中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破與訓(xùn)練：相似三角形中的“8”字型相似模型（含答案及解析）

專(zhuān)題10相似三角形中的“8”字型相似模型

【模型展示】

特點(diǎn)

DA乙----、C

結(jié)論A.B//AOBs△cOD'^m一一cry

【模型證明】

D

解決方案

BC

ZA=ZD<^AOBSADOC<^=^=然

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、3。相交于點(diǎn)O,E是8c的中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)/，若DE=12,

則。產(chǎn)等于（）

C.6D.8

2.如圖，在△ABC中，BC=6,—=動(dòng)點(diǎn)P在射線(xiàn)EF上，8P交CE于點(diǎn)。，/C8P的平分線(xiàn)交CE

于點(diǎn)。，當(dāng)CQ=；CE時(shí)，EP+8P的值為（）

A.9B.12C.18D.24

3.如圖，在平行四邊形ABC。中，/ABC的平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)孔交C。的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,

若AP=2ED,則芻BF的值為（）

4.如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC,BD相交于點(diǎn)O,CE平分NDCB交BD于點(diǎn)F,且NABC=60。，

AB=2BC,連接OE,下列結(jié)論：①/ACD=30。；②S平行四娜ABCD=AC8C；③OE：AC=1：4；④SAOCF

C.3個(gè)D.4個(gè)

5.如圖，在平行四邊形ABC。中，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，AE=2ED,連接BE交AC于點(diǎn)G,延長(zhǎng)BE交

的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)片則空的值為（）

GF

6.如圖，在口ABC。中，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、80,且AE、8。交于點(diǎn)R則SAOEQS四邊形.c為（）

2

D,

41-------------------------------------

A.1：5B.4：25C.4：31D.4：35

7.如圖，在平行四邊形ABC。中，E為邊AD的中點(diǎn)，連接AC,BE交于點(diǎn)F.若AAEF的面積為2,則

△ABC的面積為（）

A.8B.10C.12D.14

8.如圖，AB//CD,AE//FD,AE,ED分別交于點(diǎn)G,H,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

一

c，ED

A也=里B0=空C更=空cFHBF

D.-----------

FHBH'DFCB'CECGAGFA

二、填空題

9.如圖，G為ABC的重心，AG=12,則AD=__________.

/t\

BDC

10.如圖在平行四邊形ABC。中，E是CO的中點(diǎn)，尸是AE的中點(diǎn),CF交BE于點(diǎn)、G,若8E=8,貝|GE=

3

DE

11.如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)E在BC邊上，連接AE,/D4E的平分線(xiàn)AG與CD邊交于點(diǎn)G,與BC

的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E設(shè)C三E=兒(%>0).

EB

(1)若AB=2,X=l,求線(xiàn)段CF的長(zhǎng)為；

(2)連接EG,若EG_LAF,則九的值為.

12.如圖，在RtZVIBC中，AB=BC,NABC=90。，點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，連結(jié)CO,過(guò)點(diǎn)B作BGLCD,分

別交8、C4于點(diǎn)E、F,與過(guò)點(diǎn)A且垂直于A3的直線(xiàn)相交于點(diǎn)G,連結(jié)。尸.給出以下五個(gè)結(jié)論：①

黑=誓；@ZADF=ZCDB；③點(diǎn)尸是GE的中點(diǎn)；④AF=^AB;⑤黑ABC=5S△曲.其中正確結(jié)論的序

ABFB3

號(hào)是.

13.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，且CE=2BE,點(diǎn)尸為對(duì)角線(xiàn)3。上一點(diǎn)，且叱=2。尸,

連接AE交于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)尸作于點(diǎn)H,若HG=2cm,則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為cm.

4

三、解答題

14.如圖，E為平行四邊形ABCD的邊延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，連接BE.交AC于。，交AD于尸.

求證：BO2=OE.OF.

15.已知：如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，在邊A8的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取BE=AB,點(diǎn)P在AE的延長(zhǎng)線(xiàn)上,

CE和交于點(diǎn)M,BC和。P交于點(diǎn)N,聯(lián)結(jié)2D

(1)求證：ABNDs工CNM；

(2)如果AD2=AB.AF,求證：CM?AB=DM?CN.

16.如圖1,在正方形ABC。中，點(diǎn)E是C。上一點(diǎn)(不與C,。兩點(diǎn)重合)，連接BE,過(guò)點(diǎn)C作CHLBE

于點(diǎn)凡交對(duì)角線(xiàn)8。于點(diǎn)G,交AQ邊于點(diǎn)H,連接GE.

(1)求證：CH=BE；

(2)如圖2,若點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，當(dāng)8￡=12時(shí)，求線(xiàn)段GE的長(zhǎng)；

S.

