河南省南陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)1月期末考試 數(shù)學(xué)試卷

2024年秋期高中二年級(jí)期終質(zhì)量評(píng)估

數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.考生做題時(shí)將答案答在答題卡的指定位置上，在本試卷上答題無(wú)效.

2.答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

3.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆

書(shū)寫(xiě)，字體工整，筆跡清楚.

4.請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效.

5.保持卷面清潔，不折疊、不破損.

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.）

1.直線的傾斜角為（）

A.45°B.135°C.90cD.不存在

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)已知直線方程確定傾斜角即可.

【詳解】因?yàn)橹本€x=l與x軸垂直，所以傾斜角為90c.

故選：C

（北師大選擇性必修一第140頁(yè)A組第3題）

2.若/一a,且7=[2,沉,1]為直線/的一個(gè)方向向量，n=|1,-4.'為平面a的一個(gè)法向量，則相的值

為（）

A.-4B.-6C.-8D.8

【答案】C

【解析】

【分析】由題意〉G,利用空間向量共線的坐標(biāo)表示求參數(shù)值.

2_m_1

【詳解】由題意知7G,即1=二=7,解得附=-8.

故選：c

第1頁(yè)/共19頁(yè)

3.已知圓心:|*+1「+(.|，+1「=2，圓。2：丁+.『-4'-4'=()，則兩圓的公切線條數(shù)為()

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】

【分析】確定兩圓的位置關(guān)系后可得公切線條數(shù).

【詳解】圓G標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2/+(.i，-2)'=8,

則已知兩圓圓心分別為C,(-1,-1),0(2,2),半徑分別為V2,20,

圓心距為儲(chǔ)仁I=J(2+lf+(2+T=3應(yīng)=應(yīng)+2應(yīng)，

因此兩圓外切，它們有三條公切線，

故選：B.

4.已知事件A,B互斥，P(月U8)=：,且P(，)=2Pl8),則尸(與)=()

7451s

A.77B.-C.-rD.—

991818

【答案】A

【解析】

2

【分析】由互斥事件的加法及已知可得?(8)=再由對(duì)立事件概率求法求產(chǎn)(月).

242

【詳解】因?yàn)镻(4U8)=P(/)+P(B)=T且P(/)w2P(8),所以P(4)=§,P(a)=§,

一27

所以P(5)=1-P(8)=1-5=3.

故選：A

5.一批電阻的阻值X(單位：Q)服從正態(tài)分布N(1000,5：］,根據(jù)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，概率低于0.003視為小概

率事件，現(xiàn)從甲、乙兩箱成品中各隨機(jī)抽取一個(gè)電阻，測(cè)得阻值分別為1011。和982Q,則下列結(jié)論正確

的是()

A,甲、乙兩箱電阻均可出廠B.甲、乙兩箱電阻均不可出廠

C.甲箱電阻可出廠，乙箱電阻不可出廠D.甲箱電阻不可出廠，乙箱電阻可出廠

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)定義結(jié)合正態(tài)分布的概率得出結(jié)論.

第2頁(yè)/共19頁(yè)

【詳解】依題意x~N（1000,5）,所以胃=1000"=5,

所以4-3。=1000-IS=985,p+3。=1000+15=1015,[/!-3。/+3。]=[985,1015],

H^;101le[985,1015],982g[985,1015|,

所以甲箱電阻可出廠，乙箱電阻不可出廠.

故選：C.

6.二面角的棱上有A、B兩點(diǎn)，直線AC、8。分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB,已知

48=；■!（'=3,8D二-.CD=6,則該二面角的余弦值為（）

【答案】D

【解析】

【分析】由1萬(wàn)二C'.1.1。-BD,應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及已知可得充?而=-g,即可求二面角余弦

值.

【詳解】由而=”+行+環(huán)，且1C1IO,

得而：=（有+茄+茄尸=百，而'+而，+2百布+2布?而+2行?麗，

故36=9+4+16+0+0+2CA-BDnCA-BD=—,即AC-BD=——,

--77

所以3M=倩讖_2__2_＞即二面角的余弦值為一百

3x4=2424

故選：D

7.用1,2,3,4,5,6這六個(gè)數(shù)組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，則在數(shù)字1,3相鄰的條件下，數(shù)字2,4也相

鄰的概率為（）

【答案】B

第3頁(yè)/共19頁(yè)

【解析】

【分析】應(yīng)用排列數(shù)及條件概率公式求條件概率即可.

