中考數(shù)學一輪復習重難點強化訓練：平移與軸對稱（知識串講+9大考點）解析版

專題01平移與軸對稱

考點類型

知識一遍過

（-）圖形的平移

（1）定義：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離,這樣的圖形運動稱為平移.確定平移的兩

大要素是方向和距離.

（2）性質：

①經(jīng)過平移，對應點所連的線段平行（或在同一直線上）且相等,對應線段平行（或在同一直線上）且相

笠，對應角相等.

②平移改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小.

（二）圖形的軸對稱

（1）定義：

①軸對稱：兩個圖形沿著一條直線折疊后能夠互相重合，我們就說這兩個圖形是成軸對稱,這條直線叫做

對稱軸,兩個圖形中重合的點叫做對應點,重合的線段叫做對應線段.

②軸對稱圖形：如果一個圖形沿某條直線對折后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形就叫做軸

對稱圖形,這條直線叫做對稱軸.

（2）性質：

①成軸對稱的兩個圖形全等,

②如果兩個圖形關于某條直線對稱.那么連接對應點的線段被對稱軸垂直平分,

③兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上.

寫泉W點一遍過

考點1:利用平移的性質求解

典例1:（2024上?廣東深圳?八年級深圳外國語學校?？计谀┰凇渡钪械钠揭片F(xiàn)象》的數(shù)學討論課上，

小明和小紅先將一塊三角板描邊得到△ABC,后沿著直尺8c方向平移3cm,再描邊得到△DEF,連接2D.如

圖，經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)△ABC的周長為16cm,則四邊形4BFD的周長為（）

A.16cmB.22cmC.20cmD.24cm

【答案】B

【分析】本題考查了平移的性質，根據(jù)平移的性質可得DF=AC,然后得到四邊形4BFD的周長等于△ABC的

周長與4D、CF的和，代入數(shù)據(jù)計算即可求解，掌握平移的性質是解題的關鍵.

【詳解】解：回A4BC沿BC方向平移3cm得至UADEF,

0￡>F=AC,AD=CF=3cm,

團四邊形48FD的周長=△ABC的周長+4。+CF=16+3+3=22cm,

故選：B.

【變式1】（2023下?廣東潮州?七年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，點/為乙4的平分線和NB的平分線的交

點，AB=4,AC=3,BC=2,將乙4cB平移使其頂點與/重合，則圖中陰影部分的周長為（）

A.3B.4C.4.5D.5

【答案】B

【分析】本題考查了平移的性質及角平分線的定義等知識，熟練掌握角平分線的定義是關鍵.連接4八BI,

因為點/是乙4和NB平分線的交點，所以4/是NC4B的平分線，由平行的性質和等角對等邊可得：AD=D1,

同理BE=E/,所以圖中陰影部分的周長就是邊2B的長.

【詳解】解：如圖，連接4、BI,

回點/為NA的平分線和NB的平分線的交點，

ACAI=^BAI,Z.CB1=乙ABI,

由平移的性質可知：D1||AC,EI||BC,

回“4/=^AID,/.CBI=Z.EIB,

S^BAI=AAID,乙EIB=LABI,

S\DA=DI,EB=El,

團陰影部分的周長=DI+EI+DEDA+DE+BE=AB=4,

故選：B.

【變式2］（2023上?云南昭通?八年級校考階段練習）如圖，將△ABC沿著點B到點C的方向平移到AOEF的

位置，平移距離為7,AB^13,DO=6,則圖中陰影部分的面積為（）

A.70B.48C.84D.96

【答案】A

【分析】由平移的性質可得。E=AB=13,BE=CF=7,S^ABC=SADEF,從而得出OE=7,再由SAABC-

S^OEC=SADEF-SAOEC可得S陰影=S梯形^BEO=]X(7+13)X7=70,即可得解?

【詳解】解：由平移的性質可得：DE=AB=13,BE=CF=7,S^ABC=ShDEF,

???DO=6,

??.OE=DE-OD=13-6=7,

'*'S&ABC~S^OEC=S^DEF-S^OEC，

S陰影=S^ABEO=-X(7+13)X7=70,

故選：A.

【點睛】本題主要考查了平移的性質，熟練掌握平移不改變圖形的形狀和大小，經(jīng)過平移，對應點所連的

線段相等是解此題的關鍵.

【變式3］（2023上?河南南陽?九年級?？茧A段練習）如圖，將邊長為2cm的正方形4BCD沿其對角線4C剪開，

再把△ABC沿著4。方向平移，得到若兩個三角形重疊部分的面積為0.5cm2,則它移動的距離44

等于（）

?1c2+V2-1_p3-2±V2

A.-cmB.---cmC--cm或一cmD.——cm

24442

【答案】D

【分析】根據(jù)平移的性質，結合陰影部分是平行四邊形，△4/74與小HC9都是等腰直角三角形，則若設44=

%,則陰影部分的底長為無，高4D=2-%,根據(jù)平行四邊形的面積公式即可列出方程求解.