(3)設(shè)正方形ABC。的面積為5/,四邊形OEGH的面積為S2,點(diǎn)E將C。分成1：2兩部分，求法的值?

17.如圖，在平行四邊形ABC。中，E為。C邊的中點(diǎn)，連接AE,若AE的延長(zhǎng)線(xiàn)和BC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)

F.

5

B

G

D

(1)求證：BC=CF；

(2)連接AC和BE相交于點(diǎn)為G,若aGEC的面積為2,求平行四邊形45CD的面積.

18.綜合與實(shí)踐:

數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們根據(jù)下面情境提出問(wèn)題并解答.

問(wèn)題情境：在OA5CD中，點(diǎn)尸是邊AQ上一點(diǎn).將△RDC沿直線(xiàn)PC折疊，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E.

“興趣小組’'提出的問(wèn)題是：如圖1,若點(diǎn)P與點(diǎn)A重合,過(guò)點(diǎn)E作所〃AD,與PC交于點(diǎn)R連接。尸,

則四邊形AEED是菱形.

圖1圖2圖3

(1)數(shù)學(xué)思考：請(qǐng)你證明“興趣小組”提出的問(wèn)題;

(2)拓展探究：“智慧小組”提出的問(wèn)題是：如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸為AD的中點(diǎn)時(shí)，延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F連接尸尸.試

判斷P尸與PC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

請(qǐng)你幫助他們解決此問(wèn)題.

⑶問(wèn)題解決:“創(chuàng)新小組”在前兩個(gè)小組的啟發(fā)下,提出的問(wèn)題是:如圖3,當(dāng)點(diǎn)E恰好落在A3邊上時(shí)，AP=3,

PD=4,DC=10.則AE的長(zhǎng)為..(直接寫(xiě)出結(jié)果)

19.如圖，在等邊，ABC邊長(zhǎng)為6,。是中心；在R/AWE中，ZADE=90°,ZDAE=60°,AD=2.將VADE

繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周.

圖1圖2備用圖1備用圖2

6

(1)當(dāng)AD、AE分別在AC、AB邊上，連結(jié)O。、OE,求ODE的面積；

(2)設(shè)DE所在直線(xiàn)與「ABC的邊AB或AC交于點(diǎn)孔當(dāng)O、D、E三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，求AF的長(zhǎng)；

(3)連結(jié)CE,取CE中點(diǎn)M,連結(jié)ZW,DM的取值范圍為.

20.如圖1,442C中，AB=AC,點(diǎn)。在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)E在BC上，￡>E=DC,點(diǎn)/是DE與AC的交

點(diǎn).

(1)求證：ZBDE=ZACD；

(2)若DE=2DF,過(guò)點(diǎn)E作EG//AC交AB于點(diǎn)G,求證：AB=2AG；

(3)將“點(diǎn)。在8A的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)E在BC上”改為“點(diǎn)。在AB上，點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上”，“點(diǎn)F是。E

與AC的交點(diǎn)”改為“點(diǎn)廠(chǎng)是磯?的延長(zhǎng)線(xiàn)與AC的交點(diǎn)”，其它條件不變，如圖2.

①求證：ABBE=ADBC；

②若DE=4DF,請(qǐng)直接寫(xiě)出SAABC-.SADEC的值.

(1)如圖①，若點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為5,求點(diǎn)6的坐標(biāo)；

CD

(2)如圖②，若無(wú)軸恰好平分一胡C,3C交無(wú)軸于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)C作CD，x軸于點(diǎn)。，求工的值；

(3)如圖③，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(T,0),點(diǎn)8在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別以O(shè)B、為邊在第一、第二

象限中作等腰及OBF,等腰RtABE,連接斯交)軸于點(diǎn)尸，當(dāng)點(diǎn)8在y軸上移動(dòng)時(shí)，PB的長(zhǎng)度是否發(fā)

生改變？若不變求尸8的值；若變化，求PB的取值范圍.

22.如圖1,在正方形ABC。中，點(diǎn)E是C。上一點(diǎn)(不與C,Z)兩點(diǎn)重合)，連接BE,過(guò)點(diǎn)C作C8L8E

7

于點(diǎn)F,交對(duì)角線(xiàn)于點(diǎn)G,交邊于點(diǎn)H,連接GE.