【詳解】記“數(shù)字1,3相鄰”為事件A,“數(shù)字2,4也相鄰”為事件8,

貝1」/力）=牛1,p（48）=然豈，所以2團(tuán)/）=與警=；

A?A?A2A§5

故選：B

r*v*

8.已知片,后分別是雙曲線一T-二=1＜。＞0,6＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)「的直線分別交

?■b

雙曲線左、右兩支于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，希=3曰.86平分4到漸近線的距離為卡，

則雙曲線的方程為（）

，，，，，，，

.廣廠1X*廠，X*廠，，.

A.-----IB.--=1C.-----=1D.x*—--1

7656366

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)已知有記/亮~A￡BC,|K目=2c,|C&=4c,設(shè)悶|=f,則|叫|=3448|=2/,結(jié)合

角平分線的性質(zhì)、雙曲線的定義得到的尼=|.4?；|=|JBI=4a,在中應(yīng)用余弦定理得到雙曲線參數(shù)

的關(guān)系，即可得方程.

【詳解】如圖fG=3F.J,易知~A"8C,出入|=2c,|C6|=4c,

\BC\|F,Cl

由",平分"酢=局=闔=2則|BC|=2\BF]\=6rJ4FJ=1|5C|=2/,

由雙曲線定義知|/瑪=f=2。,|M|-|8￡j=2a,

所以|"J=?FJ=|/M=4a,gpZilF,?6。。，

第4頁(yè)/共19頁(yè)

忻8『+優(yōu)廢-|6曰［(6療+(4力-(24_1

在中cos/F/E化簡(jiǎn)得c=々a,

2陽(yáng)B|F026a4a~2

由?得，半，居到漸近線的距離為#,則上―亞

所以。=6,4=1,故雙曲線的方程為：V-I.

6

故選：D

二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.）

9.關(guān)于的展開(kāi)式，下列說(shuō)法中正確的是（)

A.各項(xiàng)系數(shù)之和為1B.第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等

C.常數(shù)項(xiàng)為15D.有理項(xiàng)共有4項(xiàng)

【答案】CD

【解析】

【分析】賦值法求二項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)之和判斷A；由二項(xiàng)式系數(shù)定義求對(duì)應(yīng)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)判斷B；應(yīng)用二

項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)求常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)判斷C、D.

【詳解】對(duì)于A,令、=1時(shí)，則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為0,錯(cuò)誤;

6x5x4

對(duì)于B,第二項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)C=6,第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C：=丁三一=20,第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系

3x2x1

數(shù)不相等，錯(cuò)誤；

—X展開(kāi)式的通項(xiàng)為C：（七）(-X)'=(-l)'C；x"2,(r=0,1,….6),

對(duì)于C,

令-3+，?=（）,得-2,展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為正確;

對(duì)于D,當(dāng)r=Q.2,L6時(shí)，-3+：eZ,所以展開(kāi)式的有理項(xiàng)共有4項(xiàng)，正確.

故選：CD

23

10.某同學(xué)投籃兩次，第一次命中率為三.若第一次命中，則第二次命中率為:；若第一次未命中，則第

34

二次命中率為g.記=L2j為第z?次命中，x為命中次數(shù)，貝IJ（）

第5頁(yè)/共19頁(yè)

2443

A.FlI>B,E(X)=；C.D(X)=-D.P(4J4)=T

3394

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用全概率公式及貝葉斯公式可判定A、D選項(xiàng)，利用期望與方差公式可判定B、C選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,易知P(%)=P(4)P(4|4+P4P卜,二十天彳=；，故A正確;

'1''34323

23

P(AiAy)?”43

對(duì)于D,易知P(4I4)=D'=-5=7,故D正確；

3

對(duì)于B、C,易知X可取。，則P(X=0]=?x：=!，尸(X=|)=§x；+!x!=!，

32634323

P\X=21="x-=—,所以E(Z￥)=OX，+1X!+2XL=±

3426323

xlfp-ijx-L=5故B正確；C錯(cuò)誤；

\*/ov3J3\3)L7

故選：ABD

11.如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體，48CD-中，o為3c和8。的交點(diǎn)，點(diǎn)N在線段上，

