貴州省黔南布依族苗族自治州長(zhǎng)順縣2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末測(cè)試數(shù)學(xué)試卷 （原卷版+解析版）

黔南州2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)九年級(jí)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試卷共6頁(yè)，滿分100分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前將姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)準(zhǔn)確填寫(xiě)在答題卡指定的位置上．3．選擇題須使用2B鉛筆將答題卡相應(yīng)題號(hào)對(duì)應(yīng)選項(xiàng)涂黑，若需改動(dòng)，須擦凈另涂；非選擇題在答題卡上對(duì)應(yīng)位置用黑色墨水筆或黑色簽字筆書(shū)寫(xiě)．在試卷、草稿紙上答題無(wú)效．一、選擇題（本大題共12小題，每小題2分，共24分．在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.祥蛇納福，瑞氣盈堂．愿君新歲似靈蛇，身姿矯健躍高峰．祝福所有九年級(jí)學(xué)子6月勇奪桂冠．現(xiàn)將祥蛇納福圖繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的圖形是（）A. B. C. D.2.一元二次方程的一個(gè)根是（）A. B. C. D.3.下列成語(yǔ)反映的事件中，發(fā)生的可能性最大的是（）A.守株待兔 B.大海撈針 C.返老還童 D.旭日東升4.如圖，在中，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.5.若點(diǎn)都在拋物線上，則與的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.不能確定6.如圖，在矩形中，，以點(diǎn)為圓心，4為半徑作圓，下列說(shuō)法中，正確的是()A.點(diǎn)在圓內(nèi) B.點(diǎn)在圓上 C.點(diǎn)在圓外 D.點(diǎn)在圓內(nèi)7.拋物線與軸的交點(diǎn)情況為（）A.沒(méi)有交點(diǎn) B.只有一個(gè)交點(diǎn) C.有兩個(gè)交點(diǎn) D.不能判斷8.若是方程的兩個(gè)根，則的值為（）A. B. C. D.9.在同一平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線的大致圖象可能是（）A. B.C. D.10.如圖，已知是的直徑，平分弦，交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.11.用一金屬圓柱體材料切削加工成橫截面是正六邊形的螺帽，其形狀和尺寸如圖所示，則該金屬圓柱體材料的底面直徑長(zhǎng)至少是（）A.2 B. C. D.12.在修建貴南高鐵某路段時(shí)，需對(duì)鐵路旁邊某一斜坡進(jìn)行加固，現(xiàn)用混凝土噴射機(jī)將混合料噴射到坡面，如圖是噴射機(jī)工作時(shí)的截面圖，以噴出口為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，若混合料的噴出路線可以用二次函數(shù)刻畫(huà)，斜坡可以用一次函數(shù)刻畫(huà)，混合料的落點(diǎn)是，則點(diǎn)到噴出口所在水平面的垂直距離是（）A.6 B. C.8 D.12二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）13.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是_______．14.一個(gè)不透明的袋子中裝有個(gè)紅球和個(gè)白球，這些球除顏色外無(wú)其他差別，從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，若摸到白球的概率是，則的值為_(kāi)_________．15.國(guó)產(chǎn)某品牌無(wú)人機(jī)憑借它在和精準(zhǔn)飛控方面的強(qiáng)大技術(shù)優(yōu)勢(shì)，使其在銷量上獨(dú)占鰲頭．該品牌無(wú)人機(jī)在某次的方陣表演中，如圖，無(wú)人機(jī)原來(lái)排成行列，后又增加了架，使得方陣增加的行、列數(shù)相同，則增加了多少行？設(shè)方陣增加的行數(shù)為行，根據(jù)題意可列方程為_(kāi)_________．16.如圖，為矩形外一點(diǎn)，，，，則的最大值為_(kāi)_____．三、解答題（本大題共9小題，共64分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）；（2）．18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．（1）畫(huà)出繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的；（2）求中點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)（結(jié)果保留）．19已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)時(shí)，的取值范圍是___________．20.