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文檔簡(jiǎn)介
專(zhuān)題03函數(shù)圖象及性質(zhì)應(yīng)用
目錄
01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2
07軍nt口旦囪.田姓己I白吉q
03知識(shí)梳理?方法技巧............................................................4
04真題研析?精準(zhǔn)預(yù)測(cè)...........................................................15
05核心精講?題型突破...........................................................22
題型一:函數(shù)定義域'值域、解析式22
題型二:函數(shù)單調(diào)性、周期性'奇偶性'對(duì)稱(chēng)性26
題型三:函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間及分段函數(shù)值域求參問(wèn)題31
題型四:對(duì)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用37
題型五:指對(duì)幕比較大小42
題型六:指對(duì)塞運(yùn)算及解不等式45
重難點(diǎn)突破:函數(shù)的新定義50
差情;奏汨?日標(biāo)旦祐
函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的一條主線,對(duì)整個(gè)高中數(shù)學(xué)有著重要的意義,題目分布在選擇題和填空題居多,
有關(guān)函數(shù)圖像與性質(zhì)的北京高考試題,考查重點(diǎn)是以基本初等函數(shù)、基本初等函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)為載體,
以函數(shù)內(nèi)容和性質(zhì)為主導(dǎo),考查函數(shù)的定義域、值域,函數(shù)的表示方法、圖象及性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)
性、周期性)。通常與不等式、方程等必備知識(shí)結(jié)合,考查數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化與化歸和函數(shù)與方程等
思想.考查學(xué)生運(yùn)算求解能力、邏輯思維能力、空間想象能力和數(shù)學(xué)建模等關(guān)鍵能力,尤其加大了對(duì)數(shù)學(xué)建模
的考查力度,根據(jù)實(shí)際問(wèn)題,建立函數(shù)模型或用已知模型解決實(shí)際問(wèn)題。
考點(diǎn)要求目標(biāo)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析
2024年北京卷第10題,5分
熟練掌握函數(shù)的2023年北京卷第4題,5分預(yù)測(cè)2025年高考,函
數(shù)圖像與性質(zhì)主要以小題
函數(shù)的性質(zhì)定義域、值域、解2022年北京卷第4題,5分
析式及四大性質(zhì)形式出現(xiàn),通常與不等式、
2017年北京理科卷第5題,5分
方程等必備知識(shí)結(jié)合具體
評(píng)估為:
(1)以選擇題或填空
題形式出現(xiàn),數(shù)形結(jié)合、
2024年北京卷第7題,5分分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化與化歸和
加大基本初等函2024年北京卷第9題,5分函數(shù)與方程等思想.
數(shù)(指對(duì)塞)的圖2022年北京卷第7題,5分(2)熱點(diǎn)是函數(shù)用于
基本初等函數(shù)
像應(yīng)用及互換運(yùn)2020年北京卷第6題,5分新定義中,加強(qiáng)學(xué)生的邏
算技巧
2019年北京理科卷第6題,5分輯推理思維能力。
2017年北京理科卷第8題,5分
牛ni口捺理?右法怙,
1.指數(shù)基本運(yùn)算
技巧總結(jié)
0、有理數(shù)指數(shù)號(hào)的分類(lèi))
〃個(gè)
_______________A_______________
⑴正整數(shù)指數(shù)累an=a-a-a-a-a---a(n&N]⑵零指數(shù)累a0=l(tzw0)
⑶負(fù)整數(shù)指數(shù)幕成'=4r(a*O,?G2V*)(4)O的正分?jǐn)?shù)指數(shù)募等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)募沒(méi)有意義.
@有理數(shù)指數(shù)塞的性質(zhì)已
⑴a'"?a"=am+n(a>0,m,〃eQ)
^(am)'=anm(a>0,m,n&Q)
⑶(a/?)"'=a"'bm(a>0,b>0,m&Q)
__m
(4)Vtz?"=an(a>0,m,neQ)
②全稱(chēng)量詞命題和存在量詞命題的求參數(shù)問(wèn)題相對(duì)較難,要注重端點(diǎn)出點(diǎn)是否可以取到.
2.對(duì)數(shù)基本運(yùn)算
雪巧總結(jié)、
G、對(duì)數(shù)運(yùn)算法而)
①外和內(nèi)乘:loga(A?V)=logaM+log〃N②外差內(nèi)除:logj=logaM-logaN
③提公次方法:k)gI?A"='■logaM根,〃eR)④特殊對(duì)數(shù):log"=0
am
losbh
⑤指中有對(duì),沒(méi)心沒(méi)肺,真數(shù)為幾,直接取幾:a^=b,\oSaa=b
對(duì)數(shù)的定義)
一般地,如果優(yōu)=N(a〉0,awl),那么數(shù)x叫做以。為底N的對(duì)數(shù),記x=log〃N,其中。叫做對(duì)數(shù)的底
數(shù),N叫做對(duì)數(shù)的真數(shù)(N>0)
(3、換底公式)
①常用換底log,/=電頻2②倒數(shù)原理log〃b=」一
%alog。a
③約分技巧log,*?logbc=里2義處=處=log”C④具體數(shù)字歸一處理:1g2+1g5=1
IgaIgblg?
