中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：圓解答題培優(yōu)訓(xùn)練（最值和定值問題30道）含答案及解析

圓解答題培優(yōu)訓(xùn)練

精選最值和定值問題30道

【類型一最值問題】

1.如圖，在。。中，點(diǎn)C是AB上的一點(diǎn),作2D||BC交。。于點(diǎn)D,連接4B.

(1)求證：AC=BD-,

(2)連接B。并延長B。交。。于點(diǎn)E,交弦AD于點(diǎn)F,連接CE交4。于點(diǎn)G,連接ZE、4C,請(qǐng)根據(jù)題意畫圖.已

知BE=8,AB=4V3.

①若CE=4VL求AF的長度；

②若點(diǎn)C從點(diǎn)A沿至運(yùn)動(dòng)點(diǎn)B時(shí)，求線段BG的長度最小值.

2.如圖，48是O。的直徑，71B=4,CD是。。的弦；形的度數(shù)為75。，氏D的度數(shù)為15。，動(dòng)點(diǎn)P在線段48上,

則點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中：

⑴當(dāng)PC=PD時(shí)，直接寫出PC的長.

⑵求出PC+PD的最小值.

⑶當(dāng)△PCD為以CD為斜邊的Rt△時(shí)，直接寫出點(diǎn)P到直線CD的距離.

3.如圖，線段力B=6,C在線段AB的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以力C、BC為邊作等邊三角形△4CD和等邊三角形ABCE,

O。外接△DCE,

E

（l）ZXDCE的外接圓的圓心是△DCE的（外心或內(nèi)心）；點(diǎn)。的位置是否發(fā)生改變（變或不

變）.

（2）若4C=x,△￡＞（7￡為直角三角形時(shí)，求其的值.

⑶點(diǎn)。在△￡）0后的內(nèi)部，直接寫出x的取值范圍.

⑷求O。半徑的最小值.

4.如圖，。。為等邊△4BC的外接圓，半徑為2,點(diǎn)。在劣弧上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)4,8重合），連接DB,

DC.

（1）求證：DC是乙4D8的平分線；

（2）設(shè)線段DC的長為x,請(qǐng)你通過計(jì)算用含x的代數(shù)式表示四邊形ADBC的面積S；

⑶若點(diǎn)分別在線段C4CB上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到每一個(gè)確定的位置，△0〃可

的周長有最小值，隨著點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)，△DMN的周長的最小值也會(huì)發(fā)生變化，則在△DMN周長的所有最小值

中的最大值為.

5.如圖，48是O。的直徑，AB=6近M是4B的中點(diǎn)，0C上OD,ACOD繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)與A2MB的兩邊分別

交于E、F(點(diǎn)E、尸與點(diǎn)力、B、M均不重合),與。。分別交于P、Q兩點(diǎn).

(1)求證：0E=OF；

(2)連接PM、QM,試探究：在AC。。繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過程中，NPMQ是否為定值？若是，求出"MQ的大??；

若不是，請(qǐng)說明理由；

⑶連接EF,試探究：在AC。。繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過程中，AEFM的周長是否存在最小值？若存在，求出其最小值;

若不存在，請(qǐng)說明理由.

6.已知O。的直徑為10,。為。。上一動(dòng)點(diǎn)(不與/、8重合)，連接BD.

圖I圖2

⑴如圖1,若/。=8,求AD的值；

(2)如圖2,弦DC平分UDB,過點(diǎn)工作NE1CZ)于點(diǎn)E,連接2E.

①當(dāng)△ADE為直角三角形時(shí)，求3E的值；

②在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過程中，的值是否存在最小值？若存在，請(qǐng)直接寫出2E的最小值；若不存在，請(qǐng)說

明理由.

7.(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，RtZiABC中，ZA=90°,AB=AC,求證：BC=V2AB

(2)問題探究：如圖①，BC是。。的直徑，點(diǎn)A在。。上，AB=AC,P為BmC上一動(dòng)點(diǎn)(不與B,C重合),

求證：V2PA=PB+PC.請(qǐng)你根據(jù)圖中所給的輔助線，請(qǐng)你給出具體畫法并完成證明過程.

(3)類比遷移：如圖②，。。的半徑為3,點(diǎn)A,B在上，C為內(nèi)一點(diǎn)，AB=AC,AB1AC,垂足為

A,求0C的最小值.

圖①

8.如圖1,點(diǎn)。為△/L8C的外接圓上的一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)。在江上，且不與點(diǎn)4,C重合)，乙4DB=4B4c=60°.

(1)求證：A42c是等邊三角形;

(2)連接CD,探究4D,BD,CD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖2,記BD與AC交于點(diǎn)E,過點(diǎn)E分別作風(fēng)0」/2于點(diǎn)EN13C于點(diǎn)N,連接若48=6,

求"N的最小值.

9.綜合與實(shí)踐

數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖，已知三只螞蟻/、B、C在半徑為1的。。上靜止不動(dòng)，第四只

螞蟻P在。。上的移動(dòng)，并始終保持乙4PC=4CPB=60°.

⑴請(qǐng)判斷△NBC的形狀；"數(shù)學(xué)希望小組”很快得出結(jié)論，請(qǐng)你回答這個(gè)結(jié)論：△ABC是三角形；

（2廣數(shù)學(xué)智慧小組”繼續(xù)研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)谒闹晃浵丳在。。上的移動(dòng)時(shí)，線段24、PB、PC三者之間存在一種

數(shù)量關(guān)系：請(qǐng)你寫出這種數(shù)量關(guān)系：,并加以證明；

（3）"數(shù)學(xué)攀峰小組”突發(fā)奇想，深入探究發(fā)現(xiàn)：若第五只螞蟻M同時(shí)隨著螞蟻P的移動(dòng)而移動(dòng)，且始終位于線

段PC的中點(diǎn)，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，線段的長度一定存在最小值，請(qǐng)你求出線段的最小值是（不

寫解答過程，直接寫出結(jié)果）.

