二次函數(shù)（講義）-2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）

第13講二次函數(shù)［2大考點(diǎn)12大題型】

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

題型1由二次函數(shù)解析式及圖象判斷頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸及增減性

題型2二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

題型3拋物線的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱

題型4拋物線對(duì)稱性的應(yīng)用

題型5二次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系

題型6二次函數(shù)的解析式的確定

題型7二次函數(shù)中與面積有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用）

題型8以真實(shí)問(wèn)題情境為背景考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

卜（題型9二次函數(shù)的綜合應(yīng)用之角度問(wèn)題

『｛題型10二次函數(shù)的綜合應(yīng)用之線段問(wèn)題

題型11二次函數(shù)的綜合應(yīng)用之面積問(wèn)題

題型12二次函數(shù)與一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

新考向：新考法）

新考向：新趨勢(shì)）

特色專項(xiàng)練新考向：新情境）

新考向：跨學(xué)科）

1、二次函數(shù)的概念

一般的，形如y=ax?+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a，0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)。其中x是自變量，a、b、c分別是函

數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)。

二次函數(shù)解析式的表示方法：

（1）一般式：（其中a,b,c是常數(shù)，。邦）；

（2）頂點(diǎn)式：，

它直接顯示二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是；

（3）交點(diǎn)式：，

其中制，愈是圖象與無(wú)軸交點(diǎn)的.

注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫(xiě)成交點(diǎn)式，只

有拋物線與x軸有交點(diǎn)，即62一4m20時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示.二次函數(shù)解析式的

這三種形式可以互化.

2、二次函數(shù)的圖象是一條拋物線。當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上；當(dāng)。<0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下。間越大，

拋物線的開(kāi)口越??；⑷越小，拋物線的開(kāi)口越大。

y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c

b

對(duì)稱軸y軸y軸x=hx=hx=------

2a

(b4ac—Z?2'

(0)0)(0,k)(h,0)(h,k)

Ila'4a,

頂點(diǎn)。>0時(shí)，頂點(diǎn)是最低點(diǎn)，此時(shí)y有最小值；。<0時(shí)，頂點(diǎn)是最高點(diǎn)，此時(shí)y有最大

4/7C—/

值，最小值（或最大值）為0（左或--------）o

4a

bb

%vO（/z或----）時(shí)，y隨x的增大而減??；x>0（力或-----）時(shí)，y隨x的增大而增大。

2a2a

增a>0

即在對(duì)稱軸的左邊，y隨x的增大而減??；在對(duì)稱軸的右邊，y隨％的增大而增大。

減

bb

x<O（/z或----）時(shí)，y隨x的增大而增大；x>0（%或-----）時(shí)，y隨x的增大而減小。

性a<02a2a

即在對(duì)稱軸的左邊，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右邊，y隨1的增大而減小。

3、二次函數(shù)的平移：

方法一：在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“〃值正右移，負(fù)左移；左值正上移，負(fù)下移”.

概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”.

任意拋物線y=a（x-h）2+k可以由拋物線y=ax2經(jīng)過(guò)平移得到，具體平移方法如下:

上加下減

y=ax2y=ax^+k

可

回

比

小M

(v

s-o

ov)

)，

吊

，ftst(

tAtHAA

OAM)o

5)卡

p盛

㈱

-H-

hu

s

y=a(x-h^y=a{)c-h^+k

向上伏>0）、下伏V0）平移出個(gè)單位

方法二：

⑴y=ax?+bx+c沿y軸平移:向上（下）平移加個(gè)單位，y=ax?+/?%+c變成

y=ax1+bx+c+m（或y=ax2+bx+c-m}

⑵y=ax?+加；+。沿x軸平移：向左(右)平移加個(gè)單位，y=ax2+bx+c

y=tz(x+m)2+b(x+m)+c(或y=a(x-m)2+b(x-m)+c)

4、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系

4決定了拋物線開(kāi)口的大小和方向，〃的正負(fù)決定開(kāi)口方向，同的大小決定開(kāi)口的大小.

b的符號(hào)的判定：對(duì)稱軸％=-2b在y軸左邊則〃匕>0,在y軸的右側(cè)則〃b<。，概括的說(shuō)就是“左同右

2a

日,,

開(kāi)

C決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置

字母的符號(hào)圖象的特征

a>0開(kāi)口向上

a

QVO開(kāi)口向下

b=0對(duì)稱軸為y軸

bab>Q(a與b同號(hào))對(duì)稱軸在y軸左側(cè)

ab<O(a與b異號(hào))對(duì)稱軸在y軸右側(cè)

c=0經(jīng)過(guò)原點(diǎn)

cc>0與y軸正半軸相交

cVO與y軸負(fù)半軸相交

5、二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系

當(dāng)b2—4ac<0時(shí)

1,當(dāng)a>0時(shí)，圖象落在無(wú)軸的上方，無(wú)論x為任何實(shí)數(shù)，都有y>0；

2,當(dāng)a<0時(shí)，圖象落在x軸的下方，無(wú)論x為任何實(shí)數(shù)，者B有y<0.

典例分析

【題型1由二次函數(shù)解析式及圖象判斷頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸及增減性】

【例1】（2024?吉林長(zhǎng)春?中考真題）已知二次函數(shù)y=-/一2x+3,當(dāng)a4x<|時(shí)，函數(shù)值y的最小值為

1-則。的值為.