某校理科社團(tuán)決定采用抽卡片的方式對(duì)招募來(lái)的學(xué)生進(jìn)行分組，制作了除圖片內(nèi)容不同外，其他完全相同的四張卡片：．積土成山．蠟炬成灰．物腐蟲(chóng)生．木已成舟．每個(gè)同學(xué)從這四張卡片中隨機(jī)抽取一張，抽到表示化學(xué)變化的卡片，就加人化學(xué)魔法社；抽到表示物理變化的卡片，就加入物理小天團(tuán)．（物理變化和化學(xué)變化的區(qū)別在于是否有新物質(zhì)生成）（1）從四張卡片中隨機(jī)抽取一張，抽到卡片的概率是___________；（2）有同學(xué)說(shuō)抽到每種卡片的可能性不一樣，于是老師組織同學(xué)進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)．以抽到卡片為例，數(shù)據(jù)記錄如下：試驗(yàn)次數(shù)10030050010002000抽到卡片次數(shù)3070126251500抽到卡片頻率03000.2330.2520.2510.250根據(jù)以上數(shù)據(jù)，抽到卡片的頻率越來(lái)越穩(wěn)定于__________（精確到0.01），所以該同學(xué)的說(shuō)法__________；（用“正確”或“錯(cuò)誤”填空）（3）小娜隨機(jī)抽取一張卡片記錄后，放回并混在一起，再由小菲隨機(jī)抽取一張，請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求她們恰好在同一個(gè)社團(tuán)的概率．21閱讀下列材料：為解方程，可將方程變形為，然后設(shè)，則，原方程化為①，解①得，．當(dāng)時(shí)，無(wú)意義，舍去；當(dāng)時(shí)，，解得，原方程的解為，．上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個(gè)整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問(wèn)題．利用以上學(xué)習(xí)到的方法解方程：．22.某種商品的銷售單價(jià)（元/件）與銷售月份（月）之間的關(guān)系如圖1所示（圖象呈線段）每件的成本（元/件）與銷售月份（月）之間的關(guān)系如圖2所示（圖象呈拋物線），且8月份該商品的成本達(dá)到最低．（1）求5月至7月該商品銷售單價(jià)月平均降價(jià)率；（2）求該商品銷售單價(jià)關(guān)于銷售月份函數(shù)解析式；（3）在5月至8月中，哪個(gè)月銷售這種商品，每件獲得的利潤(rùn)最大？（利潤(rùn)售價(jià)成本）23.某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了圓的切線判定定理后，討論了過(guò)圓外一點(diǎn)，用尺規(guī)作的切線和的方法：①連接，分別以點(diǎn)和點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于，兩點(diǎn)；②作直線交線段于點(diǎn)；③以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作圓，與相交于，兩點(diǎn)；④連接，．和即是所求的切線．（1）根據(jù)上述作法，求證：，是的切線；（2）若，，求的長(zhǎng)．24.排水渠的橫截面常常被設(shè)計(jì)成拋物線形狀，其中蘊(yùn)含的原理很多．從結(jié)構(gòu)力學(xué)角度看，拋物線形狀能夠使排水渠更好地承受來(lái)自土壤和水的壓力．從水力學(xué)角度講，拋物線形狀有利于水流的快速通過(guò)．如圖，某一排水渠的橫截面呈拋物線形，水面寬度，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是．（1）求此時(shí)水面的最大高度；（2）若水面上升，則水面寬度將增加多少米？25.如圖1所示，在等腰三角形中，，是邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)．將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．連接．（1）當(dāng)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示位置，求證：；（2）當(dāng)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，如圖3．①和還相等嗎？___________（用“”或“”填空）；②若，猜想的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

黔南州2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)九年級(jí)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試卷共6頁(yè)，滿分100分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前將姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)準(zhǔn)確填寫(xiě)在答題卡指定的位置上．3．選擇題須使用2B鉛筆將答題卡相應(yīng)題號(hào)對(duì)應(yīng)選項(xiàng)涂黑，若需改動(dòng)，須擦凈另涂；非選擇題在答題卡上對(duì)應(yīng)位置用黑色墨水筆或黑色簽字筆書(shū)寫(xiě)．在試卷、草稿紙上答題無(wú)效．一、選擇題（本大題共12小題，每小題2分，共24分．在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.