(1)求證：DH=CE；

(2)如圖2,若點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，當(dāng)BE=8時(shí)，求線(xiàn)段GH的長(zhǎng)；

(3)設(shè)正方形A8CD的面積為S/,四邊形。EG8的面積為S2,當(dāng)g時(shí)，要值為.(直接

DE3S2---------------

寫(xiě)答案)

圖1圖2

23.(1)問(wèn)題背景：如圖1,正方形中，歹在直線(xiàn)CD上，E在直線(xiàn)BC上.若/瓦1尸=45。，求證：

BE+FD=EF；

(2)遷移應(yīng)用：如圖2,將正方形A8CD的一部分沿GH翻折，使A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E在BC上，且A。的對(duì)應(yīng)

邊EM交CD于F點(diǎn)、.若BE=3,EC=2,求EF的長(zhǎng)；

(3)聯(lián)系拓展：如圖3,正方形4BCD中，E、。在CO上，F(xiàn)在8c上，若EF=EA,ZFQA=ZFEA.若

NCFQ=34°,則/QW=°.

24.在AABC中，AB^AC,N3AC=a，點(diǎn)尸為線(xiàn)段C4延長(zhǎng)線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，連接尸3,將線(xiàn)段尸2繞點(diǎn)P逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a,得到線(xiàn)段PD,連接。8,DC.

(1)如圖1,當(dāng)a=60。時(shí)，求證：PA^DC；

(2)如圖2,當(dāng)a=120。時(shí)，猜想出和DC的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由.

(3)當(dāng)a=120。時(shí)，若48=6,BP=屈,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)。到CP的距離.

8

圖1

9

專(zhuān)題10相似三角形中的“8”字型相似模型

【模型展示】

特點(diǎn)A

結(jié)論AB//CD^AOBs2\coo十一一

【模型證明】

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、3D相交于點(diǎn)。，E是BC的中點(diǎn)，交AC于點(diǎn)廠(chǎng),

【答案】D

【分析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，E是BC中點(diǎn)，所以CE=^AD,由相似三角形的判

定定理得出△CEF^AADF,再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得出.

【詳解】解：?四邊形ABCD是正方形，E是BC中點(diǎn)，

.?.CE==AD,

VAD/7BC,

ZADF=/DEC,ZAFD=ZEFC,

.'.△CEF^AADF,

.EF_CE

■■OF-AD-2

10

.12-DF1

DF~2

解得DF=8,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，先根據(jù)題意判斷出

△CEF-AADF,再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行解答是解答此題的關(guān)鍵.

AF

2.如圖，在△A3C中，BC=6,—=動(dòng)點(diǎn)尸在射線(xiàn)所上，BP交CE于點(diǎn)D,ZCBP

EBFC

的平分線(xiàn)交CE于點(diǎn)。，當(dāng)CQ=；CE時(shí)，EP+8P的值為（）

【答案】C

【分析】如圖，延長(zhǎng)所交8。的延長(zhǎng)線(xiàn)于G.首先證明PB=PG,EP+PB=EG,由EG//BC,

推出頭=黑=3,即可求出EG解決問(wèn)題.

CJD

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)所交的延長(zhǎng)線(xiàn)于G.

..AEAF

?EB~FC

：.EG//BC,

：.ZG=ZGBC,

■:/GBC=/GBP,

:?/G=/PBG,

:?PB=PG,

：.PE+PB=PE+PG=EG,

;CQ=；EC,

.,.EQ=3C。，

,:EG〃BC,

:AEQGs叢CQB,

11

.EG_IQ_^

"CB

,:BC=6,

，EG=18,

：.EP+PB=EG=1S,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和

性質(zhì)，正確的作出輔助線(xiàn)構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，在平行四邊形ABC。中，NABC的平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)E,交A。于點(diǎn)月交。的

BF

延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,若AF=2FD,則工的值為（）

【答案】C

【分析】由AF=2D尸，可以假設(shè)。/=左，則4/=2歷AD=3k,證明尸=2%,DF=

DG=k,再利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：由AF=2DR可以假設(shè)￡＞尸=匕則AP=2%,AD=3k,

?/四邊形ABCD是平行四邊形，

J.AD//BC,AB//CD,AB=CD,

：.ZAFB=ZFBC=ZDFG,ZABF=NG,

；BE平分/ABC,

NABF=/CBG,

：.ZABF=NAFB=ZDFG=ZG,

，A2=C￡）=2左，DF=DG=k,

：.CG=CD+DG=3k,

\'AB//DG,

：.AABEs^CGE,

,BEAB2k2

"^G~'CG~Jk~3,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線(xiàn)

12

的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，熟練掌握性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC,BD相交于點(diǎn)O,CE平分/DCB交BD于點(diǎn)F,

且/ABC=60°,AB=2BC,連接OE,下列結(jié)論：①/ACD=30°；②S平行四邊彩ABCD=ACBC-,

③OE：AC=1：4；④SA℃F=2SAOEF.其中正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，得至叱ABC=NADC=60°,/BAD=120。，根據(jù)角

平分線(xiàn)的定義得到NDCE=NBCE=60。推出△CBE是等邊三角形，證得NACB=90。，求出

NACD=NCAB=30。，故①正確；

由ACJ_BC,得至ijS。ABCD=AOBC,故②正確；

根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AC=gBC,根據(jù)三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)得到OE=^BC,于是

得至UOE：AC=6：6,故③錯(cuò)誤；

由三角形的中位線(xiàn)可得BC〃OE,可判斷AOEFs^BCF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到

d=g^=2,求得SAOCF=2SAOEF；故④正確.

