圓知識點梳理及專項練習-2025年中考數(shù)學一輪復習

專題12圓

1.圓的有關概念

(1)圓上各點到圓心的距離都等于.圓由兩個元素決定，分別是______和圓心確定圓的

半徑確定圓的.圓心相同，半徑不等的圓是；圓心不同，半徑相等的圓是.

⑵連接圓上任意兩點的線段叫作______.直徑是經(jīng)過_______的弦，是圓中的弦.

⑶圓上任意兩點間的部分叫作_______大于半圓的弧叫作小于半圓的弧叫作.

2.圓周角與圓心角的關系

頂點在圓心的角叫作；頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫作.在同圓或等圓中，如果兩個圓

心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦心距、兩個圓周角中有一組量_________那么它們所對應的其余各組量都分別—

—.同弧或等弧所對的圓周角都等于它所對的圓心角的_______.直徑所對的圓周角是__________；90。

的圓周角所對的弦是.

3.垂徑定理

垂直于弦的直徑平分并且平分；平分弦(不是直徑)的________垂直于弦，并且

平分.

4.點與圓的位置關系

點與圓的位置關系有三種：①②，③.

5.直線與圓的位置關系

⑴直線與圓的位置關系共有三種：①，②，③—.對應的圓心到直線的距離d和圓的半徑r之間的

數(shù)量關系分別為④dr,⑤dr,@dr.

(2)切線的判定方法有：①與圓有____公共點的直線是圓的切線；②到的距離等于的直線是圓的切

線；③經(jīng)過半徑的并且____這條半徑的直線是圓的切線.在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線

段的長叫作這點到圓的；從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長圓心和這一點的連線

兩條切線的夾角.

6.圓與圓的位置關系

⑴圓與圓的位置關系共有三大種：①，③，②，也可分為五小種：①,③,③—

一④，⑤.

(2)兩圓的圓心距d和兩圓的半徑R,r(RNr)之間的數(shù)量關系分別為①dR-r,②dR-r,③R-r_

dR+r,?dR+r,⑤dR+r.

7.圓的有關計算

(1)弧長、扇形面積的計算

已知0O的半徑為R,圓心角為n。的弧長1的計算公式為；圓心角為n。的扇形的面積為或—

(2)圓錐側面積、全面積的計算

圓錐的側面積就是其側面展開圖的扇形面積；圓錐的全面積就是它的與它的的和.

8.圓中常見的輔助線

(1)遇到時，一般要引直徑上的圓周角，將直徑這一條件轉化為的條件.

(2)遇到時，一般要弓|的半徑，以便利用切線的性質定理；或連接的弦，以便利用弦切角

定理

(3)遇到過圓外一點作圓的兩條時，常常引這點到圓心的以便利用切線長定理及其推論.

(4)遇兩圓______，要添加，或者連心線，特別是_________它在相交兩圓中起著橋梁作用.

實戰(zhàn)演練

1.如圖在△ABC中，/ACB=9(F,AB=5,BC=4以點A為圓心,i?為半徑作圓，當點C在。A內且點B在0A

外時，r的值可能是()

A.2B.3

C.4D.5

2.如圖,AD,BC是OO的直徑點P在BC的延長線上,PA與。。相切于點A,連接BD,若/P=40°,貝此AD

B的度數(shù)為)

A.65°B.60°

C.50°D.25°

3.某款“不倒翁”(圖1)的主視圖是圖2,PA,PB分別與/奶所在圓相切于點A,B,若該圓半徑是9cm,/P=40。,則

AMB的長是)

M

正面

圖1圖2

A.llucm

11

B.—Ticm

2

C.771cm

DC.-7Ticm

2

4.如圖,△ABC內接于。O,AD是。O的直徑，若/B=20。,則NCAD的度數(shù)是)

A.60°

B.65°

C.70°

D.75°

5.如圖,△ABC內接于OO,NC=46。,連接OA,則NOAB=()

A.44°

B.45°

C.54°

D.67°

6.如圖,AB是圓O的直徑，弦AD平分NBAC,過點D的切線交AC于點E,NEAD=25。,則下列結論錯誤

的是（）

E,C

D

A.AE±DE

B.AE/70D

C.DE=OD

D.ZBOD=50°

7.如圖是一位同學從照片上剪切下來的海上日出時的畫面，“圖上”太陽與海平線交于A,B兩點，他測得“圖上”