【詳解】解：設AC交49于X,交CD于點G,

由平移的性質知4C||A'C,CD||A'B',

回四邊形4HCG是平行四邊形，

回由正方形的性質可得：乙4=45°,4D=90°=^AA'H,

0A4凡4是等腰直角三角形，

同理，也是等腰直角三角形，

設44'=%,則陰影部分的底長為x,高4。=2-%,

0x(2—x)=0.5,

2±V2

0%=---.

2

即AA=萼(cm).

故選：D.

【點睛】此題考查解一元二次方程、平行四邊形的判定及性質，平移的性質，等腰直角三角形的判定，根

據(jù)平移的性質得到四邊形4HCG是平行四邊形是解題的關鍵.

考點2：坐標系中的平移

典例2：(2023上?安徽滁州?八年級?？茧A段練習)在平面直角坐標系中，將點4(-1,0)先向左平移3個單位

長度，再向下平移2個單位長度得到點則點B的坐標是()

A.(—2,2)B.(—2,—2)C.(—4,2)D.(—4,—2)

【答案】D

【分析】左平移橫坐標減，下平移，縱坐標減，得新點坐標.

【詳解】解:左平移3個單位長度,橫坐標變?yōu)?1-3=-4,向下平移2個單位長度，縱坐標變?yōu)?-2=-2,

點B的坐標為(—4,-2)；

故選：D

【點睛】本題考查直角坐標系平移與坐標變化；掌握平移方向與坐標加減的法則是解題的關鍵.

【變式1】(2023上?浙江紹興?八年級?？计谥?如圖，正方形4BCD中，AC,BD相交于點M(M為AC、BD的

中點)，頂點A、B、C的坐標分別為(1,3)、(1,1)、(3,1),規(guī)定"把正方形4BCD先沿x軸翻折，再向右平移

1個單位為一次變換"，則連續(xù)經(jīng)過2023次變換后，點M的坐標為()

A.(2023,2)B.(2024,-2)C.(2025,2)D.(2025,-2)

【答案】D

【分析】此題考查翻折變換，掌握對稱與平移的性質是解題的關鍵；

由正方形4BCD,頂點4(1,3),B(1,1),C(3,1),根據(jù)題意求得第1次、2次、3次變換后的對角線交點M的對

應點的坐標，可得規(guī)律：第n次變換后的點M的對應點的坐標為：當n為奇數(shù)時為(2+心-2),當n為偶數(shù)時

為(2+n,2),求得把正方形4BCD連續(xù)經(jīng)過2023次這樣的變換得到正方形4BCD的對角線交點M的坐標.

【詳解】解：回正方形4BCD,頂點4(1,3),8(1,1),C(3,1),

團對角線交點M的坐標為(2,2),

根據(jù)題意得：第1次變換后的點M的對應點的坐標為(2+1,-2),即(3,-2),

第2次變換后的點M的對應點的坐標為：(2+(2+2,2),即(4,2),

第3次變換后的點M的對應點的坐標為(2+3,-2),即(5,-2),

第n次變換后的點M的對應點的坐標為：當n為奇數(shù)時為(2+n,-2),當n為偶數(shù)時為(2+n,2),

團連續(xù)經(jīng)過2023次變換后，正方形的對角線交點M的坐標變?yōu)?2025,-2).

故選：D.

【變式2](2023下?四川南充?七年級統(tǒng)考期末)如圖，第四象限正方形48CD,且4(a,b+3),C(a+2,6),

將正方形ABC。平移，使4C兩點分別落在兩條坐標軸上，則平移后點C的對應點的坐標是()

A.(―2,0)或(0,—3)B.(2,0)或(0,—3)

C.(2,0)或(0,3)D.(—2,0)或(0,3)

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，分兩種情況討論：當平移后點A的對應點在X軸上，點C的對應點在y軸上時；當平移后

點4的對應點在y軸上，點C的對應點在x軸上時；分別根據(jù)x軸、y軸上點的坐標特征解答即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，分兩種情況討論如下：

當平移后點4的對應點在x軸上，點C的對應點在y軸上時，則平移后點4的縱坐標為0,點C的橫坐標為0,

???在第四象限正方形4BCD中，A(a,b+3),C(a+2,b),

a>0,/?+3<0,a+2>0,b<0,

.??由點4的縱坐標由b+3到平移后為0,可知向上平移了-(b+3)個單位；由點C的橫坐標由a+2到平移后

為0,可知向左平移了a+2個單位，

.?.平移后點C的對應點的縱坐標是b+(-匕-3)=-3,

???平移后點C的對應點的坐標是(0,-3)；

當平移后點4的對應點在y軸上，點C的對應點在x軸上時，則平移后點4的橫坐標為0,點C的縱坐標為0,

??,在第四象限正方形4BCD中，A(a,b+3),C(a+2,b),

??.a>0,b+3V0,a+2>0,bV0,

.??由點4的橫坐標a可知向左平移了a個單位，由點C的縱坐標b可知向上平移了-b個單位，

二平移后點C的對應點的橫坐標是a+2-a=2,

.?.平移后點C的對應點的坐標是(2,0)；

綜上所示，平移后點C的對應點的坐標是(2,0)或(0,-3),

故選：B.

