柯西不等式與權(quán)方和不等式-2025高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)（含答案）

柯西不等式與權(quán)方和不等式2025高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)含答案

軻曲不等式與收方布系等大

目錄

題型一二維形式下的柯西不等式.........................................................1

題型二三維形式下的柯西不等式..........................................................2

題型三權(quán)方和不等式....................................................................3

題型練習(xí)................................................................................5

題型綜述

題型一

【解題規(guī)律?提分快招】

1.二維形式的柯西不等式

(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2(a,b,c,R,當(dāng)且僅當(dāng)ad=be時，等號成立)

2.二維形式的柯西不等式的變式

(1)Va2+b2-Vc2+d2>\ac-\-bd\(a,b,c,dER,當(dāng)且僅當(dāng)ad=be時，等號成立)

(2)Va2+62?Vc2+d2\ac\+\bd\(a,b,c,R,當(dāng)且僅當(dāng)ad=be時，等號成立)

(3)(a+b)(c+d)>(Vac+Vbd)2(a,b,c,d>0,當(dāng)且僅當(dāng)ad=be時，等號成立)

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

1.柯西不等式是數(shù)學(xué)家柯西(Cauchy)在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時得到的一個重要不等式,而柯

西不等式的二維形式是同學(xué)們可以利用向量工具得到的：已知向量尢=(0,%)/=(g,紡)，由\a-b\

&|a||fe|得到(gg+幼紡)V(/+*)(潺+漏)，當(dāng)且僅當(dāng)知/2=c2%時取等號.現(xiàn)已知a>0,b>0,a+

b=5,則0E+J中的最大值為()

A.18B.9C.2V3D.3A/3

2.若實數(shù)a,b,c,d滿足ab+be+cd+da=1,則a?+262+3c2+4d2的最小值為()

A.1B.2C.3D.以上答案都不對

3.(2024?浙江?一模)若近11'+85『+5山口+7)=2,則311]\的最小值是()

A.0B.2—V3C.3—V7D.

二、多選題

4.（2024高三上.新疆?期中）已知X>0,y>0,且不等式4+1）+[（『+】）-2網(wǎng)守之0恒成立，則

加的取值可能是（）

A.—4B.—2C.2D.4

三、填空題

5.（23-24高三上?安徽?階段練習(xí)）為提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,學(xué)校在高一年級開設(shè)

了《數(shù)學(xué)探究與發(fā)現(xiàn)》選修課.在某次主題是“向量與不等式”的課上，學(xué)生甲運用平面向量的數(shù)量積

知識證明了著名的柯西不等式（二維）；當(dāng)向量.（工時，有阿明禮即

;

（國以+jv：r<iv+r;l|r+匚當(dāng)且僅當(dāng)2、=xj時等號成立;學(xué)生乙從這個結(jié)論出發(fā).作一個代

數(shù)變換，得到了一個新不等式：Ek-FJJ.工：一7門;7力，當(dāng)且僅當(dāng)V>=LI時等號成立，并取

12

名為“類柯西不等式”.根據(jù)前面的結(jié)論可知：當(dāng)：veR時，2r7T-7TT的最小值是.

題型二三維形式下的柯西不等式

。￥題規(guī)律?提分快招】

柯西不等式的擴(kuò)展：儲+a；+a；+…+。；耨+方；+6；+…+片）N（岫+與4+%&+??,+a/）,

當(dāng)且僅當(dāng)外：許=%也=…=/：&時，等號成立.

注：有條件要用；沒有條件，創(chuàng)造條件也要用.比如，對/+6：+C），并不是不等式的形狀，但變成

1?r+F+12)?(,

,就可以用柯西不等式了.

【典例訓(xùn)練】

一、填空題

6.（2024高三下?浙江?階段練習(xí)）若24+39+z=7,則d+靖+z2的最小值為.

7.2024高三下?浙江?階段練習(xí)）已知爐+靖+z2=l,<1+36+祈0=16,則（1-?！?11一°「+（二-?！傅?/p>

最小值為.