VC=2VD,E,尸分別為棱4〃和8「的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.若點(diǎn)P是線段X，上一動(dòng)點(diǎn)，則直線P8平面8C*

B.若點(diǎn)。是平面』；DD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足-鹿）8=/D0V,則點(diǎn)。的軌跡是拋物線

C.若點(diǎn)M為平面〔8D內(nèi)一點(diǎn)，且滿足0"-BD,則0M的最小值為呼

3

D.過(guò)線段8。且垂直于平面4石下的截面圖形為等腰梯形

【答案】ACD

【解析】

第6頁(yè)/共19頁(yè)

【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)易證平面，’8。平面BC*即可判斷A；由題意易得\,結(jié)合

己知有構(gòu)建坐標(biāo)系求點(diǎn)。的軌跡判斷B；AC與3。的交點(diǎn)為G,連接CG,先得到點(diǎn)M的軌

跡為線段C.G,并確定0M的最小值即。到直線C6的距離，應(yīng)用等面積法求結(jié)果判斷C；取I8.；。的

中點(diǎn)分別是X、T,根據(jù)已知證得0〃，平面4所，進(jìn)而得面8D77/1面4E尸，進(jìn)而確定截面形狀判

斷D.

【詳解】對(duì)于A,由正方體性質(zhì)知BDH與。，8。a面/〃，BRu面,

所以80面,叫〃，又/同理可證8（面.世〃

又8DC8c=8且都在面9C*內(nèi)，則平面?8/，平面,

又直線咫（=平面■18”，所以直線尸8平面BCH,正確；

對(duì)于B,由。N,面/凹4，u面4DR4,則DN1,即d'D0=9（1，,

又乙408=ND”，易知qD\'-@48,由于YC=2N。，則空=：，

\）A3

在面打出出構(gòu)建如下圖示的平面直角坐標(biāo)系,且DW,若0（t.n,

第7頁(yè)/共19頁(yè)

半徑為m的圓，錯(cuò)誤;

對(duì)于C,AC與2。的交點(diǎn)為G,連接C.G,

因?yàn)?。,面44cG，8Cu面8C*,所以面63。1面《力。q,交線為C|G，

所以點(diǎn)/的軌跡為線段CG,則的最小值即。到直線CG的距離，

當(dāng)Y。時(shí)，因?yàn)橐皇且私侨切?，所?G?(",=「(，-(〃/,

則""線彩=寥=給即的最小值為孚正確;

對(duì)于D,取』B.1!!的中點(diǎn)分別是反、T,由?！挂幻妗籔B",則.4〃是0〃在面」38上上的射影,

由￡是88的中點(diǎn)，則微=小，又44=/同，4B4="44=90。,

所以易得N4/￡4,+/￡44=90。，則￡W_L4E，

同理?！╛L4￡,J,￡c4尸=4都在面從上廠內(nèi)，所以/)〃一平面從上下，

而HT//80,則0〃u面8077/，故面面4所，

所以四邊形BOTH即所求截面，而DT=B"，故四邊形BOTH為等腰梯形，正確.

第8頁(yè)/共19頁(yè)

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)各項(xiàng)給定條件證明相關(guān)線面、面面平行或垂直，綜合幾何法、解析法確定動(dòng)點(diǎn)

的軌跡為關(guān)鍵.

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）

12.一個(gè)底面半徑為2圓柱被與其底面所成角是60c的平面所截，截面是一個(gè)橢圓，則該橢圓的離心率為

【答案】,

【解析】

【分析】根據(jù)題設(shè)可得橢圓的長(zhǎng)半軸為。=4,結(jié)合橢圓參數(shù)關(guān)系求。=2力，即可得離心率.

【詳解】因?yàn)榈酌姘霃綖镽的圓柱被與底面成60c的平面所截，其截口是一個(gè)橢圓,

R

則這個(gè)橢圓的短半軸為R2,長(zhǎng)半軸為4=-=7=4,且/>=2，

cos600

a2=b2+c2c--2'=2>/3,

.橢圓的離心率為e="=；

a42

故答案為：f

13.唐代詩(shī)人李顧詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣

的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，

第9頁(yè)/共19頁(yè)

怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)椤?JT?,若將軍從點(diǎn)出2,處出

發(fā)，河岸線所在直線方程為x+=3,并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，貝ij“將軍飲馬”的最

短總路程為.