10.（1）如圖1,A8是O。的弦，點(diǎn)P在。。上，當(dāng)△刈8是直角三角形時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D1中畫出點(diǎn)P的位置;

（2）如圖2,O。的半徑為4,4、B為O。外固定兩點(diǎn)（。、2、B三點(diǎn)不在同一直線上），且。4=8,P為

O。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不在直線48上），以24和4B為鄰邊作平行四邊形B43C,求BC最小值;

（3）如圖3,4、B是。。上的兩個(gè)點(diǎn)，過力點(diǎn)作射線AM14B,4M交。。于點(diǎn)C,若2B=3,AC=4,點(diǎn)D是

平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且CD=2,E為80的中點(diǎn),在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過程中，求線段4E長度的最大值與最小值.

圖1

11.如圖，是圓。的直徑，AB=6,。是半圓力DB上的一點(diǎn)，C是弧BD的中點(diǎn).

DD

備用圖

(1)若NABD=30。，求BC的長和由弦BC、BD和弧CD圍成的圖形面積；

(2)若弧40的度數(shù)是120度，在半徑。B上是否存在點(diǎn)P,使得PC+P0的值最小，如果存在，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D

中面出P的位置，并求PC+PD的最小值，如果不存在，請(qǐng)說明理由.

12.如圖，的直徑AB=8,半徑0C1AB,D為弧BC上一動(dòng)點(diǎn)(不包括B、C兩點(diǎn))，DEIOC,DF1AB,

垂足分別為E、F.

(1)求EF的長.

(2)若點(diǎn)E為0c的中點(diǎn)，

①求弧CD的度數(shù).

②若點(diǎn)P為直徑AB上一動(dòng)點(diǎn)，直接寫出PC+PD的最小值.

13.AABC內(nèi)接于I為其內(nèi)心，AI的延長線交0。于D,連0D交BC于E.

(1)求證：0D1BC；

(2)若NBOC=NBIC,求NBAC的度數(shù)；

(3)①若DE=2,BE=4,①求。。的半徑r.

②當(dāng)點(diǎn)A在優(yōu)弧BAC上移動(dòng)時(shí)，是否有最小值，如有請(qǐng)求出最小值，如沒有請(qǐng)說明理由.

14.如圖，48是。。的直徑，點(diǎn)C、。是O。上的點(diǎn)，且。D||BC,4C分另IJ與BD、。。相交于點(diǎn)E、F.

(1)求證：點(diǎn)。為"的中點(diǎn)；

(2)若。。的半徑為5,^DOA=80°,求陰影部分的面積.

(3)若O。的半徑為5,4。。4=80。，點(diǎn)P是線段AB上任意一點(diǎn)，試求出PC+P。的最小值.

15.如圖，48是O。的直徑，弦CD1AB,ACAB=30°

備用圖

(1)求證：△4CD是等邊三角形.

(2)若點(diǎn)E是配的中點(diǎn)，連接4E,過點(diǎn)C作CF14E,垂足為F,若CF=2,求線段。尸的長;

(3)若。。的半徑為4,點(diǎn)Q是弦4C的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直線力B上的任意一點(diǎn)，將點(diǎn)P繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得

點(diǎn)P',求線段P'Q的最小值.

16.如圖，是。。的直徑，點(diǎn)C、。是。。上的點(diǎn)，且。D||BC,AC分另IJ與BD、。。相交于點(diǎn)￡、F.

⑴求證：點(diǎn)。為Af的中點(diǎn)；

(2)若CB=6,AB=10,求DF的長;

⑶若。。的半徑為5,AD04=80。，點(diǎn)尸是線段力B上任意一點(diǎn)，試求出PC+PD的最小值.

17.已知：如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，A(2,-1),以M(-1,0)為圓心，以AM為半徑的圓交y

軸于點(diǎn)B,連結(jié)BM并延長交OM于點(diǎn)C,動(dòng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)，長為|的線段PQIIx軸(點(diǎn)Q在點(diǎn)P右

側(cè))，連結(jié)AQ.

(1)求OM的半徑長和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)如圖2,連結(jié)AC,交線段PQ于點(diǎn)N,

①求AC所在直線的解析式；

②當(dāng)PN=QN時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)的過程中，請(qǐng)直接寫出AQ的最小值和最大值.

18.如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上，AB=8,NCBA=30。，點(diǎn)D在線段AB上從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,點(diǎn)E與

點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，DHDE于點(diǎn)D,并交EC的延長線于點(diǎn)F.

(1)求證：CE=CF；

(2)求線段EF的最小值；

(3)當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，線段EF掃過的面積的大小是

19.如圖，已知的直徑AB=8,過A、B兩點(diǎn)作OO的切線AD、BC.

D

(1)當(dāng)AD=2,BC=8時(shí)，連接OC、OD、CD.

①求△COD的面積.

②試判斷直線CD與。。的位置關(guān)系，并說明理由.

（2）若直線CD與。。相切于點(diǎn)E,設(shè)AD=x（x>0）,試用含X的式子表示四邊形ABCD的面積S,并探索S

是否存在最小值，寫出探索過程.

20.如圖，半徑為7的。。上有一動(dòng)點(diǎn)B,點(diǎn)4為半徑0E上一點(diǎn)，且力B最大為10,以為邊向外作正方形

ABCD,連接DE.

（1）請(qǐng)直接寫出04的長；

（2）過點(diǎn)4作4F10E,且4/=。2,連接FD,在點(diǎn)8的運(yùn)動(dòng)過程中，F(xiàn)D的長度會(huì)發(fā)生變化嗎？變化請(qǐng)說

明理由，不變化請(qǐng)求出尸。的長；

（3）當(dāng)點(diǎn)/,B,尸三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫DE的長；

（4）請(qǐng)直接寫出DE的最大值和最小值.

