函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)【九大題型】（原卷版）

專題5.1函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)【九大題型】

【浙教版】

衣

型

L題1

r1常量與變量的確定】……

型

k題2

r2函數(shù)的概念】.........

型

k題3

r3用描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)的圖像】

型

k題6

r4自變量取值范圍的確定】

型

k題6

r函數(shù)的解析式的確定】..

型5

k題7

r函數(shù)圖像的識(shí)別】....

型

題7

k

型

r題8從函數(shù)的圖像獲取信息】

k10

9動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象】..

【知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的概念】

一般地，在某一變化過(guò)程中有兩個(gè)變量X與y,如果給定一個(gè)x值，相應(yīng)地就確定了一

個(gè)y值，那么我們稱y是X的函數(shù)，其中X是自變量，y是因變量。

注意：要判斷一個(gè)關(guān)系式是不是函數(shù)，首先看這個(gè)變化過(guò)程中是否只有兩個(gè)變量，其

次看每一個(gè)x的值是否對(duì)應(yīng)唯一確定的y值.

【知識(shí)點(diǎn)2求函數(shù)的值】

（1）當(dāng)已知函數(shù)解析式時(shí)，求函數(shù)值就是求代數(shù)式的值；函數(shù)值是唯一的，而對(duì)應(yīng)的自

變量可以是多個(gè).（2）函數(shù)表達(dá)式中只有兩個(gè)變量，給定一個(gè)變量的值，將其代入函數(shù)表達(dá)

式即可求另一個(gè)變量的值，即給自變量的值可求函數(shù)值，給函數(shù)值可求自變量的值.

【題型1常量與變量的確定】

【例1】（2022春?婁星區(qū)期末）下列說(shuō)法不正確的是（）

A.正方形面積公式S=02中有兩個(gè)變量：S,a

B.圓的面積公式5=兀，中的兀是常量

C.在一個(gè)關(guān)系式中，用字母表示的量可能不是變量

D.如果a=b,那么a,b都是常量

【變式1-1]（2022春?鄂邑區(qū)期末）大家知道，冰層越厚，所承受的壓力越大，這其中自

變量是,因變量是.

【變式1-2]（2022春?硯山縣校級(jí)期中）某水果店賣出的香蕉數(shù)量（千克）與售價(jià)（元）

之間的關(guān)系如表：

數(shù)量（千克）0.511.522.533.5

售價(jià)（元）1.534.567.5910.5

上表反映了一個(gè)變量之間的關(guān)系，其中，自變量是;因變量是

【變式1-3]（2022?莘縣校級(jí)月考）某電信公司提供了一種移動(dòng)通訊服務(wù)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，如

下表:

項(xiàng)目月基本服務(wù)費(fèi)月免費(fèi)通話時(shí)間超出后每分收費(fèi)

標(biāo)準(zhǔn)40元150分0.6元

（40（0<%<150）

則每月話費(fèi)y（元）與每月通話時(shí)間x（分）之間有關(guān)系式、，二、，在

（0.6%—50（x>150）

這個(gè)關(guān)系式中，

14.變量x,y之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表所示：

X-3-2-10123

y105212510

請(qǐng)你判斷y是x的函數(shù)嗎？x是y的函數(shù)嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由.

【題型2函數(shù)的概念】

【變式2-1]（2022春?紅谷灘區(qū)校級(jí)期末）下面每個(gè)選項(xiàng)中給出了某個(gè)變化過(guò)程中的兩個(gè)

變量x和y,其中y不是x的函數(shù)的選項(xiàng)是（）

A.y：正方形的面積，無(wú)：這個(gè)正方形的周長(zhǎng)

B.j：某班學(xué)生的身高，x：這個(gè)班學(xué)生的學(xué)號(hào)

C.y：圓的面積，尤：這個(gè)圓的直徑

D.y：一個(gè)正數(shù)的平方根，X：這個(gè)正數(shù)

