導數(shù)的恒成立、存在性問題-2025年北京高考數(shù)學二輪復習（原卷版）

重難點04：導數(shù)的恒成立、存在性問題

一、知識點梳理

L利用導數(shù)研究不等式恒成立問題的總方針：

1、構造函數(shù)法：令尸(x)"(x)-g(x),利用導數(shù)求得函數(shù)尸(X)的單調(diào)性與最小值，只需尸⑺晶20恒成

立即可；

2、參數(shù)分離法：轉(zhuǎn)化為aN°(x)或aW0(x)恒成立,即心夕⑺一或三夕⑺二恒成立,只需利用導數(shù)求

得函數(shù)夕(力的單調(diào)性與最值即可；

3,數(shù)形結合法：結合函數(shù)y=f(力的圖象在y=g(尤)的圖象的上方(或下方)，進而得到不等式恒成立.

2.利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒(能)成立，可根據(jù)以下原則進行求解：

(1)\fx^D,m</(x)^m</(x)min；(2)VxeO,m>f{x)<^m>f^x)^-

(3)BxeD,〃/4〃。。機4/⑺厘；(4)BXED,m>f(x)<^m>

3.不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：

一般地，已知函數(shù)y=〃x),x&[a,b\,y=g(x),x^[c,d\.

⑴若fe[a,6],Vx2G有/(石)<g(%)成立，則/⑺-<8⑺.；

⑵若％e[a,6],上2clc,d],有/(xj<g(x2)成立，則1mx<g(x)a；

(3)若叫e[a,6],3x2&[c,d],有/'&)<g(z)成立，則-⑺1ntoMg(x)1mx;

(4)若叫有〃％)=g(巧)成立,則〃x)的值域是g(x)的值域的子集.

4.恒成立與有解問題解法洛必達法則

一、問題指引

“洛必達法則”是高等數(shù)學中的一個重要定理，用分離參數(shù)法(避免分類討論)解決成立、或恒成立命題

時，經(jīng)常需要求在區(qū)間端點處的函數(shù)(最)值，若出現(xiàn)9型或藝型可以考慮使用洛必達法則。

000

二、方法詳解

法則1：若函數(shù)/(X)和g(x)滿足下列條件:⑴lim/(x)=0及l(fā)img(x)=0；

(2)在點a的去心鄰域內(nèi)，/(%)與g(x)可導且g'(x)wO；

/r(x)

⑶lim=

fg⑺

那么lim

ag⑴ig'(x)

法則2：若函數(shù)/(%)和g(%)滿足下列條件：⑴lim〃％)=0及l(fā)img(x)=0；

00\700\7

(2)HA>0,7"(x)和g(x)在(YO,A)與(A+00)上可導，且g'(x)wO;

ZHi￡H

那么lim=im=/

x—>00g(x)ig，(x)

法則3：若函數(shù):(%)和g(x)滿足下列條件：⑴=8及l(fā)img(x)=Q0；

XTCI\/\7

(2)在點a的去心鄰域內(nèi),/(%)與g(x)可導且g'(x)wO；

fr(x)

⑶lim^-X=Z

5g(%)

那么lim

x-^ag(x)ig'(x

利用洛必達法則求未定式的極限是微分學中的重點之一，在解題中應注意:

L將上面公式中的x—a,xf8換成x—+8,x~>-8,%-%洛必達法則也成立。

2.洛必達法則可處理-巴,0-oo,V0,oo°,0°,oo—oo型。

000--------------------------

3.在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足9jj0.ooJ_oo；0；oo-oo型定式，否則濫用洛必

000--------------------------

達法則會出錯。當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應從另外途

徑求極限。

4.若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。

總結:

2/8

1.不等式恒成立或能成立題目。能分離參數(shù)成a(尤)或a<h(x),歸結為求/z(x)的某個最值(或其極

限值)問題。常規(guī)方法不易求得最值或其極限值(往往多次求導后仍為超越結構)。可考慮在某個端點或斷點

處應用洛必達法則求最值(或極限值)。

2.使用洛必達法則時，是對分子、分母分別求導，而不是對它們的商求導，求導之后再求極限得最值。

5.端點效應問題

含參函數(shù)恒成立問題中的求解參數(shù)范圍問題n端點效應問題

(1)：什么是端點效應呢？

恒成立問題中，我們常常能見到類似的命題:“對于任意的xe[a,“，都有/(x)>0恒成立

中包含參數(shù)m)

這里的端點。涉，往往是使結論成立的臨界條件，因此，如果能利用好這兩個值，能為我們的解題提

供不少便利.比如對于上述的命題，我們就應該觀察/"(a)和/伍)的取值.