【類型二定值問題】

21.如圖，已知P為正方形4BCD的外接圓的劣弧他上任意一點(diǎn)，求證：號(hào)詈為定值.

22.如圖，四邊形4BCD的四個(gè)頂點(diǎn)在。。上，對(duì)角線4C、BD交于點(diǎn)H且AC18。，0E1BC于點(diǎn)E.

⑵求證：4"2+B“2+c”2+?！?為定值.

23.AABC內(nèi)接于。。，過點(diǎn)。作?！?BC于點(diǎn)H,延長?？诮?。于點(diǎn)D連接力D.

(1)如圖1,求證：4BAD=NG4D；

(2)如圖2,若OH=DH,求NBAC的度數(shù)；

⑶如圖3,在(2)的條件下，過點(diǎn)B作BK1AD于點(diǎn)K,連接HK,若HK=|,試說明線段AB與"的差為

定值.

24.如圖1,E點(diǎn)為無軸正半軸上一點(diǎn)，0石交工軸于4B兩點(diǎn)，交y軸于C、。兩點(diǎn)，P點(diǎn)為劣弧死上一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，且4(一2,0),E(2,0).

⑴品的度數(shù)為°；

(2)如圖2,連結(jié)PC,取PC中點(diǎn)G,連結(jié)0G,貝UOG的最大值為

(3)如圖3,連接24,PC.若CQ平分NPCD交PA于Q點(diǎn)，求線段AQ的長；

⑷如圖4,連接24、PD,當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)(不與B、C兩點(diǎn)重合)，求證：/二為定值,并求出這個(gè)定值.

25.已知四邊形4BCD內(nèi)接于O。，AC1BD,垂足為￡,CF1AB,垂足為尸，交BD于點(diǎn)G,連接4G.

⑴求證:CG=CD；

(2)如圖1,若4G=4,BC=10,求。。的半徑;

(3)如圖2,連接OF,交AC于點(diǎn)“，若N4BD=30。,CH=6,試判斷強(qiáng)+力是否為定值，若是，求出該定

CDCF

值；若不是，說明理由.

26.定義：如果同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上,那么我們把這稱為四點(diǎn)共圓.

圖1圖2圖3

(1)下列幾何圖形的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四點(diǎn)共圓的有.(填序號(hào))①平行四邊形；②菱形；③矩形；④正

方形；⑤等腰梯形.

(2)已知△4BC中，乙1=40。，如圖1,平面上一點(diǎn)D,使得/、B、C、。四點(diǎn)共圓，試求NADC的度數(shù).

⑶若A42C的外接圓為O。，半徑為r,平面上有兩點(diǎn)E、F,分別與A43C的三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四點(diǎn)共圓(E在

N5的左側(cè)，尸點(diǎn)在/C的右側(cè))，如圖2.①試判斷乙以"-的值是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)

值；如果不是，請(qǐng)說明理由；②若2c弦的長度與O。的半徑r之比為a：1,并且邊經(jīng)過圓心。，如

圖3,試求五邊形/E5CF的最大面積(用含r的式子表示).

27.如圖，已知AB是。0中一條固定的弦，點(diǎn)C是優(yōu)弧AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C不與A,B重合）.

（1）設(shè)NACB的角平分線與劣弧AB交于點(diǎn)P,試猜想點(diǎn)P在弧上的位置是否會(huì)隨點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變

化？請(qǐng)說明理由；

（2）如圖②，設(shè)A?=8,O0的半徑為5,在（1）的條件下，四邊形ACBP的面積是否為定值？若是定值，

請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是定值，試確定四邊形ACBP的面積的取值范圍.

28.MN是。。上的一條不經(jīng)過圓心的弦，MN=4,在劣弧MN和優(yōu)弧MN上分別有點(diǎn)A,B（不與M,N重合）,

且用V=57V,連接

（1）如圖1,4B是直徑，4B交MN于點(diǎn)C,AABM=30°,求NCM。的度數(shù)；

（2）如圖2,連接。過點(diǎn)。作交MN于點(diǎn)D,求證：ZMOD+2ZDMO=90°；

（3）如圖3,連接AN,BN,試猜想4用?“3+47-'8的值是否為定值，若是，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是,

請(qǐng)說明理由.

29.如圖，已知正方形4BCD的邊長為1,正方形BEFG中，點(diǎn)E在力B的延長線上，點(diǎn)G在BC上，點(diǎn)。在線段

上，MXO>B0.以。F為半徑的。。與直線4B交于點(diǎn)M、N.

圖2

(1)如圖1,若點(diǎn)。為4B中點(diǎn)，且點(diǎn)。，點(diǎn)C都在。。上，求正方形BEFG的邊長.

(2)如圖2,若點(diǎn)C在。。上，求證：以線段0E和EF1為鄰邊的矩形的面積為定值，并求出這個(gè)定值.

(3)如圖3,若點(diǎn)。在。。上，求證：DO1F0.

30.如圖1,扇形408的半徑為6,弧長為21T.

(1)求圓心角乙4。8的度數(shù);

(2)如圖2,將扇形40B繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，連接AB,BC.

①判斷四邊形OABC的形狀并證明；

②如圖3,若NPOQ=60°,將NPOQ繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，與AB,8C分別交于點(diǎn)MN(點(diǎn)M,N與點(diǎn)、A,B,C均不

重合)，判斷MB+NB的值是否為定值，如果是定值請(qǐng)求出；如果不是，說明理由.

圓解答題培優(yōu)訓(xùn)練

精選最值和定值問題30道

【類型一最值問題】

1.如圖，在。。中，點(diǎn)C是AB上的一點(diǎn)，作力D||BC交。。于點(diǎn)。，連接4B.