祥蛇納福，瑞氣盈堂．愿君新歲似靈蛇，身姿矯健躍高峰．祝福所有九年級(jí)學(xué)子6月勇奪桂冠．現(xiàn)將祥蛇納福圖繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的圖形是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，熟練掌握是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意做即可．【詳解】解：將祥蛇納福圖繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)即可得到，大小不變，故選：B．2.一元二次方程的一個(gè)根是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程—直接開(kāi)平方法，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．利用直接開(kāi)平方法解方程即可解答．【詳解】解：，則，解得：，，故選：A．3.下列成語(yǔ)反映的事件中，發(fā)生的可能性最大的是（）A.守株待兔 B.大海撈針 C.返老還童 D.旭日東升【答案】D【解析】【分析】本題考查了可能性大小的判斷，一般地必然事件的可能性大小為1，不可能事件發(fā)生的可能性大小為0，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小在0至1之間，熟練掌握在一定情況下有可能發(fā)生，有可能不發(fā)生的事件是隨機(jī)事件是解題的關(guān)鍵．【詳解】解∶A．守株待兔是極小概率事件，不符合題意；B．大海撈針是不可能事件，不符合題意；C．返老還童是不可能事件，不符合題意；D．旭日東升是必然事件，符合題意；故選：D．4.如圖，在中，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角；注意：①“內(nèi)對(duì)角”是圓內(nèi)接四邊形的專用名詞，圓內(nèi)接四邊形的某一外角的內(nèi)對(duì)角是指與其相鄰的內(nèi)角的對(duì)角；②若四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，則這個(gè)四邊形內(nèi)接于圓；③若四邊形的一個(gè)外角等于與其相鄰的內(nèi)角的對(duì)角，則這個(gè)四邊形內(nèi)接于圓．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理即可直接得出答案．【詳解】解：四邊形為的內(nèi)接四邊形，且，，故選：．5.若點(diǎn)都在拋物線上，則與的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.不能確定【答案】A【解析】【分析】本題考查了利用二次函數(shù)的增減性比大小，熟記二次函數(shù)圖象性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．首先確定拋物線的開(kāi)口方向及對(duì)稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷，的大小關(guān)系．【詳解】解：∵拋物線，∴拋物線開(kāi)口向上，有最小值，對(duì)稱軸為直線，∵當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，，∴；故選：A．6.如圖，在矩形中，，以點(diǎn)為圓心，4為半徑作圓，下列說(shuō)法中，正確的是()A.點(diǎn)在圓內(nèi) B.點(diǎn)在圓上 C.點(diǎn)在圓外 D.點(diǎn)在圓內(nèi)【答案】A【解析】【分析】本題考查了點(diǎn)與直線的三種位置關(guān)系，根據(jù)題意確定點(diǎn)與圓心之間的距離是解題的關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)與直線的三種位置關(guān)系：點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓內(nèi)進(jìn)行判斷．【詳解】解：因?yàn)?，，，所以點(diǎn)在圓內(nèi)；因?yàn)樵诰匦沃?，，，如圖，連接所以，，，所以點(diǎn)在圓外；因，，，所以點(diǎn)在圓上．故選：A．7.拋物線與軸的交點(diǎn)情況為（）A.沒(méi)有交點(diǎn) B.只有一個(gè)交點(diǎn) C.有兩個(gè)交點(diǎn) D.不能判斷【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，涉及一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握一元二次方程根的判別式．根據(jù)的情況，即可判斷求解．【詳解】解：∵Δ=∴拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故選：C．8.若是方程的兩個(gè)根，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到，，然后直接代入求解即可．【詳解】解：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：，，，故選：C．9.在同一平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線的大致圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確函數(shù)圖象與、的關(guān)系．