函數(shù)圖象及性質(zhì)應(yīng)用（講義）-2025年北京高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（解析版）

專(zhuān)題03函數(shù)圖象及性質(zhì)應(yīng)用

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

07軍nt口旦囪.田姓己I白吉q

03知識(shí)梳理?方法技巧............................................................4

04真題研析?精準(zhǔn)預(yù)測(cè)...........................................................15

05核心精講?題型突破...........................................................22

題型一：函數(shù)定義域'值域、解析式22

題型二：函數(shù)單調(diào)性、周期性'奇偶性'對(duì)稱(chēng)性26

題型三：函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間及分段函數(shù)值域求參問(wèn)題31

題型四：對(duì)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用37

題型五：指對(duì)幕比較大小42

題型六：指對(duì)塞運(yùn)算及解不等式45

重難點(diǎn)突破：函數(shù)的新定義50

差情;奏汨?日標(biāo)旦祐

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的一條主線，對(duì)整個(gè)高中數(shù)學(xué)有著重要的意義，題目分布在選擇題和填空題居多,

有關(guān)函數(shù)圖像與性質(zhì)的北京高考試題，考查重點(diǎn)是以基本初等函數(shù)、基本初等函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)為載體，

以函數(shù)內(nèi)容和性質(zhì)為主導(dǎo)，考查函數(shù)的定義域、值域，函數(shù)的表示方法、圖象及性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)

性、周期性）。通常與不等式、方程等必備知識(shí)結(jié)合，考查數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化與化歸和函數(shù)與方程等

思想.考查學(xué)生運(yùn)算求解能力、邏輯思維能力、空間想象能力和數(shù)學(xué)建模等關(guān)鍵能力，尤其加大了對(duì)數(shù)學(xué)建模

的考查力度,根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，建立函數(shù)模型或用已知模型解決實(shí)際問(wèn)題。

考點(diǎn)要求目標(biāo)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

2024年北京卷第10題，5分

熟練掌握函數(shù)的2023年北京卷第4題，5分預(yù)測(cè)2025年高考，函

數(shù)圖像與性質(zhì)主要以小題

函數(shù)的性質(zhì)定義域、值域、解2022年北京卷第4題，5分

析式及四大性質(zhì)形式出現(xiàn)，通常與不等式、

2017年北京理科卷第5題，5分

方程等必備知識(shí)結(jié)合具體

評(píng)估為：

（1）以選擇題或填空

題形式出現(xiàn)，數(shù)形結(jié)合、

2024年北京卷第7題，5分分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化與化歸和

加大基本初等函2024年北京卷第9題，5分函數(shù)與方程等思想.

數(shù)（指對(duì)塞）的圖2022年北京卷第7題，5分（2）熱點(diǎn)是函數(shù)用于

基本初等函數(shù)

像應(yīng)用及互換運(yùn)2020年北京卷第6題，5分新定義中，加強(qiáng)學(xué)生的邏

算技巧

2019年北京理科卷第6題，5分輯推理思維能力。

2017年北京理科卷第8題，5分

牛ni口捺理?右法怙,

1.指數(shù)基本運(yùn)算

技巧總結(jié)

0、有理數(shù)指數(shù)號(hào)的分類(lèi))

〃個(gè)

_______________A_______________

⑴正整數(shù)指數(shù)累an=a-a-a-a-a---a(n&N]⑵零指數(shù)累a0=l(tzw0)

⑶負(fù)整數(shù)指數(shù)幕成'=4r(a*O,?G2V*)(4)O的正分?jǐn)?shù)指數(shù)募等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)募沒(méi)有意義.

@有理數(shù)指數(shù)塞的性質(zhì)已

⑴a'"?a"=am+n(a>0,m,〃eQ)

^(am)'=anm(a>0,m,n&Q)

⑶(a/?)"'=a"'bm(a>0,b>0,m&Q)

__m

(4)Vtz?"=an(a>0,m,neQ)

②全稱(chēng)量詞命題和存在量詞命題的求參數(shù)問(wèn)題相對(duì)較難，要注重端點(diǎn)出點(diǎn)是否可以取到.

2.對(duì)數(shù)基本運(yùn)算

雪巧總結(jié)、

G、對(duì)數(shù)運(yùn)算法而)

①外和內(nèi)乘：loga(A?V)=logaM+log〃N②外差內(nèi)除：logj=logaM-logaN

③提公次方法：k)gI?A"='■logaM根,〃eR)④特殊對(duì)數(shù)：log"=0

am

losbh

⑤指中有對(duì)，沒(méi)心沒(méi)肺，真數(shù)為幾，直接取幾：a^=b,\oSaa=b

對(duì)數(shù)的定義)

一般地，如果優(yōu)=N(a〉0,awl),那么數(shù)x叫做以。為底N的對(duì)數(shù)，記x=log〃N,其中。叫做對(duì)數(shù)的底

數(shù)，N叫做對(duì)數(shù)的真數(shù)(N>0)

(3、換底公式)

①常用換底log,/=電頻2②倒數(shù)原理log〃b=」一

%alog。a

③約分技巧log,*?logbc=里2義處=處=log”C④具體數(shù)字歸一處理：1g2+1g5=1

IgaIgblg?