【變式1-1］（2024?廣西來(lái)賓?中考真題）已知函數(shù)y=-——2x,當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而

增大.

【變式1-2］（2024?湖北荊門(mén)?中考真題）拋物線y=/+3上有兩點(diǎn)A3,〃），B（如-），若則

下列結(jié)論正確的是（）

A.0<xi<X2B.X2<xi<0

C.X2<X/WO或0Wx/<X2D.以上都不對(duì)

【變式1-3］（2024?四川成都?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系久Oy中，A^y^,B（x2,y2）,火冷,火）是二次函

數(shù)y=-x2+4x-1圖象上三點(diǎn).若。<X1<1,%2>4,則y2（填"〉"或"<"）；若對(duì)于爪<xi<m+1,

m+l<x2<m+2,m+2<x3<m+3,存在為<乃<無(wú)，則小的取值范圍是.

【題型2二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系】

【例2】（2024?新疆烏魯木齊?中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)（-1,0）,且對(duì)稱軸為直線x=1,

有下列結(jié)論：

①abc<0；②10a+36+c>0；③拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4,%）與點(diǎn)（一3,%），則%>%；④無(wú)論a,b,c取何值，拋

物線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)（-，0）;⑤am?+。爪+a20,其中所有正確的結(jié)論是.

【變式2-1］（2024?湖北鄂州?中考真題）如圖，二次函數(shù)y=ax?+bx+c（a^O）的圖象與x軸正半軸相交于A、

B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸為直線x=2,且OA=OC,則下列結(jié)論：@abc>0；②9a+3b+c<0；③c

>-1；④關(guān)于X的方程ax2+bx+c=0（a#0）有一個(gè)根為上，其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（填

a

序號(hào)）

【變式2-2］（2024.江蘇連云港.中考真題）已知拋物線y=a/+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a<0）的頂點(diǎn)

為（1,2）.小煒同學(xué)得出以下結(jié)論：①abc<0；②當(dāng)%>1.時(shí)，y隨久的增大而減小；③若a久2+。久+c=0的

一個(gè)根為3,則a=-|；④拋物線y=ax2+2是由拋物線y=ax2+bx+c向左平移1個(gè)單位，再向下平移

2個(gè)單位得到的.其中一定正確的是（）

A.①②B.②③C.③④D.②④

【變式2-3］（2024?山東棗莊?中考真題）小明在學(xué)習(xí)“二次函數(shù)”內(nèi)容后，進(jìn)行了反思總結(jié).如圖，二次函數(shù)

y=cuc+bx+c（存0）圖像的一部分與無(wú)軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）,對(duì)稱軸為直線x=-1,結(jié)合圖像他得

出下列結(jié)論：①ab>0且c>0；②a+b+c=0；③關(guān)于龍的一元二次方程辦（（#0）的兩根分別為

-3和I；④若點(diǎn)（-4,〃），（-2,丫2），（3,”）均在二次函數(shù)圖像上，則刃</<"；⑤3a+c<0,

其中正確的結(jié)論有—.（填序號(hào)，多選、少選、錯(cuò)選都不得分）

【題型3拋物線的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱】

【例3】（2024?四川巴中?中考真題）函數(shù)y=\ax2+bx+c\Qa>0,b2—4ac>0）的圖象是由函數(shù)y=ax2+

bx+c（a>0,b2-4ac>0）的圖象x軸上方部分不變，下方部分沿x軸向上翻折而成，如圖所示，則下列結(jié)

論正確的是（）

①2a+b=0；②c=3；③abc>0；④將圖象向上平移1個(gè)單位后與直線y=5有3個(gè)交點(diǎn).

A.①②B.①③C.②③④D.①③④

【變式3-1]（2024?湖北孝感?中考真題）將拋物線G：y=x2-2x+3向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線C?，

拋物線與拋物線C3關(guān)于x軸對(duì)稱，則拋物線C3的解析式為（）

A.y=—x2—2B.y=-x2+2C.y=x2—2D.y=x2+2

【變式3-2]（2024?廣西玉林?中考真題）如圖，一段拋物線y=-x?+4（-2<x<2）為Ci,與x軸交于A0,

Ai兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為Di；將Ci繞點(diǎn)Ai旋轉(zhuǎn)180。得到C2,頂點(diǎn)為D2；CI與C2組成一個(gè)新的圖象，垂直于y軸

的直線1與新圖象交于點(diǎn)Pi（xi，yi）,P2（X2，y2），與線段D1D2交于點(diǎn)P3（x3,y3），設(shè)xi，x2,X3均

為正數(shù)，t=Xl+X2+X3，則t的取值范圍是（）

4

A.6<t<8B.6<t<8C.10<t<12D.10<t<12

【變式3-3]（2024?山東淄博中考真題）已知拋物線產(chǎn)/+2了-3與x軸交于A,3兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），

將這條拋物線向右平移式（m>0）個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的拋物線與x軸交于C,。兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左

側(cè)），若8,C是線段AD的三等分點(diǎn)，則機(jī)的值為.