【點睛】本題主要考查圖形的平移及平移特征，圖形的平移與圖形上某點的平移規(guī)律相同，解題的關鍵是

掌握平移中點的變化規(guī)律：橫坐標右移加，左移減，縱坐標上移加，下移減.

【變式3](2023下?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?七年級統(tǒng)考期末)如圖，將線段平移后得到線段CD,已知點A和￡>

是對應點，點A、B、C、。的坐標分別為4(3,a),8(2,2),C(6,3),￡)(8,6),貝Ua+b的值為()

A.8B.9C.12D.11

【答案】C

【分析】根據(jù)點4、。橫坐標判定出4B向右平移了5個單位，從而可由點8、C坐標求出6；根據(jù)點B、C

縱坐標判定出4B向上平移了1個單位，從而可由點A、￡>縱坐標求出a；然后代入計算即可.

【詳解】解：團將線段4B平移后得到線段CD,4(3,a),8(2,2),C(b,3),D(8,6),

回將線段向右平移了5個單位，向上平移了1個單位后得到線段CD,

團a+1=6,2+5=6,

團a=5,b=7,

團a+b=5+7=12,

故選：C.

【點睛】本題考查根據(jù)平移后點的坐標，判定平移方式，再根據(jù)平移方式確定平移后點的坐標，熟練掌握

平移坐標變換規(guī)律''左減右加，上加下減〃是解題的關鍵.

考點3：平移的綜合

典例3：(2023下?湖南長沙?七年級?？计谥?在平面直角坐標系中，對于點P(x,y),若點Q的坐標為

(ax+y,x+ay),則稱點Q是點P的"a階華益點"(其中a為常數(shù)，且a40).例如：點P(l,4)的"2階華益點"

為點Q(2X1+4,1+2x4),即點2的坐標為(6,9).

(1)若點P的坐標為(-1,5),求它的"3階華益點”的坐標；

⑵若點P(c+1,2c-1)先向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度后得到了點匕，點匕的"-3階華

益點”「2位于坐標軸上，求點的坐標.

⑶已知4(2,0)、8(0,2),在第一象限內(nèi)是否存在橫、縱坐標均為整數(shù)的點P(x,y),它的階華益點(加為正

整數(shù))"Q使得四邊形20BQ的面積為6?如果存在，請求出6的值和P點坐標；如果不存在，請說明理由.

【答案】⑴(2,14)

(2圾2的坐標為(0,—16)或(￡,0)

(3)存在,m=l時,尸的坐標為(1,2)或(2,1),rn=2時,尸的坐標為(1,1)

【分析】(1)根據(jù)點Q是點P的"a階華益點"求解即可；

(2)根據(jù)點Pi的"-3階華益點"P2位于坐標軸上，構建方程求解；

(3)P的"血階華益點(ni為正整數(shù))"Q的坐標為0nx+y,x+nty),根據(jù)四邊形40BQ的面積為6,構建方

程求解.

【詳解】([)解：由題可得：3x(-1)+5=2,-1+3x5=14,

回點P的"3階華益點”的坐標為(2,14).

(2)解：回點P(c+1,2c-1)先向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度后得到匕，

HPiCc-1,2c),

0-3(c—1)+2c——c+3,c—1+(-3),2c=-5c—1,

a?/的“-3階華益點"尸2的坐標為(—C+3,-5c-1),

又a?2位于坐標軸上，

0-c+3=0或-5c—1=0,

0c=3或c=

回P2的坐標為(0,-16)或(￡,0).

(3)：設P的“現(xiàn)階華益點%的坐標為(znx+y,x+niy),過點Q作MN||48,分別交x軸、y軸于N,M,

回S四邊形40BQ=S&ABO+S^ABQ=6,

1

回SUBQ=6--x2x2=4f

又團SAABM=S^ABN=-X4X2=4,

回根據(jù)三角形的等積變形原理得：SMBQ=SMBM=S“BN=%

0A48。斜邊SB上的高七為傘,AMN。斜邊MN上的高壇為2魚，

設等腰直角三角形△MN。的直角邊。N為n,

國SAOMN=^ON-OM=1-MN-(h1+h2)

I3|n2=|x(V2n)x3夜

解之得：71=6,

[W(0,6),N(6,0),

團S^OQM+S&OQN=S^OMN=6x6x-=18,

叱x6(mx+y)+1x6(%+my)=18,

0mx+y+%+my=6,

H(m+l)(x+y)=6,

又回m,%,y均為正整數(shù)，

團①當m+l=2,即TH=1.時，%+y=3,

<=24：t

回P(l,2),P(2,l)

②當m+l=3,即7n=2時，％+y=2,

綜上所述，加=1時，尸的坐標為(1,2)或(2,1),血=2時，尸的坐標為(1,1).

【點睛】本題考查坐標與圖形變化-平移，解題的關鍵是理解題意，學會利用參數(shù)構建方程解決問題.

【變式1](2023上?重慶九龍坡?八年級重慶市育才中學校聯(lián)考開學考試)如圖，在平面直角坐標系中，三

角形4BC三個頂點的坐標分別是4(-2,4),B(-4,-1),C(l,0),若將三角形ABC平移后得到三角形4/停1，

點4的對應點兒的坐標是(a,2),點B的對應點a的坐標是(-1,6).