根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)圖象可以判斷函數(shù)與中、的正負(fù)，從而可以得到哪個(gè)選項(xiàng)是正確的．【詳解】解：A、由一次函數(shù)圖象可知，，，由二次函數(shù)圖象可知，，，故A選項(xiàng)不符合題意；B、由一次函數(shù)圖象可知，，，由二次函數(shù)圖象可知，，，故B選項(xiàng)不符合題意；C、由一次函數(shù)圖象可知，，，由二次函數(shù)圖象可知，，，故C選項(xiàng)不符合題意；D、由一次函數(shù)圖象可知，，，由二次函數(shù)圖象可知，，，故D選項(xiàng)符合題意；故選：D．10.如圖，已知是的直徑，平分弦，交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查垂徑定理、圓周角定理、特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．由圓周角定理得，由垂徑定理得，從而得，根據(jù)三角函數(shù)求出，再根據(jù)垂徑定理求出即可．【詳解】解：如圖，連接，是的直徑，，平分弦，，，，，，，故選：B．11.用一金屬圓柱體材料切削加工成橫截面是正六邊形的螺帽，其形狀和尺寸如圖所示，則該金屬圓柱體材料的底面直徑長(zhǎng)至少是（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】題考查了圓與正六邊形的相關(guān)知識(shí)，解直角三角形，掌握?qǐng)A內(nèi)接正六邊形的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)如圖所示的螺帽，可得到該螺帽的邊心距，再通過(guò)構(gòu)造直角三角形和利用正六邊形的性質(zhì)，求出半徑的長(zhǎng)，即可求出直徑的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，設(shè)點(diǎn)O為正六邊形的中心，過(guò)點(diǎn)O作垂直于正六邊形的邊，C為垂足，連接，由題意得，∴∴該金屬圓柱體材料的底面直徑長(zhǎng)至少是，故選：C．12.在修建貴南高鐵某路段時(shí)，需對(duì)鐵路旁邊某一斜坡進(jìn)行加固，現(xiàn)用混凝土噴射機(jī)將混合料噴射到坡面，如圖是噴射機(jī)工作時(shí)的截面圖，以噴出口為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，若混合料的噴出路線可以用二次函數(shù)刻畫(huà)，斜坡可以用一次函數(shù)刻畫(huà)，混合料的落點(diǎn)是，則點(diǎn)到噴出口所在水平面的垂直距離是（）A.6 B. C.8 D.12【答案】A【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，聯(lián)立兩解析式，可求出交點(diǎn)的坐標(biāo)；即可求解．【詳解】解：聯(lián)立解得：（舍去）或∴點(diǎn)到噴出口所在水平面的垂直距離是故選：A．二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）13.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)解答．【詳解】解：點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，熟記關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．14.一個(gè)不透明袋子中裝有個(gè)紅球和個(gè)白球，這些球除顏色外無(wú)其他差別，從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，若摸到白球的概率是，則的值為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】本題考查了概率公式和解分式方程，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)概率公式列方程計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是分式方程的解，故答案為：．15.國(guó)產(chǎn)某品牌無(wú)人機(jī)憑借它在和精準(zhǔn)飛控方面的強(qiáng)大技術(shù)優(yōu)勢(shì)，使其在銷量上獨(dú)占鰲頭．該品牌無(wú)人機(jī)在某次的方陣表演中，如圖，無(wú)人機(jī)原來(lái)排成行列，后又增加了架，使得方陣增加的行、列數(shù)相同，則增加了多少行？設(shè)方陣增加的行數(shù)為行，根據(jù)題意可列方程為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)方陣增加的行數(shù)為行，則新方陣增加了列，根據(jù)增加了架，使得方陣增加的行、列數(shù)相同，列出一元二次方程即可．【詳解】解：設(shè)方陣增加的行數(shù)為行，則新方陣增加了列，由題意得：．故答案為：．16.如圖，為矩形外一點(diǎn)，，，，則的最大值為_(kāi)_____．【答案】##【解析】【分析】本題考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，矩形的性質(zhì)，勾股定理，取的中點(diǎn)，連接，由可得點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，即可得，據(jù)此解答即可求解，由得出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，∵，∴點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，∵，∴，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴，即點(diǎn)共線時(shí)，取最大值，最大值為，故答案為：．