EFOE

【詳解】解：???四邊形ABCD是平行四邊形，

.*.ZABC=ZADC=60°,ZBCD=120°,

VCE平分NBCD交AB于點(diǎn)E,

???ZDCE=ZBCE=60°

AACBE是等邊三角形，

???BE=BC=CE,

VAB=2BC,

AAE=BC=CE,

???ZACB=90°,

AZACD=ZCAB=30°,故①正確；

VAC±BC,

???S口ABCD=AC?BC,故②正確，

在R3ACB中，ZACB=90°,ZCAB=30°,

AC=6BC,

VAO=OC,AE=BE,

AOE=^BC,

13

???OE：AC=G：6；故③錯(cuò)誤；

VAO=OC,AE=BE,

；.OE〃BC,

/.△OEF^ABCF,

.CF_BC

??---.......=2

EFOE

CF

SAOCF：SAOEF=-----=2,

EF

***SAOCF=2SAOEF;故④正確.

故選c.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線(xiàn)、相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握并靈

活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，在平行四邊形ABC。中，點(diǎn)E是AO上一點(diǎn)，AE=2ED,連接BE交AC于點(diǎn)G,

延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,則要的值為（）

GF

【答案】A

【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到則可判斷△ABGszXC尸G,Zk△。尸￡1,

于是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和AE=2ED即可得結(jié)果.

【詳解】解：:四邊形ABCO為平行四邊形，

J.AB//CD,

：.叢ABGs叢CFG,

.BGAB

,9~GF~~CF

.AE_AB

,?而一而‘

?；AE=2ED,

：.AB=2DF,

.AB_2

??不一§，

.BG_2

??而一“

14

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行解題.

6.如圖，在口A8C。中，E為CQ的中點(diǎn)，連接AE、BD,且AE、BD交于點(diǎn)、F,貝”△即：

S四邊形EfBC為()

A.1：5B.4：25C.4：31D.4：35

【答案】A

【分析】根據(jù)平行四邊形對(duì)邊互相平行可得AB//DE,然后求出/所和△B4F相似，再

根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求出兩三角形的面積的比為1：4,設(shè)SDEF=S，

SBAF=4S,再根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊的比求出SAD尸=2S,然后表示出S

的面積，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得S.c=S的,然后相比計(jì)算即可得解.

【詳解】解：?四邊形ABCO是平行四邊形，

:.AB//DEfAB=CD

???E為C。的中點(diǎn)，

：.DE：CD=1：2

■:AB//DE

DEFsz\BAF,

?e-S.DEF?S5"=(DE:AB)2=1：4，EF'.A.F—\

設(shè)SDEF=S,貝IjSBAF=4s,

EF：AF=1：2,

??S.DEF:S2尸=EF：AF=1：2，

??SADF=2s,

??SABD=SBAF+S*產(chǎn)=4S+2s=6S,

QBD是平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，

??S.DBC=S.D，

??SDBC=6s,

SDEF：S四邊形由c=S：5s=1：5.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的

判定以及相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵，不容易考慮到的是等高的三

角形的面積的比等于底邊的比的應(yīng)用.

15

7.如圖，在平行四邊形ABC。中，E為邊的中點(diǎn)，連接AC,BE交于點(diǎn)F.若AAEF的

面積為2,則AABC的面積為（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】C

【分析】先利用平行四邊形的性質(zhì)得AD〃3C,AD=BC,由AE〃3C可判斷AAEF^△CBF,

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得《2=弟=生=:，然后根據(jù)三角形面積公式得沁=:，，則

BkCrDC2^AABC°

SAABC-6sA4E/-12.

【詳解】?.?平行四邊形ABC。

/.AD//BC,AD=BC

為邊AO的中點(diǎn)

：.BC=2AE

'：AE//BC

：.ZEAC=ZBCA

又；NEFA=NBFC

：.AAEFsACBF

如圖，過(guò)點(diǎn)尸作尸于點(diǎn)H,八7，水7于點(diǎn)6,

EFAFAEHF1

貝n！!l---=---=---=---=—,

BFCFBCFG2

2

「△AE尸的面積為2

SAABC=65AAEF=6X2=12

故選c.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，屬于同步基礎(chǔ)題.