【題型4拋物線對(duì)稱性的應(yīng)用】

【例4】（2024.四川瀘州?中考真題）已知二次函數(shù)丫=/一2b久+2^2—4c（其中x是自變量）的圖象經(jīng)過(guò)

不同兩點(diǎn)4（1一b,m）,B（2b+c,m）,且該二次函數(shù)的圖象與x軸有公共點(diǎn)，貝！|6+c的值（）

A.-1B.2C.3D.4

【變式4-1]（2024?湖南益陽(yáng)?中考真題）已知y是尤的二次函數(shù)，下表給出了y與x的幾對(duì)對(duì)應(yīng)值：

X-2-101234

y...11a323611...

由此判斷，表中。=.

【變式4-2](2024.湖南婁底?中考真題)如圖，拋物線y=a/+bx+c與x軸相交于點(diǎn)4(1,0)、點(diǎn)B(3,0),

與y軸相交于點(diǎn)C,點(diǎn)。在拋物線上，當(dāng)CDIIx軸時(shí)，CD=.

【變式4-3](2024?浙江嘉興.中考真題)在二次函數(shù)y=/-2tx+3(t>0)中，

(1)若它的圖象過(guò)點(diǎn)(2,1),貝卜的值為多少？

(2)當(dāng)0W*W3時(shí)，y的最小值為—2,求出f的值：

(3)如果做爪-2,。),3(4,6),。(>1,￡1)都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，且a<b<3,求機(jī)的取值范圍.

【題型5二次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系】

【例5】(2024?江蘇常州?中考真題)已知二次函數(shù)y=ax2+bx-3自變量尤的部分取值和對(duì)應(yīng)函數(shù)值y如

下表：則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能使得y-5>0成立的x取值范圍是.

【變式5-1](2024?廣東.中考真題)若一元二次方程/+"+c=0(6,c為常數(shù))的兩根小,乂2滿足一3</<

-1,1<%2<3,則符合條件的一個(gè)方程為一.

【變式5-2](2024?山東濟(jì)寧?中考真題)如圖，拋物線y=a/+c與直線y=6久+n交于A(-1,P),B(3,q)

兩點(diǎn)，則不等式a/+mx+c>n的解集是.

【變式5-3](2024?遼寧?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線、=。/+法+3與％與相交于點(diǎn)力,

B,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),若點(diǎn)C(2,3)在拋物線上，貝U4B的長(zhǎng)為.

【題型6二次函數(shù)的解析式的確定】

【例6】(2024?浙江杭州?中考真題)在“探索函數(shù)y=a/+》久+。的系數(shù)①b,c與圖象的關(guān)系”活動(dòng)中，老

師給出了直角坐標(biāo)系中的四個(gè)點(diǎn)：4(0,2),B(l,0),C(3,l),0(2,3),同學(xué)們探索了經(jīng)過(guò)這四個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)

點(diǎn)的二次函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)這些圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式各不相同，其中a的值最大為()

y

【變式6-1](2024?江蘇蘇州?中考真題)二次函數(shù)丫=a/++c(a力0)的圖象過(guò)點(diǎn)4(0,爪)，B(l,-m),

C(2,n),0(3,-m),其中機(jī)，w為常數(shù)，則友的值為_(kāi)____.

n

【變式6-2](2024?四川攀枝花?中考真題)如圖，拋物線y=a/+b久+c(aH0)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。，且頂點(diǎn)

為4(2,—4).

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)設(shè)拋物線與x軸正半軸的交點(diǎn)為B,點(diǎn)P位于拋物線上且在x軸下方，連接。4PB,若乙4。8+NPB。=90°,

求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【變式6-3]（2024?浙江?中考真題）已知二次函數(shù)y=/+力％+。（4。為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)/（一2,5）,

對(duì)稱軸為直線x=-

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)3（1,7）向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，向左平移m（m>0）個(gè)單位長(zhǎng)度后，恰好落在y=%2+hx+c的圖

象上，求機(jī)的值；

（3）當(dāng)一2<x<九時(shí)，二次函數(shù)y=/+匕％+。的最大值與最小值的差為;，求n的取值范圍.

4

考點(diǎn)二卜二次函雙的應(yīng)用

知識(shí)導(dǎo)航

用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：

1.審：仔細(xì)審題，理清題意；

2.設(shè)：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關(guān)系，與圖形相關(guān)的問(wèn)題要結(jié)合圖形具體分析，設(shè)出

適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；

3.列：用二次函數(shù)表示出變量和常量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型，寫(xiě)出二次函數(shù)的解析式；

4.解：依據(jù)已知條件，借助二次函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)等求解實(shí)際問(wèn)題；

5.檢：檢驗(yàn)結(jié)果，進(jìn)行合理取舍，得出符合實(shí)際意義的結(jié)論.

【注意】二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用通常是在一定的取值范圍內(nèi)，一定要注意是否包含頂點(diǎn)坐標(biāo)，如果

頂點(diǎn)坐標(biāo)不在取值范圍內(nèi)，應(yīng)按照對(duì)稱軸一側(cè)的增減性探討問(wèn)題結(jié)論.