3.指數(shù)函數(shù)的圖象及其性質(zhì)

后這

（并數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)）

I概念：函數(shù)》=爐（廬0且存1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，函數(shù)的定義域是R,。是底數(shù).

II指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

函數(shù)y=axy=ax

a>\0<a<l

Pjy=ax

圖象

o|~~i~~*

O|~~1~~A-

最特殊點(diǎn)a*=〃即x=1,>=a圖象都過(guò)(1,a)

①定義域R值域（0,+8）

②a°=l即當(dāng)x=0,y=l圖象都過(guò)定點(diǎn)(0,1),

性質(zhì)③即不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

④當(dāng)x>0時(shí)，y>l；當(dāng)x<0時(shí)，0<y〈l④當(dāng)x<0時(shí)，y>l；當(dāng)x>0時(shí)，0<y〈l

⑤在（一CO,+oo）上是增函數(shù)⑤在（-00,+◎上是減函數(shù)

（注意：）①當(dāng)?shù)讛?shù)大小不確定時(shí),必須進(jìn)行a>1,0<?<1兩種形式討論.

②當(dāng)。>1時(shí)，。的值越大，圖象越靠近y軸，遞增速度越快.

當(dāng)0<。<1時(shí)，。的值越小，圖象越靠近y軸，遞減速度越快.

4.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及其性質(zhì)

技巧總結(jié)

I概念：函數(shù)y=log°x（a>0,且存1）叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中尤是自變量，函數(shù)的定義域是（0,+<?）.

II對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

由于對(duì)數(shù)圖象是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，所以對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象只需由相應(yīng)的指數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)即可,

當(dāng)然也分a>1和0<a<1兩種情況討論，討論如下

a>l0<〃<l

}=log?A-X=1

%,())一

圖象

O

')=log“N

①定義域：(0,+oo)

②值域：R

性質(zhì)③當(dāng)x=l時(shí)，y=0,即過(guò)定點(diǎn)(1,0)

④當(dāng)x>l時(shí)，y>0；當(dāng)0<%<1時(shí)，j<0④當(dāng)x>l時(shí)，y<0；當(dāng)0<%<1時(shí)，y>0

⑤在(0,+oo)上是增函數(shù)⑤在(0,+oo)上是減函數(shù)

①當(dāng)?shù)讛?shù)大小不確定時(shí)，必須進(jìn)行a>1,0<?<1兩種形式討論.

②當(dāng)。>1時(shí)，。的值越大，圖象越靠近x軸.當(dāng)0<。<1時(shí)，。的值越小，圖象越靠近x軸.

5.指對(duì)數(shù)大小比較問(wèn)題

礪總章

指對(duì)數(shù)大小比較問(wèn)題已經(jīng)成為高考的重難點(diǎn)問(wèn)題，我們這里介紹五大核心思想.

心思想一：同步《升o降》

n

logab=loga,?b

234

形如：log23=log/3=log233=log243=log2T3T

注意：一般情況下以2,3為底的對(duì)數(shù)比較大小，底數(shù)真數(shù)次方一起同升同降.

口訣：2,3為底眼睛亮，底真次方同升降.

心、思想二：先分離常數(shù)再比婭)

當(dāng)?shù)讛?shù)與真數(shù)出現(xiàn)倍數(shù)關(guān)系，必須先將對(duì)數(shù)分離常數(shù)后作比較.

①log,?(/?m)=log,?p+log,?m=log,“夕+1

n

②log,,,(pm)=log“p+logm"=logmp+n

口訣：底真出現(xiàn)倍數(shù)時(shí)，分離常數(shù)用起來(lái)

避兀思想三：利用糖水變甜不等式比較砂)

當(dāng)對(duì)數(shù)比較大小形式中出現(xiàn)底數(shù)與真數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，可以采用糖水不等式放縮處理.

r17八b+mb+a+ma

形如：。>〃>0,m>0則存在----->—,或------<—

a+mab+mb

模型演練：①比較log23與log34的大小

3

n

Icln3In3+zn/八人,3Hnln31B+ln2

根據(jù)糖水不等式log,3=----->-----------(m>0),令"z=In—,即---->--------今

In21n2+7〃2In2i,i

Inn2+ln—

2

?9

%ln4

^j>—=log34故logz3>log34

②比較log43與logfS的大小

4.Hj-R,k*icln3ln3+m/八人.6Pr1ln33+ln

根據(jù)糖水不等式log43=-----<-----------{m>0),令〃z=ln—,即----<--------去

4ln4ln4+/〃'74ln4]4,16

ln4+ln—

4

?18

In-]s

=

-r^-<—bg65故bg43<log65

ln6Ino

①/(6=皿在(0,e)T在(e,+8)J,在x=e時(shí)，取得最大值且為工

xe

②極大值左偏，且〃2)=/⑷

③若0<b<a<e,則^~^>^~^nZ?lna>alnbnlnQ/7>]nba=^>ah>ba

ab

e<b<a<+oo,貝U^^c^^nblnaVQln匕nlnQ"<lnb"na"<Z?"

ab

口訣：大指小底永為大(大小指e)

6.涉及指數(shù)分段函數(shù)判斷參數(shù)的取值范圍

技巧總結(jié)

一/\ff(%),x<m

形如:G(x)=，<

g\x\x>m

①如果G(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，滿足：/⑺為遞增函數(shù)，g(x)為遞增函數(shù)，

②如果G(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，滿足：/"(X)為遞減函數(shù)，g(x)為遞減函數(shù)，g("D<f(m).