16

8.如圖，AB//CD,AE//FD,AE,尸。分別交5C于點(diǎn)G,8,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

PHCHGECGAFHGFH_BF

府一BH~DF~~CB~CE~~CGAG-FA

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例和相似三角形的性質(zhì)與判定，進(jìn)行逐一判斷即可.

【詳解】解：???A3〃CD,

PHCH

A選項(xiàng)正確，不符合題目要求;

AE〃DF,

ZCGE=ZCHD,ZCEG=ZD,

叢CEGs叢CDH,

GECG

EGPH

~CG~~CH"

AB〃CD,

CHDH

DHDF

~CH~~CB，

GEDF

~CG~~CB"

GECG

~DF~~CB"

B選項(xiàng)正確，不符合題目要求;

AB//CD,AE〃DF,

四邊形A瓦正是平行四邊形，

AF=DE,

AE〃DF,

DEGH

~CE~~GC"

AF_HG

CE-CG；

17

?,?C選項(xiàng)正確，不符合題目要求；

?：AE〃DF,

，工BFHsABAG,

.FHBF

??一，

AGAB

'：AB>FA,

.,-F-H-土-B--F

"AGFA

...D選項(xiàng)不正確，符合題目要求.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能根據(jù)定

理得出比例式是解此題的關(guān)鍵.

二、填空題

9.如圖，G為ABC的重心，AG=12,貝UAD=

【答案】18

【分析】連接CG并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E,連接。E,根據(jù)題意，可以得到。E時(shí)△ABC的中位

線(xiàn)，從而可以得至UCE〃AC且。E=^AC,然后即可得到△DEGs/vlCG,由相似三角形的

性質(zhì)得到。G和AG的比值，求出然后DG,即可得到結(jié)果.

【詳解】解：如圖，連接CG并延長(zhǎng)交A3于點(diǎn)E,連接DE,

?.?點(diǎn)6是八ABC的重心，

/.點(diǎn)E和點(diǎn)。分別是AB和BC的中點(diǎn),

；.DE是AABC的中位線(xiàn)，

：.DE//ACS.DE=；AC,

18

.MDEGsdACG,

.DEDG1

"AC~AG~2)

VAG=12,

：.DG=6,

：.AD=AG+GD=18.

故答案為：18.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的重心、三角形的中位線(xiàn)、三角形相似，解答本題的關(guān)鍵是明確題

意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

10.如圖在平行四邊形ABC。中,E是CO的中點(diǎn)，尸是AE的中點(diǎn),CF交BE于點(diǎn)、G,若BE=8,

貝|JGE=—.

【答案】2

【分析】延長(zhǎng)CR54交于根據(jù)已知條件得出EF=AF,CE=^DC,根據(jù)平行四邊形

的性質(zhì)得出。C〃A8,DC=AB,根據(jù)全等三角形的判定得出△CEF也根據(jù)全等三

角形的性質(zhì)得出CE=AM,求出BM=3CE,根據(jù)相似三角形的判定得出△CEG^/^MBG,

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，再求出答案即可.

【詳解】解：延長(zhǎng)CP、A4交于

是8的中點(diǎn)，尸是AE的中點(diǎn),

：.EF=AF,CE=^DC,

:四邊形ABCD是平行四邊形，

J.DC//AB,DC=AB,

：.CE=^AB,ZECF=ZM,

在^CEr和△A/A/中

ZEFC=NAMF

<ZECF=ZM,

EF=AF

19

.'.△CEF^AAMF(AAS),

???CE=AM,

*：CE=^AB,

:?BM=3CE,

*：DC//AB,

:.ACEGSAMBG,

.CEEG1

**-BG_3'

???3E=8,

.GE_1

??二一，

8-GE3

解得：GE=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三

角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵.

11.如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)E在BC邊上，連接AE,ND4E的平分線(xiàn)AG與C。邊

CF

交于點(diǎn)G,與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)凡設(shè)二=九(九＞0).

(1)若AB=2,X=l,求線(xiàn)段CF的長(zhǎng)為；

(2)連接EG,EG±AF,則九的值為.

【分析】(1)根據(jù)48=2,入=1,可以得到BE、CE的長(zhǎng)，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)，可以得

到AE的長(zhǎng)，再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)和角平分線(xiàn)的性質(zhì)，可以得到EF的長(zhǎng)，從而可以得到線(xiàn)

段CF的長(zhǎng)；

(2)證明AADG且△PGC,得出點(diǎn)G為邊的中點(diǎn)，根據(jù)三角形相似，可以得到CE和

加的比值，從而可以得到入的值.

