱或高6厘米的圓柱，兩個圓柱的體積相等。()14．圓柱的半徑擴大2倍，高擴大3倍，底面積就擴大2倍，體積擴大6倍。()15．底面積和高都相等的長方體和圓柱，它們的體積也一定相等。()：基礎(chǔ)過關(guān)練四、計算題16．求如圖圖形的表面積和體積。（單位∶cm）五、解答題17．一個圓柱形玻璃容器，從里面量，底面半徑是5厘米，高是19厘米，容器內(nèi)水深為13厘米，把一塊鵝卵石完全浸沒在水中，水面上升到16厘米（水未溢出），這塊鵝卵石的體積是多少？18．重陽節(jié)這天，妙妙親自動手做一個美味的蜂蜜蛋糕準備送給奶奶。這個蛋糕的形狀近似圓柱體，直徑是10厘米，高是12厘米，這個蛋糕的體積是多少立方厘米？19．張師傅用白鐵皮做了一個圓柱形無蓋水桶，底面直徑是6分米，高是5分米。

（1）做一個這樣的水桶（提手不計）至少需要多少平方分米的白鐵皮？（2）這個水桶能裝多少升的水？20．小亮家來了3位客人，用一種長方體盒子包裝的果汁招待（如圖），如果給每位客人都倒?jié)M一杯，夠嗎？請你用計算的方法說明理由。（數(shù)據(jù)是從容器里面測量得到的）

21．一種無蓋的垃圾桶是圓柱形，現(xiàn)在要在桶的外面和外底面涂上油漆，涂油漆的面積是多少平方厘米？（桶的厚度忽略不計）22．這個杯子能否裝下450毫升的牛奶？

1．A分析：根據(jù)題意可知，削成一個最大的圓柱體，圓柱的底面直徑等于正方體的棱長，圓柱的高等于正方體的棱長，求削去部分的體積，用正方體的體積－圓柱的體積；根據(jù)正方體體積公式：體積＝棱長×棱長×棱長；圓柱的體積公式：體積＝底面積×高，代入數(shù)據(jù)，即可解答。詳解：6×6×6－3.14×（6÷2）2×6＝36×6－3.14×32×6＝216－3.14×9×6＝216－28.26×6＝216－169.56＝46.44（立方分米）把一個棱長是6分米的實心正方體木塊削成一個最大的圓柱，削去部分的體積是46.44立方分米。故答案為：A點睛：解答本題的關(guān)鍵明確正方體削成一個最大的圓柱，圓柱的底面直徑和高等于正方體的棱長。2．C分析：根據(jù)題意可知，把這根圓柱形木料橫截成3段，表面積比原來增加4個截面的面積，據(jù)此可以求出一個截面的面積，然后根據(jù)圓柱的體積公式：V＝Sh，把數(shù)據(jù)代入公式解答。詳解：0.6÷4×3＝0.15×3＝0.45（立方米）原來這根木料的體積是0.45立方米。故答案為：C點睛：此題主要考查圓柱的表面積公式、體積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。3．D分析：轉(zhuǎn)化是數(shù)學的一種思想方法，是把新知識轉(zhuǎn)化為學過的舊知識解決新問題的方法，根據(jù)分數(shù)除法的計算方法、圓周長公式的推導過程、圓面積公式的推導過程逐個進行分析得出結(jié)論。詳解：①一個數(shù)除以分數(shù)：一個數(shù)除以分數(shù)，等于這個數(shù)乘分數(shù)的倒數(shù)，再利用分數(shù)乘法的計算法則計算，利用了轉(zhuǎn)化思想；②計算小數(shù)乘法，根據(jù)小數(shù)的基本性質(zhì)，先把小數(shù)化成整數(shù)，運用了轉(zhuǎn)化的思想；③探索平行四邊形的面積時，利用割補法，將平行四邊形剪切成長方形，運用了轉(zhuǎn)化的思想；④求圓柱的體積，利用割補法，將圓柱沿著底面半徑和高切拼成小長方體，運用了轉(zhuǎn)化的思想。①②③④都運用了轉(zhuǎn)化的思想。故答案為：D點睛：本題是考查分數(shù)除法、小數(shù)乘法的計算方法，平行四邊形面積公式的推導，圓柱的體積公式的推導，關(guān)鍵是利用“轉(zhuǎn)化”思想解決問題。4．D分析：根據(jù)圓柱的體積公式：V＝πr2h，用3.14×52×12即可求出內(nèi)部的體積，然后把單位換算成升，然后再乘0.75即可求出這個汽油桶最多可裝汽油多少千克。據(jù)此解答。詳解：3.14×52×12＝3.14×25×12＝942（立方分米）942立方分米＝942升942×0.75＝706.5（千克）這個汽油桶最多可裝汽油706.5千克。故答案為：D點睛：本題主要考查了圓柱的體積公式的靈活應用，要熟練掌握公式。5．B分析：根據(jù)題意，可得這塊鐵塊的體積等于底面半徑是20厘米、高是3厘米的圓柱的體積，然后根據(jù)圓柱的體積＝底面積×高，求出這塊鐵塊的體積是多少即可。詳解：3.14×202×3＝3.14×400×3＝1256×3＝3768（立方厘米）＝3.768（立方分米）這塊鐵塊的體積是3.768立方分米。