利用二次函數(shù)解決利潤(rùn)最值的方法：巧設(shè)未知數(shù)，根據(jù)利潤(rùn)公式列出函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的最值

解決利潤(rùn)最大問(wèn)題。

利用二次函數(shù)解決拱橋/隧道/拱門(mén)類(lèi)問(wèn)題的方法：先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，再根據(jù)題意找出已知點(diǎn)

的坐標(biāo)，并求出拋物線解析式，最后根據(jù)圖象信息解決實(shí)際問(wèn)題。

利用二次函數(shù)解決面積最值的方法：先找好自變量，再利用相關(guān)的圖形面積公式，列出函數(shù)關(guān)系式，最后

利用函數(shù)的最值解決面積最值問(wèn)題。

典例分析

【題型7二次函數(shù)中與面積有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用】

【例7】（2024.山東日照?中考真題）如圖，某小區(qū)有一塊靠墻（墻的長(zhǎng)度不限）的矩形空地ABC。，為美化

環(huán)境，用總長(zhǎng)為100根的籬笆圍成四塊矩形花圃（靠墻一側(cè)不用籬笆，籬笆的厚度不計(jì)）.

（1）若四塊矩形花圃的面積相等，求證：AE=3BE；

（2）在（1）的條件下，設(shè)8C的長(zhǎng)度為初3矩形區(qū)域ABC。的面積為即落求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,

并寫(xiě)出自變量x的取值范圍.

【變式7-1］（2024?湖北鄂州?中考真題）為了實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，幫助農(nóng)民增加收入，市政府大力扶持農(nóng)戶

發(fā)展種植業(yè)，每畝土地每年發(fā)放種植補(bǔ)貼120元.張遠(yuǎn)村老張計(jì)劃明年承租部分土地種植某種經(jīng)濟(jì)作物.考

慮各種因素，預(yù)計(jì)明年每畝土地種植該作物的成本y（元）與種植面積x（畝）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，且

當(dāng)x=160時(shí)，y=840；當(dāng)x=190時(shí)，y=960.

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不求自變量的取值范圍）；

（2）受區(qū)域位置的限制，老張承租土地的面積不得超過(guò)240畝.若老張明年銷(xiāo)售該作物每畝的銷(xiāo)售額能達(dá)

到2160元，當(dāng)種植面積為多少時(shí)，老張明年種植該作物的總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？（每畝種植利潤(rùn)

=每畝銷(xiāo)售額一每畝種植成本+每畝種植補(bǔ)貼）

【變式7-2］（2024?浙江紹興?中考真題）有一塊形狀如圖的五邊形余料ABCDE,AB=2E=6,BC=5,乙4=

乙B=90°,ZC=135°,乙E>90。.要在這塊余料中截取一塊矩形材料，其中一邊在4E上，并使所截矩形的

面積盡可能大.

（1）若所截矩形材料的一條邊是BC或AE,求矩形材料的面積；

（2）能否截出比（1）中面積更大的矩形材料？如果能，求出這些矩形材料面積的最大值，如果不能，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

【變式7-3］（2024.安徽?中考真題）如圖1,隧道截面由拋物線的一部分AM和矩形A2C。構(gòu)成，矩形的一

邊BC為12米,另一邊為2米.以2C所在的直線為x軸，線段的垂直平分線為y軸，建立平面直

角坐標(biāo)系無(wú)。》規(guī)定一個(gè)單位長(zhǎng)度代表1米.E（0,8）是拋物線的頂點(diǎn).

（1）求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

⑵在隧道截面內(nèi)（含邊界）修建“E”型或“R”型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所示，點(diǎn)P4在x軸

上，與矩形BP2P3P4的一邊平行且相等.柵欄總長(zhǎng)/為圖中粗線段PlP2,P2P3,P3P4,"N長(zhǎng)度之和.請(qǐng)

解決以下問(wèn)題:

（i）修建一個(gè)“m”型柵欄，如圖2,點(diǎn)P2，P3在拋物線上.設(shè)點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)為爪（0＜爪W6）,求

柵欄總長(zhǎng)/與根之間的函數(shù)表達(dá)式和/的最大值；

（ii）現(xiàn)修建一個(gè)總長(zhǎng)為18的柵欄，有如圖3所示的修建“E”型或“R”型柵型兩種設(shè)計(jì)方案，請(qǐng)你從

中選擇一種，求出該方案下矩形P1P2P3P4面積的最大值，及取最大值時(shí)點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)的取值范圍（P1在P4右

側(cè)）.

【題型8以真實(shí)問(wèn)題情境為背景考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】

【例8】（2024.浙江?中考真題）用各種盛水容器可以制作精致的家用流水景觀（如圖1）.

科學(xué)原理：如圖2,始終盛滿水的圓體水桶水面離地面的高度為H（單位：cm）,如果在離水面豎直距離

為h（單校：cm）的地方開(kāi)大小合適的小孔，那么從小孔射出水的射程（水流落地點(diǎn)離小孔的水平距離）s

（單位：cm）與h的關(guān)系為s?=4h（H—h）.

圖1圖2

應(yīng)用思考：現(xiàn)用高度為20cm的圓柱體塑料水瓶做相關(guān)研究，水瓶直立地面，通過(guò)連注水保證它始終盛滿水,

在離水面豎直距離hcm處開(kāi)一個(gè)小孔.