圓的半徑為10厘米，AB=16厘米.若從目前太陽所處位置到太陽完全跳出海平面的時間為16分鐘，則“圖上”太陽

升起的速度為

海平線

A.1.0厘米/分

B.0.8厘米/分

C.1.2厘米/分

D.1.4厘米/分

8.如圖，在矩形ABCD中，AB=?BC=2,以點A為圓心，AD長為半徑畫弧交邊BC于點E,連接AE,則

DE的長為（）

BE

A.47I/3

C.27T/3

9.如圖,AB是。O的直徑，弦CD交AB于點E,連接AC,AD.gZBAC=28°J!JZD=

10.如圖,。0是四邊形ABCD的外接圓，若NABC=110。,則NADC=

11.如圖在口ABCD中,AD=12以AD為直徑的。。與BC相切于點E,連接0C.若OC=AB,則口ABCD的周長為

12.已知圓錐的母線長為3,底面半徑為1,該圓錐的側面展開圖的面積為.

13.已知AB為0O的直徑,AB=6,C為0O上一點，連接CA,CB.(1)如圖①，若C為43的中點，求/CAB的大小

和AC的長；⑵如圖②，若AC=2,OD為。0的半徑，且ODLCB,垂足為E,過點D作。0的切線，與AC的延長

線相交于點F,求FD的長.

14.如圖,AB為。0的直徑,CD是。0的切線,C為切點，連接BC.ED垂直平分0B，垂足為E，且交BC-于點F,

交BC于點P,連接BF,CF.

(1)求證:/DCP=/DPC;

(2)當BC平分/ABF時，求證:CF〃AB;

⑶在⑵的條件下,OB=2,求陰影部分的面積

D

15.如圖,圓0中兩條互相垂直的弦AB,CD交于點E.

⑴M是CD的中點,OM=3,CD=12,求圓O的半徑長；

⑵點F在CD上，且CE=EF,求證:AF_LBD.

壓軸預測

1.如圖，矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm以B為圓心,BC為半徑畫弧交AD于點E,則扇形EBC的面

積為（）

A.2ncm2

B.Sncm2

C.12ncm2

D.15/rcm2

2.如圖.△ABC中,AB=2,AC=V2以點A為圓心,1為半徑的圓與BC相切分別交AB,AC于點D,E,則DE的

長是（）

C.it/2

3.如圖，一個寬為2cm的刻度尺在圓上移動，當刻度尺的一邊與圓相切時，另一邊與圓兩個交點處的讀數(shù)恰

好為“2”和“8”(單位：cm),那么該圓的半徑為cm.

4.如圖，扇形AOB中泮徑0A=2,圓心角/AOB=60。以OA為直徑的半圓交OB于點C,則圖中兩個陰影部分

面積的差的絕對值是.

5.如圖,△ABC為。0的內接三角形，且AB為。。的直徑,DE與。。相切于點D,交AB延長線于點E,OD與

BC交于點F,ZE=ZADC.

(1)求證:AD平分/BAC;

(2)若CF=2DF,AC=6,求。O的半徑r.

參考答案

1.(1)圓的半徑圓心半徑位置大小同心圓等圓

⑵弦圓心最長

(3)弧優(yōu)弧劣弧

2.圓心角圓周角相等相等相等一半直角圓的直徑

3.弦弦所對的兩條弧直徑弦所對的兩條弧

4.點在圓內點在圓上點在圓外

5.(1)相離相切相交>=<

⑵唯一圓心半徑外端垂直于切線長相等平分

6.(1)相離相切相交內含內切相交外切外離

(2)<=<<=>

7.(1)/=-S=—S=-lR

(2)底面積側面積

8.(1)直徑直角

(2)切線過切點過切點

⑶切線連線

⑷相交公共弦公共弦

1.C【解析】本題考查勾股定理、點和圓的位置關系.在R3ABC中,AB=5,BC=4,由勾股定理可得AC=3」.?點

C在0A內,，r>3.又點B在。A外,.」<5,；.3?<5,即r的值可能是4,故選C.

2.A【解析】本題考查切線的性質、三角形的外角性質、圓周角定理.因為PA與。O相切，所以NOAP=90。.

又NP=40。,所以/AOB=NOAP+ZP=130。,所以4ADB==65。，故選A.

