不等式-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習提升卷

單元提升卷02不等式

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.若a>0,6>0,則下列不等式中不成立的是（）

A.a2+b2>2abB.a+b>l4ab

°°1°111

C.a2+b2>—（a+b）2D.—+—<------（aw6）

2aba-b

【答案】D

【分析】利用不等式的性質(zhì)及基本不等式化簡判斷即可.

【詳解】因為顯然有力+b222a6,故A正確；

而a>0,6>0,所以.+622，^，故B正確；

又/+〃-<（0+6）2=；/+3〃-ab=；（a-b>20,所以1+〃2；（4+6了，故C正確；

1131

不妨令。=2/=1,則上+[=:>」^=1（g6）,故D錯誤.

ab2a—b

故選：D.

2.關(guān)于x的不等式一一辦一6/<0（。<0）的角舉集為（）

A.（-8,2a）D（—3a,+8）

B.（2a,-3a）

C.（一8,3〃）D（2a,+8）

D.（3a,-2a）

【答案】D

【分析】直接解一元二次不等式即可得到答案.

【詳解】不等式一—方一6/<0（。<0）可化為（％-3。）（％+2。）<0.

*.*a<0,3a<x<-2a.

原不等式的解集為（3a，-2a）.

故選：D

3.不等式3￡-7x+2>0的解集是（）

A.]，2）B.1一2,-：C.U（2,+oo）D.（-oo,-2）U^-1,+1?

【答案】C

[分析]由因式分解結(jié)合一元二次不等式的解的特征即可求解.

【詳解】由31—7龍+2>0得（無一2）（3無一1）>0,解得x<；或x>2,

故不等式的解為「s,￡|U（2,+W,

故選：C

4.不等式（2）（1）>o的解集為（）

2x+l

A.-I,-—U[3,+co）B.一L—,1U（3,+8）

C.一1,一g[u[3,+co）D.

【答案】C

【分析】寫出不等式的等價形式，再利用數(shù)軸標根法求出不等式的解集.

【詳解】不等式―嘰。等價于]「"-3代+1”°,

2x+l[2x+l片0

利用數(shù)軸標根法可得或x23,所以不等式解集為-l,-^U[3,+?）.

故選：C

5.已知。，b,c為不全相等的實數(shù)，P=a2+b2+c2+3,Q=2（a+b+c）,那么尸與。的大小關(guān)系是（）

A.P>QB.P>Q

C.P<QD.P<Q

【答案】A

【分析】利用作差法判斷即可.

【詳解】因為P=/+〃+C2+3,0=2(a+6+c)

所以P-Q=/+b2+c2+3-2(a+b+c)=(a-l)2+(b-l)2+(c-l)2>0,

當且僅當a=b=c=l時取等號，

b,。為不全相等的實數(shù)，因此等號不成立，即尸-。>0,

.■.P>Q.

故選：A

6.已知4-3"'=3-2'=1,貝！I()

A.m>n>-lB.n>m>—l

C.m<n<-1D.n<m<—l

【答案】D

【分析】利用指數(shù)式和對數(shù)式的互換得到加，“，然后利用作差法和基本不等式比較大小即可.

【詳解】由已知得加=-log34<T,n=-log23<-l,

11logs2+logs4

又1-logs2.logs4所以〃<加〈一1.

m—n=log23-log34=>0

岷2logs2log32

故選：D.

.x—cix+4W0

7.設(shè)集合/={x|lW3},集合B為關(guān)于x的不等式組2(一,、/2一八的解集，若則6

x-(26+3)x+b+3b40

的最小值為()

,1613

A.6B.—C.5D.—

33

【答案】C

>%?—ctx+4V0

【分析】由己知可得22、/在1，3上恒成立，由此可求。力的范圍，再求的最小值.

x-［2b+3)x+b+3b<0L」

X2-6ZX+4<0一、

【詳解】因為不等式組、，的解集={x1<x<3},AuB,

%?2_z（26+3）1+62+36<0用11'一

所以不等式x2-ax+440在［L3］上恒成立，

且不等式x2-(2b+3)x+b2+3b<Q的解集包含集合A,

又不等式/-(26+3)x+62+3640可化為(x-6)(x-6-3)40,

所以不等式/-(26+3b+62+3抬0的解集為也6+3],

所以[1,3仁[6,6+3],所以6+323,且641,所以0441.