故答案為：B點睛：此題主要考查了探索某些實物體積的測量方法，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握圓柱的體積的求法。6．50.24100.4816分析：根據(jù)題意，把圓柱切開，再拼成一個近似的長方體，這個長方體的長等于圓柱體的底面周長的一半，長方體的高等于圓柱的高，長方體的寬等于圓柱體的半徑，這個圓柱的側(cè)面積相當于長方體的前后兩個面的面積和，根據(jù)長方形的面積公式：S＝ab，據(jù)此進行計算即可；根據(jù)圓的周長公式：C＝2πr，則圓的周長的一半就是πr，也就是12.56cm，據(jù)此求出圓柱的底面半徑，再根據(jù)圓柱的體積公式：V＝πr2h，據(jù)此進行計算即可；長方體的表面積比圓柱的表面積增加了兩個長為圓柱的底面半徑，寬為圓柱的高的兩個長方形的面積，據(jù)此解答即可。詳解：12.56×2×2＝25.12×2＝50.24（cm2）12.56÷3.14＝4（cm）3.14×42×2＝3.14×16×2＝50.24×2＝100.48（cm3）4×2×2＝8×2＝16（cm2）則這個圓柱的側(cè)面積是50.24，體積是100.48，長方體的表面積比圓柱增加了16。點睛：本題考查圓柱的體積和側(cè)面積，明確圓柱和長方體各部分之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵。7．35分析：已知圓柱的底面積和高，根據(jù)圓柱的體積公式V＝Sh，代入數(shù)據(jù)計算即可求出它的體積。詳解：14×2.5＝35（立方分米）它的體積是35立方分米。點睛：本題考查圓柱體積公式的運用。8．30.8456.5245.2162.826分析：根據(jù)半圓的周長公式：C＝d÷2＋d，半圓的面積公式：S＝r2÷2，半圓柱的體積公式：V＝Sh，石頭和小魚放入魚池中，上升部分水的體積就等于石頭和小魚的體積。據(jù)此解答即可。詳解：5厘米＝0.05米3.14×12÷2＋12＝18.84＋12＝30.84（米）3.14×（12÷2）2÷2＝3.14×36÷2＝113.04÷2＝56.52（平方米）56.52×0.8＝45.216（立方米）56.52×0.05＝2.826（立方米）半圓形魚池的周長是30.84米，面積是56.52平方米，魚池注入了45.216立方米水，石頭和小魚的總體積是2.826立方米。點睛：此題主要考查半圓的周長公式、半圓的面積公式、半圓柱的體積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。9．62.831418849420分析：底面周長＝2×3.14×底面半徑，底面積＝3.14×底面半徑2，側(cè)面積＝底面周長×高，圓柱體積＝底面積×高。將數(shù)據(jù)代入公式，求出這個圓柱的底面周長、底面積、側(cè)面積以及體積。詳解：2×3.14×10＝62.8（cm）3.14×102＝314（cm2）62.8×30＝1884（cm2）314×30＝9420（cm3）所以，它的底面周長是62.8cm，底面積是314cm2，側(cè)面積是1884cm2，體積是9420cm3。點睛：本題考查了圓柱的底面周長和面積、圓柱的側(cè)面積和體積，熟記公式是關(guān)鍵。10．25.12251.2502.4分析：圓柱的底面是圓形，，據(jù)此可求出圓柱的底面周長，，據(jù)此可求出圓柱的側(cè)面積，，據(jù)此可求出圓柱的體積。詳解：由分析可知：＝2×3.14×4＝25.12（cm）＝25.12×10＝251.2（）＝3.14××10＝50.24×10＝502.4（）所以一個圓柱的底面半徑是4cm，高是10cm，它的底面周長是25.12cm，側(cè)面積是251.2，體積是502.4。點睛：本題考查圓柱側(cè)面積和體積公式的靈活運用，記住公式是關(guān)鍵。11．×分析：根據(jù)圓柱的體積公式：體積＝底面積×高；由此可知，等底等高的兩個圓柱的體積相等；兩個圓柱體積相等，底面和高不一定相等，據(jù)此舉例說明。詳解：如一個圓柱的底面積是6，高是3；體積：6×3＝18另一個圓柱的底面積是9，高是2；體積：9×2＝186≠9；3≠2。體積相等的兩個圓柱，不一定是等底等高。原題干說法錯誤。故答案為：×點睛：熟練掌握圓柱的體積公式是解答本題的關(guān)鍵。12．√分析：分別依據(jù)正方體、長方體、圓柱體的體積公式即可進行推導，得出結(jié)論，于是就可以判斷題干的正誤。詳解：因為長方體的體積＝長×寬×高，而長×寬＝底面積正方體的體積＝棱長×棱長×棱長，而棱長×棱長＝底面積圓柱體積公式的推導是通過長方體來實現(xiàn)的，所以三者都可以用底面積×高來計算體積；故答案為：√點睛：此題主要考查正方體、長方體、圓柱體的體積公式的靈活應用。