⑴直接寫出a,b的值及點Q的坐標，畫出平移后的三角形為B1G；

⑵若點。在x軸上，且三角形4CD的面積是三角形為B1Q面積的2倍，求點。的坐標.

【答案】⑴。=1,1=一3,"4,-2),作圖見詳解

(2)0(12.5,0)或(-10.5,0)

【分析】(1)根據(jù)點4到點41，點B到點名得出平移規(guī)律即可求解；

(2)根據(jù)割補法求解求出力逮心，再根據(jù)SA4CD=2SAA%G，設點D的坐標為(t,0)，再分類討論即可.

【詳解】(1)解：?；4(一2,4),B(-4,-1),C(l,0),

點4的對應點4的坐標是(a,2),點B的對應點A的坐標是

可知將三角形2BC平移后得到三角形4B1C1，對應點的橫坐標加3,縱坐標減2,

???A(1,2),-3),Ct(4,-2),

a=Lb=-3,G(4,—2)

平移后的三角形如圖所示：

-

-

ill

(2)解：S^=5x5--xlx5--x2x5--x3x4=11.5,

A1B1C1222

SAACD:2S&B1C1=11-5x2=23,

設點。的坐標為(t,0),

當t>1時，CD=t-l,SAACD=1C￡)x4=2(t-l)=23,

解得t=12,5,即D(12.5,0)；

當t<1時，CD=l-t,SAACD=1C￡)x4=2(l-t)=23,

解得t=-10.5,Z)(-10.5,0),

故點。的坐標為。(12.5,0)或(一1050)

【點睛】本題考查了平移變換的性質，熟練掌握平移變換的性質是解題的關鍵.

【變式2】(2023下?山東威海?八年級統(tǒng)考期末)如圖，RtAABC中，乙4cB=90。，將AABC沿4B的方向平

移得到△￡)￡■/,連接CD,F8,CF.

ADBEADBE

備用圖

⑴當點。移至什么位里時，四邊形CDBF是菱形，并加以證明.

(2)在(1)的條件下，四邊形CDBF能否為正方形？若能，請說明理由；若不能，請給△ABC添加一個條件,

使四邊形CDBF為正方形，并寫出推理過程.

【答案】(1)當點。移至4B的中點時，四邊形CDBF是菱形，詳見解析

(2)不能，詳見解析

【分析】（1）當。移至AB的中點時，四邊形CD8F是菱形；根據(jù)"直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”

推知00=148,BF=^DE.所以4。=CD=BD=CF,又由BE=40,貝iJCD=8。=BF=CF,故四邊

形CDBF是菱形；

（2）不能為正方形，添加條件：4C=BC時，四邊形CDBF為正方形.根據(jù)有一內(nèi)角為直角的菱形是正方

形來添加條件.

【詳解】（1）解：當。移至AB的中點時，四邊形CDBF是菱形.

證明如下：

/.ACB=/.DFH=90°,。是的中點，

???CD=-AB,EF=-DE,

22

^AB=DE,

CD=BD=BF=BE,

???CF=BE,

CD=BD=BF=CF,

???四邊形COBF是菱形；

（2）解：不能為正方形，添加條件：AC=SCBt,四邊形CDBF為正方形.

證明：???4C=BC,。是48的中點.

???CD1AB,即NCDB=90。，

???四邊形CDBF為菱形，

四邊形CDBF是正方形.

【點睛】本題是幾何變換綜合題型，主要考查了平移變換的性質，勾股定理，正方形的判定，菱形的判定

與性質以及直角三角形斜邊上的中線.（1）難度稍大，根據(jù)三角形斜邊上的中線推知CD=BD=BF=BE是

解題的關鍵.

【變式3］（2023下?湖北?七年級統(tǒng)考期末）如圖，是由小正方形組成的7x7網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫

做格點，線段4B的兩個端點A,B都是格點，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖.（畫圖過程用虛線

表小，lEl圖結果用實線表示）.

A

⑴請建立合適的平面直角坐標系，使A,B兩點的坐標分別是4(—1,一2),B(3,0)；

⑵在(1)的條件下，平移線段4B到CD,使A點的對應點為格點C(O,1),8點的對應點為。點.

①請畫出線段CD,并寫出點。坐標；

②連接AC,AD,格點G(1,O)在2。上.請在線段CD上找點使得GM||4C；

③請在給定的網(wǎng)格內(nèi)找格點H，使三角形4GH與4CG的面積相等，則滿足條件的點H有個.(點C

除外)

【答案】⑴見解析.

(2)①線段CD見解析；￡)(4,3)；②見解析；@11

【分析】(1)根據(jù)4(—1,—2),8(3,0),可建立相應的直角坐標系；

(2)①由4點、C點的坐標可確定平移規(guī)律，根據(jù)平移規(guī)律可得出點。的坐標；②利用平移找到線段AC的

對應線段GQ,GQ與CD的交點即為點M；③根據(jù)平行線間的距離處處相等，可得出滿足條件的點.