8.（24-25高三上?陜西西安?階段練習(xí)）存在正數(shù)"，二,使得不等式《+廊+匠2M+J+二成立,

則加的最大值是.

9.已知]+[+[=。，且同小卜葉1,實數(shù)XJ二滿足X+/+二?1,且114K,則

恤+J*引的最小值是.???

二、解答題

10.（24-25高三上?遼寧?階段練習(xí)）我們利用完全平方公式得出了一類重要不等式：V。力eR,

a+b:>2ab，當(dāng)且僅當(dāng)。=匕時，等號成立.我們從不等式a：+b:22演出發(fā)，可以得到一個非常優(yōu)美的

不等式一一柯西不等式，柯西不等式的一般形式為：vqq，。力.力「力YR,且也

3+運+-+可）（r+因+-+匯）2（44+。。+-+。也）'，當(dāng)且僅當(dāng)］-7-時，等號成立.

⑴若x+》+上=3招，求/+「+二:的最小值；

（2）求6+J3x-32+7-1的最大值；

⑶若。>3,b>3,不等式a'+V-3a：-勁途”a-3）。-3）恒成立,求m的取值范圍.

11.（23-24高三下.黑龍江佳木斯.期中）在中，NR,一3,N。對應(yīng)的邊分別為〃,0,c,

2sinXsinBsinC-73|sin5+sn:C-sin：力］

⑴求A；

⑵若“為BC邊中點，比?仃，求⑷/的最大值；

⑶奧古斯丁潞易斯?柯西（Aitgast而LouisCauc切，1789年-1857年），.法國著名數(shù)學(xué)家，柯西在

數(shù)學(xué)領(lǐng)域有非常高的造詣，很多數(shù)學(xué)的定理和公式都以他的名字來命名，如柯西不等式、柯西積分公

式.其中柯西不等式在解決不等式證明的有關(guān)問題中有著廣泛的應(yīng)用.現(xiàn)在，在（1）的條件下，若

a-2,P是」BC內(nèi)一點，過P作/瓦BC,4。垂線，垂足分別為。，E,斤，借助于三維分式型柯西

￡+五+二之曳*宜土=土=二

不等式：J,J：,J\eR',「月兀-Ji+4+幾，當(dāng)且僅當(dāng)「J：J，時等號成立.求

5國+西+四

PD\網(wǎng)\PF的最小值.

題型三權(quán)方和不等式

。￥題規(guī)律?提分快招】

a1bz、（a+Z>）3ab

----+，->-------------■

權(quán)方和不等式：若4,6，第丁>0,則、了—v+r，當(dāng)且僅當(dāng)x1y時，等號成立.

證明1：-a,b,x,y>0

a—+b）’

要證xyx+y

ya2+xb2>(a+Z>)2

只需證-TVX+.V

即證邛乜，+j,2a2+x2b2+耳上*Nqu?+2x)^5+^b2

故只要證>2x)'ab

(ya-xb)2N0

當(dāng)且僅當(dāng)J'。-=0時，等號成立

a3b1(a+6)3a_b

---------------------

即x,v-x+丁，當(dāng)且僅當(dāng)X丁時，等號成立.

,a2b2a2b2(a+b)2

(一+—)(x+j)>(a+b)2J—+—>-----

證明2：對柯西不等式變形，易得x)1在。也”>°時,就有了xrx+J當(dāng)

ab

x'j'時，等號成立.

三時，等號成立.

推廣1：Xr二K+J+二當(dāng)xy

式+五+…+42（。1+々2+-+々尸

推廣:2：若4>0,4>0,則仄瓦bt4+0+…+么，當(dāng)％=勸》時，等號成立.

.+11a,+i八a+%++%）-

H---r

m

推廣3：若火>0,4>0,m>0,則b，（久+4+…+.J，當(dāng)/=電時，等號

成立.

