2025屆吉林省東北三省教育教學(xué)聯(lián)合體高三3月聯(lián)合模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

保密★啟用前東北三省教育教學(xué)聯(lián)盟2025年3月聯(lián)合考試高三數(shù)學(xué)考試范圍：高考范圍；考試時(shí)間：120分鐘注意事項(xiàng)：1．答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上一、單選題（40分）1.已知集合{高，考，必，勝}，{吉，大，必，勝}，則（）A.{吉，大，高，考} B.{必，勝}C.{金，榜，題，名} D.{吉，大，高，考，必，勝}2.已知非零向量滿足，且，則與的夾角為A. B. C. D.3.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，．過(guò)作其中一條漸近線的垂線，垂足為P．已知，直線的斜率為，則雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.34.已知函數(shù)的極大值為，則（）A B. C. D.5.已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.6.已知函數(shù)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.7.已知函數(shù)且在R上為單調(diào)函數(shù).若方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.8.已知分別為上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，若，則大小關(guān)系為（）A. B.C. D.二、多選題（18分，全部選對(duì)得全部分，部分選對(duì)得部分分，錯(cuò)誤答案不得分）9.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程的兩個(gè)根分別為，，則（）A B.C. D.10.如圖，長(zhǎng)方體中，是側(cè)面的中心，是底面的中心，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下面選項(xiàng)正確的是（）A.直線與平行B.四面體的體積為定值C.點(diǎn)到平面的距離為D.異面直線與所成的角為11.已知函數(shù)，則（）A.只有1個(gè)極小值點(diǎn)B.曲線在點(diǎn)處的切線斜率為9C.當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍為D.當(dāng)只有1個(gè)零點(diǎn)時(shí)，m取值范圍為三、填空題（10分）12.已知向量，若，則最小值為_(kāi)_______．13.已知，是函數(shù)，的兩個(gè)零點(diǎn)，則________．四、解答題（82分）14.在中，角所對(duì)的邊分別為，滿足．（1）求角的大??；（2）設(shè)．（i）求邊的值；（ii）求的值．15.如圖，在三棱柱中，平面平面，為線段上一點(diǎn)．（1）求證：；（2）是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.16.已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）求函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間；（2）若為的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)，求在上的最大值．17.有一項(xiàng)危險(xiǎn)任務(wù)需要工作人員去完成，每次只進(jìn)入一人，且每人只進(jìn)入一次，在規(guī)定安全時(shí)間內(nèi)未完成任務(wù)則撤出，換下一個(gè)人進(jìn)入，但最多派三人執(zhí)行任務(wù)．現(xiàn)在一共有、、三個(gè)人可參加這項(xiàng)任務(wù)，他們各自能完成任務(wù)的概率分別為，，，且，，互不相等，他們?nèi)齻€(gè)人能否完成任務(wù)的事件相互獨(dú)立．（1），，，如果按照、、的順序先后進(jìn)入；①求任務(wù)能被完成的概率；②求所需派出入員數(shù)目的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）假定，試分析以怎樣的先后順序派出、、三個(gè)人可使所需派出的人員數(shù)目的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最小，請(qǐng)說(shuō)明理由．18.已知數(shù)列，其中.（1）若，集合表示集合的非空子集個(gè)數(shù).集合的第個(gè)非空子集中的所有元素之和記為，設(shè).（i）直接寫(xiě)出；（ii）計(jì)算的前項(xiàng)相和；（2）取，在數(shù)列中至少有一項(xiàng)為負(fù)值，且，將數(shù)列各項(xiàng)依次放在正五邊形各頂點(diǎn)上，每個(gè)頂點(diǎn)一項(xiàng).任意相鄰三個(gè)頂點(diǎn)的三項(xiàng)為，若中間項(xiàng)，則進(jìn)行如下交換，將變換為，直到正五邊形各頂點(diǎn)上的數(shù)均為非負(fù)時(shí)變換終止.求證：對(duì)任何符合條件的，上述變換終止只需進(jìn)行有限多次.19.