【詳解】解：(1):在正方形ABCD中，AD//BC,

.".ZDAG=ZF,

又：AG平分ND4E,

ZDAG=ZEAG,

：.ZEAG=ZF,

20

:?EA=EF,

a：AB=2,NB=90。，點(diǎn)E為3。的中點(diǎn),

：.BE=EC=\,

?'-AE=Y/AB2+BE2=A/5，

???￡/=石，

：.CF=EF-EC=y/5-1；

故答案為：邪-1;

(2)證明：?：EA=EF,EGLAF,

???AG=FG,

在△人。6和4尸CG中

ND=NGCF

<NAGD=/FGC,

AG=FG

：.AADG^/\FCG(A4S),

；.DG=CG,

設(shè)CO=2〃，則CG=a,

CF=DA—2a,

VEG±AF,ZGCF=90°,

.,.ZEGC+ZCGF=90°,ZF+ZCGF=90°,/ECG=/GCF=9U。,

：?NEGC=NF,

???△EGCS/\GFC,

.ECGC

??一9

GCFC

,**GC=cifFC=2a,

.GC1

??—―,

FC2

.EC1

??=一,

GC2

EC=-^a,BE=BC-EC=2a-^a=—af

222

1

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾

股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，熟練運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行推理解答.

21

12.如圖，在RtZXABC中，AB^BC,NABC=90。，點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，連結(jié)CD,過(guò)點(diǎn)3作

BGLCD,分別交8、C4于點(diǎn)E、F,與過(guò)點(diǎn)A且垂直于A3的直線(xiàn)相交于點(diǎn)G,連結(jié)

DF.給出以下五個(gè)結(jié)論:①當(dāng)=等,@ZADF=ZCDB；③點(diǎn)尸是GE的中點(diǎn);④Af=；

ABFB3

⑤%.=5S△皿.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①②④

【分析】根據(jù)題意證明“AFGjCFB,進(jìn)而可確定①；由,AFG/△AED，可得GF=FD

由進(jìn)而判斷結(jié)論②，AFG/△AED可得AG=JAB=；8C,進(jìn)而由

AF1AF1

一AFGs_CEB可得下=鼻，即可判斷③，根據(jù)方二1，以及。是A8的中點(diǎn)即可判斷⑤.

【詳解】依題意得，ZABC=90°,G41AB,

??.BC//AG,

:.^AFG^￡\CFB,

.AGFG

…正一訪(fǎng)’

又AB=BC,

.AGFG

…亂一耘’

故①正確；

如圖，標(biāo)記如下角，

BGLCD,ZABC=90°,

/.Zl+Z3=90°,Zl+Z4=90°,

...N3=N4,

在/ABG與△J3CD中,

22

N3=N4

<AB=BC

NBAG=/CBD=90。

，ABG沿ABCD(ASA),

/.AG=BD,

又,點(diǎn)。是A3的中點(diǎn)，

BD=AD,

:.AG=AD,

AB=BC,ZABC=90°,

:.ZDAF=45°f

ZGAB=90°,

ZGAF=45°9

..NGAF=NDAF,

在4AFG與△ATO中，

AG=AD

</FAG=/FAD

AF=AF

/.^AFG^AFD(SAS),

/.Z5=Z2,

Z5+Z3=Z1+Z3=9O°,

「.Z5=N1,

.?.N1=N2,

即ZADF=NCDB,

故②正確；

^AFG^AAFD,

:.FG=FD,

-PDE是直角三角形，

FD>FE，

:.FG>FE,

即點(diǎn)/不是線(xiàn)段EG的中點(diǎn)，

故③不正確；

ABC是等腰直角三角形，

AC=-JAB2+BC-=y/2AB，

AFG^Z\AFD，

AG=AD=-AB=-CB,

22

23

一AFGs一CFB,

.AGAF

'~BC~~FCJ

:.FC=2AF,

AF^-AC=—AB,

33

故④正確；

AF^-AC,

3

?S」S

一0ABF_3ABC，

「點(diǎn)。是A3的中點(diǎn)，

一?°qBDF_-_/PqABC，

D

即SABC=6sBDF,

故⑤錯(cuò)誤.

綜上所述，①②④正確.

故答案為：①②④.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判

定，勾股定理，三角形中線(xiàn)的性質(zhì)，證明_AFG絲△AH）和.AFW—CFB是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，且CE=23E,點(diǎn)F為對(duì)角線(xiàn)8。上一

點(diǎn)，且班'=2OF,連接AE交3D于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)/作m_LAE于點(diǎn)H,若HG=2cm,則

正方形ABCD的邊長(zhǎng)為cm.