【典例訓(xùn)繪】

一、填空題

18

12.已知正實數(shù)X、丁且滿足、+J-1，求丁.丁的最小值.

13.（2024高三?全國?專題練習(xí)）,2snfx+3+5cos：K+6的最小值為.

a+1d+1

14.（2024.河南信陽.模擬預(yù)測）已知正數(shù)3滿足"+"五TVW,則a+b的最小值為.

題型練習(xí)

一、單選題

15.實數(shù)小夕滿足#+4r=12,則二=入+&，的最小值是（）

?M

A.-5B.-6C.3D.4

16.若實數(shù)K+-y+3二=i,則、：+/+二;的最小值為（)

ii

A.14B.14C.29D.29

17.已知X>0,J€R，且廣+V-T+5j,-30,則萬7+J30-31的最大值為（）

A.B.46C.D.3把

二、多選題

（1Y/2（3丫27

x+-+Cr+1）,+：+—--

18.設(shè)非負(fù)實數(shù)，二滿足I9IV4,則K+J+二的（）

Vr-3爐-137

A.最小值為-2-B.最小值為-2-C.最大值為ID.最大值為I

19.（24—25高三上?新疆?期中）已知:v>O，J>0,且不等式小+9"恒成立,

則加的取值可能是（）

A.-4B.-2C.2D.4

三、填空題

18

20.已知正實數(shù)X、F且滿足K+J-1，求二十尸的最小值.

21.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知X+為+上+包+5,=30，求：V+2,V+3:+知+5/的最小值為

111

22.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知a,b,c為正實數(shù)，且滿足a+4b+9c-4,PIl|a+l+d+l+c+l的最小

值為.

23.（23-24高三下.全國.強(qiáng)基計劃）已知'」+.「+二1,則'+；、上+3的取值范圍是.

四、解答題

24.（23—24高三下?山東?期中）在_ABC中，NANB,NC對應(yīng)的邊分別為

a,b,c,b^nA+ntaivlcosB-2asinC.

⑴求A；?M

（2）奧古斯丁?路易斯?柯西，法國著名數(shù)學(xué)家.柯西在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有非常高的造詣.很多數(shù)學(xué)的定理和公

式都以他的名字來命名，如柯西不等式、柯西積分公式.其中柯西不等式在解決不等式證明的有關(guān)問

題中有著廣泛的應(yīng)用.

①用向量證明二維柯西不等式：K&+川1si+j'I"；+.

2

Vr;r;（X1+x2+xjX,_r2_X.

I.,IT,I,tIX.,-----T------十-----二----------------------------------------------

②已知三維分式型柯西不等式:‘.一/y：y,■+八+J,,當(dāng)且僅當(dāng)儲y：入時等

號成立.若。?3,p是_ABC內(nèi)一點，過P作AB,BC,AC的垂線，垂足分別為D.E.F,求

T_\AB\+9^C\+\AC_

\PD\\PE\附的最小值.

相曲不號式鳥叔方傘茶書武

目錄

題型一二堆形式下的村西不等式..........................................................1

題型二三雉移式下的村西不等式..........................................................4

題型三權(quán)方和不等式....................................................................9

題型練習(xí)...............................................................................12

題型綜述

題型一|二維形式下的柯西不等式

【解題規(guī)律?提分快招]

1.二維形式的柯西不等式

(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2(Q,b,c,dRR,當(dāng)且僅當(dāng)ad=be時，等號成立)

2.二維形式的柯西不等式的變式

(1)Va2+b2,Vc2+d2\ac+bd\(a,b,c,de凡當(dāng)且僅當(dāng)ad=be時，等號成立)

(2)Va2+b2-Vc2+d2>\ac\+|bd|(a,b,c,dG凡當(dāng)且僅當(dāng)ad=be時，等號成立)

(3)(a+b)(c+d)>(Vac+Vbd)2(a,b,c,d>0,當(dāng)且僅當(dāng)ad=be時，等號成立)