(2)連接B。并延長8。交。。于點(diǎn)E,交弦4D于點(diǎn)尸，連接CE交2。于點(diǎn)G,連接ZE、2C,請(qǐng)根據(jù)題意畫圖.已

知BE=8,AB=4V3.

①若CE=4V2,求4F的長度；

②若點(diǎn)C從點(diǎn)A沿48運(yùn)動(dòng)點(diǎn)B時(shí)，求線段BG的長度最小值.

【答案】①見解析

(2)(1)276(2)2713-2

【分析】(1)根據(jù)力。IIBC,得到=進(jìn)而得到Af=AD,即可得證；

(2)①根據(jù)題意，作出圖形，根據(jù)圓周角定理，得至(UB4E=9(T,N8CE=90。，勾股定理求出4E,8c的

長，進(jìn)而得到4BE=30。，ACEB=^CBE=45°,利用勾股定理求出4G,EG的長，進(jìn)而得到FG的長，禾U用

力尸=4G+GF進(jìn)行求解即可；②易得點(diǎn)G在以2E為直徑的OH上，得到當(dāng)B,G,H三點(diǎn)共線時(shí)，BG取得最小

值為BH-HG,進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)證明：以。IIBC,

??Z-DAB=Z-ABC,

??.Af=艙,

?-AC—BD.

(2)解：①如圖,

???BE是。。的直徑，

???484E=90°,4BCE=90。，

???BE=8,AB=4V3,CE=4A/2,

ME=^BE2-AB2=4,BC=y/BE2-CE2=4vL

1

-

-'?smZ.EBA2CE=BC,

^Z-ABE=30°,Z.CEB=^CBE=45°,

'MD||BC,

.'.AEGF=乙ECB=90°,乙GFE=乙CBE=45°,

：^EGA=90°,Z-AGC=90°,乙GFE=乙GEF,

-Z.ACG=/.ABE=30°,

設(shè)4G=x,貝!J：CG=V3x>

■.EG=CE-CG=4V2-V3x,

22222

在RtZkAGE中,AE=EG+AG9即:4=x+(4V2-V3x),

解得：x=V6-/或％=V6+V2,

當(dāng)％二巡+/，CG=V3(V6+V2)=3A/2+V6>CE,不符合題意,

?,?%=V6—V2,

?'-AG=V6—V2,CG—3A/2—V6,EG=V2+V6,

'-Z-GFE=Z.GEFf

??GF=EG=V2+V6,

'-AF—AG+GF—V6—V2+V2+V6=2A/6；

②由①可知：乙4GE=90。，

???點(diǎn)G在以ZE為直徑的上，貝lj：BG>BH-HG,

.??當(dāng)8,G,”三點(diǎn)共線時(shí)，BG取得最小值為BH—/7G,如圖：

D

C

由①可知：AE=4,/.BAE=90°,

■■.AH=HG=2,BH=VXB2+AH2=2g,

此時(shí)BG=BH—HG=2V13-2.

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，解直角二角形，等腰二角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等弧對(duì)等弦，同弧所

對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角是直角，是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，4B是。。的直徑，4B=4,CD是。。的弦；配的度數(shù)為75。，附的度數(shù)為15。，動(dòng)點(diǎn)P在線段4B上，

則點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中：

⑴當(dāng)PC=PD時(shí)，直接寫出PC的長.

(2)求出PC+PD的最小值.

⑶當(dāng)△PCD為以CD為斜邊的Rt△時(shí)，直接寫出點(diǎn)P到直線CD的距離.

【答案】⑴2

(2)273

⑶迎或日

【分析】(1)當(dāng)PC=PD時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)。重合，即可求解；

(2汝口圖1,作點(diǎn)。關(guān)于28的對(duì)稱點(diǎn)E,則點(diǎn)E在圓。上，連接CE交力B于點(diǎn)P,則點(diǎn)P為所求點(diǎn)，進(jìn)而求解；

⑶當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合時(shí)，△PCD為以CD為斜邊的Rt△，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。不重合時(shí)，證明C、D、P、。四點(diǎn)共圓,

再利用解直角三角形的方法即可求解.

【詳解】(1)?；此的度數(shù)為75。，的的度數(shù)為15。，

貝此COD=180°-75°-15°=90°,

當(dāng)PC=PD時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)。重合，

-1

貝i」PC=0C=y8=2.

(2)如圖1,作點(diǎn)。關(guān)于48的對(duì)稱點(diǎn)E,則點(diǎn)E在圓。上，連接CE交2B于點(diǎn)P,則點(diǎn)P為所求點(diǎn),

理由：PC+PD=PC+PE=CE為最小，

-.?〃。。=90°,

???NCED=45。，

???△CD。為等腰三角形，

???ZCDO=45°,

???弧BQ的度數(shù)為15。,

???ZDOB=15°,Z.ODB=90°-15°=75°,

故4CDE=45°+75°=120°,

在△(：￡)￡■中，ZJ1DE=12O。，NCEO=45。，CD=y[2CO=2^2,

過點(diǎn)C作CH1DE交EC的延長線于點(diǎn)H,

???CH=CDsinACDH=2A/2xy=V6,HD=^CD=V2,

在等腰直角三角形CHE中，=2百，

??.PC+PD的最小值為2遍.

圖1

(3)如圖2,由(1)知NCOD=90。，

故當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合時(shí)，△PCD為以CD為斜邊的RtA

過點(diǎn)。作OG1CD,

此時(shí)△COD為等腰直角三角形，貝iJOG=1C￡>=V2；

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。不重合時(shí)，則△p(?￡)為直角三角形，

???NC0D=NCPD=90。，故C、D、P、。四點(diǎn)共圓，其圓心為CD的中點(diǎn)G,

設(shè)該圓為圓G,

在圓G中，?:乙DCP、NDOP所對(duì)的弧均為戶口，

???乙DCP=￡D0P=LD0B=15°,

連接GO、GP,過點(diǎn)P作PM，于點(diǎn)M,

貝|JOG=GP=&,

在等腰△GPC中，NMGP=2/DCP=30。，

在Rtz\GPM中，NMGP=30°,GP=V2,故P"=3GP=￥，

故點(diǎn)P到直線co的距離為企或日.

