北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊壓軸題專練：二元一次方程組的應(yīng)用（九大題型總結(jié)）含答案及解析

二元一次方程組的應(yīng)用壓軸題（九大題型總結(jié)）

【題型一：行程問題】

1.（23-24七年級下?北京延慶?期末）學(xué)校和博物館相距20千米，小明與小強分別從學(xué)校和博物館出發(fā)，

相向而行.如果小明比小強早出發(fā)30分鐘，那么在小強出發(fā)后2小時，他們相遇；如果他們同時出發(fā)，那

么1小時后兩人還相距11千米.求小明、小強每小時各走多少千米.

2.（23-24七年級下?吉林白城?期末）一艘輪船在相距120千米的甲、乙兩地之間勻速航行，從甲地到乙地

順流航行用了6小時，逆流航行比順流航行多用了4小時.求該輪船在靜水中的速度和水流速度.

3.（23-24七年級下?山東臨沂?期末）甲、乙兩人在400米的環(huán)形跑道上練習(xí)賽跑，如果兩人同時同地反向

跑，經(jīng)過25秒第一次相遇；如果兩人同時同地同向跑，經(jīng)過200秒甲第一次追上乙，求甲、乙兩人的平均

速度.

4.（23-24七年級下?全國?課后作業(yè)）學(xué)校組織學(xué)生乘汽車去自然保護(hù)區(qū)野營，前1路段為平路，其余路段

為坡路.已知汽車在平路上行駛的速度為60km/h,在坡路上行駛的速度為30km/h.汽車從學(xué)校到自然保

護(hù)區(qū)一共行駛了&5h,求汽車在平路和坡路上各行駛了多長時間.

5.（24-25九年級上?全國?課后作業(yè)）/、8兩地相距12km,甲騎電動車從/地出發(fā)到8地，與此同時，

乙騎電動車從8地出發(fā)到/地，兩人均保持勻速行駛.已知第10分鐘兩人相遇，又經(jīng)過4分鐘，甲剩余路

程是乙剩余路程的8倍.求甲、乙二人的騎行速度.

【題型二：工程問題】

6.（23-24七年級下?福建泉州?期末）6.18期間某網(wǎng)店銷量大增，共售出商品520件，安排甲、乙兩個工人

打包發(fā)貨，若甲先做2小時，然后兩人再共做3小時，則還有10件沒有打包；若兩人合作4小時，恰好打

包完.問甲、乙兩個工人每小時各打包多少件商品？

7.（2024七年級下?全國?專題練習(xí)）一項工程，甲隊獨做需12天完成，乙隊獨做需15天完成，丙隊獨做

需20天完成.按原計劃，這項工程要在7天內(nèi)完成，現(xiàn)在甲、乙兩隊先合作若干天，以后為加快進(jìn)度，丙

隊同時加入這項工作，這樣比原計劃提前一天完成，求甲、乙兩隊先合作了多少天.

8.（24-25七年級上?四川成都?開學(xué)考試）一家工廠里2個男工和4個女工一天可加工全部零件的得，8個

男工和10個女工一天內(nèi)可加工完全部零件.如果把單獨讓男工加工和單獨讓女工加工進(jìn)行比較，要在一天

內(nèi)完成任務(wù)，女工要比男工多多少人？

9.（23-24七年級下?湖南郴州?階段練習(xí)）為防止城市雨水內(nèi)澇，政府對一段1200米長的管道進(jìn)行改造，

如果乙工程隊單獨施工了18天，剩余的任務(wù)由甲工程隊再單獨施工8天可以完成；如果甲工程隊單獨施工

了16天，剩余的任務(wù)由乙工程隊再單獨施工6天可以完成.

（1）甲、乙工程隊每天各施工多少米？

（2）若甲工程隊施工一天的費用為3000元，乙工程隊施工一天的費用為2000元，當(dāng)兩隊施工天數(shù)相同時,

求需支付的總費用為多少元？

10.（23-24八年級下?吉林?期中）一家商場進(jìn)行裝修，若請甲、乙兩個裝修隊同時施工，8天可以完成，需

付兩個裝修隊費用共3520元；若先請甲裝修隊單獨施工6天，再請乙裝修隊單獨施工12天也可以完成，需付

兩個裝修隊費用共3480元.

（1）求甲、乙兩個單獨裝修一天，商場各應(yīng)付多少元？

（2）若只選一個裝修隊單獨完成，從節(jié)約開支角度考慮，應(yīng)選裝修隊，比另一裝修隊少花元.

【題型三：數(shù)字問題】

11.（23-24七年級下?甘肅天水?階段練習(xí)）一個兩位數(shù)的十位數(shù)字比個位數(shù)字大2,如果將十位數(shù)字與個

位數(shù)字交換位置，所得新數(shù)和原數(shù)的和是66,求原來的兩位數(shù)是幾？

12.（23-24八年級上?陜西西安?階段練習(xí)）一個兩位數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字之和是7,若把這個兩位數(shù)

加上9,所得的兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字恰好與原來的兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字顛倒了，求原來的

兩位數(shù).

13.（23-24七年級下?全國?課后作業(yè)）有甲、乙兩個兩位數(shù)，若把甲數(shù)放在乙數(shù)的左邊，組成的四位數(shù)是

乙數(shù)的201倍；若把乙數(shù)放在甲數(shù)的左邊，組成的四位數(shù)比上面的四位數(shù)小1188,求甲、乙這兩個數(shù).

14.（24-25八年級上?全國?課后作業(yè)）一個三位數(shù)是它各數(shù)位上數(shù)字之和的27倍.已知百位上的數(shù)字與個

位上的數(shù)字之和比十位上的數(shù)字大L若把百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字交換位置，則所得的新數(shù)比原數(shù)大

99.求這個三位數(shù).