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

1.柯西不等式是數(shù)學(xué)家柯西(Cauchy)在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時得到的一個重要不等式,而柯

西不等式的二維形式是同學(xué)們可以利用向量工具得到的：已知向量日=(刈,%),1=(g,紡)，由\a-b\

W向網(wǎng)得到(宓便2+%紡)2W("+*)(涕+居)，當(dāng)且僅當(dāng)*〃2=久2nl時取等號.現(xiàn)已知a>O,b>O,a+

b=5,則與有+后忑的最大值為()

A.18B.9C.2V3D.3V3

【答案】O

【分析】根據(jù)(2何2+統(tǒng)統(tǒng))2w(。2+資)(詫+或)，令g=蓼，％=1,22=Va+1,y2—Jb+3代入公式，結(jié)合

已知條件a>0,b>0,a+b=5即可得到結(jié)果.

【詳解】因為(工通2+3%)24(d+洸)(退+弱)，

=

令，1=魚，?/i=1,T2=Va+1,?/2Vb+3,又a>0,b>0,a+b=5,

所以(〃2a+2+V6+3)=(V2?〃a+l+1,V6+3)2[(A/2)2+12],(a+1+6+3)—27,

當(dāng)且僅當(dāng)V2?Jb+3=1?Va+1即a=5,6=0時等號成立，

即,\/2a-+2++343A/3

故選:D.???

2.若實數(shù)Q,b,c,d滿足ab-\-bc+cd+da=1,則a2+2b2+3c2+4d2的最小值為()

A.1B.2C.3D.以上答案都不對

【答案】B

【分析】利用柯西不等式及均值不等式可求最小值.

【詳解】根據(jù)題意，有ab+bc+cd+da=l^=>(a+c)(b+d)=1,

而(Q2+3C2)(1+2_)>(a+c)2,當(dāng)且僅從a=3c時等號成立.

同理(2〃+4d2島+?)>(b+d)2,當(dāng)且僅當(dāng)2b=4d式等號成立,

記題中代數(shù)式為“，于是M=(a2+3c2)+(2〃+4d2)

(a+c>,e+d)

4---1-十一I—I—34

1+J2+4■/+?+淤+*2(4+。)0+")=2

a+c_4

等號當(dāng)G+d3時取得，因此所求代數(shù)式的最小值為2.

故選：E.

an

3.(2024?浙江?一模)若'+c°sJ+smi\+「l=?,則anv的最小值是()

A.0B.2—73C.3—V7D.

【答案】。

【分析】先把已知整理成？7巾\?(加\+1](：叼+<20$1:01]」的形式，再把等式的右邊利用柯西不等式進(jìn)行

放縮,得到關(guān)于an.v的一元二次不等式進(jìn)行求解.

【詳解】由已知向x+cosr+nnvcojy+cosxsinr-2整理得

2-sinr=(sinx+1)cosj+cosrsinj

由柯西不等式得

(sinr+1)cosj+cosxany<1+anxf+cos2xJss'j+sin：J=j2+2sinx

當(dāng)(sinr+lisnj=cosrcosx時取等號,

所以("sin、?--+-anvsin;x-6sin.v+2<0,

解得3-JTSsinx，所以sin、的最小值為3-".

故選：C.

二、多選題

4.(2024高三上.新疆?期中)已知r>0,J>0,且不等式x(V+n+J(?)'+1「H裙-2M口2°恒成立，則

???

>n的取值可能是()

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】ECD

.cJx+l)'(j+l)2(x+l)'(J+1)2

in--2?i4----L+2TL2---L+li—L

【分析】將不等式變?yōu)閥x，利用柯西不等式和基本不等式可求得Jv

的最小值，進(jìn)而構(gòu)造不等式求得加的取值范圍，從而得到結(jié)果.