十進(jìn)制與二進(jìn)制是常見(jiàn)的數(shù)制，其中十進(jìn)制的數(shù)據(jù)是由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這十個(gè)數(shù)碼來(lái)表示的數(shù)，基數(shù)為10，進(jìn)位規(guī)則是“逢十進(jìn)一”，借位規(guī)則是“借一當(dāng)十”；二進(jìn)制的數(shù)據(jù)是由0，1這兩個(gè)數(shù)碼來(lái)表示的數(shù)，基數(shù)為2，進(jìn)位規(guī)則是“逢二進(jìn)一”，借位規(guī)則是“借一當(dāng)二”；例如：十進(jìn)制的數(shù)20對(duì)應(yīng)二進(jìn)制表示的數(shù)為，二進(jìn)制的數(shù)對(duì)應(yīng)十進(jìn)制表示的數(shù)為15．用表示非空的整數(shù)集合A的所有元素的和，已知集合，，i=1，2，…，n且．（一個(gè)數(shù)，不特別說(shuō)明，默認(rèn)為十進(jìn)制）.（1）寫(xiě)出“37”對(duì)應(yīng)二進(jìn)制表示數(shù)及“”對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)；（2）若集合，，，，求與的所有可能值組成的集合；（3）若，且對(duì)每個(gè)正整數(shù)，都存在A的子集S，使得，求的最小值．

保密★啟用前東北三省教育教學(xué)聯(lián)盟2025年3月聯(lián)合考試高三數(shù)學(xué)考試范圍：高考范圍；考試時(shí)間：120分鐘注意事項(xiàng)：1．答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上一、單選題（40分）1已知集合{高，考，必，勝}，{吉，大，必，勝}，則（）A.{吉，大，高，考} B.{必，勝}C.{金，榜，題，名} D.{吉，大，高，考，必，勝}【答案】D【解析】【分析】根據(jù)并集的含義即可得到答案.【詳解】根據(jù)并集的含義得{吉，大，高，考，必，勝}.故選：D2.已知非零向量滿足，且，則與的夾角為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查利用平面向量數(shù)量積計(jì)算向量長(zhǎng)度、夾角與垂直問(wèn)題，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)學(xué)計(jì)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．先由得出向量的數(shù)量積與其模的關(guān)系，再利用向量夾角公式即可計(jì)算出向量夾角．【詳解】因?yàn)?，所?0，所以，所以=，所以與的夾角為，故選B．【點(diǎn)睛】對(duì)向量夾角的計(jì)算，先計(jì)算出向量的數(shù)量積及各個(gè)向量的摸，在利用向量夾角公式求出夾角的余弦值，再求出夾角，注意向量夾角范圍為．3.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，．過(guò)作其中一條漸近線的垂線，垂足為P．已知，直線的斜率為，則雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得，結(jié)合直角三角形中各邊關(guān)系可得，利用直線的斜率為列式化簡(jiǎn)即可求出的值，由此可得結(jié)果.【詳解】由題意得，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)所在漸近線方程為，即，∵，∴，∴，且.∵，∴，由點(diǎn)在直線上得，，故，∵，∴，解得，∴，∴雙曲線的離心率.故選：C.4.已知函數(shù)的極大值為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】借助導(dǎo)數(shù)，判定函數(shù)單調(diào)性，再結(jié)合極大值為，對(duì)分類討論求出，驗(yàn)證即可.【詳解】由題意，，則，令，解得或，當(dāng)時(shí)，在，上滿足，單調(diào)遞增，在上滿足，單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，，解得，當(dāng)時(shí)，在，上滿足，單調(diào)遞增，在上滿足，單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增，無(wú)極值，不符合題意，綜上所述，.故選：D.5.已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由數(shù)列單調(diào)遞增得到分段函數(shù)單調(diào)遞增，然后建立不等式組，解得的取值范圍.【詳解】由，數(shù)列是遞增數(shù)列，得，解得，所以a的取值范圍是.故選：C6.已知函數(shù)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】函數(shù)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，只需有一個(gè)變號(hào)實(shí)數(shù)根，反解參數(shù)，研究其單調(diào)性，得出的取值范圍.【詳解】，，因?yàn)楹瘮?shù)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，所以有一個(gè)變號(hào)實(shí)數(shù)根，即有一個(gè)變號(hào)的根，即與一個(gè)交點(diǎn)，且在該交點(diǎn)前后兩函數(shù)的大小關(guān)系發(fā)生變化，令，則，令，函數(shù)單調(diào)遞增，解得：，令，函數(shù)單調(diào)遞減，解得：，則，有一根，即，當(dāng)，時(shí)都有當(dāng)時(shí)，，所以.綜上所述，的取值范圍是故選：C7.已知函數(shù)且在R上為單調(diào)函數(shù).