15.（23-24七年級下?內(nèi)蒙古烏蘭察布?期中）將自然數(shù)排列在多個同心圓或多個連環(huán)圓上，使各圓周上的

數(shù)之和相同，各條直徑上的數(shù)之和也相同，就得到了幻圓.著名的同心幻圓有楊輝的攢九圖和丁易東的太

衍五十圖.如圖是一個簡單的二階幻圓模型，要求：

①內(nèi)、外兩個圓周上的四個數(shù)之和相等；

②外圓兩直徑上的四個數(shù)之和相等.

求圖中兩空白圓圈內(nèi)的數(shù)字.

【題型四：年齡問題】

16.（23-24七年級下?全國?課后作業(yè)）一名34歲的男子帶著他的兩個孩子一同接受采訪，下面是兩個孩子

與記者的對話：

?！段液透绺绲哪挲g'四年門,徐株年齡的

J\知是16歲.」3儕'j我的年酢柳加

恰好等于衽爸的年齡

工__________________

根據(jù)對話內(nèi)容，哥哥和妹妹的年齡分別是.

17.（2024七年級?全國?競賽）小強問他的數(shù)學(xué)老師今年多少歲了，數(shù)學(xué)老師說：“我像你這么大時，你才1

歲.你到我這么大時，我就40歲了.”那么數(shù)學(xué)老師今年的歲數(shù)是歲.

18.（23-24七年級下?河南鄭州?開學(xué)考試）父親今年44歲，兒子今年16歲，當(dāng)父親的年齡是兒子的8倍

時，父子的年齡和是歲.

19.（23-24七年級上?廣東江門?開學(xué)考試）甲對乙說：“我像你這樣大歲數(shù)的那年，你的歲數(shù)等于我今年的

歲數(shù)的一半；當(dāng)你到我這樣大歲數(shù)的時候，我的歲數(shù)是你今年歲數(shù)的二倍少7歲.”則今年甲的年齡為

歲，乙的年齡為歲.

20.（23-24七年級下?江蘇宿遷?期末）爸爸、媽媽、我、妹妹，四人今年的年齡之和是101歲，爸爸比媽

媽大1歲，我比妹妹大6歲，十年前，我們一家的年齡之和是63歲，今年爸爸的年齡是（）

A.38歲B.39歲C.40歲D.41歲

【題型五：分配問題】

21.（23-24七年級下?廣東汕頭?期末）一套儀器由一個N部件和三個8部件構(gòu)成.用lm3鋼材可做40個/

部件或240個3部件，現(xiàn)要用6m3鋼材制作這種儀器，應(yīng)用多少鋼材做工部件，多少鋼材做8部件，恰好

配成這種儀器多少套?

22.（24-25八年級上?全國?課后作業(yè)）某工廠加工螺栓、螺母，已知每塊金屬原料可以加工成3個螺栓或4

個螺母（每塊金屬原料無法同時既加工螺栓又加工螺母），已知1個螺栓和2個螺母組成一個零件.若把

26塊相同的金屬原料全部加工完，則加工的螺栓和螺母是否存在恰好配套？若存在恰好配套，請求出加工

螺栓和螺母各需要的金屬原料的塊數(shù)；若不存在恰好配套，請說明理由.

23.（23-24七年級下?廣東廣州?期中）福林制衣廠現(xiàn)有24名制作服裝的工人，每天都制作某種品牌的襯衫

和褲子，每人每天可制作這種襯衫3件或褲子5條.已知制作一件襯衫可獲得利潤30元，制作一條褲子可

獲得利潤16元，若該廠要求每天獲得利潤2100元，則需要安排多少名工人制作襯衫？多少名工人制作褲

子？

24.（23-24八年級上?河南鄭州?期末）某校準(zhǔn)備組織師生共300人參加一項公益活動，學(xué)校聯(lián)系租車公司

提供車輛，該公司現(xiàn)有8兩種座位數(shù)不同的車型，如果租用N型車3輛，8型車3輛，則空余15個座

位；如果租用/型車5輛，8型車1輛，則有15個人沒座位.

（1）求4,2兩種車型各有多少個座位.

（2）若最終租用了兩種車型的車，且座位恰好坐滿，則兩種車型的車各租用了多少輛？

25.（23-24八年級上?貴州畢節(jié)?期末）運輸公司要把120噸物資從/地運往5地，有甲、乙、丙三種車型

供選擇，每種型號的車輛的運載量和運費如表所示.

車型甲乙丙

運載量（噸/輛）5810

運費（元/輛）450600700

解答下列問題:（假設(shè)每輛車均滿載）

（1）若全部物資僅用甲、乙型車一次運完，需運費9600元，則甲、乙型車分別需要多少輛？

（2）若用甲、乙、丙型車共14輛同時參與運送，且一次運完全部物資，其中甲型車有2輛，則乙、丙型

車分別需要多少輛？此時的總運費是多少？

【題型六：銷售利潤問題】

26.（24-25九年級上?海南海口?期中）某小區(qū)為了綠化環(huán)境，計劃分兩次購進(jìn)3兩種樹苗，第一次購

進(jìn)/種樹苗30棵，8種樹苗15棵，共花費1350元；第二次購進(jìn)/種樹苗24棵，8種樹苗10棵，共花費

1060元.（兩次購進(jìn)的4,8兩種樹苗各自的單價均不變），A,2兩種樹苗每棵的價格分別是多少元？

27.（23-24七年級下?廣東汕頭?期末）為慶祝“六一”兒童節(jié)，某商場全部商品打折出售.打折前，買60件

4商品和30件3商品用了1080兀，買50件4商品和10件3商品用了840兀；打折后，買500件/商品

和400件5商品用了8640元.求該商場商品打幾折？

28.（23-24七年級下?四川成都?階段練習(xí)）近期，成都商品住宅市場房屋銷售出現(xiàn)銷售量和銷售價齊漲態(tài)

勢，數(shù)據(jù)顯示，2024年2月，甲、乙房地產(chǎn)公司的銷售面積一共18000平方米，乙房地產(chǎn)公司的單價是甲

房地產(chǎn)公司單價的簫.甲房地產(chǎn)公司單價為每平方米1.6萬元，兩家銷售的總金額為30520萬元.