（1）寫(xiě)出s2與h的關(guān)系式；并求出當(dāng)h為何值時(shí)，射程s有最大值，最大射程是多少？

（2）在側(cè)面開(kāi)兩個(gè)小孔，這兩個(gè)小孔離水面的豎直距離分別為a,b,要使兩孔射出水的射程相同，求a,b

之間的關(guān)系式；

（3）如果想通過(guò)墊高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm,求整高的高度及小孔離水面的豎直距離.

【變式8-1]（2024?甘肅蘭州?中考真題）一名運(yùn)動(dòng)員在10m高的跳臺(tái)進(jìn)行跳水，身體（看成一點(diǎn)）在空中的

運(yùn)動(dòng)軌跡是一條拋物線,運(yùn)動(dòng)員離水面的高度y（m）與離起跳點(diǎn)A的水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所

示，運(yùn)動(dòng)員離起跳點(diǎn)A的水平距離為1m時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員離起跳點(diǎn)A的水平距離為3m時(shí)離水面的距

圖為7m.

跳

臺(tái)

OH支

柱

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求運(yùn)動(dòng)員從起跳點(diǎn)到入水點(diǎn)的水平距離OB的長(zhǎng).

【變式8-2]（2024.山東青島.中考真題）5月中旬，櫻桃相繼成熟，果農(nóng)們迎來(lái)了繁忙的采摘銷(xiāo)售季.為了

解櫻桃的收益情況，從第1天銷(xiāo)售開(kāi)始，小明對(duì)自己家的兩處櫻桃園連續(xù)15天的銷(xiāo)售情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)與分

析：

A櫻桃園

B櫻桃園

第尤天的單價(jià)、銷(xiāo)售量與尤的關(guān)系如下表:

第尤天的利潤(rùn)為（元）與x的關(guān)系可以近似地用二次函數(shù)g=

單價(jià)（元/盒）銷(xiāo)售量（盒）a/+6x+25刻畫(huà)，其圖象如圖：

第1天5020

第2天4830

/

905—/?\'

第3天4640495-7：

??????

第4天4450o1215X

第X天lOx+10

第X天的單價(jià)與X近似地滿足一次函數(shù)關(guān)

系，已知每天的固定成本為745元.

(1)4櫻桃園第x天的單價(jià)是元/盒(用含x的代數(shù)式表示)；

⑵求A櫻桃園第x天的利潤(rùn)為(元)與x的函數(shù)關(guān)系式；(利潤(rùn)=單價(jià)X銷(xiāo)售量-固定成本)

(3)①力與x的函數(shù)關(guān)系式是；

②求第幾天兩處櫻桃園的利潤(rùn)之和(即為+力)最大，最大是多少元？

(4)這15天中，共有天8櫻桃園的利潤(rùn)內(nèi)比A櫻桃園的利潤(rùn)大.

【變式8-3](2024?甘肅蘭州?中考真題)在校園科技節(jié)期間，科普員為同學(xué)們進(jìn)行了水火箭的發(fā)射表演，圖

1是某型號(hào)水火箭的實(shí)物圖，水火箭發(fā)射后的運(yùn)動(dòng)路線可以看作是一條拋物線.為了解水火箭的相關(guān)性能，

同學(xué)們進(jìn)一步展開(kāi)研究.如圖2建立直角坐標(biāo)系，水火箭發(fā)射后落在水平地面A處.科普員提供了該型號(hào)

水火箭與地面成一定角度時(shí)，從發(fā)射到著陸過(guò)程中，水火箭距離地面04的豎直高度y(m)與離發(fā)射點(diǎn)。的水

平距離比(m)的幾組關(guān)系數(shù)據(jù)如下：

水平距離牛m)0341015202227

豎直高度y(m)03.244.168987.043.24

圖1圖2

(1)根據(jù)上表，請(qǐng)確定拋物線的表達(dá)式；

(2)請(qǐng)計(jì)算當(dāng)水火箭飛行至離發(fā)射點(diǎn)。的水平距離為5m時(shí)，水火箭距離地面的豎直高度.

【題型9二次函數(shù)的綜合應(yīng)用之角度問(wèn)題】

【例9】(2024.山東荷澤?中考真題)如圖,拋物線y=a/+6x+c(a大0)與無(wú)軸交于2(-2,0)、L例,0)兩點(diǎn),

與y軸交于點(diǎn)C(0,4),連接AC、BC.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)將A4BC沿AC所在直線折疊，得至UA4DC,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為。，直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo).并求出四邊形

O4OC的面積；

(3)點(diǎn)尸是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)NPCB=N4BC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【變式9-1](2024.山東淄博.中考真題)如圖，拋物線、=a/+6%+3與％軸相交于4(尤1，0),B(>2,0)兩點(diǎn)

(點(diǎn)4在點(diǎn)8的左側(cè))，其中久1，久2是方程/-2久-3=0的兩個(gè)根，拋物線與y軸相交于點(diǎn)C.

備用圖

(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)已知直線=3久+9與x,y軸分別相交于點(diǎn)D,E.

①設(shè)直線BC與/相交于點(diǎn)F,問(wèn)在第三象限內(nèi)的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得NPBF=NDFB?若存在，求出

點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；

②過(guò)拋物線上一點(diǎn)M作直線BC的平行線.與拋物線相交于另一點(diǎn)N.設(shè)直線MB,NC相交于點(diǎn)Q.連接QD,

QE.求線段QD+QE的最小值.