3.指數(shù)函數(shù)的圖象及其性質(zhì)
后這
(并數(shù)函數(shù)及其性質(zhì))
I概念:函數(shù)》=爐(廬0且存1)叫做指數(shù)函數(shù),其中指數(shù)x是自變量,函數(shù)的定義域是R,。是底數(shù).
II指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
函數(shù)y=axy=ax
a>\0<a<l
Pjy=ax
圖象
o|~~i~~*
O|~~1~~A-
最特殊點(diǎn)a*=〃即x=1,>=a圖象都過(guò)(1,a)
①定義域R值域(0,+8)
②a°=l即當(dāng)x=0,y=l圖象都過(guò)定點(diǎn)(0,1),
性質(zhì)③即不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
④當(dāng)x>0時(shí),y>l;當(dāng)x<0時(shí),0<y〈l④當(dāng)x<0時(shí),y>l;當(dāng)x>0時(shí),0<y〈l
⑤在(一CO,+oo)上是增函數(shù)⑤在(-00,+◎上是減函數(shù)
(注意:)①當(dāng)?shù)讛?shù)大小不確定時(shí),必須進(jìn)行a>1,0<?<1兩種形式討論.
②當(dāng)。>1時(shí),。的值越大,圖象越靠近y軸,遞增速度越快.
當(dāng)0<。<1時(shí),。的值越小,圖象越靠近y軸,遞減速度越快.
4.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及其性質(zhì)
技巧總結(jié)
I概念:函數(shù)y=log°x(a>0,且存1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù),其中尤是自變量,函數(shù)的定義域是(0,+<?).
II對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
由于對(duì)數(shù)圖象是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù),所以對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象只需由相應(yīng)的指數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)即可,
當(dāng)然也分a>1和0<a<1兩種情況討論,討論如下
a>l0<〃<l
}=log?A-X=1
%,())一
圖象
O
')=log“N
①定義域:(0,+oo)
②值域:R
性質(zhì)③當(dāng)x=l時(shí),y=0,即過(guò)定點(diǎn)(1,0)
④當(dāng)x>l時(shí),y>0;當(dāng)0<%<1時(shí),j<0④當(dāng)x>l時(shí),y<0;當(dāng)0<%<1時(shí),y>0
⑤在(0,+oo)上是增函數(shù)⑤在(0,+oo)上是減函數(shù)
①當(dāng)?shù)讛?shù)大小不確定時(shí),必須進(jìn)行a>1,0<?<1兩種形式討論.
②當(dāng)。>1時(shí),。的值越大,圖象越靠近x軸.當(dāng)0<。<1時(shí),。的值越小,圖象越靠近x軸.
5.指對(duì)數(shù)大小比較問(wèn)題
礪總章
指對(duì)數(shù)大小比較問(wèn)題已經(jīng)成為高考的重難點(diǎn)問(wèn)題,我們這里介紹五大核心思想.
心思想一:同步《升o降》
n
logab=loga,?b
234
形如:log23=log/3=log233=log243=log2T3T
注意:一般情況下以2,3為底的對(duì)數(shù)比較大小,底數(shù)真數(shù)次方一起同升同降.
口訣:2,3為底眼睛亮,底真次方同升降.
心、思想二:先分離常數(shù)再比婭)
當(dāng)?shù)讛?shù)與真數(shù)出現(xiàn)倍數(shù)關(guān)系,必須先將對(duì)數(shù)分離常數(shù)后作比較.
①log,?(/?m)=log,?p+log,?m=log,“夕+1
n
②log,,,(pm)=log“p+logm"=logmp+n
口訣:底真出現(xiàn)倍數(shù)時(shí),分離常數(shù)用起來(lái)
避兀思想三:利用糖水變甜不等式比較砂)
當(dāng)對(duì)數(shù)比較大小形式中出現(xiàn)底數(shù)與真數(shù)成等差數(shù)列時(shí),可以采用糖水不等式放縮處理.
r17八b+mb+a+ma
形如:。>〃>0,m>0則存在----->—,或------<—
a+mab+mb
模型演練:①比較log23與log34的大小
3
n
Icln3In3+zn/八人,3Hnln31B+ln2
根據(jù)糖水不等式log,3=----->-----------(m>0),令"z=In—,即---->--------今
In21n2+7〃2In2i,i
Inn2+ln—
2
?9
%ln4
^j>—=log34故logz3>log34
②比較log43與logfS的大小
4.Hj-R,k*icln3ln3+m/八人.6Pr1ln33+ln
根據(jù)糖水不等式log43=-----<-----------{m>0),令〃z=ln—,即----<--------去
4ln4ln4+/〃'74ln4]4,16
ln4+ln—
4
?18
In-]s
=
-r^-<—bg65故bg43<log65
ln6Ino
①/(6=皿在(0,e)T在(e,+8)J,在x=e時(shí),取得最大值且為工
xe
②極大值左偏,且〃2)=/⑷
③若0<b<a<e,則^~^>^~^nZ?lna>alnbnlnQ/7>]nba=^>ah>ba
ab
e<b<a<+oo,貝U^^c^^nblnaVQln匕nlnQ"<lnb"na"<Z?"
ab
口訣:大指小底永為大(大小指e)
6.涉及指數(shù)分段函數(shù)判斷參數(shù)的取值范圍
技巧總結(jié)
一/\ff(%),x<m
形如:G(x)=,<
g\x\x>m
①如果G(x)為單調(diào)遞增函數(shù),滿足:/⑺為遞增函數(shù),g(x)為遞增函數(shù),
②如果G(x)為單調(diào)遞減函數(shù),滿足:/"(X)為遞減函數(shù),g(x)為遞減函數(shù),g("D<f(m).