2222

,,、“，<X(X+1)J(J+1)_(X+1)(J+1)

【詳解】由X(X+1「+J(J+1「一(獷一加)920得：加T”一F-+—1+1―,

[(8'+(五)[比X+l)+(J+l)7X+1J+1

(當(dāng)且僅當(dāng)yx，即\時取等號)，

..如+02(-F+2J(K+"+4("W+4JL+4>2層，)，+4=8

yxx+rx+r*x+j丫x+j(當(dāng)

且僅當(dāng)K=J=1時取等號)，

X(X+1/J(J+l「|

即當(dāng)X=J=1時,LM'9Jm.,

nr'-2)M<8，解得：-24打44,：.汾可能的取值為一二24.

故選：BCD.

三、填空黑

5.(23-24高三上?安徽?階段練習(xí))為提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,學(xué)校在高一年級開設(shè)

了《數(shù)學(xué)探究與發(fā)現(xiàn)》選修課.在某次主題是“向量與不等式”的課上，學(xué)生甲運用平面向量的數(shù)量積

知識證明了著名的柯西不等式(二維)；當(dāng)向量。=(\JM=(工，J：)時，有卜邛印「付，即

田&+rr<>t:+1-lir+J；),當(dāng)且僅當(dāng)xj,=4廠時等號成立;學(xué)生乙從這個結(jié)論出發(fā).作一個代

數(shù)變換，得到了一個新不等式：JJJ?門一「“'；7力，當(dāng)且僅當(dāng)V；-工丁時等號成立，并取

12

名為“類柯西不等式”.根據(jù)前面的結(jié)論可知：當(dāng)：V€R時，3771-m的最小值是.

【答案】-1

【分析】根據(jù)不等式構(gòu)造不等式左側(cè)

?M

=.V2x:+1-=-Z+2)=1

WW+1力x：+2),

i______ol_____

-===「JW+2=-=^=，J2x'+1

當(dāng)且僅當(dāng)J2/+1V2x-+2，即T=。時，等號成立，

f77-j--T^rj[(2r+l)-(2x:+2)]<l-f7777-^^7]^1

J______2______J_______

所以W+l7+T2x'+l2x"+2，最小值為_1,此時

故答案為：_1.

題型二三維形式下的柯西不等式

【解題規(guī)律?提分快招】

柯西不等式的擴(kuò)展：（4+d+d+…+4耨+片+6“…+b血（砧i+a向+*+...+*），,

當(dāng)且僅當(dāng)為：4=：&=…=&：4時，等號成立.

注：有條件要用；沒有條件，創(chuàng)造條件也要用.比如，對/+/+”，并不是不等式的形狀，但變成

1?伊+尸+12）.田+/+1）

3'''就可以用柯西不等式了.

【典例訓(xùn)練】

一、填空題

6.（2024高三下?浙江?階段練習(xí)）若2/+39+z=7,則d+靖+z2的最小值為

【答案】.

【分析】利用柯西不等式（〃+靖+婷）,（22+32+12）>（2z+3y+zy可直接求得結(jié)果.

【詳解】由柯西不等式得：（d+城+z2）?（22+3?+12）>（2x+3y+zf,

即14（d+必+z2）>49,.?.爐+爐+22>］（當(dāng)且僅當(dāng)號=卷=z時取等號），

.?.C2+靖+z2的最小值為日.

故答案為：［■.

7.2024高三下?浙江?階段練習(xí)）已知x2+y2+z2=l,a+3b+VGc=16,則+1r-。「+（二-。「的

最小值為.

【答案】9

【分析】根據(jù)柯西不等式求解最小值即可.

［詳解］..a+弘+技=］64+3：+（《「yja:+b:+c:=4^a:+b:+c:

???++d24,當(dāng)且僅當(dāng)1$后時等號成立，即4=1,。=3,c=而，

..（x-ar+ir-br+|二一cr=w+益+c二i+a:+2r+c1

i1-2y/x:+j,2+r*-jcr+d:+c:+a:.加+c:-l?2jd+b：+/+〃‘+b+c：

____..2a_b_c]3-J6

=|Ja-+b：+c--1|"，當(dāng)且僅當(dāng)x丁二時等號成立，可取'=7）=了~=彳

故答案為：9

8.（24-25高三上?陜西西安?階段練習(xí)）存在正數(shù)'J；，使得不等式6+&+阮-C+J+二成立，

則加的最大值是.