不等式x+3Wa在[1,3]上恒成立，故(x+fMa,其中xe[l,3],

XIX/max

設(shè)/(x)=x+3,xe[l,3],

則/(x)=X+：在[1,2)上單調(diào)遞減，在(2,3]上單調(diào)遞增,

又/⑴=5,八3)=3+g=T，

所以當x=l時，函數(shù)/(x)=x+g,xe[l,3]取最大值，最大值為5,

所以。25,

所以當。=5,6=0時，〃+6取最小值，最小值為5.

故選：C.

8.已知正數(shù)a,6滿足a+b=l,則竺”把最小值為()

B.19+2指D.19

【答案】A

【分析】先進行化簡得空？+3=^+2,再利用乘“1”法即可得到答案.

abba

【詳解】因為正數(shù)a,b滿足。+6=1,

(2+66+3a+6b+3。+3b4a+9649

--------=-------------=-------==——+I——(a+b)

abba

=13+——=25,當且僅當一=—,聯(lián)立〃+6=1,

ab

即。=13/=《2時等號成立，

故選：A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分。

9.若機，〃wR+,2一優(yōu)一22〃一1=3"一2",則()

A.m>nB.0<mn<-C.—+—>4D.2m+l+2n>3

【答案】BC

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可得見〃關(guān)系，特值法判斷A,D選項，基本不等式求出B,C選項.

［詳角牟］...2f-22n-l=3m-3"〃,2-m-3m=221_31-2〃,

,.?y=2~x-3X單調(diào)遞減，/.m=l-2n,m+2n=l,

當m=L=幾時滿足加+2〃=1,A選項錯誤;

3

vm+2H=1>2>j2mn,1>0<mn<—,B正確;

8

,/加,〃ER+—I(m+2H)=l+—+—+l>2/—x—+2=4

C正確;

m2n2n)m2n\m2n

...2"'+i+2"23,2?-2"+2"=22-2"+土+土N3#22-2"+"+"TT=3,

22

當根=T,"=1時取等號，與己知加,"eR*矛盾，D選項錯誤.

故選：BC.

10.已知函數(shù)/(力=爐+wx+"(m,；JeR),關(guān)于x的不等式》<〃無)的解集為(-co,l)u(l,+8),則下列

說法正確的是()

A.m=-l,n=1

B.設(shè)g(x)=W，則g(x)的最小值為g⑴=1

C.不等式的解集為(一,0)30,1)31,+。)

3J

D.若"x)=-2且"X)<M2X+2),貝產(chǎn)的取值范圍為一3,+s

〃x),無I

、乙

【答案】AC

【分析】由題意可得，x=l是—+(加一1)工+〃=0的唯一解，可求得加=-1,n=l,從而求出/(x)解析式.再

逐一檢驗各個選項是否正確，從而得到結(jié)論.

【詳解】對于A選項：f(x)=x2+mx+n(加，〃sR),關(guān)于％的不等式x</(x),

即Y+(加一1)工+〃〉0,它的解集為(一8,1)u(l,+oo),

二.x=l是/+(加一1)%+〃=。的唯一角軋

A=(m—I)2—4/7=0m=-\

所以?，故A選項正確;

l+(m-l)+?=On=1

由以上可得：/(X)=X2-X+L

對于B選項：g(x)=,則g(%)=x+J?一i(xwO),當工<0時，g(x)<0,故B選項錯誤;

XX

對于C項：不等式/(X)</(/(%)),BPX2-X+1<(X2-X+1)2-(X2-X+1)+1,

即卜2+〉0,gpx2-(x-l)2>0,角星得X<0或O<X<1或X〉1,

所以解集為(-*0)u(0J)u(1,+8),故C選項正確；

31[31

—9^——,一—,

對于D選項：若分3=42]即”x)=42]

—,x2—X+1,X>一,

1-9Q

所以Ma<M2x+2）得：-<x<2x+2^2,解得%“

22x+2>-4

I2

則X的取值范圍為，j+故D選項錯誤；

故選：AC.

11.已知尤>0,y>o,且x+y+盯一3=0,則下列結(jié)論正確的是（）

A.刈的取值范圍是（0,9］B.》+了的取值范圍是［2,3）

C.x+2y的最小值是4亞一3D.x+4了的最小值是3

【答案】BC

【分析】根據(jù)基本不等式可求得0<xyWl,判斷A,將x+y+孫-3=0變形為3-（x+y）=xyV［亨J結(jié)合

4

基本不等式，判斷B,由x+V+盯-3=0整理得到x=-1+—;結(jié)合基本不等式可判斷CD.