【詳解】(1)解：如圖所示：

(2)解：①線段CD如圖所示:

由4(一1,—2)、C(O,1)得：線段向右平移了一個單位長度，向上平移了3個單位長度

故點￡)(4,3).

②由圖可知：將點4向右平移2個單位長度，向上平移2個單位長度可得到點G；

按照同樣的平移規(guī)律，可得到點C的對應點Q

由平移的性質可得：GQ^AC

故GQ與CD的交點即為點M.

A

③分別過點H、點C作直線4G的平行線，如圖所示:

根據(jù)"平行線間的距離處處相等"可知，滿足條件的點

【點睛】本題考查了平移、平行線間的距離處處相等知識點.根據(jù)對應點得到平移規(guī)律是解決此題的關鍵.

考點4：軸對稱圖形的識別

典例4：（2023上?河南安陽?九年級統(tǒng)考期末）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)軸對稱圖形定義與中心對稱圖形定義逐一判斷，即得.軸對稱圖形定義，如果一個平面圖形

繞著一條直線對折，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形定義，把

一個圖形繞著某一個點旋轉180。，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱

圖形.

本題主要考查了軸對稱圖形與中心對稱圖形.解決問題的關鍵是熟練掌握軸對稱圖形定義與中心對稱圖形

定義.

不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形;

,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形;

是軸對稱圖形不是中心對稱圖形.

故選：C.

【變式1］（2023?湖南?九年級專題練習）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

A.B.

【分析】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進行判

斷即可.軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心,

旋轉180度后與自身重合.

【詳解】解：A.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意;

B.不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意;

C.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意;

D.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意.

故選：D.

【變式2］（2023上?河南商丘?七年級?？茧A段練習）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是

【答案】D

【分析】本題主要考查了中心對稱和軸對稱圖形的概念，如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的

部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著某一個點旋轉180。，如果旋轉后的圖形

能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心.

根據(jù)中心對稱圖形的定義和軸對稱圖形的定義進行逐一判斷即可.

【詳解】解：A是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；

B不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；

C不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；

D既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，符合題意.

故選D.

【變式3］（2023上?湖北武漢?九年級校考階段練習）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是

（）

【答案】C

【分析】本題考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義.在平面內(nèi)，一個圖形經(jīng)過中心對稱能與原來的圖

形重合，這個圖形叫做叫做中心對稱圖形；一個圖形以某條直線對折，圖形的兩部分能夠完全重合，這樣

的圖形叫做軸對稱圖形.

直接根據(jù)中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義逐項分析.

【詳解】解：A.既不是中心對稱圖形，又不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；

B.不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

C.既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項符合題意；

D.不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意.

故選：C.

考點5：利用軸對稱性質求解

典例5：（2023上?河北滄州?八年級校考期中）如圖，△ABC和AAB'C'關于直線1對稱，下列結論：①△ABC三

△AB'C'；②ABAC'=NB'AC；③窿直平分CC'；④直線BC和B'C'的交點不一定在/上.其中正確的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

【分析】本題考查軸對稱的性質，根據(jù)軸對稱的性質求解.

【詳解】解：(SAABC和AAB'C'關于直線/對稱，

0(1)i^ABC=^AB'C,正確.

(2)Z.BAC=乙B'AC,正確.

(3)直線/垂直平分CC',正確.

(4)直線BC和B'C'的交點一定在直線/上，錯誤.

故選：B.

【變式1】(2019下?山西太原,七年級統(tǒng)考期末)如圖，點A在直線/上，0A8C與AAB'C'關于直線/對稱,

連接BB',分別交AC,4C'于點。，D',連接CC，，下列結論不一定正確的是()

C.BD=B'D'D.AD=DD'

【答案】D

【分析】利用軸對稱的性質和全等三角形的性質逐項判斷即可.

【詳解】解：MABC與AAB'C'關于直線I對稱,

：.LABC=^AB'C,BB'11,CC'1I,AB=AB',AC=AC',

/.BAC=/.B'AC,CC||BB',即選項A、B正確；

由軸對稱的性質得：OD=OD，OB=OB',

OB-OD=OB'-0D',即選項C正確；

由軸對稱的性質得：AD=AD',但4D不一定等于DD',即選項D不一定正確；

故選：D.

【點睛】本題考查了軸對稱的性質、全等三角形的性質，熟練掌握軸對稱的性質是解題關鍵.

【變式2】（2023上,湖北襄陽?八年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABC。沿直線/對折后重合，如果4D〃BC,

則結論①AB〃CD；②AB=CD；（3）AB1BC；④4。=OC中正確的是（）

【答案】C

【分析】分析已知條件，根據(jù)軸對稱圖形的性質結合圖形對題中小問題的條件進行分析，選出正確答案,

其中③是無法證明是正確的.

13直線/是四邊形ABCD的對稱軸,

0AB=AD,BC=DC,01=02,03=04,

又回ADOBC,

002=03,

001=04,

0AB0CD,故①正確;

回四邊形ABCD是菱形；

E1AB=CD,故②正確；

EI四邊形ABCD是菱形；

0AO=OC,故④正確.