③如果G(x)由最大值，滿足：/為遞增函數(shù)，g(x)為遞減函數(shù)，g(m)</(m).

④如果G(x)由最小值，滿足：/為遞減函數(shù)，g(x)為遞增函數(shù)，g(m)>f(m).

7.涉及對(duì)數(shù)分段函數(shù)判斷參數(shù)的取值范圍

技巧總結(jié)

形如：G^=[f^X~m

g\x\x>m

①如果G(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，滿足：/"(X)為遞增函數(shù)，g(x)為遞增函數(shù)，g(m)>f(m).

②如果G(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，滿足：/為遞減函數(shù)，g(x)為遞減函數(shù)，g("D<f(m).

③如果G(x)由最大值，滿足：/為遞增函數(shù)，g(x)為遞減函數(shù)，g(m)</(m).

④如果G(x)由最小值，滿足：/"(X)為遞減函數(shù)，g(x)為遞增函數(shù)，

8.已知函數(shù)解析式求定義域

技巧總結(jié)

在函數(shù)的三要素中，函數(shù)的定義域是函數(shù)的靈魂，對(duì)應(yīng)法則相同的函數(shù)只有在定義域相同時(shí)才算同一

函數(shù).定義域問(wèn)題始終是函數(shù)中最重要的問(wèn)題，許多問(wèn)題的解決都是必須先解決定義域，不要就會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題

通過(guò)對(duì)近幾年高考試題的分析看出，本講內(nèi)容也是高考考查的重點(diǎn)之一，題型是選擇題、填空題.試題難

度較小.

造區(qū)數(shù)八x)的解析式為已知函數(shù)的形式n采用有邈，

(解百模板如下?

第一步：找出使函數(shù)/(x)所含每個(gè)部分有意義的條件，主要考慮以下幾種情形：

(1)分式中分母不為0;(2)偶次方根中被開(kāi)方數(shù)非負(fù)；(3)/(%)=x°的底數(shù)不為零；

(4)/(力=f(左<0,左eR)的底數(shù)不為零；

(5)對(duì)數(shù)式中的底數(shù)大于0、且不等于1,真數(shù)大于0；

(6)正切函數(shù)y=s〃x的定義域?yàn)椋葑笞?］,左ez).

(7)指數(shù)式中底數(shù)大于零且不等于1.

(8)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)(一次函數(shù)、二次函數(shù)、三次函數(shù),...)的定義域?yàn)镽.

m

(9)對(duì)于幕函數(shù)/(%)=%"N")：

“為偶數(shù)，〃為偶數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)镽,m為偶數(shù)，〃為奇數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)镽,

機(jī)為奇數(shù)，”為偶數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+oo),機(jī)為奇數(shù)，〃為奇數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)镽.

注：y=產(chǎn)=?的定義域?yàn)椋?,+8),而y=/=#系的定義域?yàn)镽

第二步：列出不等式(組)

第三步：解不等式(組)，即不等式(組)的解集即為函數(shù)加0的定義域.

9.求函數(shù)解析式五大思路

礪總算

盤(pán)型一：待定系數(shù)法求函數(shù)解析⑥

適用條件：己知函數(shù)解析式的類(lèi)型

步驟如下：

第一步：先設(shè)出了(九)第二步：再利用題目中給的己知條件，列出等式

第三步：列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組(左右對(duì)應(yīng)匹配)，進(jìn)而求出待定的系數(shù).

(g型二：換元法求函數(shù)解析中

適用條件：已知函數(shù)/［g(x)］且g(x)=t能夠很輕松的將X用/表示出來(lái).

步驟如下：

第一步：令g(%)=/,解出X且注意新元的取值范圍

第二步：然后代入/［g(x)］中即可求得了(。

第三步：從而求得/(X).

慧型三：配湊法求函數(shù)解析至。

適用條件：已知函數(shù)且g(x)=f不能夠很輕松的將X用/表示出來(lái).

步驟如下：

第一步：將等號(hào)右邊先出現(xiàn)g(x)

第二步：將題干等號(hào)右邊形式變形成g(x)的形式.

第三步：從而求得〃尤)的解析式.

型四：方程組法求函數(shù)解析至)

適用條件：已知/'(X)與/(-X)、于3與f(k-x)(左為常數(shù))等之間的關(guān)系式

步驟如下：

第一步：將原式抄寫(xiě)一遍，如/(m)±_/'[)=A

第二步：將加，〃交換，再寫(xiě)一遍y(")±/?)=氏

第三步：建立二元一次方程組，進(jìn)行消元從而求得了(力的解析式.