【答案】3

【分析】運用柯西不等式計算即可.

（1+3+5XX+J+二）2（用歷+圖:技+憑

【詳解】解：由柯西不等式可知/+『+二

由-6+F+F能成立=>加43，*「3

故答案為：3.

9,已知?+?Z+?I-6,且同=同=印1,實數(shù)X./.-滿足X+J+5-1,且W產(chǎn)a,則

M+j1+可的最小值是.

【答案】3/0-25

4

【分析】在平面直角坐標(biāo)系中，令°?（L°）,由此求出°二與L的坐標(biāo)，再用x,y表示出M+E+二鞏然后

借助柯西不等式求解作答.

【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中，令3=（1，0）,設(shè)1=（cosd,sm穴則￡=（-1-85a一2份，

|釬=2+28?1，解得c"T則而6?;4,依題意，不妨令”-（4-2>5-C4,2\

而―產(chǎn)DG$43+舟-亭，有?行+為+在「?

d“打+淖X+舟_鳥2=點（-Ay+3'][（^x-+gx+后y-當(dāng)）

2點（-揚嘉-；）+3（。1+舟?4）『?￡（37^-&）：

X1————A1I,

3」旦+所且,,

333v，-）11

當(dāng)且僅當(dāng)三片3,即2x+r=1時取“="，而°"v-y--r"1,貝"（"-1）-2彳，當(dāng)且僅當(dāng)

???

v-—1

”2時取

___.11iii

因此，『2/)—1)之正，當(dāng)且僅當(dāng)2x+.r=[且J=三，即、=彳且J=1時取“="，

丫_1”_1-.1I一—-I1

所以當(dāng)彳,J=亍,~了時，K+"+狙|取得最小值.

i_

故答案為：z

【點睛】思路點睛：已知幾個向量的模，探求向量問題，可以在平面直角坐標(biāo)系中，借助向量的坐標(biāo)表示，利

用代數(shù)方法解決.

二、解答題

10.(24-25高三上?遼寧?階段練習(xí))我們利用完全平方公式得出了一類重要不等式：V。力eR,

a:+b:>2ab,當(dāng)且僅當(dāng)。?。時，等號成立.我們從不等式a：+b："而出發(fā)，可以得到一個非常優(yōu)美的

不等式一一柯西不等式，柯西不等式的一般形式為：旦力；也，力YR,且濁b

q_%_a*

(q：+a；+…+a：)(b；+W+…+b；)2(a1a+a也+…+a也丫，當(dāng)且僅當(dāng)個一]一…一口時，等號成立.

(1)若x+廳+上=30，求/+「+二：的最小值；

(2)求6+J3、-3?+7-\的最大值；

⑶若。>3,力>3,不等式a-如N*3)。-3)恒成立,求m的取值范圍.

【答案】⑴3

(2)9

(3)m<24

【分析】(1)構(gòu)造應(yīng)用柯西不等式計算即可；

(2)構(gòu)造應(yīng)用柯西不等式計算即可；

a:b:1_￡_+，)=?4

(3)先化簡得出b-3a-3~，再構(gòu)造應(yīng)用柯西不等式結(jié)合基本不等式計算16-3a-3)即可求

解；

【詳解】⑴因為柯西不等式可得!廠+廠+二1(1+,+丁)之(*+?J+'),

又因為'+》+*=3百，

所以M+J'+::肘+>+>以3廚，即得''+尸+二'23.

u走.___2一

當(dāng)且僅當(dāng)‘-于J取最小值3；

[x+3r-32+4(17-x)]P+J+得2(《+757^5+717^7)’