【變式2-2］（2022?長(zhǎng)安區(qū)期末）老師讓同學(xué)們舉一個(gè)y是x的函數(shù)的例子，同學(xué)們分別用

表格、圖象、函數(shù)表達(dá)式列舉了如下4個(gè)x、y之間的關(guān)系：（其中左，6為常量）

其中y一定是x的函數(shù)的是.（填寫(xiě)所有正確的序號(hào)）

【變式2-3］（2022春?漢陰縣期末）變量x,y有如下關(guān)系：①x+y=10,②|y|=x,③y=|x

-3|,@/=8x.其中y是x的函數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)的圖象】

把一個(gè)函數(shù)的自變量x的值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)y的值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，在直

角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做這個(gè)函數(shù)的圖像，用圖像表示的

函數(shù)關(guān)系，更為直觀和形象.

【題型3用描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)的圖像】

［例3］（2022春?鎮(zhèn)平縣月考）某班數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)函數(shù)>=二+等的圖象與性質(zhì)進(jìn)行

了探究，探究過(guò)程如下，請(qǐng)補(bǔ)充完整.

（1）函數(shù)尸W+等的自變量X的取值范圍是一

（3）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，描出了以上表格中各組對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，請(qǐng)根據(jù)描

出的點(diǎn)，畫(huà)出該函數(shù)的圖象，試寫(xiě)出該函數(shù)的一條性質(zhì).

y

1--------r—「15-----------1------------1

?111

?111

1--------r—--------r------t-------1

I111

I?;■

1--------卜—卜——T3———

1?

1111

（乙

111

111

1_____L___L--：一______1______J

111

1111

1111

3

十1Ii

?1??

111??

i--------r~~1]

??11I?

??1??

?----------r——----------F------1

???111

??111

【變式3-1]（2022春?廣饒縣期末）某造紙廠每小時(shí)造紙1.5噸，2小時(shí)、3小時(shí)……各造

紙多少噸？

（1）把下表填寫(xiě)完整，在①②③處填寫(xiě)相應(yīng)數(shù)值.

造紙時(shí)間/時(shí)1234..............

造紙噸數(shù)/噸1.5?—②—③—..............

（2）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，在圖中描出造紙時(shí)間和造紙噸數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，再把它們連起來(lái).

（3）根據(jù)圖象判斷，5小時(shí)造紙多少噸？

【變式3-2]（2022春?梁平區(qū)期末）小奧根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y=：+|的圖象進(jìn)

行了探究.下面是小奧的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：

在下面的格點(diǎn)圖中，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy,描出上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的

點(diǎn)（其中x為橫坐標(biāo)，y為縱坐標(biāo)），并根據(jù)描出的點(diǎn)畫(huà)出該函數(shù)的圖象.

問(wèn)題情境：有這樣一個(gè)問(wèn)題：探究函數(shù)>=工+1的圖象與性質(zhì).小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)

JX

驗(yàn)，對(duì)函數(shù)丫=工+1的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究.

JX

問(wèn)題解決：下面是小明的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：

(1)函數(shù)丫=工+1的自變量尤的取值范圍是；

/X--------------

(2)表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)值.

...-4-3-2-1-mm1234???

rz321345

…0-132…

432234

求相的值；

(3)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，描出了以上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，根據(jù)描出的

點(diǎn)，畫(huà)出該函數(shù)的圖象.

(4)結(jié)合函數(shù)的圖象，寫(xiě)出該函數(shù)的性質(zhì)(兩條即可).

5-

4-

3-?

2-?.

???1-***

_?__?__?__------1_?__?__?__

-5-4-3-2-1012345x

-3-

-4-

-5-

【題型4自變量取值范圍的確定】

【例4】（2022春?扶溝縣期末）函數(shù)y=匡中自變量尤的取值范圍是（）

，7x+3

A.x>-3B.-3C.xV-3D.-3

【變式4-1］（2022春?昌平區(qū)期末）函數(shù)y=含中，自變量x的取值范圍是（）

A.x<lB.x>lC.xWlD.xWO

【變式4-2］（2022?渠縣一模）函數(shù)>=在自變量的取值范圍是x>0.