適用條件：已知xWO的解析式求％>0的解析式.

步驟如下：

第一步：明確函數(shù)的奇偶性

第二步：x>0,-x<0,/(—x)=代入已知函數(shù)解析式

第三步：利用奇偶性從而求得了(x)的解析式.

10.各種函數(shù)的值域

礪總結(jié)

'形如①)/(%)=Ax+B^+bx+c或/(%)=次+")采用判別式法.

、--------Jax+bx+c

解題步驟：

dx1+ex+f

第一步：觀察函數(shù)解析式的形式，型如y=一匕的函數(shù)；

ax+/zx+c

第二步：將函數(shù)式化成關(guān)于x的方程，且方程有解，用根的判別式求出參數(shù)y的取值范圍，即得函數(shù)的值

域.

dx^\-ex+fdx2+ex+/=y^x2+bx+c]

ax+bx+c

=>(d—ay)x2+(e-by)x+(/-cy)=0=>(e-by^-4(d-ay\f-cy)>0

ax1+bx+c^y-Ax=By/ax1+bx+c

=^(y-Ax)2=B2(ax2+bx+c)移項(xiàng)繼續(xù)利用形式1進(jìn)行處理.

11.復(fù)合函數(shù)分析單調(diào)性

技巧總結(jié)

使用前提：簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)類(lèi)型

解題步驟：

第一步：先求函數(shù)的定義域；

第二步：分解復(fù)合函數(shù)，分別判斷內(nèi)外層函數(shù)的單調(diào)性；

第三步：根據(jù)同增異減，確定原函數(shù)的增減區(qū)間.

剖析：若函數(shù)y=/(a)在U內(nèi)單調(diào)，a=g(x)在X內(nèi)單調(diào)，且集合｛“/〃=g(x),xeX｝。U.

⑴若y=J(a)是增函數(shù)，M=g(x)是增(減)函數(shù)，則y=/[g(x)]是增(減)函數(shù)

⑵若y=，(u)是減函數(shù)，M=g(x)是增(減)函數(shù)，則y=/[g(x)]是減(增)函數(shù)

口訣：同則增，異則減(同增異減).

12.結(jié)論法(函數(shù)性質(zhì)法)分析單調(diào)性

胸

使用前提：將所給的函數(shù)進(jìn)行“庖丁解?！焙竺恳徊糠侄际且粋€(gè)很明顯可以判斷單調(diào)性的函數(shù).

解題步驟：

第一步：確定所給函數(shù)是由哪些可以判斷單調(diào)性的簡(jiǎn)單函數(shù)組合而成的.

第二步：結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可確定函數(shù)的單調(diào)性.

區(qū)見(jiàn)的結(jié)論(函數(shù)性質(zhì))包括1)

(1)/(%)與/(%)+C單調(diào)性相同.(C為常數(shù))

(2)當(dāng)左＞0時(shí)，/(X)與好(x)具有相同的單調(diào)性；當(dāng)左＜0時(shí)，/(X)與好(x)具有相反的單調(diào)性(3)當(dāng)

/(X)恒不等于零時(shí)，/(%)與一工其有相反的單調(diào)性.

“X)

(4)當(dāng)/(x)、g(x)在。上都是增(減)函數(shù)時(shí)，則/'(x)+g(x)在。上是增(減)函數(shù).

⑸當(dāng)/'(X)、g(x)在。上都是增(減)函數(shù)，且兩者都恒大于。時(shí)，/'(x)g(x)在。上是增(減)函數(shù)；當(dāng)/'(X)、

g(x)在。上都是增(減)函數(shù)，且兩者都恒小于0時(shí)，/"(x)g(x)在。上是減(增)函數(shù).

(6)設(shè)y=/(x),xeD為嚴(yán)格增(減)函數(shù)，則函數(shù)必有反函數(shù)，且反函數(shù)在其定義域D上也是嚴(yán)格增(減)函數(shù).

(7)奇(或偶)函數(shù)的單調(diào)性：

由奇偶函數(shù)定義易知：奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相反的單調(diào)性.

(8)周期函數(shù)的單調(diào)性：

若/(%)是周期為T(mén)的函數(shù)，且/(%)在(。力)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，則/(%)在(a+kT,b+kT/keZ)上單

調(diào)遞增或單調(diào)遞減.

13.函數(shù)奇偶性的妙解

展五總結(jié)

(善本方法判定函數(shù)的奇偶性二)

使用前提：函數(shù)表達(dá)式比較簡(jiǎn)單，定義域也容易求解.

解題步驟：

第一步：確定函數(shù)的定義域，判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；

第二步：若是，則確定/(*)與/(-x)的關(guān)系；若不是，則既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；

第三步：得出結(jié)論.

14.根據(jù)函數(shù)奇偶性的規(guī)律判定

展|強(qiáng)直

使用前提：函數(shù)解析式比較復(fù)雜，由若干基本函數(shù)經(jīng)過(guò)運(yùn)算之后的函數(shù)判定奇偶性.