（1）求2024年2月，甲、乙房地產(chǎn)公司各銷售了多少平方米？

（2）根據(jù)市場需求，甲、乙房地產(chǎn)公司決定調(diào)整2024年3月份的房價，甲房地產(chǎn)公司每平方米的售價上

漲a%,銷售量預(yù)計比2024年2月減少200平方米；乙房地產(chǎn)公司決定以降價促銷的方式應(yīng)對當(dāng)前的形勢,

每平方米的售價下調(diào)3％,銷售面積預(yù)計將比2024年2月增加900平方米，預(yù)計2024年3月份兩家的總銷

售額恰好為32437萬元，求a的值.

29.（24-25七年級上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）某學(xué)年計劃從商場批發(fā)帽子和手套獎勵給部分同學(xué)，商場

標(biāo)價，帽子單價是50元，手套單價為22元，并且學(xué)年用于購進(jìn)帽子和手套的總金額相等.（一頂帽子為一

件，一副手套為一件）.

（1）第一次購進(jìn)的帽子和手套共288件，求第一學(xué)年購買帽子和手套各多少件？

（2）第二次購買時從商場得知，帽子100件起售，超過100件的部分每件打八折，不超過100件的部分不予

以優(yōu)惠；手套50件起售，超過50件的部分，每件優(yōu)惠2元，不超過50件的部分不予以優(yōu)惠，經(jīng)過學(xué)年統(tǒng)計,

此次需購買帽子超過100件，購買手套也超過50件，且第二次購買帽子和手套共375件，則該學(xué)年第二次需

準(zhǔn)備多少資金用來購買手套和帽子.

30.（24-25八年級上?全國?期末）隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜

愛的交通工具.某4s店用120萬元購進(jìn)，，8兩種新能源汽車進(jìn)行銷售，這兩種汽車的進(jìn)價和售價如下表

所示，全部銷售后可獲毛利潤16萬元.［毛利潤=（售價-進(jìn)價）X銷售量］

AB

進(jìn)價/（萬元/輛）1512

售價/（萬元/輛）16.514

（1）該4s店購進(jìn)2兩種新能源汽車各多少輛?

（2）由于銷售狀況特別好，該4s店決定再用240萬元同時購進(jìn)8兩種新能源汽車（240萬元資金剛好

用完且兩種汽車均購買），有哪幾種購買方案?

【題型七：和差倍分問題】

31.（23-24七年級下?河南新鄉(xiāng)?期中）如圖，足球的表面是由32塊呈多邊形的黑、白皮塊縫合而成的，已

知黑色皮塊數(shù)比白色皮塊數(shù)的一半多2塊，則白色皮塊的塊數(shù)是（）

A.18B.20C.22D.24

32.（2024?浙江?二模）2023年元旦期間，小華和家人到杭州西湖景區(qū)游玩，湖邊有大小兩種游船，小華發(fā)

現(xiàn)：2艘大船與3艘小船一次共可以滿載游客60人，1艘大船與1艘小船一次共可以滿載游客26人.則1艘

大船可以滿載游客的人數(shù)為（）

A.10B.16C.18D.20

33.（23-24七年級下?浙江寧波?期中）甲、乙兩人各有書若干本，如果甲從乙處拿10本，那么甲所有的書

就比乙所有的書多5倍；如果乙從甲處拿10本，那么兩人所有的書相等.問：甲、乙兩人原來各有書多少

本？

34.（2024六年級下?上海?專題練習(xí)）學(xué)校合唱隊男生人數(shù)是女生人數(shù)的,后來調(diào)入3名女生，這時男生

人數(shù)與女生人數(shù)的比是3:4,學(xué)校合唱隊原來有多少名同學(xué)?

35.（23-24七年級下?吉林長春?階段練習(xí)）為讓學(xué)生們感受書香文化，學(xué)校組織學(xué)生們?nèi)ナD書館閱讀,

計劃將學(xué)生分若干小組管理，每個小組由一位教師帶領(lǐng).若每位教師帶19名學(xué)生，則剩余26名學(xué)生；若

每位教師帶20名學(xué)生，則最后一位教師只需帶5名學(xué)生.求此次帶隊的教師人數(shù).（列方程或方程組求解）

【題型八：幾何問題】

36.（23-24七年級下?廣西河池?期末）如圖，八塊相同的小長方形地磚拼成一個大長方形，則每塊小長方

形地磚的寬等于cm.

37.（23-24七年級下?山東臨沂?期末）如圖，在長方形4BCD中，放入六個形狀、大小相同的小長方形，所

標(biāo)尺寸分別為20cm和8cm,如圖所示，則圖中陰影部分的總面積為cm2.

38.（23-24七年級下?廣西南寧?期末）如圖，大長方形是由正方形/、2和長方形①、②、③組成，若長

方形①的周長為25,長方形②的周長為13,則正方形/、8的邊長之比是.

39.（23-24七年級下?湖南郴州?階段練習(xí)）劉爺爺計劃在一塊長為20m,寬為17m的長方形空地種上蔬菜,

如圖所示，在空地上留出三個完全相同的小長方形和四個完全相同的正方形來種植番茄（陰影部分），其

余部分種植辣椒.已知正方形的邊長與小長方形的寬相等，請分別求出種番茄和辣椒的面積.

40.（23-24七年級下?山西呂梁?期末）綜合與實踐：設(shè)計制作紙盒方案

素材一：如圖1,現(xiàn)將300張紙板裁剪成材料，1張紙板可以裁成4個正方形或3個長方形，并用這些材料

制作兩種無蓋紙盒（如圖2）,橫式無蓋紙盒需要2個正方形和3個長方形，豎式無蓋紙盒需要1個正方形

和4個長方形.

橫式無薪紙盒豎式無贏紙盒

圖1圖2

素材二：①所有紙板都要裁剪，且每張紙板只能裁剪一種材料.

②制作紙盒后沒有剩余材料.

（1）問題解決：為方便解決問題，設(shè)制作了橫式無蓋紙盒加個，豎式無蓋紙盒"個.