【答案】上叵-1

5

【解析】

【分析】求出點(diǎn)川2.0|關(guān)于直線x+2r=3的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出8到圓上的點(diǎn)的距離最小值.

【詳解】設(shè)點(diǎn)川2,0）關(guān)于直線I+=3的對(duì)稱點(diǎn)8M餌，

：a~2b

AB的中點(diǎn)為|

\*?L

依題意即為點(diǎn)B到軍營(yíng)最短的距離,

所以“將軍飲馬，，的最短總路程為

4M

故答案為:

~~5~

14.甲乙兩人進(jìn)行一場(chǎng)抽卡游戲，規(guī)則如下：有編號(hào)I」.3.4,5,6.'的卡片各1張，兩人輪流從中不放回的

隨機(jī)抽取1張卡片，直到其中1人抽到的卡片編號(hào)之和等于12或者所有卡片被抽完時(shí)，游戲結(jié)束.若甲先抽

卡，求甲抽了3張卡片時(shí)，恰好游戲結(jié)束的概率是.

29

【答案】通

【解析】

第10頁(yè)/共19頁(yè)

【分析】依題意可知游戲結(jié)束時(shí)共抽取了5張卡片，甲抽取的三張卡片數(shù)字之和為12,乙抽取的兩張卡片

數(shù)字之和不為12,分別計(jì)算出所對(duì)應(yīng)的排列總數(shù)即可得出結(jié)論.

【詳解】根據(jù)題意可知甲抽了3張卡片時(shí)，恰好游戲結(jié)束相當(dāng)于從7張卡片中抽取了5張，

且甲抽取的三張卡片數(shù)字之和為12,乙抽取的兩張卡片數(shù)字之和不為12；

總的情況相當(dāng)于從7張卡片中抽取了5張并進(jìn)行全排列，即共6種排法；

其中三張卡片數(shù)字之和為12的組合有1.4.7；1、5,6；2,3,7；2,4,6；3,4.5共5種情況;

當(dāng)甲抽取的數(shù)字為L(zhǎng)4J；2,6；2,3,7；3,4,5時(shí),

乙在剩余的4個(gè)數(shù)字中隨意抽取兩張卡片再進(jìn)行排列，共有4A；A：種;

當(dāng)甲抽取的數(shù)字為2,L6時(shí),

若乙抽取的兩張卡片數(shù)字可能為5,7,此時(shí)不合題意，此時(shí)共有A；-A」種;

所以符合題意的排列總數(shù)為4A:A；+A：（A；-A：）種,

4A；A：+A；（A：-A；）4x6x12+6x10

58_29

可得所求概率為P=

A：7x6x5x4x37x5x4x3-110

故答案為：—

210

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于首先明確游戲結(jié)束時(shí)甲乙兩人抽取的卡片張數(shù)以及數(shù)字之和的所有情

況，再利用全排列公式計(jì)算出各種情況對(duì)應(yīng)的種類數(shù)可得結(jié)論.

四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）

15.直線/經(jīng)過(guò)兩直線（：x+2y-6=0和:2t—3.y+2=0的交點(diǎn).

（1）若直線/與直線+丫-2=°垂直，求直線/的方程；

（2）若直線/與圓（X+1）2+J；=9相切，求直線/的方程.

【答案】（1"-35+4=Q；

⑵x=2或-34=0.

【解析】

【分析】（1）求已知直線的交點(diǎn)，根據(jù)直線的垂直關(guān)系求直線方程即可；

（2）討論直線/的斜率存在性，結(jié)合直線與圓相切的性質(zhì)列方程求參數(shù)，即可得直線方程.

【小問(wèn)1詳解】

第11頁(yè)/共19頁(yè)

x+2v-6=0：X=2

由',、c，得＜,,，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為（22；

2x-3r+2=O,V=2

又直線/與直線3x+v-2=0垂直，設(shè)直線/的方程為一”一（.=（）,

將（2」I代入得C=4,所以直線I的方程為1-3.丫+4=Q.