解題步驟：

第一步：確定所給函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，應(yīng)用奇函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷；

第二步：結(jié)合基本函數(shù)的奇偶性和函數(shù)奇偶性的相關(guān)結(jié)論確定所給函數(shù)的奇偶性.

常見(jiàn)的結(jié)論包括：

(1)幾個(gè)奇函數(shù)的代數(shù)和是奇函數(shù)；幾個(gè)偶函數(shù)的代數(shù)和是偶函數(shù)；奇函數(shù)與偶函數(shù)的代數(shù)和是非奇非偶函

數(shù).

(2)奇函數(shù)的乘積或商是偶函數(shù)，偶函數(shù)的乘積或商是偶函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)的乘積或商是奇函數(shù).

常見(jiàn)基本函數(shù)的奇偶性：

1)一次函數(shù)y=kx+b^Q),當(dāng)人=0時(shí)，是奇函數(shù)，當(dāng)6/0時(shí)，是非奇非偶函數(shù).

(2)二次函數(shù)y=ad+6x+c(aw0),當(dāng)Z?=0時(shí)，是偶函數(shù)；當(dāng)b/0時(shí)，是非奇非偶函數(shù).

(3)反比例函數(shù)y=—[k豐0,xw0)是奇函數(shù).

(4)指數(shù)函數(shù)丁=優(yōu)(。>0且awl)是非奇非偶函數(shù)

(5)對(duì)數(shù)函數(shù)y=k)gaX(a>0且awl,x>0)是非奇非偶函數(shù).

(6)三角函數(shù)y=sinx(xe尺)是奇函數(shù)，y=cosx(xeR)是偶函數(shù)，y=tanx[xw左]+',左ez]是奇函

數(shù).

(7)常值函數(shù)/(x)=。，當(dāng)awO時(shí)，是偶函數(shù)，當(dāng)a=0時(shí)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

特殊函數(shù)的奇偶性:

奇函數(shù)：兩指兩對(duì)

(X1、(X1、

a+12ma—I=m——也-(機(jī)￡R)

⑴/(%)=用-m-\-(-x--w---0-),/(x)=m

(優(yōu)-ax-l、ctx+1,ax+r7

/a2x-I

(2)函數(shù)/(%)=±1ax-a~x)=±p-l)=±

x+mi112mx-m(2m

G)/(X)=bg〃，f(x)=logfl

x-mx+m2i一。

⑷函數(shù)/(%)=log/』(mxf+1+mx\，函數(shù)/(%)=logflf(mxf+1-mx\

2

⑸函數(shù)/(。=玄乎a'+1

a2x+l

偶函數(shù):

(i)函數(shù)/(x)=+(ax+「)⑵函數(shù)/(x)=log“(*+1)—券

15.函數(shù)周期性的妙解

技巧總結(jié)

使用前提：函數(shù)的解析式不確定，給出抽象函數(shù)的性質(zhì)，來(lái)確定函數(shù)的周期

解題步驟：

第一步：合理利用已知函數(shù)關(guān)系并進(jìn)行適當(dāng)?shù)刈冃危?/p>

第二步：熟記常見(jiàn)結(jié)論，準(zhǔn)確求出函數(shù)的周期性；

至見(jiàn)的結(jié)論包括D

(結(jié)論1：)若對(duì)于非零常數(shù)M和任意實(shí)數(shù)X,等式/(x+zn)=-y(x)恒成立，則/■(%)是周期函數(shù)，且2機(jī)是

它的一個(gè)周期.

(結(jié)論2)定義在R上的函數(shù)/(%),對(duì)任意的xeR,若有/(x+a)=/(x+4(其中。力為常數(shù)，a手b),

則函數(shù)/(力是周期函數(shù)，卜-4是函數(shù)的一個(gè)周期.

由癡獨(dú)義在R上的函數(shù)“X),對(duì)任意的xeR,若有/(x+a)=—/(%+/?)(其中a,6為常數(shù)，awb),

則函數(shù)/(%)是周期函數(shù)，2|a—4是函數(shù)的一個(gè)周期.

［結(jié)論4：)定義在R上的函數(shù)“X),對(duì)任意的xeR,若有/(x+a)=7\,(或/(刀+口)=—京)(其

中a為常數(shù)，awO),則函數(shù)/(可是周期函數(shù)，2時(shí)是函數(shù)的一個(gè)周期.

(結(jié)論5:應(yīng)義在R上的函數(shù)/(x),對(duì)任意的xeR,有f(a+%)=/(a-x)且f(b+x)=f(b-x),

(其中a)是常數(shù)，awb)則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，2|a—4是函數(shù)的一個(gè)周期.

另一種題干出現(xiàn)的信息：①若y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a,x=b都對(duì)稱(chēng)，則等價(jià)于f(a+%)=f(a-x)

S.f(b+x)=f(b-x),則y=〃x)為周期函數(shù)且7=2,_同

②若y=/(%)為偶函數(shù)且圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)，則y=/(%)為周期函數(shù)且T=2時(shí)

儂訴)若定義在尺上的函數(shù)y=/(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)xeR,恒有_/'(%)=/(。+6+/(%-。)成立(。/0),

則/(x)是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期.

l+/(x)

結(jié)論7:若對(duì)于非零常數(shù)m和任意實(shí)數(shù)x,等式/(x+m)=成立，則/(x)是周期函數(shù)，且4機(jī)是

它的一個(gè)周期.