這種觀察區(qū)間端點值來解決問題的做法，我們稱之為端點效應.

(2)：端點效應的三層心法

端點效應的核心思想是：利用端點處所需滿足的必要條件縮小參數(shù)的取值范圍，而在很多情況下，該范圍

即為所求.

根據(jù)端點處所滿足的條件不同，我們將端點效應分為如下三層心法：

第一層心法一一利用原函數(shù)：若端點處函數(shù)值/"(a)和/伍)包含參數(shù)加，則根據(jù)恒成立條件在端點處也成

立.

故=V,解此不等式組即可縮小參數(shù)用的范圍

f(a)>0

注意:由二><只是得到了關于參數(shù)范圍的一個必要條件，接下來還需進行最

U(b)>0

值的討論才能確定參數(shù)的精確范圍.端點效應的核心價值在于：將參數(shù)范圍縮小至一個較小的區(qū)間，可以

大大簡化接下來的討論過程.

第二層心法一一利用一階導：若端點處函數(shù)值恰為0,即f(a)=O或/伍)=0,則此時有廣(a)NO或

f(b)<0

注意：①/'(。)=0或/(。)=0這個結論并不能直接在解題中使用，雖然這個結論是對的，且大多數(shù)時候往

往就是題目的答案，選擇題完全沒有問題，大題需要側面證明一下.

②對于此類端點效應型問題，在討論時要牢記一點n不能分參，因為分參之后會出現(xiàn)?

0

00

或一型的極限，這是我們無法處理的，一旦需要處理只能求助洛必達法則.

oo

③在接下來的分類討論中，我們要確兩件事：1、在參數(shù)取值范圍內(nèi)，不等式恒成立；2、在取值范圍外,

不等式不能恒成立.

/(?)=Of/(/;)=0

第三層利用二階導：若端點處函數(shù)值和導數(shù)值均為0,即O則此時

r(a)=o

1r(a)N?；蚴?0.

注意：①1r(a)?0或/不能直接在解題中使用，但我們可以由此猜出答案.

②同樣的，不能分參，依然要采用整體分析的分析方法.

③在分類討論中，同樣要明確兩件事：1、在參數(shù)取值范圍內(nèi)，不等式恒成立；2、在取值范圍外，不等式

不能恒成立.

作為端點效應的終極大法，第二層心法的升級版，修煉起來自然有一定難度.與第二層心法最大的不同是，

我們需要求二階導數(shù)，對二階導數(shù)找到恰當?shù)姆贮c作分類討論，并在每種情況下判斷恒成立條件是否成立.

二、題型精刷精練

【題型訓練-刷模擬】

1.己知函數(shù)/(x)=a尤+sinx,xe[0,7t].

⑴若a=-1,證明：/?<0；

(2)若f(x)40,求。的取值范圍；

(3)若awO,記ga)=L/(x)-ln(_r+l),討論函數(shù)g(x)的零點個數(shù).

a

2.已知/(x)=(2x—l)e3—x在x=0處的切線方程為x+y+6=0.

⑴求實數(shù)。力的值；

(2)證明：/(尤)僅有一個極值點毛,且〃/)<-}

4/8

⑶若g(x)=(丘是否存在％使得g(力2-1恒成立，存在請求出％的取值范圍，不存在請說明理

由.

3.3知函數(shù)="°+J—1,aeR.

(1)當。=0時，求曲線y=〃x)在點(0"(0))處的切線方程；

(2)當。＞0時，求〃x)的單調(diào)區(qū)間；

⑶在(2)的條件下，若對于任意xe[l,3],不等式;4/(力41+(成立，求。的取值范圍.

4.已知函數(shù)/(x)=In(x-a)+2J3a-x(a＞0).

⑴若a=l,

①求曲線y=“X)在點(2,*2))處的切線方程；

②求證：函數(shù)/'(X)恰有一個零點；

⑵若vlna+2a對xw(a,3a)恒成立，求a的取值范圍.

X（a，%）%(不，3。)

/'(尤)

+0-

/(尤)/極大

5.已知函數(shù)/(x)=ax-ln(l-x)(aeR).