若方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)單調(diào)性的定義得到的范圍，接著將看作一個(gè)整體，然后結(jié)合一元二次方程求解出的值，然后結(jié)合的值域求解出的范圍.【詳解】由題意可知：為單調(diào)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減;故當(dāng)時(shí)，也是單調(diào)遞減，故要確保在R上單調(diào)遞減，則，解得：，所以滿足在R上單調(diào)遞減時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為當(dāng)時(shí)，，又在上單調(diào)遞減，，所以，即在上的值域?yàn)榱睿瑒t或3，即或，要使得有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則，解得：綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為：，即故選：C.8.已知分別為上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，若，則大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用分別為上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，得的周期為2，且求出，利用導(dǎo)數(shù)判斷出時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，再利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)判斷出的大小可得答案.【詳解】因?yàn)榉謩e為上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以，由，得，所以，可得的周期為2，又，可得，兩式相加可得，當(dāng)時(shí)，因?yàn)槎际窃龊瘮?shù)，所以為增函數(shù)，且，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，，，，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是求出，利用導(dǎo)數(shù)判斷出時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù).二、多選題（18分，全部選對(duì)得全部分，部分選對(duì)得部分分，錯(cuò)誤答案不得分）9.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程的兩個(gè)根分別為，，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)韋達(dá)定理和復(fù)數(shù)范圍內(nèi)一元二次方程兩根的特點(diǎn)一一分析即可.【詳解】對(duì)A，根據(jù)韋達(dá)定理知，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，根據(jù)韋達(dá)定理知，故B正確；對(duì)C，解出兩根分別為，顯然兩根互為共軛復(fù)數(shù)，則，故C正確；對(duì)D，因?yàn)椋瑒t，故D正確.故選：BCD.10.如圖，長(zhǎng)方體中，是側(cè)面的中心，是底面的中心，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下面選項(xiàng)正確的是（）A.直線與平行B.四面體的體積為定值C.點(diǎn)到平面的距離為D.異面直線與所成的角為【答案】ABC【解析】【分析】連接，則為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，即可判斷A；證明平面，再根據(jù)棱錐的體積公式即可判斷B；以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可判斷CD.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，連接，因?yàn)槭莻?cè)面的中心，是底面的中心，則為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以在中，為的中位線，即，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，平面平面，所以平面，又點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，又為定值，所以四面體的體積為定值，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，如圖以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，解得，令，得，則，所以點(diǎn)到平面的距離，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，,則，故異面直線與所成的角不為，D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.已知函數(shù)，則（）A.只有1個(gè)極小值點(diǎn)B.曲線在點(diǎn)處的切線斜率為9C.當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍為D.