結(jié)論8》若對(duì)于非零常數(shù)機(jī)和任意實(shí)數(shù)x,等式/(x+m)=：］；；；；成立,則/(x)是周期函數(shù)，且2根是

它的一個(gè)周期.

畫(huà)「9節(jié)對(duì)于非零常數(shù)m和任意實(shí)數(shù)x,等式/(x+⑼=1-w0)成立，則/(x)是周期函數(shù)，

且是它的一個(gè)周期.

(結(jié)論10：)①若定義在H上的函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于兩點(diǎn)A(a,y0),B(b,%)都對(duì)稱(chēng)，則/⑴是周期函數(shù),

且23—4是它的一個(gè)周期.

②若奇函數(shù)y=的圖象關(guān)于點(diǎn)A(a,O)對(duì)稱(chēng)，則是周期函數(shù)，且2時(shí)是它的一個(gè)周期.

(^71}①若定義在R上的函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)A(a,y0)和直線x=b都對(duì)稱(chēng)，則是周期函

數(shù)，且4劭—4是它的一個(gè)周期.

②若奇函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)，則/(%)是周期函數(shù)，且4時(shí)是它的一個(gè)周期.

16.函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的妙解

技巧總結(jié)

0型一：函數(shù)自身的對(duì)稱(chēng)桂)

使用前提：?jiǎn)我坏暮瘮?shù)本身具有軸對(duì)稱(chēng)或中心對(duì)稱(chēng)的特征

解題步驟：

第一步：由所給的函數(shù)性質(zhì)確定函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性

(不見(jiàn)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性包危)

(定理］：函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)A(a⑹對(duì)稱(chēng)的充要條件是/(x)+f(2a-x)=2b.或

/(2a+x)+/(-x)=2b或f(a+x)+f(a-x)=2b

推論1：函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱(chēng)的充要條件是/(%)+/(-x)=0.

定理2：)函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)的充要條件是f(a+x)=f(a—x),即f(x)=f(2a-x).

推論2：函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的充要條件是/(%)=/(-x).

㈤4

1.(2023?北京?高考真題)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A./(%)=-In%B./(x)=5

2

c./(%)=--D./(X)=3M

X

【答案】c

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)閥=lnx在(0,+8)上單調(diào)遞增，＞=一》在(0,+8)上單調(diào)遞減,

所以〃x)=-lnx在(0,+巧上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)閥=2,在(0,+“)上單調(diào)遞增，y=:在(0,+")上單調(diào)遞減，

所以〃x)=：在(0,+“)上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)閥=(在(0,+。)上單調(diào)遞減，》=-%在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以〃無(wú))=-5在(0,+。)上單調(diào)遞增，故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)?=3切=3、右，〃1)=3卜1=3°=1,〃2)=尹=3,

顯然〃*=3只在（0,+。）上不單調(diào)，D錯(cuò)誤.

故選：C.

1

2.（2022.北京?高考真題）已知函數(shù)/（x）則對(duì)任意實(shí)數(shù)X,有（）

1+2,

A./(-%)+/(%)=0B./(-x)-/(x)=0

D./(-x)-/(x)-1

C./(-尤)+/(》)=1

【答案】C

【詳解】〃T）+〃X）=------1------------1-----故A錯(cuò)誤，C正確;

l+2-xl+2x\+2xl+2x

/(-x)-/(x)=^-1__127_]_2

r不是常數(shù)，故BD錯(cuò)誤;

1+2"1+2"-1+2"2X+1~2X+1

故選：C.

3.（2022.北京.高考真題）在北京冬奧會(huì)上，國(guó)家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰

技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和母尸的關(guān)系，其中T

表示溫度，單位是K；尸表示壓強(qiáng)，單位是bar.下列結(jié)論中正確的是（）

A.當(dāng)T=220,P=1026時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)

B.當(dāng)T=270,尸=128時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)

C.當(dāng)7=300,尸=9987時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D.當(dāng)7=360,P=729時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

【答案】D

【分析】根據(jù)T與尼尸的關(guān)系圖可得正確的選項(xiàng).

【詳解】當(dāng)T=220,尸=1026時(shí)，坨尸>3,此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，故A錯(cuò)誤.

當(dāng)T=270,P=128時(shí)，2<lgP<3,此時(shí)二氧化碳處于液態(tài)，故B錯(cuò)誤.

當(dāng)T=300,P=9987時(shí)，IgP與4非常接近，故此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，對(duì)應(yīng)的是非超臨界狀態(tài)，故C錯(cuò)

誤.

當(dāng)T=360,尸=729時(shí)，因2<lgP<3,故此時(shí)二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.

故選：D

4.(2021?北京?高考真題)已知/(無(wú))是定義在上［0」的函數(shù)，那么“函數(shù)/(x)在［0,1］上單調(diào)遞增，是“函數(shù)/(尤)

在上的最大值為了⑴”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】利用兩者之間的推出關(guān)系可判斷兩者之間的條件關(guān)系.