⑴求曲線、="尤)在點(。,/(0))處的切線方程；

(2)若〃0士。恒成立,求a的值；

⑶若有兩個不同的零點網(wǎng)，馬，且匡-求a的取值范圍.

6.已知函數(shù)/'(x)=xln(x-l).

(1)求曲線y=y(x)在x=2處的切線方程；

⑵設g(x)=/'(x),求函數(shù)g(x)的最小值；

(3)若/例＞2,求實數(shù)。的值.

x—a

7.已知函數(shù)/(x)=(l-依)e*(aeR).

⑴討論〃x)的單調(diào)性；

(2)若關于x的不等式〃x)>a(l-x)無整數(shù)解，求a的取值范圍.

8.已知函數(shù)/(彳)=《尤+J

⑴求的圖象在點(L〃l))處的切線方程;

⑵討論的單調(diào)區(qū)間;

⑶若對任意xe(l,”)，都有/(x)Wln2-l,求。的最大值.(參考數(shù)據(jù)：In2ao.7)

9.已知函數(shù)〃x)=e"+asinx-l(aeR).

⑴求曲線y=〃尤)在點(o,/(o))處的切線方程；

(2)若函數(shù)/(X)在無=0處取得極小值，求。的值，并說明理由.

(3)若存在正實數(shù)機，使得對任意的xe(O,,n),都有/'(x)<0,求。的取值范圍.

10.已知函數(shù)/(x)=e"sinx-2x.

(1)求曲線y=〃尤)在點(0)(0))處的切線方程；

⑵求在區(qū)間[-1,1]上的最大值；

(3)設實數(shù)a使得/(無)+%>枇￡對xeR恒成立，寫出。的最大整數(shù)值，并說明理由.

al

e

11.已知函數(shù)=

y/x

(1)當。=1時，求函數(shù)/(X)在(1,『⑴)處的切線方程；

⑵求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

⑶若對任意xc[l,+a>),都有/(尤)>\成立，求實數(shù)a的取值范圍.

12.已知函數(shù)/(x)=xln%+62X+2.

⑴當a=0時，求/(%)的極值；

⑵若對任意的xe[l,e2],/(x)V0恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

13.已知函數(shù)/(%)=%sinx+cosx.

6/8

⑴當元￡(0,兀)時，求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設函數(shù)8。)=一丁+2奴.若對任意不￡[一兀，兀存在馬€。11，使得成立，求實數(shù)°的

2兀

取值范圍.

14.已知函數(shù)/(尤)=ln上之+烏.

2x

(1)當。=0時，求曲線y=在點(-1"(-1))處的切線方程；

(2)當。=-3時，求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間；

(3)當x<0時，恒成立，求”的取值范圍.

Q2

15.已知函數(shù)/(%)=%+'-+〃Inx(awR).

x

⑴當a=l時，求曲線>=/(X)在點(1]⑴)處的切線方程；

(2)當了￡[e,+oo)時，曲線y=/(x)在天軸的上方，求實數(shù)。的取值范圍.

16.已知函數(shù)/(力=日/.

⑴當。=1時，求的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)當時，求證：/(x)<(o-l)x+l；

(3)直接寫出。的一個取值范圍，使得依2+(。-1卜+1恒成立.

17.設函數(shù)y(x)=e"-依一2.

⑴若曲線y=/(尤)在點(0,/(0))處的切線斜率為1,求實數(shù)a的值；

(2)求的單調(diào)區(qū)間；

(3)若a=l,左為整數(shù)，且當x>0時，(x—Q1(x)+x+l>0恒成立，求女的最大值.

1-2

18.已知函數(shù)/(%)=—ax+a----(。>0).

22x

⑴若a=l,求曲線y=〃尤)在點處的切線方程；

⑵若對任意xe[l,+e),都有求實數(shù)。的取值范圍.

19.設函數(shù)/(無)=ln無+--,g(x)=ax-3.

X

(1)求函數(shù)0(x)=f(x)+g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)當。=1時，記〃(x)=〃x)g(x),是否存在整數(shù)X,使得關于尤的不等式2%.有解？若存在，請求

出4的最小值；若不存在，請說明理由.

20.已知函數(shù)/(x)=x(lnx+l).

(I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(II)求證：曲線y=/(x)在點(%,/(5))處的切線不經(jīng)過原點；

(III)設整數(shù)左使得了(X"左卜-；]對比6(0,+8)恒成立，求整數(shù)上的最大值.

21.已知函數(shù)/(x)=e"一/一2雙一l(awR)