(2)因為柯西不等式可得[」?，M

又因為K+3K3—+4(]7x)36,

3612+12+|1|>(Vr+V3r-32+

所以[⑵」，

___________二

即得("+'3x-32+481，化簡得JT+J3X-31+J17-xS9,

當(dāng)且僅當(dāng)1=16取最大值9；

(3)因為"—3a?—3)。-3),

a2b1

所以標(biāo)(。一3)+^。一32械。一3。一3,所以君+口一’”，

v"加)

加￡----+----

所以g-3a-3兀，

|—+-^—|(i-3+a-3)^(a+2,)2

因為柯西不等式可得2-3a-3),

又因為a>3,b>3,所以a+b>6,令，?。+。一6,

￡+421^=叱=「+竺+12“jf3+12=24

所以U—3a—3)a+b—6ttVt

f、-5X

[aro-”

---+----=24

即得(b-3a-3)，當(dāng)且僅當(dāng)a=。=6取最小值24；

所以m的取值范圍是由<24.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：化簡構(gòu)造柯西不等式結(jié)合基本不等式是解題的關(guān)鍵點.

11.(23—24高三下.黑龍江佳木斯.期中)在一幺質(zhì)？中，對應(yīng)的邊分別為〃，方,c,

2sin月sinBanC=^3isin：B+an:C-sin：Aj

⑴求A；

⑵若“為BC邊中點，8?并，求期的最大值；

⑶奧古斯丁潞易斯?柯西(August班LouEsCauchy,1789^—1857^),.法國著名數(shù)學(xué)家,柯西在

數(shù)學(xué)領(lǐng)域有非常高的造詣，很多數(shù)學(xué)的定理和公式都以他的名字來命名，如柯西不等式、柯西積分公

式.其中柯西不等式在解決不等式證明的有關(guān)問題中有著廣泛的應(yīng)用.現(xiàn)在，在(1)的條件下，若

a=2,P是一月BC內(nèi)一點，過P作AB,8aAe垂線，垂足分別為。，及斤，借助于三維分式型柯西

E+匕彳*+-+xj，_X?_Xj

不等式：:，匚，j'vR'元’77J；另+為+兒，當(dāng)且僅當(dāng)Jr.一時等號成立.求

T回4因\AC

'PDC閥門口的最小值.

兀

【答案】⑴M

??

3

⑵I

3273

(3)丁

【分析】(1)先用正弦定理角化邊，然后結(jié)合余弦定理可以解出A.

AM=—\~AB+~^\

(2)利用余弦定理及基本不等式求出“43,再由.2將兩邊平方，根據(jù)數(shù)量積的運算律求

出山|的最大值；

(3)將7■構(gòu)造出符合三維分式型柯西不等式左邊的形式，然后用三維分式型柯西不等式結(jié)合余弦定理可解.

［詳解］(1)因為"inRsinBsinC■B+sin;C-sin月］

由正弦定理得

由余弦定理k=d*+c:-2hccoi4,

所以2bcsiii4=JJx2加cosA,即siM=JJcos月，

若cos4?0，等式不成立，則C0Si4^0,可得tan4=有，

因為乂€1°”)，所以'"I.

⑵

由余弦定理a'=d:+c:-2bccoi4，即3=2f+c'-加，所以/=3+dc22bc,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號,

所以三3,當(dāng)且僅當(dāng)。=。=J)時取等號，

(

因為A/為B“C邊中點，所以AM~2-1AB+AC\1,

所以說二=l(AS+^4Cf=^\AB：+2ABAC^AC：|=+加+6)

■±13,+2加-4、乙9

44,

所以I?2，當(dāng)且僅當(dāng)。=。=時取等號，

2

所以HAf的最大值為2.

網(wǎng)4困陷=,4…_14*/

⑶\PD\\PE\\PF\\PD\\PE\\PF\c\PD\a\PE\b\PF\

qs-x上|PD|，L*=阿⑸,+S"+=S.必

火111

所以cpq+a附收冏=2S”.