問題一：初探材料用量，請完善下表：

紙盒類型正方形（張數(shù)）長方形（張數(shù)）

m個橫式無蓋紙盒3m

n個豎式無蓋紙盒n

問題二：再探關(guān)系，請完善下表:

需裁成正方形的紙板數(shù)（張）需裁成長方形的紙板數(shù)（張）合計

300

問題三：寫出機，〃之間滿足的關(guān)系式：；

（2）方案選擇：用這300張紙板制作兩種紙盒，并且材料沒有剩余，得到的橫式無蓋紙盒的數(shù)量能否為豎

式無蓋紙盒數(shù)量的二倍，請你做出判斷，寫出詳細(xì)的解答過程.

【題型九：古代問題】

41.（24-25八年級上?北京?階段練習(xí)）中國清代算書《御制數(shù)理精蘊》中有這樣一題：“馬四匹、牛六頭,

共價四十八兩（我國古代貨幣單位）；馬三匹、牛五頭，共價三十八兩，問馬、牛各價幾何？”通過計算可得

每匹馬的價格為（）

A.4兩B.5兩C.6兩D.7兩

42.（23-24八年級上?湖南岳陽?開學(xué)考試）《九章算術(shù)》中有這樣的問題：只聞隔壁人分銀，不知多少銀

和人；每人6兩少6兩，每人半斤多半斤；試問各位善算者，有人分銀（注：1斤=10兩）.

43.（23-24八年級上?全國?單元測試）《九章算術(shù)》中記載：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，

不足三.問人數(shù)、羊價各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊，若每人出五錢，還差45錢；若每人出七錢,

還差3錢.問合伙人數(shù)是多少？此問題中合伙人數(shù)為.

44.（23-24七年級下?山東泰安?期末）《孫子算經(jīng)》中有一道題：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩七

尺：屈繩量之，不足一尺，木長幾何？”譯文大致是：“用一根繩子去量一根木條，繩子剩余7尺；將繩子對

折再量木條，木條剩余1尺，問木條長多少尺？”如果設(shè)木條長x尺，繩子長y尺.貝氏+y=尺.

45.（2024?湖北黃岡?模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本

框架，其中方程術(shù)是重要的數(shù)學(xué)成就.書中有一個方程問題：“五只雀，六只燕，共重1斤（等于16兩），

雀重燕輕，互換其中一只，恰好一樣重，問：每只雀、燕的重量各為多少？”答：每只雀有

兩，每只燕有兩.

二元一次方程組的應(yīng)用壓軸題（九大題型總結(jié)）

【題型一：行程問題】

1.（23-24七年級下?北京延慶?期末）學(xué)校和博物館相距20千米，小明與小強分別從學(xué)校和博物館出發(fā)，

相向而行.如果小明比小強早出發(fā)30分鐘，那么在小強出發(fā)后2小時，他們相遇；如果他們同時出發(fā)，那

么1小時后兩人還相距11千米.求小明、小強每小時各走多少千米.

【思路點撥】

本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出合適的等量關(guān)系，列方程組求解.

設(shè)小明每小時走x千米，小強每小時走了千米,根據(jù)小明走2.5小時的路程-小強走2小時的路程=20千米,

他們共同走1個小時，倆人走的路程差為11千米，據(jù)此列方程組求解.

【解題過程】

解：設(shè)小明每小時走x千米，每小時走y千米，根據(jù)題意列方程組，得：，

解這個方程組，得：

答：小明每小時走4千米，小強每小時走5千米.

2.（23-24七年級下?吉林白城?期末）一艘輪船在相距120千米的甲、乙兩地之間勻速航行，從甲地到乙地

順流航行用了6小時，逆流航行比順流航行多用了4小時.求該輪船在靜水中的速度和水流速度.

【思路點撥】

本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用一航行問題.熟練掌握船順?biāo)俣取⒛嫠俣扰c靜水中速度和水

流速度的關(guān)系，列出二元一次方程組，是解題的關(guān)鍵.

設(shè)該輪船在靜水中的速度是久km/h,水流速度是ykm/h,根據(jù)路程=速度x時間，即可得出關(guān)于x、y的二元

一次方程組，解之即可得出結(jié)論.

【解題過程】

解：設(shè)該輪船在靜水中的速度為xkm/h,水流速度為ykm/h.

依題意，得｛6(x+y)=120

(6+4)(x-y)=120'

解得，（x-=16

.y=4,

答：該輪船在靜水中的速度為16km/h,水流速度為4km/h.

3.（23-24七年級下?山東臨沂?期末）甲、乙兩人在400米的環(huán)形跑道上練習(xí)賽跑，如果兩人同時同地反向

跑，經(jīng)過25秒第一次相遇；如果兩人同時同地同向跑，經(jīng)過200秒甲第一次追上乙，求甲、乙兩人的平均

速度.

【思路點撥】

設(shè)甲的速度為X米/秒，乙的速度為y米/秒，根據(jù)“如果兩人同時同地反向跑，經(jīng)過25秒第一次相遇；如果兩

人同時同地同向跑，經(jīng)過200秒甲第一次追上乙”，即可得出關(guān)于X,y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)

論.

【解題過程】

解：設(shè)甲的速度為x米/秒，乙的速度為y米/秒，

依題意，W：（200x-200}7=^400

解得:=1

答：甲的速度為9米/秒，乙的速度為7米/秒.

4.（23-24七年級下?全國?課后作業(yè)）學(xué)校組織學(xué)生乘汽車去自然保護(hù)區(qū)野營，前爭各段為平路，其余路段

為坡路.已知汽車在平路上行駛的速度為60km/h,在坡路上行駛的速度為30km/h.汽車從學(xué)校到自然保

護(hù)區(qū)一共行駛了6.5h,求汽車在平路和坡路上各行駛了多長時間.

【思路點撥】

本題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用，設(shè)汽車在平路上行駛了xh,在坡路上行駛了yh,再利用汽車從學(xué)校

到自然保護(hù)區(qū)一共行駛了6.5h,前g路段為平路，建立方程組求解即可.