③如果G(x)由最大值,滿足:/為遞增函數(shù),g(x)為遞減函數(shù),g(m)</(m).
④如果G(x)由最小值,滿足:/為遞減函數(shù),g(x)為遞增函數(shù),g(m)>f(m).
7.涉及對(duì)數(shù)分段函數(shù)判斷參數(shù)的取值范圍
技巧總結(jié)
形如:G^=[f^X~m
g\x\x>m
①如果G(x)為單調(diào)遞增函數(shù),滿足:/"(X)為遞增函數(shù),g(x)為遞增函數(shù),g(m)>f(m).
②如果G(x)為單調(diào)遞減函數(shù),滿足:/為遞減函數(shù),g(x)為遞減函數(shù),g("D<f(m).
③如果G(x)由最大值,滿足:/為遞增函數(shù),g(x)為遞減函數(shù),g(m)</(m).
④如果G(x)由最小值,滿足:/"(X)為遞減函數(shù),g(x)為遞增函數(shù),
8.已知函數(shù)解析式求定義域
技巧總結(jié)
在函數(shù)的三要素中,函數(shù)的定義域是函數(shù)的靈魂,對(duì)應(yīng)法則相同的函數(shù)只有在定義域相同時(shí)才算同一
函數(shù).定義域問(wèn)題始終是函數(shù)中最重要的問(wèn)題,許多問(wèn)題的解決都是必須先解決定義域,不要就會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題
通過(guò)對(duì)近幾年高考試題的分析看出,本講內(nèi)容也是高考考查的重點(diǎn)之一,題型是選擇題、填空題.試題難
度較小.
造區(qū)數(shù)八x)的解析式為已知函數(shù)的形式n采用有邈,
(解百模板如下?
第一步:找出使函數(shù)/(x)所含每個(gè)部分有意義的條件,主要考慮以下幾種情形:
(1)分式中分母不為0;(2)偶次方根中被開(kāi)方數(shù)非負(fù);(3)/(%)=x°的底數(shù)不為零;
(4)/(力=f(左<0,左eR)的底數(shù)不為零;
(5)對(duì)數(shù)式中的底數(shù)大于0、且不等于1,真數(shù)大于0;
(6)正切函數(shù)y=s〃x的定義域?yàn)椋葑笞?],左ez).
(7)指數(shù)式中底數(shù)大于零且不等于1.
(8)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)(一次函數(shù)、二次函數(shù)、三次函數(shù),...)的定義域?yàn)镽.
m
(9)對(duì)于幕函數(shù)/(%)=%"N"):
“為偶數(shù),〃為偶數(shù),函數(shù)的定義域?yàn)镽,m為偶數(shù),〃為奇數(shù),函數(shù)的定義域?yàn)镽,
機(jī)為奇數(shù),”為偶數(shù),函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+oo),機(jī)為奇數(shù),〃為奇數(shù),函數(shù)的定義域?yàn)镽.
注:y=產(chǎn)=?的定義域?yàn)椋?,+8),而y=/=#系的定義域?yàn)镽
第二步:列出不等式(組)
第三步:解不等式(組),即不等式(組)的解集即為函數(shù)加0的定義域.
9.求函數(shù)解析式五大思路
礪總算
盤(pán)型一:待定系數(shù)法求函數(shù)解析⑥
適用條件:己知函數(shù)解析式的類(lèi)型
步驟如下:
第一步:先設(shè)出了(九)第二步:再利用題目中給的己知條件,列出等式
第三步:列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組(左右對(duì)應(yīng)匹配),進(jìn)而求出待定的系數(shù).
(g型二:換元法求函數(shù)解析中
適用條件:已知函數(shù)/[g(x)]且g(x)=t能夠很輕松的將X用/表示出來(lái).
步驟如下:
第一步:令g(%)=/,解出X且注意新元的取值范圍
第二步:然后代入/[g(x)]中即可求得了(。
第三步:從而求得/(X).
慧型三:配湊法求函數(shù)解析至。
適用條件:已知函數(shù)且g(x)=f不能夠很輕松的將X用/表示出來(lái).
步驟如下:
第一步:將等號(hào)右邊先出現(xiàn)g(x)
第二步:將題干等號(hào)右邊形式變形成g(x)的形式.
第三步:從而求得〃尤)的解析式.
型四:方程組法求函數(shù)解析至)
適用條件:已知/'(X)與/(-X)、于3與f(k-x)(左為常數(shù))等之間的關(guān)系式
步驟如下:
第一步:將原式抄寫(xiě)一遍,如/(m)±_/'[)=A
第二步:將加,〃交換,再寫(xiě)一遍y(")±/?)=氏
第三步:建立二元一次方程組,進(jìn)行消元從而求得了(力的解析式.
適用條件:已知xWO的解析式求%>0的解析式.