圖2

【點(diǎn)睛】本題為圓的綜合題，涉及到解直角三角形、點(diǎn)的對(duì)稱性等，（3）中，確定C、。、P、。四點(diǎn)共圓是本

題解題的關(guān)鍵.

3.如圖，線段力B=6,C在線段AB的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AC、BC為邊作等邊三角形△2CD和等邊三角形△8CE,

O。外接△DCE,

（^△DCE的外接圓的圓心是△DCE的（外心或內(nèi)心）；點(diǎn)。的位置是否發(fā)生改變（變或不

變）.

⑵若AC=￡，△DCE為直角三角形時(shí)，求x的值.

⑶點(diǎn)。在△DCE的內(nèi)部，直接寫出x的取值范圍.

⑷求。。半徑的最小值.

【答案】①外心、不變

(2)2或4

(3)2<x<4

(4)73

【分析】(1)根據(jù)三角形的外接圓的定義，即可求解；

(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得ADCE=60。，然后分兩種情況：當(dāng)NEDC=90。時(shí)，當(dāng)4DEC=90。時(shí)，即

可求解；

(3)求出當(dāng)圓心O在CE邊上時(shí)，當(dāng)圓心。在DE邊上時(shí)，x的值，即可求解；

(4)分別作NC4D,CBE的平分線交于點(diǎn)P,可得點(diǎn)。與點(diǎn)P重合，連接。C,當(dāng)。C14B時(shí)，OC最小，然后

根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出OC,即可求解.

【詳解】(1)解：△DCE的外接圓的圓心是的外心(外心或內(nèi)心)；

如圖，分別作NC4D,CBE的平分線交于點(diǎn)P,

???△力。。和4都是等邊三角形，

.?.力P垂直平分CD,BP垂直平分CE,AOAC=AOBC=30°,

?-?O。外接△DCE,

.??點(diǎn)O在CO和CE的垂直平分線上，

二點(diǎn)。與點(diǎn)P重合，

.??點(diǎn)。的位置是不變；

故答案為：外心、不變；

(2)解：???△4C0和△BCE都是等邊三角形,

：.^ACD=乙BCE=60°,AC=CD,CE=CB,

:.乙DCE=60°,

當(dāng)ZEDC=9O。時(shí)，ACED=30°,

■■.CD=-CE,

2

即ac=沏，

,-AB=6,

--AC=2,

即％=2；

當(dāng)乙DEC=90。時(shí)，乙CDE=30°,

-1-1

：.CE^-CD,即BC=》C,

22

"AB=6,

?'-AC=2,

即x=4；

(3)解：當(dāng)圓心。在CE邊上時(shí)，乙EDC=90°,

由(2)得：此時(shí)％=2；

當(dāng)圓心。在DE邊上時(shí)，ADEC=90°,

由(2)得：此時(shí)x=4；

.?.點(diǎn)。在△DCE的內(nèi)部，x的取值范圍為2<x<4；

(4)解：如圖,連接OC,

由（1）得：當(dāng)。C14B時(shí)，OC最小，

???Z04C=NOBC=30°,AB=6,

■■.AC=BC=-AB=3,OA=2OC,

2

???Vox2-OC2=V（2OC）2-OC2=V3OC=3,

解得：oc=V5,

即O。半徑的最小值為百.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外接圓，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，垂徑定理，熟練掌握

三角形的外接圓的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，。。為等邊△力BC的外接圓，半徑為2,點(diǎn)。在劣弧上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)N,3重合），連接DB,

DC.

⑴求證：DC是〃DB的平分線；

⑵設(shè)線段DC的長為x,請(qǐng)你通過計(jì)算用含x的代數(shù)式表示四邊形4DBC的面積S；

⑶若點(diǎn)分別在線段CB上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到每一個(gè)確定的位置，△DMN

的周長有最小值，隨著點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)，△DMN的周長的最小值也會(huì)發(fā)生變化，則在△DMN周長的所有最小值

中的最大值為.

【答案】⑴見解析

（2B=梟2

（3）4A/3

【分析】（1）根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等即可證明；

（2）在DA延長線上截取=BD,證明△4HC三△BDC（SAS）即可求解；

（3）作點(diǎn)D關(guān)于直線2C的對(duì)稱點(diǎn)E,作點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)F,根據(jù)對(duì)稱性可得出當(dāng)點(diǎn)E,點(diǎn)M,點(diǎn)

N,點(diǎn)F四點(diǎn)共線時(shí)，的周長有最小值，連接EF,交4C于M,交于N,連接CE,CF,DE,DF,

作CP1EF于P,再證明NECF=120°,EP=PF,即有NCEP=30°,即可得PC=|fC,PE=V3PC=yEC,

進(jìn)而有EF=2PE=V3FC=V3CO,則可知CD為直徑時(shí)，CD有最大值4,此時(shí)EF有最大值，問題隨之得解.