團當四邊形ABCD是菱形時，直線/是四邊形ABCD的對稱軸，但是AB與BC不一定垂直，故③錯誤；

故選：C.

【點睛】主要考查了軸對稱的性質及菱形的性質與判定；證明四邊形是菱形是正確解答本題的關鍵.

【變式3］（2023上?山東德州?八年級德州市第十中學校考期中）如圖，AABC中，D點在BC上，將D點分別

以4B、4c為對稱軸，畫出對稱點E、F,并連接4E、AF,根據(jù)圖中標示的角度，NE4尸的度數(shù)為（）

【答案】D

【分析】此題考查軸對稱的性質，連接4D,利用軸對稱的性質解答即可.

【詳解】解：連接4D,

???D點分別以AB、4C為對稱軸，畫出對稱點E、F,

???Z-EAB=乙BAD,Z.FAC=Z.CAD,

???（B=62°,Z.C=52°,

???乙BAC=乙BAD+乙DAC=180°-62°-52°=66°,

???^EAF=2/.BAC=132°,

故選：D.

考點6：坐標系中的軸對稱求解

典例6：（2024上?河北石家莊?八年級統(tǒng)考期末）如圖在平面直角坐標系中，對AdBC進行循環(huán)往復的軸對稱

變換，若原來點A的坐標是(a,b),則經(jīng)過第2019次變換后，所得A點的坐標是()

A。

~o~O

第三次第四次

A.(a,—b)B.(—CL,—b)C.D.(a,h)

【答案】C

【分析】本題考查了軸對稱的坐標變換，點的坐標變換規(guī)律探究，讀懂題目信息，觀察出每四次對稱為一

個循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關鍵，也是本題的難點.

觀察圖形可知每四次對稱為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2019除以4,然后根據(jù)商和余數(shù)的情況確定出變換后

的點A所在的象限，然后解答即可.

【詳解】解：點A第一次關于x軸對稱后在第四象限，所得A點的坐標是(a,-b)；

點A第二次關于y軸對稱后在第三象限，所得A點的坐標是(-a,-b)；

點A第三次關于x軸對稱后在第二象限，所得A點的坐標是(-a,b)；

點A第四次關于y軸對稱后在第一象限，即點A回到原始位置，所得A點的坐標是(a,b)；

所以，每四次對稱為一個循環(huán)組依次循環(huán)，

回2019+4=504余3,

團經(jīng)過第2019次變換后所得的A點與第三次變換的位置相同，在第二象限，坐標為(-a,b).

故選：C.

【變式1](2024上,甘肅張掖,八年級校考期末)若點P(l,3)關于y軸的對稱點在一次函數(shù)y=(3k+2)x-1

的圖象上，則上的值為()

22

A.-B.--C.2D.-2

【答案】D

【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及關于%軸、y軸對稱的點的坐標，利用一次函數(shù)圖象

上點的坐標特征，找出關于k的一元一次方程是解題的關鍵.

由點P的坐標，可找出點P關于y軸的對稱點的坐標，再利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，可列出關于k的

一元一次方程，解之即可得出k的值.

【詳解】解：點P(l,3)關于y軸的對稱點為(-1,3).

國點(—1,3)在一次函數(shù)y=(3fc+2)x-1的圖象上，

:.3=—(3k+2)—1,

解得：k=-2,

故選：D.

【變式2](2024上?甘肅白銀?八年級統(tǒng)考期末)如圖，在平面直角坐標系中，4(-2,1),B(3,4),連接04

OB、AB,P是y軸上的一個動點，當|PB-P川取最大值時，點尸的坐標為(

A.(0,-5)B.(1,0)C.(0,2.2)D.(0,-|

【答案】A

【分析】此題考查關于y軸對稱的點的坐標特點，線段最值問題，一次函數(shù)與y軸交點，正確理解最值問題

并作出點P是解題的關鍵.作點Z關于y軸的對稱點N,連接BN交y軸于一點，即為點P,此時|PB-P川值最

大，設直線BN的解析式為y=kx+b,將N(2,l),B(3,4)代入，利用待定系數(shù)法求出解析式即可得到答案.

【詳解】解：如圖，作點4關于y軸的對稱點N,連接BN交y軸于一點，即為點P,此時IPB-P加值最大，

???4(-2,1),

N(2,l),

設直線BN的解析式為y=kx+b,

將N(2,l),B(3,4)代入得：您

解得｛屋)

???直線BN的解析式為y=3%-5,

當x=0時，y=-5,

P(0,-5),

故選：A.

【變式3](2023上?江蘇常州?八年級?？茧A段練習)在平面直角坐標系xOy中，點4(2,4)與點8(科九)關于、

軸對稱，則zn+zi的值為()

A.6B.-6C.2D.-2

【答案】C

【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化一一軸對稱，熟知關于y軸對稱的點縱坐標相同，橫坐標互為相反

數(shù)是解題的關鍵.根據(jù)關于y軸對稱的點縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)求出爪、n的值，然后代值計算即

可.

【詳解】解：團點4(2,4)與點關于y軸對稱，

勖ri=-2,n=4,

0m+九=—2+4=2,

故選C.