【詳解】若函數(shù)在［0』上單調(diào)遞增，則“X)在［0』上的最大值為了⑴，

若在［0』上的最大值為"1),

比如=,

但〃尤)=1-：2在0,1為減函數(shù)，在1,1為增函數(shù)，

故在［0』上的最大值為了⑴推不出“X)在［0,1］上單調(diào)遞增,

故“函數(shù)在［0』上單調(diào)遞增”是““X)在［0川上的最大值為了⑴”的充分不必要條件，

故選：A.

5.(2020?北京?高考真題)已知函數(shù)/(為=2丁無(wú)一1,則不等式/。)＞。的解集是().

A.(-K1)B.(^?,-l)U(l,+°o)

C.(0,1)D.(-co,0)0(1,+?))

【答案】D

【分析】作出函數(shù),=2工和y=x+l的圖象，觀察圖象可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?(x)=2，—x—1,所以/(x)＞。等價(jià)于2、＞x+l,

在同一直角坐標(biāo)系中作出y=2,和y=x+l的圖象如圖：

兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),(1,2),

不等式2工>x+l的解為尤<0或x>L

所以不等式/(尤)>0的解集為：(F,0)D(LE).

故選：D.

6.(2023?北京?高考真題)已知函數(shù)/(x)=4'+log2X,貝k]￡|=_________..

【答案】1

【詳解】函數(shù)/(x)=4，+log2無(wú)，所以/(g)=4，k)g2g=2-1=1.

故答案為：1

x+2,x<-a,

7.(2023?北京?高考真題)設(shè)。>0,函數(shù)/(x)=<da-4x4a,,給出下列四個(gè)結(jié)論：

-\[x-1,x>a.

①f(x)在區(qū)間(a-1,+s)上單調(diào)遞減；

②當(dāng)時(shí)，/(幻存在最大值；

③設(shè)加(再,/(占))(占<4)小(尤2，/(々))(尤2>4),貝"MN|>1；

④設(shè)人馬/卜川馬一口久期/小))?"。).若IPQI存在最小值，則4的取值范圍是.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】②③

【詳解】依題意，。>0，

當(dāng)x<-a時(shí)，/(x)=x+2,易知其圖像為一條端點(diǎn)取不到值的單調(diào)遞增的射線；

當(dāng)-aWxWa時(shí)，f(x)=^a2-x2,易知其圖像是，圓心為(0,0),半徑為。的圓在x軸上方的圖像(即半圓);

當(dāng)為>。時(shí)，f(x)=-?-l,易知其圖像是一條端點(diǎn)取不到值的單調(diào)遞減的曲線；

顯然，當(dāng)xe(a-l,+8),即時(shí)，在上單調(diào)遞增，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，當(dāng)。21時(shí)，

當(dāng)工<一〃時(shí)，/(X)=X+2<-?+2<1；

當(dāng)-時(shí)，/(X)=心"顯然取得最大值。;

當(dāng)x>a時(shí)，y(x)=—y/x—1<—\[ct-1V—2,

綜上：八元)取得最大值。，故②正確；

對(duì)于③，結(jié)合圖像，易知在玉=。，々>。且接近于*處，加(石,/(%))(大(a),N(X2，/(X2》(X2>。)的距

離最小，

當(dāng)士=a時(shí)，j=/(^)=0,當(dāng)3>a且接近于x=a處，y2=/(x2)<-V?-l,

此時(shí)，|施7|>%-%>6+1>1，故③正確；

因?yàn)槭?8/(馬》(馬<-a),2(x4,/(x4))(x4>-a),

結(jié)合圖像可知，要使|尸。取得最小值，貝U點(diǎn)尸在〃x)=x+2(x<-gj上，點(diǎn)。在

同時(shí)忸。|的最小值為點(diǎn)。到/⑺=x+2卜<-的距離減去半圓的半徑a,

此時(shí)，因?yàn)?（x）=y=x+2[x<-^|的斜率為1,則%,=-1,故直線。尸的方程為》=一》,

（y=-%fx——1/、

聯(lián)立C，解得，，則尸-1,1）,

白=尤+2[y=l

顯然尸（一1,1）在/（"=x+2〔尤<-g]上，滿足|尸。|取得最小值，

即a=g也滿足|尸。|存在最小值，故0的取值范圍不僅僅是,故④錯(cuò)誤.

故答案為：②③.

8.（2022?北京?高考真題）函數(shù)/（無(wú)）=1+71=7的定義域是

【答案】（y,o）u（o』

【詳解】解：因?yàn)椤▁）=B+^/i=,所以l-x>0

"。‘解得E且"0,

故函數(shù)的定義域?yàn)椋▂,o）u（o』

故答案為：（7）,0）口（0』

9.（2020?北京?高考真題）函數(shù)/。）=2+ln尤的定義域是_________.