【變式9-2](2024.黑龍江綏化?中考真題)如圖，已知拋物線y=ax2+bx+5(a*0)與x軸交于點(diǎn)4(-5,0),

點(diǎn)B(l,0),(點(diǎn)4在點(diǎn)B的左邊)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，連接BD.直線丫=-3萬(wàn)一|經(jīng)過(guò)

點(diǎn)4且與y軸交于點(diǎn)E.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)N是拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)ABON是以DN為腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)尸為線段4E上的一點(diǎn)，點(diǎn)G為線段。4上的一點(diǎn)，連接FG,并延長(zhǎng)FG與線段BD交于點(diǎn)H(點(diǎn)H在第一

象限).當(dāng)NEFG=3/BAE且=2FG時(shí)，求出點(diǎn)F的坐標(biāo).

【變式9-3](2024?江蘇常州?中考真題)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3的自變量x的部分取值和對(duì)應(yīng)函數(shù)值

y如下表：

X-i0123

y430-5-12

(1)求二次函數(shù)y=ax2+bx+3的表達(dá)式；

(2)將二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖像向右平移k(k>0)個(gè)單位，得到二次函數(shù)y=mx2+nx+q的圖像，

使得當(dāng)—l<x<3時(shí)，y隨x增大而增大；當(dāng)4<久<5時(shí)，y隨x增大而減小，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合條件的二次函

數(shù)y=mx2+nx+q的表達(dá)式y(tǒng)=,實(shí)數(shù)k的取值范圍是；

(3)4、B、C是二次函數(shù)y=a/+bx+3的圖像上互不重合的三點(diǎn).已知點(diǎn)力、B的橫坐標(biāo)分別是m、m+1,

點(diǎn)C與點(diǎn)4關(guān)于該函數(shù)圖像的對(duì)稱軸對(duì)稱，求乙4cB的度數(shù).

【題型10二次函數(shù)的綜合應(yīng)用之線段問(wèn)題】

【例10】(2024?四川德陽(yáng)?中考真題)如圖，拋物線y=--x+c與x軸交于點(diǎn)4(—1,0)和點(diǎn)B,與y軸交于

⑴求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)0<%<2時(shí)，求y=%2-x+c的函數(shù)值的取值范圍;

(3)將拋物線的頂點(diǎn)向下平移J個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)M,點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，求PA+半PM的最小

45

值.

【變式10-1】(2024.江蘇鎮(zhèn)江.中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)丫=

(2)一個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)2、C、M(t,4)三點(diǎn)，其中tKl,該函數(shù)圖像與x軸交于另一點(diǎn)。，點(diǎn)D在線

段。B上(與點(diǎn)。、8不重合).

①若D點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),貝亞=；

②求，的取值范圍：

③求。D的最大值.

【變式10-2X2024.內(nèi)蒙古呼倫貝爾.中考真題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a豐0)

的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)4(4,0).經(jīng)過(guò)點(diǎn)力的直線與該二次函數(shù)圖象交于點(diǎn)B(l,3),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在直線4B上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PE1久軸于點(diǎn)E,與直線4B交于點(diǎn)

D,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為zn.

①加為何值時(shí)線段PD的長(zhǎng)度最大，并求出最大值；

②是否存在點(diǎn)P,使得ABPD與AAOC相似.若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式10-3】(2024?遼寧丹東?中考真題)拋物線y=a/+法一4與x軸交于點(diǎn)2(-4,0),B(2,0),與y軸交

于點(diǎn)C.

備用圖

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖，點(diǎn)。是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)是根(-4＜機(jī)＜2),過(guò)點(diǎn)。作直線DElx軸，垂足

為點(diǎn)E,交直線4C于點(diǎn)尺當(dāng)。，E,尸三點(diǎn)中一個(gè)點(diǎn)平分另外兩點(diǎn)組成的線段時(shí)，求線段DF的長(zhǎng)；

(3)若點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與頂點(diǎn)重合)，點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)N在坐標(biāo)平

面內(nèi)，當(dāng)四邊形CMPN是矩形鄰邊之比為1:2時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)尸的橫坐標(biāo).

【題型11二次函數(shù)的綜合應(yīng)用之面積問(wèn)題】

【例11】(2024?浙江衢州?中考真題)如圖，拋物線y=+x+4與x軸交于點(diǎn)A,B(4在B的左側(cè)),

⑴直接寫(xiě)出點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)；

(2)如圖1,點(diǎn)。在第一象限的拋物線上，點(diǎn)B關(guān)于直線2。的對(duì)稱點(diǎn)E落在y軸上，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)如圖2,點(diǎn)P是第一象限的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)APBC的面積最大時(shí).

①求點(diǎn)P的坐標(biāo).

②點(diǎn)Q在y軸正半軸上，將線段4C繞點(diǎn)Q逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段MN,若線段剛好經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,直接寫(xiě)出點(diǎn)

Q的坐標(biāo).

【變式H-l】(2024?山東日照?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=2/+法+c的圖象與

尤軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-6,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0).