3.A【解析】本題考查圓的切線的性質、弧長公式.設圓心為O,連接OA,OB,由題意得OAUAQBLPB,

由四邊形的性質知"OB=1800-ZP=180°-40°=140。,所以AMB的度數(shù)是360°-140°=220。,所以

AMB=?之:￡。=11兀(51)故選A.

4.C【解析】本題考查圓周角定理的推論.連接BD.因為AD是圓O的直徑.所以NABD=90。又NABC=20。,所

以上CBD=90°-20°=70°,,所以NCAD=/CBD=70°,故選C.

5.A【解析】本題考查圓周角定理、等腰三角形的性質.如圖.連接OB.VZC=46°,.\ZAOB=2ZC=92°.

又。4=OB,AOAB=180°-92-=44。，故選A.

6.C【解析】本題考查切線的性質、平行線的判定與性質、圓周角定理.因為OA=OD,所以/OAD=NODA.因

為AD平分NBAC,所以/OAD=NCAD,所以/ODA=/CAD,所以AE〃OD,故B選項正確;因為DE是圓。的切線,

所以ODLDE,所以AEJ_DE,故A選項正確;在直角梯形ODEA中,OA>DE.又OA=OD.所以OD>DE,故C選項

錯誤;因為/EAD=25°,所以NBAD=/EAD=25。,所以NBOD=2/BAD=50。,故D選項正確，故選C.

7.A【解析】本題考查圓的性質、勾股定理、垂徑定理如圖過點。作OHLAB于點H,連接OA,則AH=BH=

=8厘米在RtAAOH中,NOHA=9(r,OA=10厘米，所以由勾股定理得OH=y/OA2-AH2=6厘米.又因為從

目前太陽所處位置到太陽完全跳出海平面的時間為16分鐘，所以圖上”太陽升起的速度為(6+10)勺6=1.0厘米/分

故選A.

8.C【解析】本題考查矩形的性質、勾股定理、弧長公式.在矩形ABCD中.NDAB=/B=90o,AD=BC=2,；.A

E=AD=2.在RtAABE中,AB=V3,.1.BE=VTIE2-AB2=I,/.BE=\AE,：.ABAE=30。，二乙DAE=60°,???I

607r，2211.,

DE=E=§兀，故選C

9.62【解析】本題考查圓周角定理的推論.如圖，連接BC.：AB是。O的直徑,NACB=90。.：/BAC=28。，

ZABC=90°-28o=62o,.\ZD=ZABC=62°.

10.70【解析】本題考查圓內接四邊形的性質四邊形ABCD內接于OO,/ABC=ll(T,；./ADC=180。-/-ABC

=180°-110°=70°.

11.24+6V5【解析】本題考查圓的性質、圓的切線的性質、勾股定理、等腰三角形的性質.如圖，連接OE,

過點C作CHXOD于點H廁OE，BC,OE〃CH.因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD〃BC又AD=12,所以CH

=OE=6.因為AB=CD,OC=AB,所以OC=CD,所以(OH=DH=池=3.在RtACDH中,由勾股定理得CD=

V32+62=3近，所以AB=CD=3V5,,所以平行四邊形ABCD的周長為((12+3遙)x2=24+6亞.

12.3?！窘馕觥勘绢}考查圓錐的側面展開圖、扇形的面積.??,圓錐的側面展開圖是扇形，.

??.S=Tirl=3x1xyr=3兀，，該圓錐的側面展開圖的面積為3兀.

側

掌握圓錐的側面展開圖的扇形面積公式是解答本題的關鍵.

13.(1)45°,3V2(2)2V2

(1)根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得/ACB=90。,再根據(jù)等弧所對的弦相等，進而證明4ABC是等腰直角三角

形，利用勾股定理可求出AC的長；⑵根據(jù)切線的性質和已知垂直關系以及/ACB=90。,可判定四邊形ECFD是矩

形，得對邊相等，求出FD與CB的數(shù)量關系，在RtAABC中，利用勾股定理求出CB的長，即可求出FD的長.

解:(1)：AB為。O的直徑，

ZACB=90°.

由C為AB的中點，得.*=BC.

：.AC=BC得/ABC=/CAB.

在RtAABC中,/ABC+NCAB=90。，

ZCAB=45°.

根據(jù)勾股定理，有力"+BC2=AB2.