_c24x2*b1、（力+c+412（b+c+41

T=-------+-------+-------2-------------=---------------

由三維分式型柯西不等式有c\PD\a\PE\b\PF\~2S_??c

12.1

當(dāng)且僅當(dāng)1pq附附I即附=2/=?冏時等號成立.

由余弦定理a?b+c-2bcco?4得4?力'+C’一6,

（d+cf-4T2''b+4'.■5/^*I,"+‘+4’

所以（b+c）一4=珈即''3，則?c（b+c>一4

2?__273

丁22?1Ae

（r-4）-4k-￡+i

令/?2+。+4,則rt

（b+c「-4

bc=-------------<

3

因為b+c>a=2，解得2<b+c44,當(dāng)且僅當(dāng)匕=c時等號成立.

2_<i2_

所以6<f48.則可一t6.

1」1也

當(dāng)即b=c=2時,J有最大值正，此時T有最小值3

題型三權(quán)方和不等式

?￥題規(guī)律?提分快招】

a1b2(a+b)‘a(chǎn)_b

權(quán)方和不等式：若°石，工，丁>°,則.\,vx+y，當(dāng)且僅當(dāng)xr時，等號成立.

證明1：■.■a,b.\,y>0

a2b2(a+b)2

----r----r------------

要證X.vx+j，???

ya2+xb2>[a+Z>)3

只需證-TVX+.V

即證邛乜，+j,2a2+x2b2+耳上*Nqu?+2x)^5+^b2

故只要證丁之

(jca-xb)2N0

當(dāng)且僅當(dāng)】口-xb=0時，等號成立

21(fl+6)3

-a----b-------------a-_-b-

即x,v-x+丁，當(dāng)且僅當(dāng)X丁時，等號成立.

、/、、/八25d3(a+d)2

(一+b—*)(x+j)>(a+b)J—+—>-----

證明2：對柯西不等式變形，易得x)1^在。也”>°時,就有了xrx+J當(dāng)

ab

時，等號成立.

2222

a+d+c^(a+d+c)abc

推廣i：7T三x+j+二’當(dāng)：一了一二時，等號成立.

ai,ai,":、+-+%)'

--I---I**'I--±---------------

推廣：2：若％>°，4>0,則濟(jì)&bt~4+&+…+可，當(dāng)％=時，等號成立.

^w+l〃㈱+1一次+1(K_LrI1X.、雙+1

為上的,上%>(。1+知+…+4)

推廣3：若4>°，4>0,加>0,則蚌二b海(d+3+…+"廣，當(dāng)公=瑟時，等號

成立.

【典例訓(xùn)繪】

一、填空題

18

12.已知正實數(shù)X、丁且滿足、+J-1，求丁.丁的最小值

【答案「7

【分析】設(shè)'=cos;a,V

【詳解】設(shè):v=cos：a,J

27

由權(quán)方和不等式，可知

1_2v1v2

當(dāng)且僅當(dāng)cos：asin'a,即“3?3時取等號,

?M

1s

-r+~~

所以廠廠的最小值為27.

故答案為：27

13.(2024高三?全國?專題練習(xí))'2sin'x+3+5cos：K+6的最小值為.

81

【答案】37/-37

〃、5S5241

/(x)=---------------I--------------------------------------1--------------------

【分析】’、？wnr+35cosr+65(2sin'+3)2(5cos、+6),進(jìn)而利用權(quán)方和不等式可求最小

值.

〃、58

/(r)------：-------+-------；-------

【詳解】2sin-x+35cos-x+6

=52T42>(5+4/________s1

5(2sin;x+3)2(5cos2r+6)10(sin2r+cos2r)+2737

5_4爺2

當(dāng)且僅當(dāng)5(2sin%+3)=半8s、+6),即51ng土下，cosx=士不時取等號,

〃、58S1

/(x)----------------+-------；----—

所以'''2an*x+35cos.K+6的最小值為37?