JX------------

【變式4-3］（2022?杭州模擬）已知〃（x,y）在函數(shù)y=-*-I的圖象上，那么點(diǎn)尸

應(yīng)在平面直角坐標(biāo)系中的（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【題型5函數(shù)的解析式的確定】

【例5】（2022?金牛區(qū)校級(jí)期中）一根長(zhǎng)度為3OC7W的彈簧，一端固定.如果另一端掛上物

體，在正常的彈性限度內(nèi)，所掛物體質(zhì)量每增加1依時(shí)，彈簧長(zhǎng)度增加2c如完成下列

問(wèn)題：

①當(dāng)掛物體重3版時(shí)，彈簧總長(zhǎng)度為cm；

②在正常的彈性限度內(nèi)，如果用x表示所掛物體質(zhì)量（單位依），那么彈簧的總長(zhǎng)度是

多少厘米？

③在正常的彈性限度內(nèi)，若彈簧的總長(zhǎng)度為40c7”，那么它掛的物體質(zhì)量是多少千克？

【變式5-1］（2022春?文山州期末）某種洗衣機(jī)在洗滌衣服時(shí)，經(jīng)歷了進(jìn)水、清洗、排水、

脫水四個(gè)連續(xù)的過(guò)程，其中進(jìn)水、清洗、排水時(shí)洗衣機(jī)中的水量y（升）與時(shí)間x（分鐘）

之間的關(guān)系如折線圖所示.根據(jù)圖象解答下列問(wèn)題：

（1）在這個(gè)變化過(guò)程中，自變量和因變量分別是什么？

（2）洗衣機(jī)的進(jìn)水時(shí)間是多少分鐘？清洗時(shí)洗衣機(jī)中水量為多少升？

（3）己知洗衣機(jī)的排水速度為每分鐘18升，求排水時(shí)洗衣機(jī)中的水量y（升）與時(shí)間x

（分鐘）之間的關(guān)系式.

1y/升

40L—-；--------------,

0

415工/分鐘

【變式5-2］（2022?莘縣校級(jí)月考）為了加強(qiáng)公民節(jié)水意識(shí)，合理利用水資源，某市自來(lái)

水公司對(duì)每戶用水量進(jìn)行了分段計(jì)費(fèi)，每戶每月用水量在規(guī)定立方米及以下的部分和超

出部分標(biāo)準(zhǔn)不同.下表反映的是小亮家1-4月份用水量與應(yīng)交水費(fèi)情況:

月份1234

用水量（加）681012

費(fèi)用（元）9121824

小亮家12月份用水初？（12月份用水量超過(guò)規(guī)定用水量），應(yīng)交水費(fèi)y元，則y關(guān)于x

的函數(shù)關(guān)系式是.

【變式5-3］（2022?鄲都區(qū)模擬）如圖，在矩形中截取兩個(gè)相同的圓作為圓柱的上下底面，

剩余的矩形作為圓柱的側(cè)面，剛好能組合成圓柱.設(shè)矩形的長(zhǎng)和寬分別為y和x,則因變

【題型6求自變量的值或函數(shù)值】

［例6］（2022春?南岸區(qū)期末）地表以下巖層的溫度y（℃）隨著所處深度尤（km）的變

化而變化，在某個(gè)地點(diǎn)y與x之間的關(guān)系可以近似地用關(guān)系式y(tǒng)=35x+20來(lái)表示，也可

用表格表示，其中表格的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示，則其中的機(jī)，〃分別是（）

x/℃124m910

y/km55n160230335370

A.m=1,n=70B.m=6,n=70C.m=1,n=90D.m=6,n=9Q

【變式6-1］（2022春?雙陽(yáng)區(qū)月考）已知函數(shù)丫=老中，當(dāng)x=o時(shí)的函數(shù)值為1,試求a

的值為.

【變式6-2］（2022春?微山縣期末）已知函數(shù)y=",二、，當(dāng)尤=-2時(shí)，函數(shù)值y

14%（%〈0）

為.

【變式6-3］（2022?江漢區(qū)校級(jí)月考）設(shè)/（x）表示關(guān)于無(wú)的函數(shù)，若fGn+n）=f（m）

+f（n）+詈，且/（6）=3,那么/（5）=.