考點7:坐標系中的軸對稱作圖

典例7：(2024上?河北廊坊?八年級校聯(lián)考期末)如圖所示,在平面直角坐標系中，已知2(0,1),B(2,0),C(4,3).

r---------1-----------1-I---------1-5外------------1-

IIIIII

I1111yl?

「一-?i-一「一?-r

IIIIII

k--------1-----------1-I---------1-o------------1-

iIiIIDi

11111cI

r~~i---------r--i-------i-z------------r

iiiiii

L_____I____1一_I____l_J_______L

IIIII1I

I

一$_：一§二2二

IIIIF-!i

IIIIII

l--1—1--1——2—

⑴在平面直角坐標系中畫出△ABC,以及與△4BC關于y軸對稱的4DEF；

⑵△ABC的面積是

⑶已知P為%軸上一點，若AABP的面積為4,求點P的坐標.

【答案】⑴圖見詳解；

(2)4；

⑶P點坐標為(—6,0)或(10,0)；

【分析】本題考查了作軸對稱圖形及格點三角形面積問題:

(1)先利用關于y軸對稱的點的坐標特征得到。、E、尸的坐標，然后描點即可；

(2)用一個矩形的面積分別減去三個直角三角形的面積去計算AaBC的面積；

(3)設P點坐標為(t,0),利用三角形面積公式得到：x|t-2|xl=4,然后求出t得到P點坐標;

【詳解】(1)解：由題意可得，

如圖，AZBC和ADEF為所作，

(2)解：由題意可得,

Ill

S=4x3-2-xlx2--2x2x4--2x2x3=4

故答案為：4；

(3)解：設P點坐標為(t,0),

I3A4BP的面積為4,

/x-2|x1=4,

解得：t=一6或10,

團P點坐標為(-6,0)或(10,0).

【變式1](2024上?云南昆明?八年級統(tǒng)考期末)如圖,AABC三個頂點的坐標分別為2(1,2),C(3,4)

⑴請畫出△ABC關于y軸對稱的△&B1G，并寫出名的坐標；

⑵在x軸上存在一點P,使點P到4B兩點的距離之和最小，請直接寫出P點的坐標.

【答案】⑴作圖見解析,Bi(-4,2)

(2)P(2,0)

【分析】本題考查了作圖，軸對稱變換，求一次函數(shù)解析式，掌握軸對稱變換的定義和性質，是解答本題

的關鍵.

(1)分別作出三個頂點關于y軸的對稱點，再首尾順次連接，得到答案.

(2)作點4關于x軸的對稱點4,連接B4,與x軸交于點P,設B4所在直線的函數(shù)解析式為y=kx+6,由

4(1,—1),B(4,2),得到84所在直線的函數(shù)解析式為y=x—2,由此求出點P的坐標為(2,0).

【詳解】([)解：根據(jù)題意，作圖如下：

???AAtBiCi即為所求,

由圖像得：的坐標為(-4,2).

(2)如圖，作點4關于x軸的對稱點4,連接BA,與x軸交于點P,

???4(1,-1),PA+PB=PA'+PB,

由兩點之間線段最短得：當點4,P,B共線時，P4+PB取最小值，

設B4所在直線的函數(shù)解析式為y=kx+b,

將4(1,一1),B(4,2)代入得:

ffc+b=—1

14k+b=2'

fc

解得(1=M，

3=-2

???B4所在直線的函數(shù)解析式為y=%—2,

當y=0時，x—2,

即點P的坐標為(2,0).

【變式21(2024上?江西上饒?八年級統(tǒng)考期末)如圖,在平面直角坐標系xOy中,4(—1,5),8(—1,0),C(—4,3).

⑴請畫出AABC關于y軸對稱的AAiBiCi；(其中4,B],Q分別是A,B,C的對應點，不寫畫法)

(2)直接寫出B],Ci三點的坐標：

&(，),B](,),Q(,);

(3)AABC的面積=.

【答案】(1)見詳解

(2)1,5；1,0；4,3

⑶當

【分析】本題考查了作圖形的軸對稱的圖形，點的坐標，三角形的面積;

(1)根據(jù)軸對稱的性質作圖即可求解；

(2)根據(jù)(1)中的圖，寫出坐標即可求解；

(3)根據(jù)三角形面積公式即可求解；

掌握軸對稱性質，能根據(jù)軸對稱性質作圖是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：如圖

△4B1G為所求作;

(2)解：由(1)圖得

久(1,5),Bi(1,0),G(4,3)

故答案：1,5；1,0；4,3；

(3)解：由題意得

1

SAABC=2x5x3

——15.

2，

故答案：y.

【變式3】（2024上,湖北鄂州?八年級統(tǒng)考期末）在如圖所示的6X6的網(wǎng)格中，AABC的三個頂點4、B、C均

在格點上.

圖1圖2圖3

⑴探究一：如圖1,作出△ABC關于直線m對稱的（不寫作法步驟，僅用無刻度直尺作圖，保留作

圖痕跡）；

⑵探究二：如圖2,在直線m上作一點P,使A4CP的周長最小.（不寫作法步驟，僅用無刻度直尺作圖，保

留作圖痕跡）；

⑶探究三：如圖3,請嘗試運用構造全等三角形法，作出格點A4BC邊4C上的高BE.（不寫作法步驟，僅用

無刻度直尺作圖，保留作圖痕跡）

【答案】⑴見解析

⑵見解析

⑶見解析

【分析】本題考查做出軸對稱圖形，全等三角形判定及性質.