【小問(wèn)2詳解】

當(dāng)直線I的斜率不存在時(shí)，直線/的方程為X=2,

此時(shí)圓心I1，°）到直線/的距離為3,等于圓的半徑，故直線/與圓相切，滿足題意；

當(dāng)直線/斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為「-2=Hi-,即上「-2；-2=Q,

,*2"2||3〃-2|,5

因?yàn)橹本€/與圓相切，所以圓心（-1.（））到直線/的距離"=J（_1/+,=*+/=3'解得女=一立，

此時(shí)直線/的方程為51?IN=0,

綜上所述，直線/的方程為'=2或5.-I?-34=I）.

（北師大選擇性必修一第129頁(yè)第4題）

16.己知：如圖，三角形ABC為正三角形，AE和CZ）都垂直于平面ABC,且」E=」8=2CD=2,F為

8E的中點(diǎn).

B

（1）求點(diǎn)8到平面AOF的距離；

（2）求平面與平面A8C所成銳二面角的正弦值.

【答案】（1）、萬(wàn)；

⑵孝

【解析】

【分析】（1）在平面ACQE內(nèi)，過(guò)點(diǎn)。向EA做垂線，垂足記為G,根據(jù)已知證明8E一平面AOF,則點(diǎn)B

到平面ADF的距離為線段3尸的長(zhǎng)，即可求距離.

第12頁(yè)/共19頁(yè)

(2)構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求面面角的正弦值.

【小問(wèn)1詳解】

在平面ACDE內(nèi)，過(guò)點(diǎn)D向EA做垂線，垂足記為G,又4E=2C0,

B

EG=,1E-CD=2-1=1.0G=JC=2,

在直角△DEG中，口E：在G--ni==JT,

在直角△8C。中，BD=4CD、BC，=71+4=yf5，

DEBD,又尸為BE的中點(diǎn)，

DF1BE,又AE=4B,則IFlBE,

JFHDF=FF.DFc平面ADF,

.BE1平面ADR即點(diǎn)B到平面A。尸的距離為線段的長(zhǎng)，

因?yàn)锽E=，AE工+//=h+22=2&*，所以BF=；BE=五.

小問(wèn)2詳解】

如圖，取AC的中點(diǎn)O,連接80,則

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，AO,2。分別為尤，y軸，過(guò)。作平行于AE的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(1,0叫,8(0,6,0b門(mén)-1,0,0),。卜1,(11),￡(1,0,2),

可得荏=(0,0,2),而=(1,-＞笈,2),方=(2,0,1),易知7F是平面ABC的一個(gè)法向量，

BEm=0jx->/3j+2z=0

設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量為m=(X,v,z),則

DEm|2x+z=0

令工=】，貝U卜=二=-2,所以=(1,-6,-2),貝()COS〈/E,M〉=

所以平面BDE與平面ABC所成銳二面角的正弦值為Jl-C0S、.I￡

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D

17.甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，每場(chǎng)比賽中，甲、乙各射擊一次，甲、乙每次至少射中8環(huán).根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料

可知，甲擊中8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)的概率分別為0.7,0.2,0.1,乙擊中8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)的概率分別為0.6,

0.2,0.2,且甲、乙兩人射擊相互獨(dú)立.

(1)在一場(chǎng)比賽中，求甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)的概率；

(2)若獨(dú)立進(jìn)行三場(chǎng)比賽，用X表示這三場(chǎng)比賽中甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)的場(chǎng)數(shù)，求X的分布列

與數(shù)學(xué)期望.

【答案】(1)0.2

(2)分布列見(jiàn)解析，fI,V)=*1.0

【解析】

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算得解.

(2)求出X的可能值，由(1)結(jié)合二項(xiàng)分布的概率求出分布列及期望.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)為事件A,

則事件A包括：甲擊中9環(huán)乙擊中8環(huán)，甲擊中10環(huán)乙擊中8環(huán)，甲擊中10環(huán)乙擊中9環(huán),

所以P3I=(1,2*0.6+(1.1＞：(1.6-(1.1-：(1,2=(1.2.