X+1

【答案】（。，+8）

-fx>0

【詳解】由題意得?八，.”>0

[x+1^0

故答案為：（0,+s）

-ax+1,x<a,

10.（2022?北京?高考真題）設(shè)函數(shù)/（尤）=/八2若了⑺存在最小值，則a的一個(gè)取值為_(kāi)______;

（x-2）,x>a.

a的最大值為.

【答案】0（答案不唯一）1

1,x<0

【詳解】解：若。=0時(shí)，fM=[.?./（X）疝=o；

（x-2）,x>0n

若a<0時(shí)，當(dāng)x<a時(shí)，/（x）=-ax+l單調(diào)遞增，當(dāng)xf-oo時(shí)，/（x）f_oo,故/（x）沒(méi)有最小值，不符合題

目要求；

若a>0時(shí)，當(dāng)無(wú)時(shí)，f(x)=-方+1單調(diào)遞減，f(x)>f{d)=-a2+1,

0(0<a<2)

222

當(dāng)時(shí)，/U)={.c、2,、c、A-a+l>0^-a+l>(a-2),

mm(a-2){a>2)

解得。<a?l，綜上可得OVaVl；

故答案為：0(答案不唯一)，1

11.(2024.北京?高考真題)生物豐富度指數(shù)1=片是河流水質(zhì)的一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，其中S,N分別表示河流

中的生物種類(lèi)數(shù)與生物個(gè)體總數(shù).生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好.如果某河流治理前后的生物種類(lèi)數(shù)S沒(méi)

有變化，生物個(gè)體總數(shù)由M變?yōu)樯?生物豐富度指數(shù)由2.1提高到3.15,則()

A.3憶=2乂B.2N[=3N\

C.N；=N；D.N；=N；

【答案】D

S—]S—1

【詳解】由題意得二=2/，1^=3」5,則2.11nM=3.151nN2,即21nM=31nN?,所以N；=N；.

11JL/V]JL1JL/V2

故選：D.

12.(2024?北京?高考真題)已知(國(guó),必)，(%,%)是函數(shù)>=2'的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，貝I()

A.log^±A<A±^B.log,江—三

222-22

C.log?X；%<%+/D.log?%%>4+無(wú)2

【答案】B

【詳解】由題意不妨設(shè)%<%,因?yàn)楹瘮?shù)y=2,是增函數(shù)，所以0<2%<29，即。<%<力，

XX+X

2』,221--------------------l2v_1_v再+-2

2

對(duì)于選項(xiàng)AB：可得>J2%？=2=,即X±A>22>o,

22

根據(jù)函數(shù)V=log2X是增函數(shù)，所以log221戶>logz2=="生，故B正確，A錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)D：例如玉—0,x2=1,則%=1,丫2=2,

可得log?%；%=log2e(a1)，即log?%；%<]=&+二，故D錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：例如X]=-1,々=-2,則%=：,%=；,

n：Wlog2=log2j=log23-3e(-2,-1),即log?>一3=占+%,故C錯(cuò)誤，

2X2

故選：B.

0

〃「核心靖進(jìn)懶型突破\\

題型一：函數(shù)定義域、值域、解析式

【典例1」】函數(shù)/）=有的定義域?yàn)椋?/p>

A.(0,+oo)B.(0,l)u(l,4w)

C.[0,+oo)D.[0,l)u(l,+w)

【答案】B

?fx>0,

【詳解】由題意得：八得]>0且"1,

所以函數(shù)的定義域?yàn)椋∣，l）D（l，y），

故選：B

【典例1-2】已知函數(shù)/仁）=宜｝,則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,函數(shù)/（X）的值域是（）

A.（0,2）B,（0,2]C.[0,2）D.[0,2]

【答案】C

【詳解】依題意，〃>笥手=2-高

所以函數(shù)/（X）的值域是[0,2）.

故選:C

定義域：（D確定函數(shù)定義域的原則①當(dāng)函數(shù)是以解析式的形式給出時(shí)，其定義域就是使函數(shù)解析式

有意義的自變量的取值的集合.具體地講，就是考慮分母不為零，偶次根號(hào)的被開(kāi)方數(shù)、式大于或等于零，

零次基的底數(shù)不為零以及我們?cè)诤竺鎸W(xué)習(xí)時(shí)碰到的所有有意義的限制條件

②當(dāng)函數(shù)是由實(shí)際問(wèn)題給出時(shí)，其定義域不僅要考慮使其解析式有意義，還要有實(shí)際意義

③當(dāng)函數(shù)用表格給出時(shí)，函數(shù)的定義域是指表格中實(shí)數(shù)x的集合

（2）求函數(shù)的定義域，一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問(wèn)題，注意定義域是一個(gè)集合，其結(jié)果必

須用集合或區(qū)間來(lái)表示

值域：實(shí)際上求函數(shù)的值域是個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題，雖然給定了函數(shù)的定義域及其對(duì)應(yīng)法則以后，值域

就完全確定了，但求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有觀察法、配方法、判別式法、換元法、

求函數(shù)的值域沒(méi)有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，還有最值法、數(shù)形結(jié)合法等.總之，

求函數(shù)的值域關(guān)鍵是重視對(duì)應(yīng)法則的作用，還要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s

解析式：(1)解析式類(lèi)型已知的，如