【分析】如圖，過(guò)/作HL5c于/點(diǎn)，連接FE和陰，得到BIFBCD,設(shè)

BE=EI=IC=aanCE=/7=2acm,AB=3aa%求出FE,AH,AG,證明,BEGZMG得

至(JGE=』AG='—a+2cm,GE=HE-GH=(-a-2)cm,最后求值即可.

3312J2

【詳解】如圖，過(guò)/作HL5c于/點(diǎn)，連接FE和胡，

24

771BC,四邊形ABC。為正方形,

:.FH/CD,

:._BIFBCD,

BF=2DF,

?BI_BF_2

:.I為3C的三等分點(diǎn)，

CE=2BE,

，E為3C的三等分點(diǎn)，

:.BE=EI=IC,

:?設(shè)BE=EI=IC=acm

AB=BC=3acm,

一BFI為等腰直角三角形，

/.BI=FI=2acm,

FE=Ja2+（2a）2-FC=FA=yfSacm,

：.H為AE的中點(diǎn)，

AE=^AB~+BE2=yja2+（3a）2=y/lOacm,

.1_y/10

..AH=HE=—AAEr=-----cicirif

22

AG=AH+GH=（半a+2）cm,

四邊形ABC。為正方形，

.-.BE//AD,

BEGDAG,

25

GE_BE

AG-AD-3

4A/10

a-----，

5

:加3。。“且cm.

5

故答案為：誓

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，是填空題壓軸題，考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判

定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是CE=22E,8P=2DF的利用

以及這些性質(zhì)的熟記.

三、解答題

14.如圖，E為平行四邊形ABC。的邊8延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，連接BE.交AC于。，交

于尸.

求證：BO-=OE.OF.

【答案】見(jiàn)解析.

【分析】根據(jù)AO〃2C,得AAOFSACOB,由AB〃DC,得AAOBs^cOE,再根據(jù)相似

三角形對(duì)應(yīng)變成比例即可.

【詳解】證明：?.NBanc,

AAOB^ACOE

?OE_PC

"~OB~~OA

\'AD//BC,

△AOFsACOB

.OBPC

"OF~OA

26

.OEOBp

即1n80?'=°E.°D

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)與判定，找到兩

組對(duì)應(yīng)邊的比例相等是解決本題的關(guān)鍵.

15.已知：如圖，四邊形A3C。是平行四邊形，在邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取3E=A3,點(diǎn)P在

AE的延長(zhǎng)線(xiàn)上，CE和。B交于點(diǎn)和。尸交于點(diǎn)N,聯(lián)結(jié)BZ）.

(1)求證：4BNDs叢CNM；

(2)如果求證：CM-AB=DM-CN.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得AB=CD,AB//CD,再證明四邊形BEC。為平行四

邊形得到8D〃C￡,根據(jù)相似三角形的判定方法，由可判斷△BNDs/sCMW；

（2）先利用AD2=AB-AF可證明△ADBsAAFD，則N1=N凡再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得N尸=N4,

Z2=Z3,所以N3=/4,加上NM0C=/CMr>,于是可判斷△MNCs/\MCD,所以MC：

MD=CN：CD,然后利用CD=AB和比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】證明：（1）?四邊形A8C。是平行四邊形，

：.AB=CD,AB//CD,

而B(niǎo)E=AB,

：.BE=CD,

而B(niǎo)E//CD,

...四邊形BECO為平行四邊形,

J.BD//CE,

:CM〃DB,

:.叢BNDsACNM；

(2)'：AD2=AB>AF,

：.AD：AB=AF-.AD,

而

AADBsLAFD,

：.Zl=ZF,

VCD//AF,BD//CE,

：.ZF=Z4,Z2=Z3,

.\Z3=Z4,

27

而/NMC=NCMD,

：.AMNCSAMCD,

：.MC-.MD=CN：CD,

：.MC*CD=MD-CN,

而CD=AB,

：.CM-AB=DM-CN.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形

中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般

方法是通過(guò)作平行線(xiàn)構(gòu)造相似三角形.在運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)時(shí)主要利用相似比計(jì)算線(xiàn)段

的長(zhǎng).也考查了平行四邊形的判定與性質(zhì).

16.如圖1,在正方形中，點(diǎn)E是上一點(diǎn)(不與C,。兩點(diǎn)重合)，連接BE,過(guò)

點(diǎn)C作于點(diǎn)尸，交對(duì)角線(xiàn)8。于點(diǎn)G,交AD邊于點(diǎn)H,連接GE.