步驟如下:
第一步:明確函數(shù)的奇偶性
第二步:x>0,-x<0,/(—x)=代入已知函數(shù)解析式
第三步:利用奇偶性從而求得了(x)的解析式.
10.各種函數(shù)的值域
礪總結(jié)
'形如①)/(%)=Ax+B^+bx+c或/(%)=次+")采用判別式法.
、--------Jax+bx+c
解題步驟:
dx1+ex+f
第一步:觀察函數(shù)解析式的形式,型如y=一匕的函數(shù);
ax+/zx+c
第二步:將函數(shù)式化成關(guān)于x的方程,且方程有解,用根的判別式求出參數(shù)y的取值范圍,即得函數(shù)的值
域.
dx^\-ex+fdx2+ex+/=y^x2+bx+c]
ax+bx+c
=>(d—ay)x2+(e-by)x+(/-cy)=0=>(e-by^-4(d-ay\f-cy)>0
ax1+bx+c^y-Ax=By/ax1+bx+c
=^(y-Ax)2=B2(ax2+bx+c)移項(xiàng)繼續(xù)利用形式1進(jìn)行處理.
11.復(fù)合函數(shù)分析單調(diào)性
技巧總結(jié)
使用前提:簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)類(lèi)型
解題步驟:
第一步:先求函數(shù)的定義域;
第二步:分解復(fù)合函數(shù),分別判斷內(nèi)外層函數(shù)的單調(diào)性;
第三步:根據(jù)同增異減,確定原函數(shù)的增減區(qū)間.
剖析:若函數(shù)y=/(a)在U內(nèi)單調(diào),a=g(x)在X內(nèi)單調(diào),且集合{“/〃=g(x),xeX}。U.
⑴若y=J(a)是增函數(shù),M=g(x)是增(減)函數(shù),則y=/[g(x)]是增(減)函數(shù)
⑵若y=,(u)是減函數(shù),M=g(x)是增(減)函數(shù),則y=/[g(x)]是減(增)函數(shù)
口訣:同則增,異則減(同增異減).
12.結(jié)論法(函數(shù)性質(zhì)法)分析單調(diào)性
胸
使用前提:將所給的函數(shù)進(jìn)行“庖丁解?!焙竺恳徊糠侄际且粋€(gè)很明顯可以判斷單調(diào)性的函數(shù).
解題步驟:
第一步:確定所給函數(shù)是由哪些可以判斷單調(diào)性的簡(jiǎn)單函數(shù)組合而成的.
第二步:結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可確定函數(shù)的單調(diào)性.
區(qū)見(jiàn)的結(jié)論(函數(shù)性質(zhì))包括1)
(1)/(%)與/(%)+C單調(diào)性相同.(C為常數(shù))
(2)當(dāng)左>0時(shí),/(X)與好(x)具有相同的單調(diào)性;當(dāng)左<0時(shí),/(X)與好(x)具有相反的單調(diào)性(3)當(dāng)
/(X)恒不等于零時(shí),/(%)與一工其有相反的單調(diào)性.
“X)
(4)當(dāng)/(x)、g(x)在。上都是增(減)函數(shù)時(shí),則/'(x)+g(x)在。上是增(減)函數(shù).
⑸當(dāng)/'(X)、g(x)在。上都是增(減)函數(shù),且兩者都恒大于。時(shí),/'(x)g(x)在。上是增(減)函數(shù);當(dāng)/'(X)、
g(x)在。上都是增(減)函數(shù),且兩者都恒小于0時(shí),/"(x)g(x)在。上是減(增)函數(shù).
(6)設(shè)y=/(x),xeD為嚴(yán)格增(減)函數(shù),則函數(shù)必有反函數(shù),且反函數(shù)在其定義域D上也是嚴(yán)格增(減)函數(shù).
(7)奇(或偶)函數(shù)的單調(diào)性:
由奇偶函數(shù)定義易知:奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相反的單調(diào)性.
(8)周期函數(shù)的單調(diào)性:
若/(%)是周期為T(mén)的函數(shù),且/(%)在(。力)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,則/(%)在(a+kT,b+kT/keZ)上單
調(diào)遞增或單調(diào)遞減.
13.函數(shù)奇偶性的妙解
展五總結(jié)
(善本方法判定函數(shù)的奇偶性二)
使用前提:函數(shù)表達(dá)式比較簡(jiǎn)單,定義域也容易求解.
解題步驟:
第一步:確定函數(shù)的定義域,判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng);
第二步:若是,則確定/(*)與/(-x)的關(guān)系;若不是,則既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù);
第三步:得出結(jié)論.
14.根據(jù)函數(shù)奇偶性的規(guī)律判定
展|強(qiáng)直
使用前提:函數(shù)解析式比較復(fù)雜,由若干基本函數(shù)經(jīng)過(guò)運(yùn)算之后的函數(shù)判定奇偶性.
解題步驟:
第一步:確定所給函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,應(yīng)用奇函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷;
第二步:結(jié)合基本函數(shù)的奇偶性和函數(shù)奇偶性的相關(guān)結(jié)論確定所給函數(shù)的奇偶性.