【題型7函數(shù)圖像的識(shí)別】

【例7】（2022春?芝景區(qū)期末）如圖，將一個(gè)圓柱形的空玻璃杯放入形狀相同的無(wú)水魚(yú)缸

內(nèi)，看作一個(gè)容器.然后對(duì)準(zhǔn)玻璃杯口勻速注水，在注水過(guò)程中，杯底始終緊貼魚(yú)缸底

部，則下面可以近似地刻畫(huà)出容器最高水位/?與注水時(shí)間r之間的變化情況的是（

【變式7-1]（2022?雅安）一輛公共汽車從車站開(kāi)出，加速行駛一段后開(kāi)始勻速行駛.過(guò)

了一段時(shí)間，汽車到達(dá)下一個(gè)車站.乘客上、下車后汽車開(kāi)始加速，一段時(shí)間后又開(kāi)始

勻速行駛.下面的哪一幅圖可以近似地刻畫(huà)出汽車在這段時(shí)間內(nèi)的速度變化情況（）

【變式7-2]（2022?廣陵區(qū)一模）如圖，物理課上，老師將掛在彈簧測(cè)力計(jì)下端的鐵塊完

全浸沒(méi)在水中，然后緩慢勻速向上提起（不考慮水的阻力），直至鐵塊完全露出水面一

定高度，則下圖能反映彈簧測(cè)力計(jì)的讀數(shù)y（單位：N）與鐵塊被提起的高度x（單位：

cm）之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）

【變式7-3]（2022春?章丘區(qū)期末）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形A8CD中，點(diǎn)E、G分別

是邊C。和8c的中點(diǎn)，點(diǎn)/為

正方形中心，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A-O-E-pfG-B的路線繞多邊形的邊勻速運(yùn)動(dòng)

到點(diǎn)8時(shí)停止（不含點(diǎn)A和點(diǎn)B）,則的面積S隨著時(shí)間f變化的函數(shù)圖象大致是

【題型8從函數(shù)的圖像獲取信息】

【例8】（2022春?呼和浩特期末）已知張強(qiáng)家、體育場(chǎng)、文具店在同一直線上.如圖的圖

象反映的過(guò)程是：張強(qiáng)從家跑步去體育場(chǎng)，在那里鍛煉了一陣后又走到文具店去買筆，

然后散步走回家.圖中x表示時(shí)間，y表示張強(qiáng)離家的距離.則下列說(shuō)法正確的是（）

B.體育場(chǎng)離文具店4千米

C.張強(qiáng)在文具店逗留了15分

D.張強(qiáng)從文具店回家的平均速度是4千米/分

【變式8-11（2022?開(kāi)州區(qū)模擬）如圖是自動(dòng)測(cè)溫儀記錄的圖象，它反映了某市的春季某

天氣溫T如何隨時(shí)間t的變化而變化.下列從圖象中得到的信息錯(cuò)誤的是（）

B.14點(diǎn)到24點(diǎn)之間氣溫持續(xù)下降

C.0點(diǎn)到14點(diǎn)之間氣溫持續(xù)上升

D.14點(diǎn)時(shí)氣溫達(dá)最高是8℃

【變式8-2］（2022?石家莊二模）如圖（1）是兩圓柱形聯(lián)通容器（聯(lián)通外體積忽略不計(jì)）.向

甲容器勻速注水，甲容器的水面高度h（cm）隨時(shí)間t（分）之間的函數(shù)關(guān)系如圖（2）

所示，根據(jù)提供的圖象信息，若甲的底面半徑為則乙容器底面半徑為（）

（1）（2）

A.5cmB.4cmC.3cmD.2cm

【變式8-3］（2022?恭江區(qū)期末）小強(qiáng)和爺爺去爬山，爺爺先出發(fā)一段時(shí)間后小強(qiáng)再出發(fā)，

途中小強(qiáng)追上了爺爺并最終先爬到山頂，兩人所爬的高度及（米）與小強(qiáng)出發(fā)后的時(shí)間f

（分鐘）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，下列結(jié)論正確的是（