【解題過程】

解：設(shè)汽車在平路上行駛了xh,在坡路上行駛了yh,

由題忌，得=|（60x+3Oy）,解得{y=5.2

答：汽車在平路上行駛了1.3h,在坡路上行駛了5.2h.

5.（24-25九年級上?全國?課后作業(yè)）/、2兩地相距12km,甲騎電動車從/地出發(fā)到2地，與此同時，

乙騎電動車從3地出發(fā)到/地，兩人均保持勻速行駛.已知第10分鐘兩人相遇，又經(jīng)過4分鐘，甲剩余路

程是乙剩余路程的8倍.求甲、乙二人的騎行速度.

【解題過程】

解：設(shè)甲的騎行速度為xkm/h,乙的騎行速度為ykm/h,

10,10

而％+而y=12,

依題意得

12-1211%=8112----1-0-+--4y

60V60/

解得&=48：

答：甲的騎行速度為24km/h,乙的騎行速度為48km/h.

【題型二：工程問題】

6.（23-24七年級下?福建泉州?期末）6.18期間某網(wǎng)店銷量大增，共售出商品520件，安排甲、乙兩個工人

打包發(fā)貨，若甲先做2小時，然后兩人再共做3小時，則還有10件沒有打包；若兩人合作4小時，恰好打

包完.問甲、乙兩個工人每小時各打包多少件商品？

【思路點撥】

本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，設(shè)甲每小時打包x件、乙每小時打包y件，根據(jù)“若甲先做2小時，然后

兩人再共做3小時，則還有10件沒有打包；若兩人合作4小時，恰好打包完”列出二元一次方程組，解方

程組即可得出答案，理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解此題的關(guān)鍵.

【解題過程】

解：設(shè)甲每小時打包萬件、乙每小時打包y件，

依題意,得產(chǎn)+常/瑞-叫

解這個方程組，得鉗，

經(jīng)檢驗，符合題意，

答：甲每小時打包60件、乙每小時打包70件.

7.（2024七年級下?全國?專題練習(xí)）一項工程，甲隊獨做需12天完成，乙隊獨做需15天完成，丙隊獨做

需20天完成.按原計劃，這項工程要在7天內(nèi)完成，現(xiàn)在甲、乙兩隊先合作若干天，以后為加快進(jìn)度，丙

隊同時加入這項工作，這樣比原計劃提前一天完成，求甲、乙兩隊先合作了多少天.

【思路點撥】

本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用；設(shè)甲、乙先合作做了x天，丙隊加入后又做了y天，根據(jù)題意列出二元

一次方程，解方程，即可求解.

【解題過程】

%+y=7-1

b+/+（工+工+/=1

解得C:%

答：甲、乙兩隊先合作了4天.

8.（24-25七年級上?四川成都?開學(xué)考試）一家工廠里2個男工和4個女工一天可加工全部零件的玲，8個

男工和10個女工一天內(nèi)可加工完全部零件.如果把單獨讓男工加工和單獨讓女工加工進(jìn)行比較，要在一天

內(nèi)完成任務(wù)，女工要比男工多多少人？

【思路點撥】

本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用——工程問題.解題的關(guān)鍵是熟練掌握工作量與工作效率和工作時

間關(guān)系，列方程計算.

設(shè)男工的工作效率為無，女工的工作效率為外根據(jù)2個男工和4個女工一天可加工全部零件的玲，8個男

工和10個女工一天內(nèi)可加工完全部零件，列出方程組，解方程組即可.

【解題過程】

解：設(shè)男工的工作效率為x,女工的工作效率為力

根據(jù)題意得，停+普=1,

18%+10y=1

1

-一

解諄

-早

-

30

如果單獨讓男工加工或單獨讓女工加工，

需要女工1+擊=30（人），

需要男工12（人），

女工比男工多30-12=18（人）.

故女工比男工要多18人.

9.（23-24七年級下?湖南郴州?階段練習(xí)）為防止城市雨水內(nèi)澇，政府對一段1200米長的管道進(jìn)行改造，

如果乙工程隊單獨施工了18天，剩余的任務(wù)由甲工程隊再單獨施工8天可以完成；如果甲工程隊單獨施工

了16天，剩余的任務(wù)由乙工程隊再單獨施工6天可以完成.

（1）甲、乙工程隊每天各施工多少米？

（2）若甲工程隊施工一天的費用為3000元，乙工程隊施工一天的費用為2000元，當(dāng)兩隊施工天數(shù)相同時,

求需支付的總費用為多少元？

【思路點撥】

本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，以及一元一次方程的應(yīng)用，分析題意，找到關(guān)鍵描述語，找到合適的等

量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)甲工程隊每天施工X米，乙工程隊每天施工y米，根據(jù)題意列出二元一次方程組求解，即可解題；

(2)設(shè)甲工程隊施工。天，需支付的總費用為w元，則乙工程隊施工a天，根據(jù)題意列出方程求出。的值,

再根據(jù)“總費用=甲工程隊費用+乙工程隊費用求解”即可解題.

【解題過程】

(1)解：設(shè)甲工程隊每天施工x米，乙工程隊每天施工y米，

根據(jù)題意，得償北1罌m

解得｛；：40.

答：甲工程隊每天施工60米，乙工程隊每天施工40米；

(2)設(shè)甲工程隊施工。天，需支付的總費用為w元，則乙工程隊施工。天，

則60a+40a=1200,

解得a=12,

iv=3000x12+2000X12=60000(元).

答：需支付的總費用為60000元.

10.(23-24八年級下?吉林?期中)一家商場進(jìn)行裝修，若請甲、乙兩個裝修隊同時施工，8天可以完成，需

付兩個裝修隊費用共3520元；若先請甲裝修隊單獨施工6天，再請乙裝修隊單獨施工12天也可以完成，需付

兩個裝修隊費用共3480元.