【詳解】（1）???在等邊△ABC中，有4c=BC,

??Z-BDC=Z.ADC,

.??OC是乙408的平分線;

(2)在DA延長線上截取4H=BD,如圖,

H

在等邊△4BC中，有力C=BC,AACB=^ABC=/.CAB=60°,

?：Z-ABD=Z.ACD,

■.Z-HAC=Z.ADC+Z.ACD=/.ADC+/.ABD,

■.■/.ADC=/.ABC,

■■.Z.DBC=Z.ABD+/.ABC=/.ABD+/.ADC,

:/DBC=乙HAC,

■.■AH=BD,AC=BC,

三△BDC(SAS),

：.HC=DC,乙DCB=LHCA,

“DCB+^ACD=4ACB=60°,

：.^HCA+N力CD=60°,

??.△CD”是等邊三角形，

???△4HC三△BDC(SAS),

.??四邊形4DBC的面積即是等邊aCDH的面積，即S四邊形ADBC=S&CDH，

下面推導(dǎo)等邊三角形的面積公式：

正axyz的邊長為u,過頂點(diǎn)x作XV1YZ,V為垂足，如圖，

X

在正axyz中，有NY=60。，XZ=XY=YZ=u,

-XV1YZ,

1i

：,YV=VZ=-YZ=-u,^XVY=90°,

22

.?.在Rt△xyv中，有AV=Vxr2-YV2=Ju2-(|u)2=yii,

正axyz的面積為：S=[xYZxXV=彳/，

:邊長DC=x,

?',S四邊形4DBC=S&CDH=Y%2;

(3)如圖，作點(diǎn)D關(guān)于直線力C的對(duì)稱點(diǎn)E,作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)F,

F

???點(diǎn)D,點(diǎn)E關(guān)于直線4C對(duì)稱，

：.EM=DM,同理DN=NF,

.?.△DMN的周長：DM+DN+MN=FN+EM+MN,

二當(dāng)點(diǎn)E,點(diǎn)M,點(diǎn)N,點(diǎn)F四點(diǎn)共線時(shí)，△DMN的周長有最小值，

貝！J連接EF,交4c于M,交BC于N,連接CE,CF,DE,DF,作CP1EF于P,

即aDMN的周長最小值為EF,

???點(diǎn)D,點(diǎn)E關(guān)于直線4C對(duì)稱，

-，-CE=CD,Z-ACE=Z.ACD,

??,點(diǎn)D,點(diǎn)F關(guān)于直線對(duì)稱，

；.CF=CD,乙DCB=^FCB,

.'-CD=CE=CF,4ECF=AACE+AACD+乙DCB+乙FCB=2么ACB=120°,

-CP1EF,CE=CF,Z.ECF=120°,

???EP=PF,乙CEP=30°,

：.PC=-EC,PE=y/3PC=—EC,

22

■.EF=2PE=V3￡C=V3CD,

???當(dāng)CD有最大值時(shí)，EF有最大值，

???CD為。。的弦，。。半徑為2,

??.CD為直徑時(shí)，CD有最大值4,

二最大值為4次.

即△DMN周長的所有最小值中的最大值為48.

【點(diǎn)睛】點(diǎn)評(píng)：本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識(shí)，等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性

質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵.

5.如圖，4B是。。的直徑，AB=6V2,M是4B的中點(diǎn)，0c1。。，ACOD繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)與△力MB的兩邊分別

交于E、F(點(diǎn)E、F與點(diǎn)4、B、M均不重合)，與O。分別交于P、Q兩點(diǎn).

(1)求證：0E=0F；

(2)連接PM、QM,試探究：在AC。。繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過程中，NPMQ是否為定值？若是，求出NPMQ的大?。?/p>

若不是，請(qǐng)說明理由；

⑶連接EF,試探究：在ACOD繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過程中，AEFM的周長是否存在最小值？若存在，求出其最小值;

若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴見解析

(2)是定值，135°

(3)2A/3+6

【分析】(1)根據(jù)圓周角定理由4B是。。的直徑得N4MB=90°,由M是的中點(diǎn)得MB=阮4,于是可判

斷△力MB為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得4力BM=NB4M=N0M4=45。，OMVAB,

MB=^AB=6,再利用等角的余角相等得NBOE=NM0F,則△OBE三ZkOMF,所以。E=OF；

(2)根據(jù)圓周角定理得至UNBMQ=(N80Q,/.AMP=^/.AOP,則Z_8MQ+N4MP=((zBOQ+N40P)=

45°,所以NPMQ=4BMQ+N4MB+Z71MP=135。；

(3)易得△OEF為等腰直角三角形，則EF=&OE,再由△08E三△OMF得BE=MF,所以△EFM的周

長=5尸+MF+ME=EF+MB=/。E+6,根據(jù)垂線段最短得當(dāng)OE1時(shí)，OE最小，此時(shí)OE=jfiM=

3,所以的周長的最小值為2b+6.

【詳解】(1)證明：?MB是。。的直徑，

Z.AMB=90°,

M是腦的中點(diǎn)，

???MB=MA,

???MA=MB,

??.A4MB為等腰直角三角形，

???AABM=^BAM=45°,NOMA=45。，OM1AB,MB=—AB=—X6^/2=6,

22

???乙MOE+乙BOE=90°,

???乙COD=90°,

???Z.MOE+Z.MOF=90°,

???乙BOE=Z-MOF,

在AOBE和AOMF中，

NOBE=Z.OMF

OB=OM,

Z.BOE=乙MOF

??.\OBE=AOMFQLSZ),

OE=OF；

(2)解：NPMQ為定值.

11

???(BMQ=/0Q,/.AMP=^AOP,

??.Z.BMQ+乙4Mp=jQBOQ+4/OP),

???(COD=90°,

???/.BOQ+^AOP=90°,

???(BMQ+4AMP=ix90°=45°,

???乙PMQ=(BMQ+AAMB+匕AMP=45°+90°=135°；

(3)解：AEFM的周長有最小值.

OE=OF,

??.AOEF為等腰直角三角形，

EF=V2OF,

???ROBE三AOMF,

BE=MF,

：.AEFM的周長=EF+MF+ME

=EF+BE+ME

=EF+MB

=V2OE+6,

當(dāng)。EIBM時(shí)，OE最小，此時(shí)OE=(x6=3,

?-.AEFM的周長的最小值為3夜+6.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；運(yùn)用全等三角形

的判定解決線段相等是解題的關(guān)鍵.