常見(jiàn)的結(jié)論包括:
(1)幾個(gè)奇函數(shù)的代數(shù)和是奇函數(shù);幾個(gè)偶函數(shù)的代數(shù)和是偶函數(shù);奇函數(shù)與偶函數(shù)的代數(shù)和是非奇非偶函
數(shù).
(2)奇函數(shù)的乘積或商是偶函數(shù),偶函數(shù)的乘積或商是偶函數(shù),奇函數(shù)與偶函數(shù)的乘積或商是奇函數(shù).
常見(jiàn)基本函數(shù)的奇偶性:
1)一次函數(shù)y=kx+b^Q),當(dāng)人=0時(shí),是奇函數(shù),當(dāng)6/0時(shí),是非奇非偶函數(shù).
(2)二次函數(shù)y=ad+6x+c(aw0),當(dāng)Z?=0時(shí),是偶函數(shù);當(dāng)b/0時(shí),是非奇非偶函數(shù).
(3)反比例函數(shù)y=—[k豐0,xw0)是奇函數(shù).
(4)指數(shù)函數(shù)丁=優(yōu)(。>0且awl)是非奇非偶函數(shù)
(5)對(duì)數(shù)函數(shù)y=k)gaX(a>0且awl,x>0)是非奇非偶函數(shù).
(6)三角函數(shù)y=sinx(xe尺)是奇函數(shù),y=cosx(xeR)是偶函數(shù),y=tanx[xw左]+',左ez]是奇函
數(shù).
(7)常值函數(shù)/(x)=。,當(dāng)awO時(shí),是偶函數(shù),當(dāng)a=0時(shí),既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).
特殊函數(shù)的奇偶性:
奇函數(shù):兩指兩對(duì)
(X1、(X1、
a+12ma—I=m——也-(機(jī)£R)
⑴/(%)=用-m-\-(-x--w---0-),/(x)=m
(優(yōu)-ax-l、ctx+1,ax+r7
/a2x-I
(2)函數(shù)/(%)=±1ax-a~x)=±p-l)=±
x+mi112mx-m(2m
G)/(X)=bg〃,f(x)=logfl
x-mx+m2i一。
⑷函數(shù)/(%)=log/』(mxf+1+mx\,函數(shù)/(%)=logflf(mxf+1-mx\
2
⑸函數(shù)/(。=玄乎a'+1
a2x+l
偶函數(shù):
(i)函數(shù)/(x)=+(ax+「)⑵函數(shù)/(x)=log“(*+1)—券
15.函數(shù)周期性的妙解
技巧總結(jié)
使用前提:函數(shù)的解析式不確定,給出抽象函數(shù)的性質(zhì),來(lái)確定函數(shù)的周期
解題步驟:
第一步:合理利用已知函數(shù)關(guān)系并進(jìn)行適當(dāng)?shù)刈冃危?/p>
第二步:熟記常見(jiàn)結(jié)論,準(zhǔn)確求出函數(shù)的周期性;
至見(jiàn)的結(jié)論包括D
(結(jié)論1:)若對(duì)于非零常數(shù)M和任意實(shí)數(shù)X,等式/(x+zn)=-y(x)恒成立,則/■(%)是周期函數(shù),且2機(jī)是
它的一個(gè)周期.
(結(jié)論2)定義在R上的函數(shù)/(%),對(duì)任意的xeR,若有/(x+a)=/(x+4(其中。力為常數(shù),a手b),
則函數(shù)/(力是周期函數(shù),卜-4是函數(shù)的一個(gè)周期.
由癡獨(dú)義在R上的函數(shù)“X),對(duì)任意的xeR,若有/(x+a)=—/(%+/?)(其中a,6為常數(shù),awb),
則函數(shù)/(%)是周期函數(shù),2|a—4是函數(shù)的一個(gè)周期.
[結(jié)論4:)定義在R上的函數(shù)“X),對(duì)任意的xeR,若有/(x+a)=7\,(或/(刀+口)=—京)(其
中a為常數(shù),awO),則函數(shù)/(可是周期函數(shù),2時(shí)是函數(shù)的一個(gè)周期.
(結(jié)論5:應(yīng)義在R上的函數(shù)/(x),對(duì)任意的xeR,有f(a+%)=/(a-x)且f(b+x)=f(b-x),
(其中a)是常數(shù),awb)則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù),2|a—4是函數(shù)的一個(gè)周期.
另一種題干出現(xiàn)的信息:①若y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a,x=b都對(duì)稱(chēng),則等價(jià)于f(a+%)=f(a-x)
S.f(b+x)=f(b-x),則y=〃x)為周期函數(shù)且7=2,_同
②若y=/(%)為偶函數(shù)且圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng),則y=/(%)為周期函數(shù)且T=2時(shí)
儂訴)若定義在尺上的函數(shù)y=/(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)xeR,恒有_/'(%)=/(。+6+/(%-。)成立(。/0),
則/(x)是周期函數(shù),且是它的一個(gè)周期.
l+/(x)
結(jié)論7:若對(duì)于非零常數(shù)m和任意實(shí)數(shù)x,等式/(x+m)=成立,則/(x)是周期函數(shù),且4機(jī)是
它的一個(gè)周期.