三、解答題（本大題共9小題，共64分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】本題考查了直接開(kāi)方法、公式法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握一元二次方程的解法．（1）根據(jù)直接開(kāi)方法，即可求解，（2）根據(jù)公式法，即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：，∴，或，∴；【小問(wèn)2詳解】解：，。方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，即．18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．（1）畫(huà)出繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的；（2）求中點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)（結(jié)果保留）．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．【解析】【分析】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)、弧長(zhǎng)公式、平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離公式．分別作點(diǎn)、、繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、、，連接點(diǎn)、、，得到即為所求；根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離公式，得到，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算出的長(zhǎng)度即可．【小問(wèn)1詳解】解：如下圖所示，分別作點(diǎn)、、繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、、，連接點(diǎn)、、，得到，即為所作；【小問(wèn)2詳解】解：，的長(zhǎng)為．19.已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)時(shí)，的取值范圍是___________．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．（1）把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入中求出a的值，從而得到拋物線解析式；（2）先利用配方法得到頂點(diǎn)式，則當(dāng)時(shí)，y有最小值2，再分別計(jì)算出和對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解．【小問(wèn)1詳解】∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，解得．∴這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為；【小問(wèn)2詳解】∵，∴當(dāng)時(shí)，y有最小值，最小值為2，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，y的取值范圍為．故答案為：．20.某校理科社團(tuán)決定采用抽卡片的方式對(duì)招募來(lái)的學(xué)生進(jìn)行分組，制作了除圖片內(nèi)容不同外，其他完全相同的四張卡片：．積土成山．蠟炬成灰．物腐蟲(chóng)生．木已成舟．每個(gè)同學(xué)從這四張卡片中隨機(jī)抽取一張，抽到表示化學(xué)變化的卡片，就加人化學(xué)魔法社；抽到表示物理變化的卡片，就加入物理小天團(tuán)．（物理變化和化學(xué)變化的區(qū)別在于是否有新物質(zhì)生成）（1）從四張卡片中隨機(jī)抽取一張，抽到卡片的概率是___________；（2）有同學(xué)說(shuō)抽到每種卡片的可能性不一樣，于是老師組織同學(xué)進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)．以抽到卡片為例，數(shù)據(jù)記錄如下：試驗(yàn)次數(shù)10030050010002000抽到卡片次數(shù)3070126251500抽到卡片頻率0.3000.2330.2520.2510.250根據(jù)以上數(shù)據(jù)，抽到卡片的頻率越來(lái)越穩(wěn)定于__________（精確到0.01），所以該同學(xué)的說(shuō)法__________；（用“正確”或“錯(cuò)誤”填空）（3）小娜隨機(jī)抽取一張卡片記錄后，放回并混在一起，再由小菲隨機(jī)抽取一張，請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求她們恰好在同一個(gè)社團(tuán)的概率．【答案】（1）；（2），錯(cuò)誤；（3）．