2025年全國乙卷理數(shù)試題及答案

全國乙卷理數(shù)試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題5分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x，求f(x)的極值點(diǎn)。

A.x=-1

B.x=0

C.x=1

D.x=3

2.在三角形ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且a=3，b=4，c=5，則角A的度數(shù)為：

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

3.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n^2-3n+2，求該數(shù)列的前5項(xiàng)和。

A.10

B.20

C.30

D.40

4.已知復(fù)數(shù)z=2+3i，求|z|^2的值。

A.13

B.17

C.23

D.29

5.已知函數(shù)g(x)=ax^2+bx+c，其中a、b、c為常數(shù)，且g(0)=2，g(1)=5，g(2)=8，求a、b、c的值。

A.a=1，b=2，c=1

B.a=2，b=3，c=2

C.a=3，b=4，c=3

D.a=4，b=5，c=4

二、填空題（每題5分，共25分）

6.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，求第10項(xiàng)an的值。

7.已知函數(shù)h(x)=x^3-3x^2+4x-1，求h(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)。

8.已知復(fù)數(shù)z=1-2i，求z的共軛復(fù)數(shù)。

9.已知三角形ABC的面積為S，邊長(zhǎng)分別為a、b、c，求三角形ABC的外接圓半徑R。

10.已知數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=n(n+1)，求該數(shù)列的前n項(xiàng)和。

三、解答題（每題15分，共45分）

11.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x，求f(x)的極值點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的極值。

12.已知數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn=n^2+2n+1，求該數(shù)列的前n項(xiàng)和。

13.已知復(fù)數(shù)z=1+2i，求|z|^2的值。

四、解答題（每題15分，共45分）

14.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an=Sn-Sn-1，若a1=2，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式。

15.已知函數(shù)g(x)=(x-1)^2+1，求函數(shù)g(x)的圖像特征，包括頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸和與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)。

16.已知三角形ABC的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且滿足a^2+b^2=c^2，求角C的正弦值。

五、綜合題（每題20分，共40分）

17.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3^n-2^n，求該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，并證明Sn的表達(dá)式為Sn=3^n-1。

18.已知函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并找出函數(shù)的極值點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的極值。

六、應(yīng)用題（每題20分，共40分）

19.一輛汽車以60公里/小時(shí)的速度行駛，在行駛過程中，每小時(shí)的燃油消耗量為30升。若汽車油箱容量為100升，求汽車最多可以行駛多少小時(shí)。

20.某公司計(jì)劃投資100萬元用于購買設(shè)備。若購買設(shè)備A，則每年可產(chǎn)生10萬元的利潤(rùn)；若購買設(shè)備B，則每年可產(chǎn)生15萬元的利潤(rùn)。已知設(shè)備A的使用壽命為5年，設(shè)備B的使用壽命為3年。求該公司應(yīng)該購買哪種設(shè)備，以使總利潤(rùn)最大。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析思路：

1.答案：C

解析思路：求極值點(diǎn)需要先求導(dǎo)數(shù)，f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1，將x=1代入f(x)，得f(1)=1-3+2=0，極小值點(diǎn)；將x=-1代入f(x)，得f(-1)=-1+3-2=0，極大值點(diǎn)。

2.答案：D

解析思路：根據(jù)勾股定理，若a^2+b^2=c^2，則三角形ABC為直角三角形，角C為直角，即90°。

3.答案：C

解析思路：an=n^2-3n+2，S5=a1+a2+a3+a4+a5=(1^2-3*1+2)+(2^2-3*2+2)+(3^2-3*3+2)+(4^2-3*4+2)+(5^2-3*5+2)=5。

4.答案：A

解析思路：|z|^2=(2^2+3^2)=13。

5.答案：B

解析思路：由g(0)=2，得c=2；由g(1)=5，得a+b+c=5，代入c=2，得a+b=3；由g(2)=8，得4a+2b+c=8，代入c=2，得4a+2b=6，解得a=1，b=2。

二、填空題答案及解析思路：

6.答案：a10=10d+a1

解析思路：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d，代入n=10，得a10=a1+9d。

7.答案：h'(1)=2

解析思路：求導(dǎo)數(shù)h'(x)=3x^2-6x+4，代入x=1，得h'(1)=2。

8.答案：z的共軛復(fù)數(shù)為1+2i

解析思路：復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為實(shí)部不變，虛部取相反數(shù)。

9.答案：R=(abc)/(4S)

解析思路：三角形的外接圓半徑R與面積S的關(guān)系為R=(abc)/(4S)。

10.答案：Sn=n(n+1)(n+2)/3

解析思路：利用分組求和法，將數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)分成n組，每組的和為n(n+1)，共有n組，所以Sn=n(n+1)(n+2)/3。

三、解答題答案及解析思路：

11.答案：極值點(diǎn)為x=1，極大值為f(1)=0，極小值為f(-1)=0

解析思路：求導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0，解得x=1，將x=1代入f(x)，得f(1)=0，極小值點(diǎn)；將x=-1代入f(x)，得f(-1)=0，極大值點(diǎn)。

12.答案：Sn=n^3+3n^2+2n

解析思路：利用分組求和法，將數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)分成n組，每組的和為n^3，共有n組，所以Sn=n^3+3n^2+2n。

13.答案：|z|^2=5

解析思路：|z|^2=(1^2+2^2)=5。

四、解答題答案及解析思路：

14.答案：an=2^n

解析思路：由an=Sn-Sn-1，得an=2^n-(2^(n-1)-2^(n-2)+...+2-1)，化簡(jiǎn)得an=2^n。

15.答案：頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，對(duì)稱軸為x=1，與x軸交點(diǎn)為(1,0)，與y軸交點(diǎn)為(0,1)

解析思路：求導(dǎo)數(shù)g'(x)=2(x-1)，令g'(x)=0，解得x=1，代入g(x)，得g(1)=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)；對(duì)稱軸為x=1；令x=0，得g(0)=1，與y軸交點(diǎn)為(0,1)；令y=0，得g(x)=0，解得x=1，與x軸交點(diǎn)為(1,0)。

16.答案：sinC=b/c

解析思路：由余弦定理，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)，代入a^2+b^2=c^2，得cosC=0，所以sinC=b/c。

五、綜合題答案及解析思路：

17.答案：Sn=3^n-1

解析思路：由an=3^n-2^n，得Sn=a1+a2+...+an=(3^1-2^1)+(3^2-2^2)+...+(3^n-2^n)=3(3^n-1)-2(2^n-1)=3^n-1。

18.答案：?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間為(-∞,1)和(3,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1,3)，極大值為f(1)=0，極小值為f(3)=0

解析思路：求導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1和x=3，f'(x)在x=1左側(cè)為正，在x=1右側(cè)為負(fù)，所以x=1為極大值點(diǎn)；f'(x)在x=3左側(cè)為負(fù)，在x=3右側(cè)為正，所以x=3為極小值點(diǎn)。

六、應(yīng)用題答案及解析思路：

19.答案：汽車最多可以行駛3