結(jié)論8》若對(duì)于非零常數(shù)機(jī)和任意實(shí)數(shù)x,等式/(x+m)=:];;;;成立,則/(x)是周期函數(shù),且2根是
它的一個(gè)周期.
畫(huà)「9節(jié)對(duì)于非零常數(shù)m和任意實(shí)數(shù)x,等式/(x+⑼=1-w0)成立,則/(x)是周期函數(shù),
且是它的一個(gè)周期.
(結(jié)論10:)①若定義在H上的函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于兩點(diǎn)A(a,y0),B(b,%)都對(duì)稱(chēng),則/⑴是周期函數(shù),
且23—4是它的一個(gè)周期.
②若奇函數(shù)y=的圖象關(guān)于點(diǎn)A(a,O)對(duì)稱(chēng),則是周期函數(shù),且2時(shí)是它的一個(gè)周期.
(^71}①若定義在R上的函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)A(a,y0)和直線x=b都對(duì)稱(chēng),則是周期函
數(shù),且4劭—4是它的一個(gè)周期.
②若奇函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng),則/(%)是周期函數(shù),且4時(shí)是它的一個(gè)周期.
16.函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的妙解
技巧總結(jié)
0型一:函數(shù)自身的對(duì)稱(chēng)桂)
使用前提:?jiǎn)我坏暮瘮?shù)本身具有軸對(duì)稱(chēng)或中心對(duì)稱(chēng)的特征
解題步驟:
第一步:由所給的函數(shù)性質(zhì)確定函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性
(不見(jiàn)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性包危)
(定理]:函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)A(a⑹對(duì)稱(chēng)的充要條件是/(x)+f(2a-x)=2b.或
/(2a+x)+/(-x)=2b或f(a+x)+f(a-x)=2b
推論1:函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱(chēng)的充要條件是/(%)+/(-x)=0.
定理2:)函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)的充要條件是f(a+x)=f(a—x),即f(x)=f(2a-x).
推論2:函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的充要條件是/(%)=/(-x).
㈤4
1.(2023?北京?高考真題)下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增的是()
A./(%)=-In%B./(x)=5
2
c./(%)=--D./(X)=3M
X
【答案】c
【詳解】對(duì)于A,因?yàn)閥=lnx在(0,+8)上單調(diào)遞增,>=一》在(0,+8)上單調(diào)遞減,
所以〃x)=-lnx在(0,+巧上單調(diào)遞減,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,因?yàn)閥=2,在(0,+“)上單調(diào)遞增,y=:在(0,+")上單調(diào)遞減,
所以〃x)=:在(0,+“)上單調(diào)遞減,故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,因?yàn)閥=(在(0,+。)上單調(diào)遞減,》=-%在(0,+8)上單調(diào)遞減,
所以〃無(wú))=-5在(0,+。)上單調(diào)遞增,故C正確;
對(duì)于D,因?yàn)?=3切=3、右,〃1)=3卜1=3°=1,〃2)=尹=3,
顯然〃*=3只在(0,+。)上不單調(diào),D錯(cuò)誤.
故選:C.
1
2.(2022.北京?高考真題)已知函數(shù)/(x)則對(duì)任意實(shí)數(shù)X,有()
1+2,
A./(-%)+/(%)=0B./(-x)-/(x)=0
D./(-x)-/(x)-1
C./(-尤)+/(》)=1
【答案】C
【詳解】〃T)+〃X)=------1------------1-----故A錯(cuò)誤,C正確;
l+2-xl+2x\+2xl+2x
/(-x)-/(x)=^-1__127_]_2
r不是常數(shù),故BD錯(cuò)誤;
1+2"1+2"-1+2"2X+1~2X+1
故選:C.
3.(2022.北京.高考真題)在北京冬奧會(huì)上,國(guó)家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰
技術(shù),為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和母尸的關(guān)系,其中T
表示溫度,單位是K;尸表示壓強(qiáng),單位是bar.下列結(jié)論中正確的是()
A.當(dāng)T=220,P=1026時(shí),二氧化碳處于液態(tài)
B.當(dāng)T=270,尸=128時(shí),二氧化碳處于氣態(tài)
C.當(dāng)7=300,尸=9987時(shí),二氧化碳處于超臨界狀態(tài)
D.當(dāng)7=360,P=729時(shí),二氧化碳處于超臨界狀態(tài)
【答案】D
【分析】根據(jù)T與尼尸的關(guān)系圖可得正確的選項(xiàng).
【詳解】當(dāng)T=220,尸=1026時(shí),坨尸>3,此時(shí)二氧化碳處于固態(tài),故A錯(cuò)誤.
當(dāng)T=270,P=128時(shí),2<lgP<3,此時(shí)二氧化碳處于液態(tài),故B錯(cuò)誤.
當(dāng)T=300,P=9987時(shí),IgP與4非常接近,故此時(shí)二氧化碳處于固態(tài),對(duì)應(yīng)的是非超臨界狀態(tài),故C錯(cuò)
誤.
當(dāng)T=360,尸=729時(shí),因2<lgP<3,故此時(shí)二氧化碳處于超臨界狀態(tài),故D正確.
故選:D
4.(2021?北京?高考真題)已知/(無(wú))是定義在上[0」的函數(shù),那么“函數(shù)/(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,是“函數(shù)/(尤)
在上的最大值為了⑴”的()
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】利用兩者之間的推出關(guān)系可判斷兩者之間的條件關(guān)系.