6.己知。。的直徑為10,。為O。上一動(dòng)點(diǎn)（不與/、3重合），連接ND、BD.

/-----

A/\一

B

圖2

⑴如圖1,若4D=8,求AD的值；

(2)如圖2,弦DC平分乙4DB,過點(diǎn)/作于點(diǎn)￡,連接8E.

①當(dāng)為直角三角形時(shí)，求8E的值；

②在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過程中，的值是否存在最小值？若存在，請(qǐng)直接寫出的最小值；若不存在，請(qǐng)說

明理由.

【答案】⑴6；

⑵①5或2?,②存在最小值，皿竽&

【分析】(1)利用圓周角定理和勾股定理求解即可；

(2)①ABED為直角三角形，分兩種情況：當(dāng)N8E￡?=90。或當(dāng)ND8E=90。，分別進(jìn)行求解即可；

②取AC中點(diǎn)F,過F作尸于H,利用圓周角定理得乙40090。，用勾股定理求出AC,利用直角三角形

性質(zhì)求EF,然后求出BF長，最后在A8EF中利用三角形中邊的關(guān)系得出BE的最小值.

【詳解】(1)解：如圖［，?.28為。。的直徑，

■■^.ADB=90°,

■■.BD^AB2-AD2^102-82=6；

故BD的值為6.

(2)解：①???乙4。8=90。，DC平分乙40B,

1

???乙ADC=^BDC=-乙/。8=45°,

當(dāng)NBEO=90。時(shí)，如圖2,

,ME1CD,

???乙4￡7”90。，

???24ED+/BEO=90°+90°=180°,

???點(diǎn)E在AB上，

vZ^DC=45°,

.-.zD^E=90°-45°=45°,

???A4B0是以AB為斜邊的等腰直角三角形，

???點(diǎn)E與0重合，

11

.*.BE=-7lB=-xlO=5；

22

當(dāng)乙DBE=90°時(shí)，如圖3,

???NBDC=45°,

-'-BE=BD,

：.DE^BE2+BD2=y/2BE,

■.■AE1CD,^ADC=45°,

-,-AE=DE=y/2BE,

■■.AD=y/AE2+DE2=V2DE=2BE,

又?.?N4DB=90°,

AD2+BD2=AB2BP(2BE)2+BE2=102,

解得8E=2?(BE=-2小舍去)

綜上所述，BE的長為5或26；

②在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，BE存在最小值，解答如下：

如圖3,連接OC、AC,取AC中點(diǎn)F,連接EF、BF,過點(diǎn)F作FHL4B于H,

-'-CO=AO=2-AB=5,

?.?ZX￡>C=45°,

.'./.A0C=2^ADC=90o,

-AO=COf

'.AC=y/AO2+CO2=V52+52=5V2,△。心45°,

?ME1CZ),F為AC中點(diǎn)，

：

.EF=AF=2-AC=—2,

???/0AC=45°,F”148,

.■.AH=FH=^-AF=l，

5is

.?.BF=VFH2+B/72=Jg)2+(y)2=等

-：BE>BF-EF(當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)E在線段BF上時(shí)等號(hào)成立)，

...BE2迎鐘即B糜亞當(dāng)，

222

??.BE的最小值是膂名

【點(diǎn)睛】此題是一道圓的綜合題，主要考查了圓周角定理、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)、三角形中邊的

關(guān)系等知識(shí)，熟練利用這些性質(zhì)進(jìn)行邏輯推理和運(yùn)用分類的思想方法是解此題的關(guān)鍵.

7.（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，RtaABC中，ZA=90°,AB=AC,求證：BC=V2AB

（2）問題探究：如圖①，BC是。。的直徑，點(diǎn)A在。。上，AB=AC,P為BTTlC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B,C重合），

求證：/PA=PB+PC.請(qǐng)你根據(jù)圖中所給的輔助線，請(qǐng)你給出具體畫法并完成證明過程.

（3）類比遷移：如圖②，。。的半徑為3,點(diǎn)A,B在上，C為內(nèi)一點(diǎn)，AB=AC,AB1AC,垂足為

A,求0C的最小值.

【答案】（1）見解析；

（2）見解析；（3）3V2-3

【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理即可證明；

（2）將4ACP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到aABCl的位置,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：NQBASCA,AP=AQ,PC=QB,

根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可證點(diǎn)Q,點(diǎn)B,點(diǎn)P共線，根據(jù)勾股定理可證&PA=PQ=PB+PC；

（3）連接OA,將ZkOAC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90oSAEAB,連接OB,OE,則可得EB=OC,AE=OA=3,ZEAB=ZOAC,

根據(jù)勾股定理可求0E=3^,根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得BE2OE-OB=3&-3（當(dāng)點(diǎn)B在0E上時(shí)，取等號(hào)），即

可求0C的最小值.

【詳解】解：(1)vzA=90°,AB=AC,

??.△ABC是等腰直角三角形，

■.BC=y/AB2+AC2=y[2AB-,

(2)將4ACP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到△ABQ的位置.

證明如下：:BC是直徑

.-?ZBAC=90°=ZBPC

???AB=AC

???NACB=NABC=45°

由旋轉(zhuǎn)可得NQBA=NPCA,PA=AQ,PC=QB

-.?ZPCA+ZPBA=180°

.-.ZQBA+ZPBA=180°

??.Q,B,P三點(diǎn)共線

.?.NQAB+NBAP=NBAP+NPAC=90°

；.QP2=AP2+AQ2=2AP2

??.QP=&AP=QB+BP=PC+PB,

.-?V2AP=PC+PB；

(3)如圖2：連接OA,將△OAC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至AEAB,連接OB,OE,

?■?AB1AC

.-?ZBAC=90°

由旋轉(zhuǎn)可得：EB=OC,AE=OA=3,ZEAB=ZOAC

.-.ZEAB+ZBAO=ZBAO+ZOAC=90°

.,.在RtAOAE中，OE=VAE2+4。2=3&,

■?-BE>OE-OB=3V2-3(當(dāng)點(diǎn)B在OE上時(shí)，取等號(hào))

?■?OC最小值是3v^-3.