又AB=6相24c2=36,AC=3a.

(2)：FD是。。的切線，

ODXFD.SPZODF=90°.

；OD，CB,垂足為E,

1

???乙CED=90°tCE=^CB.

同(l)可得NACB=90。,有NFCE=90。.

JZFCE=ZCED=ZODF=90°.

???四邊形ECFD為矩形.

____-1

；.FD=CE.于是FD=^CB.

在RtAABC中，由AB=6,AC=2彳導

CB=7AB2—AC?=4V2.FD=2A/2.

14.⑴略⑵略(3)y-V3

(1)連接OC,根據(jù)切線的性質及EDXOB得到兩組互余的角，再根據(jù)等邊對等角結合等角的余角相等進行等

量代換，即可得證；⑵連接OF,證明△OFB是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質與圓周角定理求出NFCB的度

數(shù)，結合角平分線的性質求出/OBC的度數(shù)，然后利用平行線的判定即可證明結論成立；(3)根據(jù)圓周角定理及半

徑相等證明△COF是等邊三角形，再結合垂直平分線及勾股定理求出EF的長，然后利用三角形的面積公式與扇形

的面積公式求解即可.

解:⑴證明:連接0C.

：CD是。。的切線，

ZOCB+ZDCP=90°.

VEDXOB,

ZOBC+ZEPB=90°.

VOC=OB,

ZOCB=ZOBC.

ZDCP=ZEPB.

,/ZEPB=ZDPC,

ZDCP=ZDPC.

⑵證明:連接OF.

,/ED垂直平分OB,OF=FB.

又：OF=OB,

...△OFB是等邊三角形.

/.ZFOB=ZFBO=60°.

.-.Z.FCB=-^FOB=30°,

2

：BC平分NABF,

???乙OBC=乙FBC=-^FBO=30

2

二?NOBONFCB.

???CF〃AB.

(3)由(2)得NFBO30。，

???ZCOF=60°.

VOF=OC,

AACOF是等邊三角形.

VOB=2,JOF=OC=CF=2.

VED垂直平分OB,OF=2,

JZOEF=90°,OE=1,

???由勾股定理，得EF=V3.

SC0F=|x2xV3=V3.

C60XTTX222TT

s=-----------=—,

角^OF3603

''?S^=S轆coF—ScoF=q_?

15.(1)3有⑵略

(1)連接OC,OD.根據(jù)M是CD的中點可得DM=CM=在OMD,利用勾股定理即可得出半徑O

D的長;⑵連接AC,延長AF交BD于點N,證明△AEC^AAEF,可得ZEACZEAF,根據(jù)/BAC=/BDC

以及三角形外角的性質即可證明/AND=90。.

解:⑴如圖，連接OC,OD,

因為M是CD的中點且CD=12,

所以CM=DM=6且OM±DM.

在RtAOMD中,由勾股定理得

OD=VOM2+MD2=V32+62=3低

所以圓O的半徑長為3V5

⑵證明:如圖.連接AC延長AF交BD于點N.

在仆AEC與4AEF中，

因為AE=AE,/AEC=NAEF,EC=EF,

所以△AEC^AAEF.

于是NEAC=/EAF.

又因為NBAC=NBDC.

所以NAND=/BAN+/ABN

=ZCDB+ZABD=90°.

于是AF_LBD.

壓軸預測

1.C【解析】本題考查矩形的性質、特殊角的三角函數(shù)值、扇形的面積公式.在矩形ABCD中,NA=NABC=9

0。.在RtAABE中,AB=6,BE=BC=12,.\cos/ABE=ABE=ZABE=60°,ZEBC=30°,Sc

3°魯之=12兀。病,即扇形EBC的面積為12兀cm?,故選Q

DOU

2.D【解析】本題考查圓的切線的性質、弧長的計算公式.設BC與圓相切于點F,連接AF廁AFXBC.在R

tAAFB中,AB=2,AF=1,；.ZABF=30°,.\NBAF=60°.在RtAAFC中,AC=V2,AF=1,/.CF=1,.\ZCAF=45。,；.

^BAC=105DE=當3=上故選D.

'18012

3.Y【解析】本題考查垂徑定理、勾股定理.如圖，取圓心O,設切點為點C,直尺與圓相交于A,B兩點，

連接OA,OC,OC交AB于點D,則線段AB=8-2=6(cm)