【解析】【分析】本題考查了用頻率估計(jì)概率、用樹(shù)狀圖求概率，會(huì)用樹(shù)狀圖列出所有可能的結(jié)果是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)概率公式，即可求解，（2）根據(jù)頻率的概念及表中頻率穩(wěn)定的數(shù)值求解即可，（3）根據(jù)列表法，得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：從四張卡片中隨機(jī)抽取一張，抽到B卡片的概率是；【小問(wèn)2詳解】解：表格中抽到的頻率在0.25上下波動(dòng)，且隨著抽卡的次數(shù)增加，頻率逐漸穩(wěn)定于，所以該同學(xué)的說(shuō)法錯(cuò)誤故答案為：；錯(cuò)誤；【小問(wèn)3詳解】解：列表如下小菲小娜ABCDABCD由表可以看出，共有16種等可能的結(jié)果，其中小娜和小菲恰好在同一個(gè)社團(tuán)的結(jié)果有4種，∴（恰好在同一社團(tuán)）．21.閱讀下列材料：為解方程，可將方程變形為，然后設(shè)，則，原方程化為①，解①得，．當(dāng)時(shí)，無(wú)意義，舍去；當(dāng)時(shí)，，解得，原方程的解為，．上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個(gè)整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問(wèn)題．利用以上學(xué)習(xí)到的方法解方程：．【答案】，，，【解析】【分析】本題考查了換元法解一元二次方程，熟練掌握換元法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵：1、換元法：把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化；2、換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理．利用換元法解一元二次方程即可．【詳解】解：將原方程變形為，設(shè)，則，原方程化為，解得：，，當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，解得：或；原方程的解為，，，．22.某種商品的銷售單價(jià)（元/件）與銷售月份（月）之間的關(guān)系如圖1所示（圖象呈線段）每件的成本（元/件）與銷售月份（月）之間的關(guān)系如圖2所示（圖象呈拋物線），且8月份該商品的成本達(dá)到最低．（1）求5月至7月該商品銷售單價(jià)的月平均降價(jià)率；（2）求該商品銷售單價(jià)關(guān)于銷售月份函數(shù)解析式；（3）在5月至8月中，哪個(gè)月銷售這種商品，每件獲得的利潤(rùn)最大？（利潤(rùn)售價(jià)成本）【答案】（1）5月至7月該商品銷售單價(jià)的月平均降價(jià)率為；（2）；（3）5月銷售這種商品，每件獲得的利潤(rùn)最大．【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一元二次方程的應(yīng)用，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)5月至7月該商品銷售單價(jià)的月平均降價(jià)率為x，根據(jù)題意得：，然后進(jìn)行計(jì)算即可；（2）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，即可得出答案；（3）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，然后設(shè)銷售這種商品每件獲得的利潤(rùn)是w元．再根據(jù)利潤(rùn)=售價(jià)-成本進(jìn)行計(jì)算，即可得出答案．【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)5月至7月該商品銷售單價(jià)的月平均降價(jià)率為，根據(jù)題意，得，解得（不符合題意，舍去）．答：5月至7月該商品銷售單價(jià)的月平均降價(jià)率為；【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)關(guān)于的函數(shù)解析式為．把點(diǎn)與點(diǎn)代入中，得，解得∴關(guān)于的函數(shù)解析式為；【小問(wèn)3詳解】∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，∴設(shè)關(guān)于的函數(shù)解析式為．把點(diǎn)代入，得，解得，∴．設(shè)銷售這種商品每件獲得的利潤(rùn)是元．則．∵該拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸是，∴在對(duì)稱軸的右側(cè)，隨的增大而減小．∵，∴當(dāng)時(shí)，取最大值，∴當(dāng)時(shí)，取最大值，∴5月銷售這種商品，每件獲得的利潤(rùn)最大．23.某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了圓的切線判定定理后，討論了過(guò)圓外一點(diǎn)，用尺規(guī)作的切線和的方法：①連接，分別以點(diǎn)和點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于，兩點(diǎn)；②作直線交線段于點(diǎn)；③以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作圓，與相交于，兩點(diǎn)；④連接，．和即是所求的切線．（1）根據(jù)上述作法，求證：，是的切線；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析