(1)求甲、乙兩個單獨裝修一天，商場各應(yīng)付多少元？

(2)若只選一個裝修隊單獨完成，從節(jié)約開支角度考慮，應(yīng)選裝修隊，比另一裝修隊少花元.

【思路點撥】

此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程組.

(1)設(shè)甲每天費用為x元，乙每天費用為y元，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：①甲、乙兩個工程隊同時施工，8

天可以完成，需付兩隊費用共3520元；②甲隊單獨做6天，再請乙隊單獨做12天可以完成，需付兩隊費用

共3480元，根據(jù)費用列出方程組，解方程組即可；

(2)設(shè)甲每天完成x,乙每天完成y,根據(jù)題意可得等量關(guān)系：①甲和乙8天的工作量=1,②甲6天的工

作量+乙12天的工作量=1,根據(jù)等量關(guān)系列出方程組，求解可得甲和乙的工作效率，再求費用即可.

【解題過程】

(1)解：設(shè)甲每天費用為x元，乙每天費用為y元，由題意得：

（8x+8y=3520

16x4-12y=3480'

解得仁:142?

答：甲每天的費用為300元，乙每天的費用為140元.

（2）解：設(shè)甲每天完成％,乙每天完成y,由題意得:

1

X-￥一

解-

y一

24

所以甲單獨做需要12天完成，乙單獨做需要24天完成.

甲單獨做需要12x300=3600元，乙單獨做需要24x140=3360元.

二只選一個裝修隊單獨完成，從節(jié)約開支角度考慮，應(yīng)選乙裝修隊，比另一裝修隊少花3600—3360=240

元.

【題型三：數(shù)字問題】

11.（23-24七年級下?甘肅天水?階段練習(xí)）一個兩位數(shù)的十位數(shù)字比個位數(shù)字大2,如果將十位數(shù)字與個

位數(shù)字交換位置，所得新數(shù)和原數(shù)的和是66,求原來的兩位數(shù)是幾？

【思路點撥】

本題主要考查了二元一次方程組的實際應(yīng)用，設(shè)原來的兩位數(shù)的十位數(shù)字為x,個位數(shù)字為了，根據(jù)十位數(shù)

字比個位數(shù)字大2得到方程x—y=2,根據(jù)將十位數(shù)字與個位數(shù)字交換位置，所得新數(shù)和原數(shù)的和是66可

得方程+y+10y+x=66,據(jù)此列出方程組求解即可.

【解題過程】

解：設(shè)原來的兩位數(shù)的十位數(shù)字為x,個位數(shù)字為乃

由題意得，｛10x+y+i0y+x=66'

解得妝L2，

.??原來的兩位數(shù)為4x10+2=42.

12.（23-24八年級上?陜西西安?階段練習(xí)）一個兩位數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字之和是7,若把這個兩位數(shù)

加上9,所得的兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字恰好與原來的兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字顛倒了，求原來的

兩位數(shù).

【思路點撥】

本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，設(shè)原來的兩位數(shù)的個位數(shù)為X,十位數(shù)為力根據(jù)十位上的數(shù)與個位上

的數(shù)之和是7,新的兩位數(shù)的個位數(shù)字，十位數(shù)字恰好分別是原來兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字，據(jù)此列方

程組求解.

【解題過程】

解：設(shè)個位數(shù)為x,十位數(shù)為乃由題意得：

（x+y—7

llOy+x+9—10x+y'

解得:{0.

所以，原來的兩位數(shù)是為34.

答：原來的兩位數(shù)是為34.

13.（23-24七年級下?全國?課后作業(yè)）有甲、乙兩個兩位數(shù)，若把甲數(shù)放在乙數(shù)的左邊，組成的四位數(shù)是

乙數(shù)的201倍；若把乙數(shù)放在甲數(shù)的左邊，組成的四位數(shù)比上面的四位數(shù)小1188,求甲、乙這兩個數(shù).

【思路點撥】

本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，設(shè)甲數(shù)為x,乙數(shù)為y,然后根據(jù)把甲數(shù)放在乙數(shù)的左邊，組成的

四位數(shù)是乙數(shù)的201倍；若把乙數(shù)放在甲數(shù)的左邊，組成的四位數(shù)比上面的四位數(shù)小1188列出方程組求解

即可.

【解題過程】

解:設(shè)甲數(shù)為x,乙數(shù)為小

根據(jù)題意，得{io。/魯1猛得二1188

解得妝：?2

答：甲數(shù)是24,乙數(shù)是12.

14.（24-25八年級上?全國?課后作業(yè)）一個三位數(shù)是它各數(shù)位上數(shù)字之和的27倍.已知百位上的數(shù)字與個

位上的數(shù)字之和比十位上的數(shù)字大1.若把百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字交換位置，則所得的新數(shù)比原數(shù)大

99.求這個三位數(shù).

【思路點撥】

本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，設(shè)百位上的數(shù)字為x,個位上的數(shù)字為y.則十位上的數(shù)字為

（%+y—1）題意列出關(guān)于x,y的二元一次方程組求解，再行進(jìn)計算即可得出結(jié)果.

【解題過程】

解：設(shè)百位上的數(shù)字為％,個位上的數(shù)字為八則十位上的數(shù)字為(％+y—1),

加日百上出(100%+10(x+y—1)+y=27(x+x+y—14-y)

儂型忌，w：llOOy+10(%+y—1)+久一[lOOx+10(x+y—1)+y]=99，

解得t:I,

所以100%+10(%+y—1)+y=243.

答：這個三位數(shù)為243.

15.(23-24七年級下?內(nèi)蒙古烏蘭察布?期中)將自然數(shù)排列在多個同心圓或多個連環(huán)圓上，使各圓周上的

數(shù)之和相同，各條直徑上的數(shù)之和也相同，就得到了幻圓.著名的同心幻圓有楊輝的攢九圖和丁易東的太

衍五十圖.如圖是一個簡單的二階幻圓模型，要求：

①內(nèi)、外兩個圓周上的四個數(shù)之和相等；

②外圓兩直徑上的四個數(shù)之和相等.

求圖中兩空白圓圈內(nèi)的數(shù)字.