（1）根據(jù)點坐標到直線m的距離即可得出△44C，；

（2）作點A關于直線m對稱點4',連接A'C,交m于點P即可；

（3）延長4C交BF于點E,貝UBE即為所求，再利用全等三角形判定及性質即可求出.

【詳解】（1）解：根據(jù)題意以及網(wǎng)格的特點直接作出AaBC關于直線m對稱的△44「，如圖所示；

（2）作點4關于直線m對稱點4",連接A'C,交m于點尸，如圖所示;

AC+PC+PA">AC+CA"

.??點P即為所求;

（3）解：延長4c交BF于點E,則BE即為所求，如圖所示:

???Z.ADC=/.BGF=90°.AD=BG=3,CD=GF=1,

ACD三△BFG(SAS),

???Z.CAD=乙FBG,

?乙

??BCE=Z.ACDf

???乙BEC=Z.ADC=90°,

???BE1AC.

BE即為所求445c邊上的高.

考點8：利用軸對稱求最值

典例8：（2023上?江蘇蘇州?八年級統(tǒng)考期中）如圖，P是長方形4BCD內(nèi)部的動點，AB=4,BC=8,APBC

的面積等于12,則點P到B、C兩點距離之和PB/PC的最小值為（）

C.10D.11

【答案】C

【分析】先根據(jù)三角形的面積求出APBC中BC邊上的高，過P作BC的平行線2,找點B關于直線/的對稱點B',

推出PB+PC的最小值即為B'C的長即可.

【詳解】解：設APBC中BC邊上的高是山

S^PBC=12,BC=8,

1

產(chǎn)。h=12,

???h=3,

二動點P在與BC平行且與BC的距離是3的直線I上,

作點B關于直線I的對稱點夕，連接B'C交直線2于點P,連接

貝UPB+PC=PB'+PC>B'C,

PB+PC的最小值就是B（的長,

???B與9關于直線/對稱，

BB'—2h=6,

???四邊形4BCC是矩形，

.-./.ABC=90°,

BC=8,B'B=6,

B'C=yjBC2+BB'2=、乎+62=10,

故選：c.

【點睛】本題考查軸對稱-最短路線問題，解答時涉及三角形的面積、軸對稱的性質、線段和最短問題，將

兩條線段和最短的問題轉化為一條線段的長是解題的關鍵.

【變式1】（2023上?安徽阜陽?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，ZC=90°,乙4=30。，AB=9,BD是

△ABC的角平分線，點尸、點N分別是線段BD和邊4C上的動點，點M在邊BC上，且=2,貝1JPM+PN的

最小值是（）

A.3B.2V3C.V3D.3.5

【答案】D

【分析】本題主要考查了最短路線問題，作點M關于BD的對稱點連接PM，，則PM，=PM,BM=BM'=2,

當N,P,在同一直線上，且ATN14C時，「可+「時，的最小值等于垂線段時川的長，利用含30。角的直角

三角形的性質，即可得到，解題的關鍵是熟練掌握軸對稱求最短距離及相關知識的應用.

【詳解】如圖所示，作點M關于BD的對稱點連接PM'

則PM'=PM,BM=BM'=2,

SPN+PM=PN+PM',

當N,P,在同一直線上，且MW_LAC時，PN+PW的最小值等于垂線段WN的長，

在RtAZM'N中，/.A=30°,

SM'N=^AM'=|X（9-2）=3.5,

E1PM+PN的最小值為3.5,

故選：D.

【變式2］（2023上?安徽滁州?九年級校聯(lián)考期中）如圖，菱形4BCD的邊長為4,且“=60°,DE1BC于點

E,P為8D上一點，且APCE的周長最小，則APCE的周長的最小值為（）

A.V3+1B.2V7+2C.2V3+1D.247+1

【答案】B

【分析】首先確定出APCE的周長的最小值就是PE+PC的最小值+2,然后利用將軍飲馬問題的模型構造出

△PCE的周長的最小值4E,再利用勾股定理求出4E,進而解決問題.

【詳解】解：連接4E交BD于點P,連接AC,PC,

???四邊形4BCD是菱形，LA=60°,

???對角線BO所在直線是其一條對稱軸，點4點C關于直線BD對稱，△ABO與△CB。是等邊三角形,

???PC=PA,

??,DE1BC,

E是BC的中點，

EC=EB=2,

???△PCE的周長=PC+PE+EC=PA+PE+2,

.?.要求4PCE的周長的最小值可先求出PA+PE的最小值即可，

而24+PE的最小值就是4E的長，

過點E作EFA.AB,交2B的延長線于點P,

???四邊形4BCD是菱形，

BC||AD,

???ADAB=60°,

在RtABEF中，

BF=BE-cos60°=1,EF=BE-sin60°=V3,

在Rt△AEF