(1)求證：CH=BE；

(2)如圖2,若點(diǎn)E是C。的中點(diǎn)，當(dāng)BE=12時(shí)，求線(xiàn)段GE的長(zhǎng)；

(3)設(shè)正方形A8CD的面積為5，四邊形DEGH的面積為S2,點(diǎn)E將C。分成1：2兩部

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)4(3)5或8.

【分析】(1)可得NCHD=NBEC,根據(jù)A4s可證明A即可求解；

(2)由三角形全等與平行線(xiàn)的性質(zhì)，可得瑞=黑=^.則GC=2GH,可求出的長(zhǎng)，

故可得到GE的長(zhǎng)；

(3)點(diǎn)E將C。分成1：2兩部分得到①紫=金，②紫=可，再分別得到S和S2的關(guān)系

進(jìn)行求解.

【詳解】解：(1):四邊形ABCD是正方形，

28

：.CD=BC,/HDC=/BCE=9。。,

：.ZDHC+ZDCW=90°,

■:CH2BE,

???NEFC=90。，

：.ZECF+ZBEC=90o,

；?NCHD=NBEC,

:.ADHC咨LCEB(A4S),

CH=BE；

(2)。：△DHg^CEB,

:,CH=BE,DH=CE,

?：CE=DE=*CD,CD=CB,

:?DH=^BC,

?；DH〃BC,

\NDGH^NBGC,

.PH_GH_1

，9~CB~'CG~2"

：.GC=2GH,

設(shè)GH=x,貝lj,則CG=2x,

A3x=12,

.??x=4.

即GH=4

?：DH=DE,NHDG=/EDG=45。,DG=DG

：.AHDG^AEDG(SAS)

：.GE=GH=4；

(3)點(diǎn)石將CO分成1：2兩部分

口CCE1^CE2

則①而②——二

CD3

當(dāng)"K

,:DH=CE,DC=BC,

.PH1

??=一,

BC3

?：DH〃BC,

\YDGHRBGC,

.DHGH_1

"^C~~CG~3"

29

,uDGH_±_uDGH_

,?q-9，q—3，

uBCGyuDCGJ

設(shè)S』DGH=〃，則Sz5CG=9〃，SADCG=3a,

??SABCD—3。=12〃，

***S/=2S』BCD=24a,

■:SADEG：SACEG=2：b

**?SADEG'=2a,

??S2~~2a+ci--3〃.

??Si：S2=24a：3。=8.

當(dāng)用圳

,:DH=CE,DC=BC,

.DH_2

??=一,

BC3

■:DH〃BC,

\YDGHEBGC,

.DH_GH_2

-CG-35

qq

,uDGHuDGH

°BCGuDCG

設(shè)SzDG〃=4q,貝iJS』3CG=9〃，SADCG=6a,

/.SABCD=9a+6a=15〃,

：.SI=2SABCD=3Ga,

*：SADEG：SACEG=1：2,

**?SADEG'=2a,

??S2~~2〃+4〃~~6a.

Si：S2=30。：6a=5.

故5〃S=5或8.

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線(xiàn)

分線(xiàn)段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決

問(wèn)題.

17.如圖，在平行四邊形ABC。中，E為QC邊的中點(diǎn)，連接AE,若AE的延長(zhǎng)線(xiàn)和5。的

延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)F.

30

B

D

(1)求證：BC=CF

（2）連接AC和BE相交于點(diǎn)為G,若&GEC的面積為2,求平行四邊形A8CD的面積.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）24.

【分析】（1）根據(jù)E是邊DC的中點(diǎn)，可以得到=再根據(jù)四邊形ABC。是平行四

邊形，可以得到NADE=NECF,再根據(jù)NAED=NC即，即可得到ADEmECF,則答案

可證;

4GAR1

⑵先證明。G"根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出S.=8,4—進(jìn)而得

出SBGC=4,由SABC=S,MG+S.BCG得以ABC=12,則答案可解.

【詳解】（1）證明：：四邊形A3。是平行四邊形,

AD//BC,AD=BC,

???ZADE=ZECF,

??,點(diǎn)石為。。的中點(diǎn),

???DE=CE,

在VADE和八ECF中

ZADE=ZECF

<DE=CE

NAED=NCEF

；?_ADE-ECF（ASA）,

JAD=CF,

：.BC=CF；

（2）,?,四邊形ABC。是平行四邊形，點(diǎn)E為。。的中點(diǎn),

AB//DC,AB=2EC,

：.ZGEC=ZABG,NGCE=NGAB,

:.一CEGABG,

??,_GEC的面積為2,

r即S皿=4SCEL4X2=8,

?：-CEG一ABG

31

,AGAB1

"~GC~~CE^2'

SBGCABG=gx8=4,

?'?SABC=SABG+SBCG=8+4=12,

=

??SABCD2sABC=2x12=24.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和