(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)尸是直線4C下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，AACP的面積最大？求此時(shí)點(diǎn)尸的坐

標(biāo)及△4CP面積的最大值.

【變式H-2](2024?湖南益陽(yáng)?中考真題)如圖，已知拋物線y=-/+2%+3,頂點(diǎn)為點(diǎn)尸，與x軸交于點(diǎn)

(2)求APAC的面積；

(3)點(diǎn)。是直線4C上方拋物線上的點(diǎn)(不與尸重合)，是否存在點(diǎn)。，使得4c和APaC面積相等？若存

在，直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由？

【變式H-3](2024?甘肅蘭州?中考真題)拋物線y=a/+bx+3與無(wú)軸交于點(diǎn)4(—1,0),8(3,0)(點(diǎn)4在點(diǎn)B

的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為小，PM||y軸，交直線BC于點(diǎn)M.

備用圖

(1)求a,b的值；

(2)如圖，若點(diǎn)P在第一象限，當(dāng)線段PM長(zhǎng)度最大時(shí)，求小的值；

(3)點(diǎn)Q是y軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為爪+2,過(guò)點(diǎn)Q作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)N.設(shè)以點(diǎn)P,

M,N,Q為頂點(diǎn)的四邊形面積記為S.

①直接寫(xiě)出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；

②直接寫(xiě)出當(dāng)S隨小的增大而增大時(shí)小的取值范圍.

【題型12二次函數(shù)與一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】

【例12】(2024?浙江臺(tái)州?中考真題)【問(wèn)題背景】

“刻漏”是我國(guó)古代的一種利用水流計(jì)時(shí)的工具.綜合實(shí)踐小組準(zhǔn)備用甲、乙兩個(gè)透明的豎直放置的容器和一

根帶節(jié)流閥(控制水的流速大小)的軟管制作簡(jiǎn)易計(jì)時(shí)裝置.

【實(shí)驗(yàn)操作】

綜合實(shí)踐小組設(shè)計(jì)了如下的實(shí)驗(yàn)：先在甲容器里加滿水，此時(shí)水面高度為30cm,開(kāi)始放水后每隔lOmin觀

察一次甲容器中的水面高度，獲得的數(shù)據(jù)如下表：

流水時(shí)間〃min010203040

水面高度/z/cm(觀察值)302928.12725.8

任務(wù)1分別計(jì)算表中每隔lOmin水面高度觀察值的變化量.

【建立模型】

小組討論發(fā)現(xiàn)：”=0,八=30”是初始狀態(tài)下的準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，水面高度值的變化不均勻，但可以用一次函數(shù)

近似地刻畫(huà)水面高度h與流水時(shí)間t的關(guān)系.

任務(wù)2利用t=0時(shí)，h=30；t=10時(shí)，h=29這兩組數(shù)據(jù)求水面高度〃與流水時(shí)間f的函數(shù)解析式.

【反思優(yōu)化】

經(jīng)檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)有兩組表中觀察值不滿足任務(wù)2中求出的函數(shù)解析式，存在偏差.小組決定優(yōu)化函數(shù)解析式,

減少偏差.通過(guò)查閱資料后知道：f為表中數(shù)據(jù)時(shí)，根據(jù)解析式求出所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，計(jì)算這些函數(shù)值與對(duì)

應(yīng)〃的觀察值之差的平方和，記為w；w越小，偏差越小.

任務(wù)3（1）計(jì)算任務(wù)2得到的函數(shù)解析式的w值.

（2）請(qǐng)確定經(jīng)過(guò)（0,30）的一次函數(shù)解析式，使得w的值最小.

【設(shè)計(jì)刻度】

得到優(yōu)化的函數(shù)解析式后，綜合實(shí)踐小組決定在甲容器外壁設(shè)計(jì)刻度，通過(guò)刻度直接讀取時(shí)間.

任務(wù)4請(qǐng)你簡(jiǎn)要寫(xiě)出時(shí)間刻度的設(shè)計(jì)方案.

【變式12-1】（2024?湖北武漢?中考真題）在一條筆直的滑道上有黑、白兩個(gè)小球同向運(yùn)動(dòng)，黑球在力處開(kāi)始

減速，此時(shí)白球在黑球前面70cm處.

黑球白球

O（D

A

小聰測(cè)量黑球減速后的運(yùn)動(dòng)速度》（單位：cm/s）、運(yùn)動(dòng)距離y（單位：cm）隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（單位：s）變化

的數(shù)據(jù)，整理得下表.

運(yùn)動(dòng)時(shí)間t/s01234

運(yùn)動(dòng)速度u/cm/s109.598.58

運(yùn)動(dòng)距離y/cm09.751927.7536

小聰探究發(fā)現(xiàn)，黑球的運(yùn)動(dòng)速度。與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間成一次函數(shù)關(guān)系，運(yùn)動(dòng)距離y與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間成二次函

數(shù)關(guān)系.