【點(diǎn)睛】本題考查圓綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理.三角

形的三邊關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)法添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決

問題，屬于中考?jí)狠S題.

8.如圖1,點(diǎn)。為A48C的外接圓上的一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)。在M上，且不與點(diǎn)C重合)，^ADB=ABAC=60°.

(1)求證：A42c是等邊二角形；

(2)連接CD,探究4D,BD,CD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖2,記BD與4c交于點(diǎn)E,過點(diǎn)E分別作于點(diǎn)/，ENLBC于點(diǎn)、N,連接若48=6,

求的最小值.

【答案】(1)見解析

⑵BD=AD+CD,理由見解析

【分析】(1)由圓周角定理得出NABC=60。，由等邊三角形的判定可得出結(jié)論；

(2)把4BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△BAM,如圖1,證出4BDM是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可得

出結(jié)論；

(3)取BE的中點(diǎn)0,以。為圓心，0B的長為半徑作圓，連接0M,0N,過點(diǎn)。作0HlMN于點(diǎn)H,求出

ZM0H=izM0N=60o,由直角三角形的性質(zhì)求出BE的長，則可得出答案.

【詳解】(1)證明：???ZACB=ZADB=6O°,ZBAC=60°,

.-.ZABC=60°,

??.△ABC是等邊三角形；

(2)解：BD=AD+CD.

理由如下：

把4BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△BAM,如圖1,

D

B

圖1

???四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，

?,ZBCD+NBAD=180°,

vZBAM=ZBCD,

.-.ZBAD+ZBAM=180°,

，M,A,D二點(diǎn)共線，

vBD=BM,4D=60°,

??.△BDM是等邊三角形，

??.BD=DM=MA+AD=CD+AD；

(3)W：如圖2,取BE的中點(diǎn)0,以。為圓心，0B的長為半徑作圓,

D

B

圖2

vMElAB,NE1CB,

??.M,N在圓。上，

連接0M,0N,過點(diǎn)。作0H1MN于點(diǎn)H,

???NABC=60°,

.-.ZMON=60ox2=120°,

.-.ZMOH=-ZMON=60°,

2

...MO=r=4E,MH=—r=—BE,

224

BE,

2

.?.當(dāng)BE1AC時(shí)，BE最小，止匕時(shí)BE的最小值為苧X6=3百，

''-MN的最小值為?X3A/3=|-

【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定

和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，熟練掌握等邊三角形的判定與性

質(zhì).

9.綜合與實(shí)踐

數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖，已知三只螞蟻/、B、C在半徑為1的。。上靜止不動(dòng)，第四只

螞蟻P在。。上的移動(dòng)，并始終保持乙4PC=乙CPB=60°.

備用圖

⑴請(qǐng)判斷△ABC的形狀；"數(shù)學(xué)希望小組”很快得出結(jié)論，請(qǐng)你回答這個(gè)結(jié)論：△4BC是三角形；

(2廣數(shù)學(xué)智慧小組”繼續(xù)研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)谒闹晃浵丳在。。上的移動(dòng)時(shí)，線段24、PB、PC三者之間存在一種

數(shù)量關(guān)系：請(qǐng)你寫出這種數(shù)量關(guān)系：,并加以證明；

(3)"數(shù)學(xué)攀峰小組”突發(fā)奇想，深入探究發(fā)現(xiàn)：若第五只螞蟻M同時(shí)隨著螞蟻P的移動(dòng)而移動(dòng)，且始終位于線

段PC的中點(diǎn)，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，線段的長度一定存在最小值，請(qǐng)你求出線段的最小值是(不

寫解答過程，直接寫出結(jié)果).

【答案】⑴等邊

(2)PC=PA+PB；證明見解析

【分析】(1)根據(jù)圓周角定理可得內(nèi),對(duì)應(yīng)的圓周角為60。，即2BC=60。、ABAC=60°,說明△ABC為

等邊三角形即可；

(2)如圖，在PC上截取PD=AP,連接4D,先說明△4PD為等邊三角形可得力。=AP=PD,AADP=60°,

^ADC=120°,進(jìn)而證明AAPB'△4DC(AAS)可得BP=CD,最后根據(jù)等量代換即可解答；

(3)如圖：M的軌跡是以。C為直徑的圓，設(shè)圓心為0，，連接80，，過0"作。'N1BC于N,過。作O'N1BC,

OQ1BC,根據(jù)題意可得ONIIOQ,然后說明O'N是三角形。QC的中位線，進(jìn)而得到CQ=2CN=：B；再根

據(jù)中點(diǎn)的定義可得8c=2CQ=V3,利用勾股定理可得=子,最后根據(jù)線段的和差即可解答.

【詳解】(1)解：；“PC=乙CPB=60°,

北對(duì)應(yīng)的圓周角為60。，

???4ABC=60°,4BAC=60°,

???/.ACB=180°-60°-60°=60°,

??.△4BC為等邊三角形.

故答案為：等邊.

(2)解：如圖，在PC上截取PD=AP,連接4D,

???AAPC=60°,

??.△4PD為等邊三角形，

AD=AP=PD,2LADP=60°,AADC=120°,

vAAPB=AAPC+ABPC=120°,

:.Z-ADC=Z.APB,

在△/PB和△ADC中，

2APB=/.ADC

/-ABP=^ACD,

、AP=A