13．×分析：根據(jù)題意可知，這張紙可以卷成一個底面周長是6厘米、高是8厘米的圓柱，也可以卷成一個底面周長是8厘米、高是6厘米的圓柱。根據(jù)底面周長公式和體積公式，分別用π×（6÷2÷π）2×8和π×（8÷2÷π）2×6求出兩個圓柱的體積，再比較即可。詳解：π×（6÷2÷π）2×8＝π×（）2×8＝π××8＝（立方厘米）π×（8÷2÷π）2×6＝π×（）2×6＝π××6＝（立方厘米）≠根據(jù)分析可知，用兩張這樣的紙可分別卷成高8厘米的圓柱或高6厘米的圓柱，兩個圓柱的體積并不相等。原題干說法錯誤。故答案為：×點睛：本題主要考查了圓柱的體積公式的靈活應用，要熟練掌握公式。14．×分析：根據(jù)題意，可設(shè)圓柱原來的底面半徑為r，高為h，那么變化以后的半徑是2r，高為3h，根據(jù)圓的面積公式：面積＝π×半徑2，求出擴大前圓柱的底面積和擴大后圓的面積，即可求出底面積擴大多少倍；再根據(jù)圓柱的體積公式：體積＝底面積×高，求出擴大前圓柱的體積和擴大后圓柱的體積，即可求出體積擴大多少倍，據(jù)此解答。詳解：設(shè)圓柱原來的底面半徑為r，高為h，那么變化以后的半徑是2r，高為3h。π×（2r）2÷πr2＝4πr2÷πr2＝4（4πr2×3h）÷（πr2h）＝（12πr2h）÷（πr2h）＝12圓柱的半徑擴大2倍，高擴大3倍，底面積就擴大4倍，體積擴大12倍。原題干說法錯誤。故答案為：×點睛：本題主要考查了圓柱的體積公式及圓的面積公式的靈活應用，以及體積與半徑和高的變化關(guān)系。15．√詳解：長方體和圓柱的的體積公式都為：，所以底面積和高都相等的長方體和圓柱，它們的體積也一定相等。如：長方體和圓柱的底面積為：12cm2，高為：3cm，長方體體積：12×3＝36（立方厘米）圓柱體積：12×3＝36（立方厘米）長方體和圓柱的體積相等；所以底面積和高都相等的長方體和圓柱，它們的體積也一定相等。所以答案正確。故答案為：√16．表面積：3700平方厘米，體積：15000立方厘米；表面積：1099平方厘米，體積：2355立方厘米；表面積：1570平方厘米，體積：4710立方厘米分析：根據(jù)長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，長方體的體積＝長×寬×高；圓柱的表面積＝底面積×2＋側(cè)面積，圓柱的表面積＝底面積×高；代入數(shù)據(jù)計算即可。詳解：表面積（25×20＋25×30＋20×30）×2＝（500＋750＋600）×2＝1850×2＝3700（平方厘米）體積25×20×30＝500×30＝15000（立方厘米）；表面積3.14×10×30＋3.14×（10÷2）2×2＝942＋157＝1099（平方厘米）體積3.14×（10÷2）2×30＝78.5×30＝2355（立方厘米）；表面積3.14×10×2×15＋3.14×102×2＝942＋628＝1570（平方厘米）體積3.14×102×15＝314×15＝4710（立方厘米）17．235.5立方厘米分析：水面上升的體積就是鵝卵石的體積，圓柱底面積×水面上升的高度＝鵝卵石體積，據(jù)此列式解答。詳解：16－13＝3（厘米）3.14×52×3＝3.14×25×3＝235.5（立方厘米）答：這塊鵝卵石的體積是235.5立方厘米。點睛：關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化思想，將不規(guī)則物體的體積轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圓柱進行計算。18．942立方厘米分析：根據(jù)圓柱的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式解答。詳解：3.14×（10÷2）2×12＝3.14×25×12＝78.5×12＝942（立方厘米）答：這個蛋糕的體積是942立方厘米。點睛：此題主要考查圓柱體積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。19．（1）122.46平方分米（2）141.3升分析：（1）求做一個這樣的水桶至少需要多少平方分米的白鐵皮，就是求圓柱的表面積。這個水桶無蓋，則它的表面積＝側(cè)面積＋底面積＝πdh＋πr2，據(jù)此解答。（2）求這個水桶能裝多少升的水，就是求圓柱的容積。圓柱的容積＝底面積×高＝πr2h，據(jù)此解答。詳解：（1）3.14×6×5＋3.14×（6÷2）2＝94.2＋3.14×9＝9