【小問(wèn)2詳解】

依題意，X的所有可能取值為0,1,2,3,

由(1)知，在一場(chǎng)比賽中，甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)的概率為0.2,則I、8(3.Q.2),

因此P(X=0)=C,x0.2°x(l-0.2)3=0.512,P(X=l)=C；x0.2x(l-0.2-=0.384,

P(X=2)=C；x0.22x(1-0.2)=0.096,尸(X=3)=C；xO.23x(l-0.2)°=0.008,

所以X的分布列為

X0123

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P0.5120.3840.0960.008

期望￡（I）=3x0.2=0.6.

95

18.在平面直角坐標(biāo)系了。》中，動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)FlSJl的距離和它到定直線/：x=q的距離之比是常數(shù)

記P的軌跡為曲線E.

（1）求曲線E的方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)，且互相垂直的兩條直線分別與曲線E交于點(diǎn)N（異于點(diǎn)A）,求證：直線MN過(guò)定

點(diǎn).

【答案】（1）----------=1;

916

（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)距離、點(diǎn)線距離求曲線￡的方程；

（2）法一：討論直線斜率存在性，設(shè)直線方程并聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達(dá)定理及1-IV求出相

關(guān)參數(shù)，得到直線方程，進(jìn)而確定直線是否過(guò)定點(diǎn)；法二：將〃3視作對(duì)稱中心，齊次化處理相關(guān)方程、

設(shè)直線方程，聯(lián)立方程并結(jié)合人小廠自、，=T求方程中所含的參數(shù)值，進(jìn)而確定直線是否過(guò)定點(diǎn)；

【小問(wèn)1詳解】

95

設(shè)Pm,因?yàn)镻與定點(diǎn)的距離和它到定直線/：x=q的距離之比是常數(shù)

^J（x—5y+y252222

所以一^—=?,化簡(jiǎn)得/一匚=I,曲線E的方程為'-匚I.

X--916916

【小問(wèn)2詳解】

解法一：設(shè)”|蒞,凹），可（三」2）,

當(dāng)直線斜率不存在，直線AM,AN分別為J=「LI=7+3,

分別聯(lián)立有L-二二，=1,可得》=一二■或x=3（A點(diǎn)橫坐標(biāo)，舍），貝U

9169167

4—或

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75f75?

此時(shí)直線MN的方程為》=-亍，過(guò)點(diǎn)［一了,0

當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為r=h+m,U*±y

由3-16”,消去y得|16-9卜卜;1弘松-9"-144=0,

y=kx^m

所以A=(-18Am):-4(16-9A;||-9/w:-144)>0,

1QL

m—9w"-144

由根與系數(shù)的關(guān)系得％+x2=竟黑

16-9*2

因?yàn)?M1AN,所以」「3、=,上W=T,即乂%=-(%-3)(馬?3)?

X1-JX,-J

即?kx}+m\(tv,+m\=I*3)(.v.-31,

2

即kX}X2+hn($+X?)+=_x、x2+3(x1+x2)-9,

18^i-9/n2-144

將A+A,----TV，*/,=-rr-代入化簡(jiǎn)得‘m：-54bj-144L=0,

16-91216-9公

,,75

所以卅=-3k或m=亍-

當(dāng)仇=3仁時(shí)，直線MN方程為?=M.r-3）（不合題意，舍），

當(dāng)"|=±-人時(shí)，直線A/N方程為J="'+了|,MN恒過(guò)定點(diǎn)1-亍，。

解法二：（齊次化）設(shè)不過(guò)點(diǎn)A的直線MN的方程為mix-31+"，二I,

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22

將雙曲線E的方程變形為：[。-3)+3]_匕=],gpI6(x_3)+96(V-3)-V=0,

916

將直線MN的方程代入得，16(x-3)2+96(x-3)[w(.v-3)+m]-F2=0,

整理得，(16*96/K)(v-3)24-96/z(v-3)r-v'=0，

變形得-96/j^-^-(16+96/n)=0.

由題意，直線AM、AN的斜率存在，且人川球隊(duì)=一I,

設(shè)M(工J?'I4、*)?=”~~工7,-2,

X,-3x:-3

則是方程9(上-96〃」^-(16+96m)=0的兩個(gè)根，

，1一(16?96/〃).左“曰7

所以L=----------------二-1,解得m=------，

996

則直線MN的方程為-—(.V-3)?nv=1,整理得：—96八+7二