【詳解】若函數(shù)在[0』上單調(diào)遞增,則“X)在[0』上的最大值為了⑴,
若在[0』上的最大值為"1),
比如=,
但〃尤)=1-:2在0,1為減函數(shù),在1,1為增函數(shù),
故在[0』上的最大值為了⑴推不出“X)在[0,1]上單調(diào)遞增,
故“函數(shù)在[0』上單調(diào)遞增”是““X)在[0川上的最大值為了⑴”的充分不必要條件,
故選:A.
5.(2020?北京?高考真題)已知函數(shù)/(為=2丁無(wú)一1,則不等式/。)>。的解集是().
A.(-K1)B.(^?,-l)U(l,+°o)
C.(0,1)D.(-co,0)0(1,+?))
【答案】D
【分析】作出函數(shù),=2工和y=x+l的圖象,觀察圖象可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?(x)=2,—x—1,所以/(x)>。等價(jià)于2、>x+l,
在同一直角坐標(biāo)系中作出y=2,和y=x+l的圖象如圖:
兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),(1,2),
不等式2工>x+l的解為尤<0或x>L
所以不等式/(尤)>0的解集為:(F,0)D(LE).
故選:D.
6.(2023?北京?高考真題)已知函數(shù)/(x)=4'+log2X,貝k]£|=_________..
【答案】1
【詳解】函數(shù)/(x)=4,+log2無(wú),所以/(g)=4,k)g2g=2-1=1.
故答案為:1
x+2,x<-a,
7.(2023?北京?高考真題)設(shè)。>0,函數(shù)/(x)=<da-4x4a,,給出下列四個(gè)結(jié)論:
-\[x-1,x>a.
①f(x)在區(qū)間(a-1,+s)上單調(diào)遞減;
②當(dāng)時(shí),/(幻存在最大值;
③設(shè)加(再,/(占))(占<4)小(尤2,/(々))(尤2>4),貝"MN|>1;
④設(shè)人馬/卜川馬一口久期/小))?"。).若IPQI存在最小值,則4的取值范圍是.
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.
【答案】②③
【詳解】依題意,。>0,
當(dāng)x<-a時(shí),/(x)=x+2,易知其圖像為一條端點(diǎn)取不到值的單調(diào)遞增的射線;
當(dāng)-aWxWa時(shí),f(x)=^a2-x2,易知其圖像是,圓心為(0,0),半徑為。的圓在x軸上方的圖像(即半圓);
當(dāng)為>。時(shí),f(x)=-?-l,易知其圖像是一條端點(diǎn)取不到值的單調(diào)遞減的曲線;
顯然,當(dāng)xe(a-l,+8),即時(shí),在上單調(diào)遞增,故①錯(cuò)誤;
對(duì)于②,當(dāng)。21時(shí),
當(dāng)工<一〃時(shí),/(X)=X+2<-?+2<1;
當(dāng)-時(shí),/(X)=心"顯然取得最大值。;
當(dāng)x>a時(shí),y(x)=—y/x—1<—\[ct-1V—2,
綜上:八元)取得最大值。,故②正確;
對(duì)于③,結(jié)合圖像,易知在玉=。,々>。且接近于*處,加(石,/(%))(大(a),N(X2,/(X2》(X2>。)的距
離最小,
當(dāng)士=a時(shí),j=/(^)=0,當(dāng)3>a且接近于x=a處,y2=/(x2)<-V?-l,
此時(shí),|施7|>%-%>6+1>1,故③正確;
因?yàn)槭?8/(馬》(馬<-a),2(x4,/(x4))(x4>-a),
結(jié)合圖像可知,要使|尸。取得最小值,貝U點(diǎn)尸在〃x)=x+2(x<-gj上,點(diǎn)。在
同時(shí)忸。|的最小值為點(diǎn)。到/⑺=x+2卜<-的距離減去半圓的半徑a,
此時(shí),因?yàn)?(x)=y=x+2[x<-^|的斜率為1,則%,=-1,故直線。尸的方程為》=一》,
(y=-%fx——1/、
聯(lián)立C,解得,,則尸-1,1),
白=尤+2[y=l
顯然尸(一1,1)在/("=x+2〔尤<-g]上,滿足|尸。|取得最小值,
即a=g也滿足|尸。|存在最小值,故0的取值范圍不僅僅是,故④錯(cuò)誤.
故答案為:②③.
8.(2022?北京?高考真題)函數(shù)/(無(wú))=1+71=7的定義域是
【答案】(y,o)u(o』
【詳解】解:因?yàn)椤▁)=B+^/i=,所以l-x>0
"。‘解得E且"0,
故函數(shù)的定義域?yàn)椋▂,o)u(o』
故答案為:(7),0)口(0』
9.(2020?北京?高考真題)函數(shù)/。)=2+ln尤的定義域是_________.
X+1
【答案】(。,+8)
-fx>0
【詳解】由題意得?八,.”>0
[x+1^0
故答案為:(0,+s)
-ax+1,x<a,
10.(2022?北京?高考真題)設(shè)函數(shù)/(尤)=/八2若了⑺存在最小值,則a的一個(gè)取值為_(kāi)______;
(x-2),x>a.
a的最大值為.