（1）直接寫(xiě)出"關(guān)于t的函數(shù)解析式和y關(guān)于t的函數(shù)解析式（不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍）

（2）當(dāng)黑球減速后運(yùn)動(dòng)距離為64cm時(shí)，求它此時(shí)的運(yùn)動(dòng)速度；

（3）若白球:目以2cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，問(wèn)黑球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)不會(huì)碰到白球？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式12-2】（2024?浙江湖州?中考真題）某農(nóng)莊計(jì)劃在30畝空地上全部種植蔬菜和水果，菜農(nóng)小張和果農(nóng)

小李分別承包了種植蔬菜和水果的任務(wù).小張種植每畝蔬菜的工資y（元）與種植面積機(jī)（畝）之間的函數(shù)

如圖①所示，小李種植水果所得報(bào)酬z（元）與種植面積"（畝）之間函數(shù)關(guān)系如圖②所示.

圖①圖②

（1）如果種植蔬菜20畝，則小張種植每畝蔬菜的工資是元，小張應(yīng)得的工資總額是元，此時(shí)，小

李種植水果畝，小李應(yīng)得的報(bào)酬是元；

（2）當(dāng)10<nW30時(shí)，求z與〃之間的函數(shù)關(guān)系式；

⑶設(shè)農(nóng)莊支付給小張和小李的總費(fèi)用為w（元），當(dāng)10<nW30時(shí)，求w與機(jī)之間的函數(shù)關(guān)系式.

【變式12-3］（2024?四川成都?中考真題）某物體從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)所用時(shí)間為7秒，其運(yùn)動(dòng)速度u（米每秒）

關(guān)于時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系如圖所示.某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：該物體前進(jìn)3秒運(yùn)動(dòng)的路程在數(shù)值上等

于矩形力。DB的面積.由物理學(xué)知識(shí)還可知：該物體前t（3<tW7）秒運(yùn)動(dòng)的路程在數(shù)值上等于矩形40DB的

面積與梯形BDNM的面積之和.

根據(jù)以上信息，完成下列問(wèn)題：

（1）當(dāng)3<tW7時(shí)，用含t的式子表示"；

（2）分別求該物體在0WtW3和3<tW7時(shí)，運(yùn)動(dòng)的路程s（米）關(guān)于時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式；并求該物

體從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q總路程的看時(shí)所用的時(shí)間.

特色專項(xiàng)練

【新考向：新考法】

1.（2024?四川樂(lè)山?中考真題）定義：若x,y滿足/=4y+t,y2=4x+t且萬(wàn)豐y為常數(shù)），則稱點(diǎn)M（x,y）

為“和諧點(diǎn)”.

（1）若P（3,m）是“和諧點(diǎn)”，則m=.

（2）若雙曲線y=B（—3<x<—1）存在“和諧點(diǎn)”，則上的取值范圍為.

2.（2024.江蘇泰州?中考真題）二次函數(shù)y=/+3x+n的圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)在y軸右側(cè)，則九的值可

以是（填一個(gè)值即可）

3.（2024?湖北荊州?中考真題）我們約定：（a,6,c）為函數(shù)y=ax2+bx+c的關(guān)聯(lián)數(shù)，當(dāng)其圖象與坐標(biāo)軸交

點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)時(shí)，該交點(diǎn)為“整交點(diǎn)”，若關(guān)聯(lián)數(shù)為（犯-爪-2,2）的函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)整交

點(diǎn)（m為正整數(shù)），則這個(gè)函數(shù)圖象上整交點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【新考向：新趨勢(shì)】

1.（2024?山東濰坊?中考真題）一個(gè)y關(guān)于x的函數(shù)同時(shí)滿足兩個(gè)條件：圖象過(guò)（2,1）點(diǎn)；當(dāng)x>0時(shí)，

y隨x的增大而減小.這個(gè)函數(shù)解析式為.（寫(xiě)出一個(gè)即可）

2.（2024?湖北十堰?中考真題）為早日實(shí)現(xiàn)脫貧奔小康的宏偉目標(biāo)，我市結(jié)合本地豐富的山水資源，大力

發(fā)展旅游業(yè)，王家莊在當(dāng)?shù)卣闹С窒拢k起了民宿合作社，專門(mén)接待游客，合作社共有80間客房.根

據(jù)合作社提供的房間單價(jià)x（元）和游客居住房間數(shù)y（間）的信息，樂(lè)樂(lè)繪制出y與尤的函數(shù)圖象如圖所

示：

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）合作社規(guī)定每個(gè)房間價(jià)格不低于60元且不超過(guò)150元，對(duì)于游客所居住的每個(gè)房間，合作社每天需支

出20元的各種費(fèi)用，房?jī)r(jià)定為多少時(shí)，合作社每天獲利最大？最大利潤(rùn)是多少？

【新考向：新情境】

1.（2024?上海?中考真題）對(duì)于一個(gè)二次函數(shù)y=a（x-m）2+k（a40）中存在一點(diǎn)P（x',y'）,使得x'-m=

y'-k^0,則稱2|久'一刈為該拋物線的“開(kāi)口大小”，那么拋物線y=-jx2+|x+3“開(kāi)口大小”為.

2.（2024?四川樂(lè)山?中考真題）我們用符號(hào)團(tuán)表示不大于工的最大整數(shù).例如：[1.5]=1,[-1.5]=-2.那

么:

（1）當(dāng)一1<[x]<2時(shí)，x的取值范圍是；

（2）當(dāng)-lWx<2時(shí)，函數(shù)y=久？-2磯燈+3的圖象始終在函數(shù)y=[x]+3的