當(dāng)只有1個(gè)零點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍為【答案】BC【解析】【分析】討論的取值范圍，通過(guò)求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可得選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；把函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可得選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【詳解】由得或；由得.當(dāng)或時(shí)，，則，∴當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，則，∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上得，在處取得極小值，故有2個(gè)極小值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤.∵，∴曲線在點(diǎn)處的切線斜率為9，故B正確.由得，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性分析，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖1可得，當(dāng)函數(shù)的圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍為，故C正確.由圖2可得，當(dāng)函數(shù)的圖象與直線有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍為，故D錯(cuò)誤．故選：BC.三、填空題（10分）12.已知向量，若，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示得，利用常數(shù)代換和基本不等式可得.【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故答案為：13.已知，是函數(shù)，的兩個(gè)零點(diǎn)，則________．【答案】【解析】【分析】利用和差化積公式得，再結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)即可得到答案.【詳解】根據(jù)和差化積公式得，則令，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，則，此時(shí)無(wú)解，當(dāng)，因?yàn)?，則，則或，解得或，則.故答案為：.四、解答題（82分）14.在中，角所對(duì)的邊分別為，滿足．（1）求角的大??；（2）設(shè)．（i）求邊的值；（ii）求的值．【答案】（1）（2）（i）3；（ii）【解析】【分析】（1）利用正弦定理把邊化為角，再利用和差公式及三角形內(nèi)角和定理即可求解.（2）（i）由余弦定理即可求解；（ii）利用正弦定理可求出，由余弦定理可得，利用二倍角公式及和差公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】中，，由正弦定理得，所以，即，所以，因?yàn)椋?，所以，又，所?【小問(wèn)2詳解】（i）由余弦定理，得，即，即，解得.（ii）由正弦定理得，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，所?15.如圖，在三棱柱中，平面平面，為線段上一點(diǎn)．（1）求證：；（2）是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，或【解析】【分析】（1）連接，證明四邊形為平行四邊形，再用菱形性質(zhì)得到，通過(guò)面面垂直的性質(zhì)得到平面，運(yùn)用線面垂直性質(zhì)進(jìn)而證明，最后使用線面垂直定理得證；（2）以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)O作射線,以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，記平面的法向量求出和平面的法向量，再根據(jù)二面角的余弦公式建立方程求解即可.【小問(wèn)1詳解】連接，因?yàn)樵谌庵校运倪呅螢槠叫兴倪呅?，因?yàn)椋运倪呅螢榱庑?，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，因平面，所?【小問(wèn)2詳解】如圖，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)O作射線,則可以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，則，，設(shè)，則，記平面的法向量，則，即，得，易得平面的法向量，由題意：，解得：或，經(jīng)驗(yàn)證，或均符合題意．所以或.16.已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）求函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間；（2）若為的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)，求在上的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接求導(dǎo)再令導(dǎo)函數(shù)大于等于0，解出即可；（2）求出，再分析其單調(diào)性即可得到最值.【小問(wèn)1詳解】由已知，令，結(jié)合，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間，【小問(wèn)2詳解】由題可知，因?yàn)?，所以，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最大值為.17.