【答案】0(答案不唯一)1
1,x<0
【詳解】解:若。=0時(shí),fM=[.?./(X)疝=o;
(x-2),x>0n
若a<0時(shí),當(dāng)x<a時(shí),/(x)=-ax+l單調(diào)遞增,當(dāng)xf-oo時(shí),/(x)f_oo,故/(x)沒(méi)有最小值,不符合題
目要求;
若a>0時(shí),當(dāng)無(wú)時(shí),f(x)=-方+1單調(diào)遞減,f(x)>f{d)=-a2+1,
0(0<a<2)
222
當(dāng)時(shí),/U)={.c、2,、c、A-a+l>0^-a+l>(a-2),
mm(a-2){a>2)
解得。<a?l,綜上可得OVaVl;
故答案為:0(答案不唯一),1
11.(2024.北京?高考真題)生物豐富度指數(shù)1=片是河流水質(zhì)的一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo),其中S,N分別表示河流
中的生物種類(lèi)數(shù)與生物個(gè)體總數(shù).生物豐富度指數(shù)d越大,水質(zhì)越好.如果某河流治理前后的生物種類(lèi)數(shù)S沒(méi)
有變化,生物個(gè)體總數(shù)由M變?yōu)樯?生物豐富度指數(shù)由2.1提高到3.15,則()
A.3憶=2乂B.2N[=3N\
C.N;=N;D.N;=N;
【答案】D
S—]S—1
【詳解】由題意得二=2/,1^=3」5,則2.11nM=3.151nN2,即21nM=31nN?,所以N;=N;.
11JL/V]JL1JL/V2
故選:D.
12.(2024?北京?高考真題)已知(國(guó),必),(%,%)是函數(shù)>=2'的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn),貝I()
A.log^±A<A±^B.log,江—三
222-22
C.log?X;%<%+/D.log?%%>4+無(wú)2
【答案】B
【詳解】由題意不妨設(shè)%<%,因?yàn)楹瘮?shù)y=2,是增函數(shù),所以0<2%<29,即。<%<力,
XX+X
2』,221--------------------l2v_1_v再+-2
2
對(duì)于選項(xiàng)AB:可得>J2%?=2=,即X±A>22>o,
22
根據(jù)函數(shù)V=log2X是增函數(shù),所以log221戶>logz2=="生,故B正確,A錯(cuò)誤;
對(duì)于選項(xiàng)D:例如玉—0,x2=1,則%=1,丫2=2,
可得log?%;%=log2e(a1),即log?%;%<]=&+二,故D錯(cuò)誤;
對(duì)于選項(xiàng)C:例如X]=-1,々=-2,則%=:,%=;,
n:Wlog2=log2j=log23-3e(-2,-1),即log?>一3=占+%,故C錯(cuò)誤,
2X2
故選:B.
0
〃「核心靖進(jìn)懶型突破\\
題型一:函數(shù)定義域、值域、解析式
【典例1」】函數(shù)/)=有的定義域?yàn)椋?/p>
A.(0,+oo)B.(0,l)u(l,4w)
C.[0,+oo)D.[0,l)u(l,+w)
【答案】B
?fx>0,
【詳解】由題意得:八得]>0且"1,
所以函數(shù)的定義域?yàn)椋∣,l)D(l,y),
故選:B
【典例1-2】已知函數(shù)/仁)=宜},則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,函數(shù)/(X)的值域是()
A.(0,2)B,(0,2]C.[0,2)D.[0,2]
【答案】C
【詳解】依題意,〃>笥手=2-高
所以函數(shù)/(X)的值域是[0,2).
故選:C
定義域:(D確定函數(shù)定義域的原則①當(dāng)函數(shù)是以解析式的形式給出時(shí),其定義域就是使函數(shù)解析式
有意義的自變量的取值的集合.具體地講,就是考慮分母不為零,偶次根號(hào)的被開(kāi)方數(shù)、式大于或等于零,
零次基的底數(shù)不為零以及我們?cè)诤竺鎸W(xué)習(xí)時(shí)碰到的所有有意義的限制條件
②當(dāng)函數(shù)是由實(shí)際問(wèn)題給出時(shí),其定義域不僅要考慮使其解析式有意義,還要有實(shí)際意義
③當(dāng)函數(shù)用表格給出時(shí),函數(shù)的定義域是指表格中實(shí)數(shù)x的集合
(2)求函數(shù)的定義域,一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問(wèn)題,注意定義域是一個(gè)集合,其結(jié)果必
須用集合或區(qū)間來(lái)表示
值域:實(shí)際上求函數(shù)的值域是個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題,雖然給定了函數(shù)的定義域及其對(duì)應(yīng)法則以后,值域
就完全確定了,但求值域還是特別要注意講究方法,常用的方法有觀察法、配方法、判別式法、換元法、
求函數(shù)的值域沒(méi)有通用的方法和固定的模式,除了上述常用方法外,還有最值法、數(shù)形結(jié)合法等.總之,
求函數(shù)的值域關(guān)鍵是重視對(duì)應(yīng)法則的作用,還要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s
解析式:(1)解析式類(lèi)型已知的,如
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