【思路點撥】

本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，設(shè)圖中兩空白圓圈內(nèi)左邊的數(shù)為x,右邊的數(shù)為》由題意：①內(nèi)、外

兩個圓周上的四個數(shù)字之和相等；②外圓兩直徑上的四個數(shù)字之和相等，列出方程組，解方程組即可.

【解題過程】

解：設(shè)外圓白圓圈內(nèi)的數(shù)字為X,內(nèi)圓白圓圈內(nèi)的數(shù)字為以?.?外圓兩條直徑上的四個數(shù)之和相等，

4+6+7+8=x+3+y+110,

???內(nèi)外兩個圓周上的四個數(shù)之和相等，

二3+6+y+7=x+4+ll+8@,

整理得：｛二

解得：｛評，

???外圓白圓圈內(nèi)的數(shù)字為2,內(nèi)圓白圓圈內(nèi)的數(shù)字為9.

【題型四：年齡問題】

16.（23-24七年級下?全國?課后作業(yè)）一名34歲的男子帶著他的兩個孩子一同接受采訪，下面是兩個孩子

與記者的對話:

?！段液透绺绲哪挲g'四年門,徐株年齡的

J\知是16歲.」3儕'j我的年酢柳加

恰好等于衽爸的年齡

工__________________

根據(jù)對話內(nèi)容，哥哥和妹妹的年齡分別是.

【思路點撥】

本題考查二元一次方程組的實際應(yīng)用，設(shè)妹妹的年齡是X歲，哥哥的年齡是y歲，根據(jù)對話中的信息，列出

方程組進(jìn)行求解即可.

【解題過程】

解：設(shè)妹妹的年齡是x歲，哥哥的年齡是y歲,

依題意.得｛3（刀+2）+^7+2）6=34+2,

解得｛，益；

所以妹妹的年齡是6歲，哥哥的年齡是10歲.

故答案為：10歲和6歲.

17.（2024七年級?全國?競賽）小強問他的數(shù)學(xué)老師今年多少歲了，數(shù)學(xué)老師說：“我像你這么大時，你才1

歲.你到我這么大時，我就40歲了.”那么數(shù)學(xué)老師今年的歲數(shù)是歲.

【思路點撥】

本題考查二元一次方程組的實際應(yīng)用.設(shè)數(shù)學(xué)老師今年萬歲，小強今年y歲，根據(jù)題意，列出方程組進(jìn)行求

解即可.

【解題過程】

解：設(shè)數(shù)學(xué)老師今年X歲，小強今年y歲，由題意，得：

｛一號■芥二解得:6=14-

???數(shù)學(xué)老師今年27歲；

故答案為：27.

18.（23-24七年級下?河南鄭州?開學(xué)考試）父親今年44歲，兒子今年16歲，當(dāng)父親的年齡是兒子的8倍

時，父子的年齡和是歲.

【思路點撥】

本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.

設(shè)X年前父親的年齡是兒子年齡的8倍，父親的年齡為y歲，則兒子的年齡為（16—x）歲，由題意：父親今

年44歲，x年前父親的年齡是兒子的8倍，列出二元一次方程組，解方程組即可.

【解題過程】

解：設(shè)x年前父親的年齡是兒子年齡的8倍，父親的年齡為y歲，則兒子的年齡為（16—x）歲，

根據(jù)題意得：｛二=卷二；），

解得:

.-.16-x=16-12=4,

.*.32+4=36,

即當(dāng)父親的年齡是兒子的8倍時，父子的年齡和是36歲,

故答案為：36.

19.（23-24七年級上?廣東江門?開學(xué)考試）甲對乙說：“我像你這樣大歲數(shù)的那年，你的歲數(shù)等于我今年的

歲數(shù)的一半；當(dāng)你到我這樣大歲數(shù)的時候，我的歲數(shù)是你今年歲數(shù)的二倍少7歲.”則今年甲的年齡為

歲，乙的年齡為歲.

【思路點撥】

設(shè)今年甲的年齡為無歲，乙的年齡為y歲，則甲比乙大（無一y）歲，然后根據(jù)題意列出方程組求解即可.

【解題過程】

解：設(shè)今年甲的年齡為x歲，乙的年齡為y歲，則甲比乙大（x—y）歲,

f=y-(x-y)

由題意得:

.%+(%—y)=2y—7

解得：｛；:1!

即今年甲的年齡為28歲，乙的年齡為21歲,

故答案為：28,21.

20.（23-24七年級下?江蘇宿遷?期末）爸爸、媽媽、我、妹妹，四人今年的年齡之和是101歲，爸爸比媽

媽大1歲，我比妹妹大6歲，十年前，我們一家的年齡之和是63歲，今年爸爸的年齡是（）

A.38歲B.39歲C.40歲D.41歲

【思路點撥】

由題意得：妹妹今年的年齡為8歲，我今年的年齡為14歲，設(shè)媽媽今年的年齡為無歲，爸爸今年的年齡為y

歲，再由題意：一家四口人的年齡加在一起是101歲，爸爸比媽媽大1歲，列出方程組，解方程組即可.

【解題過程】

解：現(xiàn)在一家四口人的年齡之和應(yīng)該比十年前全家人年齡之和多40歲，

但實際上101—63=38（歲）,說明十年前妹妹沒出生，

則妹妹今年的年齡為10—（40—38）=8（歲），我的年齡為6+8=14（歲），

設(shè)媽媽今年的年齡為x歲，爸爸今年的年齡為y歲，

cfagffiM.（%+y+8+14=101

y=x+1

解得：｛x:=39

y=40'

即爸爸今年的年齡為40歲，

故選：C.

【題型五：分配問題】

21.（23-24七年級下?廣東汕頭?期末）一套儀器由一個/部件和三個2部件構(gòu)成.用lm3鋼材可做40個N

部件或240個8部件，現(xiàn)要用6m3鋼材制作這種儀器，應(yīng)用多少鋼材做/部件，多少鋼材做2部件，恰好

配成這種儀器多少套？

【思路點撥】

本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，讀懂題意、設(shè)出未知數(shù)、找出合適的等量關(guān)系、列方程組是解題

的關(guān)鍵.