有一項(xiàng)危險(xiǎn)任務(wù)需要工作人員去完成，每次只進(jìn)入一人，且每人只進(jìn)入一次，在規(guī)定安全時(shí)間內(nèi)未完成任務(wù)則撤出，換下一個(gè)人進(jìn)入，但最多派三人執(zhí)行任務(wù)．現(xiàn)在一共有、、三個(gè)人可參加這項(xiàng)任務(wù)，他們各自能完成任務(wù)的概率分別為，，，且，，互不相等，他們?nèi)齻€(gè)人能否完成任務(wù)的事件相互獨(dú)立．（1），，，如果按照、、的順序先后進(jìn)入；①求任務(wù)能被完成的概率；②求所需派出入員數(shù)目的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）假定，試分析以怎樣先后順序派出、、三個(gè)人可使所需派出的人員數(shù)目的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最小，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）①；②分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為；（2）先派A，再派B，最后派C時(shí)，派出人員數(shù)目X的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最小.【解析】【分析】（1）①根據(jù)獨(dú)立性事件乘法公式即可得到答案；②可取1，2，3，再分別計(jì)算出其對(duì)應(yīng)概率，再利用數(shù)學(xué)期望公式即可得到答案；（2）首先分析出前兩人應(yīng)從A和B中選，C最后派出，再分類討論作差比較兩種方案即可.【小問(wèn)1詳解】①設(shè)按照A、B、C的順序先后進(jìn)入，任務(wù)被完成為事件，則.②可取1，2，3，，，，所以其分布列為X123P數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)2詳解】若按照某一指定順序派人，A、B、C三人各自能完成任務(wù)的概率依次為，，，其中，，是，，的一個(gè)排列，結(jié)合（1）②知，由，得要使X最小，前兩人應(yīng)從A和B中選，C最后派出，若先派A，再派B，最后派C，則；若先派B，再派A，最后派C，則，而，所以先派A，再派B，最后派C時(shí)，派出人員數(shù)目X的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最小.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是計(jì)算出期望表達(dá)式，再分析C最后派出，最后分類討論并比較大小即可.18.已知數(shù)列，其中.（1）若，集合表示集合的非空子集個(gè)數(shù).集合的第個(gè)非空子集中的所有元素之和記為，設(shè).（i）直接寫(xiě)出；（ii）計(jì)算的前項(xiàng)相和；（2）取，在數(shù)列中至少有一項(xiàng)為負(fù)值，且，將數(shù)列各項(xiàng)依次放在正五邊形各頂點(diǎn)上，每個(gè)頂點(diǎn)一項(xiàng).任意相鄰三個(gè)頂點(diǎn)的三項(xiàng)為，若中間項(xiàng)，則進(jìn)行如下交換，將變換為，直到正五邊形各頂點(diǎn)上的數(shù)均為非負(fù)時(shí)變換終止.求證：對(duì)任何符合條件的，上述變換終止只需進(jìn)行有限多次.【答案】（1）（i）（ii）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）（i）根據(jù)定義寫(xiě)出；（ii）由題意得集合，所以，法1：利用子集構(gòu)成特點(diǎn)，由于集合的每個(gè)元素在其子集中出現(xiàn)的次數(shù)均為，得，求出，用裂項(xiàng)相消法求其前項(xiàng)和；法2：利用遞推關(guān)系，得到，構(gòu)造數(shù)列，借助累加法求出，再求出，用裂項(xiàng)相消法求其前項(xiàng)和；（2）由題意所述的變換不變，且始終為整數(shù)，所以，構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，經(jīng)過(guò)每一次變換，函數(shù)的值至少減少2，且恒非負(fù)，即可證結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】（i）由則，，因此可得；由則，，因此可得；由則，，因此可得；故；（ii）由題意得集合，所以，解法1：（利用子集構(gòu)成特點(diǎn)）由于集合的每個(gè)元素在其子集中出現(xiàn)的次數(shù)均為，故，所以，所以.解法2：（利用遞推關(guān)系）將集合拆分為集合與，集合的所有非空集合中的元素之和的和為，集合的所有非空子集中的元素之和的和為與集合的所有子集中的元素加上的和，集合共有個(gè)子集，所以.即，易得，累加得，所以.所以，所以.【小問(wèn)2詳解】由題意所述的變換不變，且始終為整數(shù)，所以，構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，不妨對(duì)進(jìn)行一次操作，此時(shí)五邊形頂點(diǎn)上的數(shù)變?yōu)椋杂?，因?yàn)?，得，又，所以，則經(jīng)過(guò)每一次變換，函數(shù)的值至少減少2，且恒非負(fù)，所以變換只能進(jìn)行有限多次.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問(wèn)的關(guān)鍵是首先由題意知每次變換不變，再構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，證明經(jīng)過(guò)每一次變換，函數(shù)的值至少減少2，且恒非負(fù)，說(shuō)明之間的差值越來(lái)越小，又其和為正，故