設(shè)應(yīng)用xm3鋼材做A部件，ym3鋼材做B部件，再根據(jù)等量關(guān)系“共有6m3鋼材”和“一個A部件和三個B部

件剛好配成套”列方程組求解即可.

【解題過程】

解：設(shè)應(yīng)用xm3鋼材做/部件，ym3鋼材做5部件，由題意得，

）解得:

3x40%=240y7=2'

剛好配成：240x2+3=160（套）.

答：應(yīng)用4m3鋼材做A部件，2n13鋼材做B部件，剛好配成160套.

22.（24-25八年級上?全國?課后作業(yè)）某工廠加工螺栓、螺母，已知每塊金屬原料可以加工成3個螺栓或4

個螺母（每塊金屬原料無法同時既加工螺栓又加工螺母），已知1個螺栓和2個螺母組成一個零件.若把

26塊相同的金屬原料全部加工完，則加工的螺栓和螺母是否存在恰好配套？若存在恰好配套，請求出加工

螺栓和螺母各需要的金屬原料的塊數(shù)；若不存在恰好配套，請說明理由.

【思路點撥】

本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，設(shè)把x塊金屬原料加工成螺栓,y塊金屬原料加工成螺母恰好配套,

根據(jù)配套可得出｛笈或：為，解出的值，即可判斷出結(jié)果.

【解題過程】

解：設(shè)把X塊金屬原料加工成螺栓，y塊金屬原料加工成螺母恰好配套，

依題意，得｛玄^^為，

=5-2

為

解得

-一

5

因為求出的X,y的值不是整數(shù)，

所以加工的螺栓和螺母不存在恰好配套.

23.（23-24七年級下?廣東廣州?期中）福林制衣廠現(xiàn)有24名制作服裝的工人，每天都制作某種品牌的襯衫

和褲子，每人每天可制作這種襯衫3件或褲子5條.已知制作一件襯衫可獲得利潤30元，制作一條褲子可

獲得利潤16元，若該廠要求每天獲得利潤2100元，則需要安排多少名工人制作襯衫？多少名工人制作褲

子？

【思路點撥】

本題考查列二元一次方程組解決實際問題.

設(shè)安排x名工人制作襯衫，y名工人制作褲子，根據(jù)“現(xiàn)有24名制作服裝的工人”和“要求每天獲得利潤2100

元”列出二元一次方程組，求解即可.

【解題過程】

解：設(shè)安排x名工人制作襯衫，y名工人制作褲子，根據(jù)題意，得

（x+y—24

130x3x+16x5y=2100'

解得｛9，

答：安排18名工人制作襯衫，6名工人制作褲子.

24.（23-24八年級上?河南鄭州?期末）某校準(zhǔn)備組織師生共300人參加一項公益活動，學(xué)校聯(lián)系租車公司

提供車輛，該公司現(xiàn)有/,3兩種座位數(shù)不同的車型，如果租用/型車3輛，5型車3輛，則空余15個座

位;如果租用/型車5輛，3型車1輛，則有15個人沒座位.

（1）求4,2兩種車型各有多少個座位.

（2）若最終租用了兩種車型的車，且座位恰好坐滿，則兩種車型的車各租用了多少輛？

【思路點撥】

本題主要考查了二元一次方程（組）的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找出等量關(guān)系.

（1）設(shè)該公司4B兩種車型各小y個座位，根據(jù)題意得：｛卷二?［瑞若，即可求解；

（2）設(shè)需租/型車加輛，8型車"輛，可得n=5—再利用正整數(shù)解的含義可得答案.

【解題過程】

（1）解：設(shè)每個/型車有X個座位，3型車有y個座位，

依題意，得：

解得:e：to-

答：每個/型車有45個座位，8型車有60個座位.

（2）設(shè)需租N型車"?輛，5型車〃輛，

依題意，得：45m+60n-300,

匚3

.-.n=5—~4m.

■■-m,〃均為正整數(shù)，

（m=4

"In=2?

答：需租用/型車4輛，2型車2輛.

25.（23-24八年級上?貴州畢節(jié)?期末）運輸公司要把120噸物資從/地運往5地，有甲、乙、丙三種車型

供選擇，每種型號的車輛的運載量和運費如表所示.

車型甲乙丙

運載量（噸/輛）5810

運費（元/輛）450600700

解答下列問題：（假設(shè)每輛車均滿載）

（1）若全部物資僅用甲、乙型車一次運完，需運費9600元，則甲、乙型車分別需要多少輛？

（2）若用甲、乙、丙型車共14輛同時參與運送，且一次運完全部物資，其中甲型車有2輛，則乙、丙型

車分別需要多少輛？此時的總運費是多少？

【思路點撥】

本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，熟練掌握建立方程組是解題關(guān)鍵.

（1）設(shè)需要甲型車。輛，乙型車6輛，根據(jù)“120噸物資”和“運費9600元”建立方程組，解方程組即可得；

（2）設(shè)需要乙型車x輛，丙型車y輛，根據(jù)“甲、乙、丙型車共14輛”，“一次運完全部物資”建立關(guān)于x,y

的方程組，解方程組即可得.

【解題過程】

（1）設(shè)甲、乙型車分別需要。輛、6輛.

根據(jù)題意，得｛45（^；湍63黑00'

解得｛片著，

答：甲、乙型車分別需要8輛、10輛；

（2）設(shè)乙、丙型車分別需要x輛、y輛，

根據(jù)題意得§xS+Qx+/lOy^120，

解得｛：：7，

此時總運費為450x2+600x5+700x7=900+3000+4900=8800（元）.

答：乙、丙型車分別需要5輛、7輛，此時的總運費為8800元.

【題型六：銷售利潤問題】

26.（24-25九年級上?海南?？?期中）某小區(qū)為了綠化環(huán)境，計劃分兩次購進(jìn)/,8兩