【詳解】對于A,因為x>0,>>0,

所以x+y22A,當且僅當％?時取等號,

由x+y+盯一3=0=>3—盯=%+>,

即3—盯2,解得0<y[xy<1,

即OvxyWl,A錯誤;

對于B,由x>0,y>0,3-(x+y)=xy<

當且僅當x=V時取等號，

得(x+y)~+4(x+y)-12>0,

所以x+>22,

又3-卜+y)=孫>0,

所以x+y<3,即2Vx+y<3,

故B正確;

對C選項，因為x>0,y>0,x+y+xy-3=Q,

.—y+34

得x=-^-=T+—

y+1y+1

44l

所以x+2y=-ld-------H2y=-------i-2(j+l)-3>4J2-3,

y+\y+1

4

當且僅當Q=2Q+1),即》=8-1時等號成立，C正確,

—V+34

對于D,C選項知：X=K=-1+R,

44

則x+4y=_ld--------l-4y=-------l~4(y+l)-5>2

y+1j+1

4

當且僅當Q=4(N+1),即y=0時等號成立，但y＞。,

所以x+4y＞3.(等號取不到)，故D錯誤;

故選：BC.

12.已知正實數(shù)。、6、。滿足logs。=logs6,logs6=logsc,其中。＞1,貝!]()

2aCb+1

A.logab=log35B.a>b>cC.ac>bD.2+2>2

【答案】ACD

【分析】利用換底公式可判斷A選項；^log3?=log56=m>0,log5c=log3Z)=/7>0,利用對數(shù)與指數(shù)的

互化，以及幕函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項；比較“、〃的大小，利用作商法結(jié)合幕函數(shù)的單調(diào)性可判斷C

選項：利用基本不等式可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，因為。＞1,所以logs?！怠?，

,,i7—In<7In6nJnbIn5”八—,,一

由logsa=logsb,可得丁；=:二，則>>_=—,所以bg“67=logs5,故A對;

m3In5Inam3

對于B選項,log3a=log5b=m>0,則0=3"‘，b=5"',

因為幕函數(shù)y=V"在（0,+“）上為增函數(shù)，所以3”<5加，即。<6,

設(shè)log5c=log3b=">0,則6=3",c=5",

因為幕函數(shù)丁=x"在（0,+功上為增函數(shù)，

所以3"<5",即6<c,則”6<c,故B錯；

對于C選項，因為6=5"'=3",且機>0,">0,

所以加In5=〃In3,所以"=也？>1,則機<”,故"?-〃<0,

mIn3

Q\m~n

所以與=±>1,即*>凡故C對；

b25*3"UJ

對于D選項，由基本不等式，可得a+c>2癡>26,

所以，2"+2。>2萬1>2，萍=2"|，故D對.

故選：ACD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，一份印刷品的排版面積(矩形)為400cm2,它的兩邊都留有寬為acm的空白，頂部和底部都留

有寬為6cm的空白，若”=1,6=4,則紙張的用紙面積最少為cnA

Or

【答案】576

【分析】設(shè)矩形的長和寬分別為x，J,得到紙張面積為S=(x+2a)(y+23=k+2阮+2即+4而，結(jié)合基本

不等式，即可求解.

【詳解】由題意，設(shè)排版矩形的長和寬分別為X/且孫=400,且a=1,6=4

貝11紙張的面積為S=(x+2axy+2b)=盯+2bx+lay+4ab

>xy+2yj2bx-2ay+4ab=(-\[xy+2y[aby=(20+2A/4)2=576

當且僅當如x=2即時，即>=4x,即x=10/=40時，等號成立,

所以紙張的用紙面積最少為576cm2.

▲1+26>y1+-2,則。+6的最小值為

abba

【答案】273

33

【分析】由已知可得〃+62巳+；,結(jié)合基本不等式求(〃+6)2的最小值，再求6的最小值.

ab

1?12

【詳解】因為。之一+不，&>-+-,

abba

~33

所以〃+62—I—,又Q>0,b>0,

ab

所以(0+6)2#+1[3+6)=6+皿+乎212,當且僅當°=6=6時取等號.

\abJab

所以a+當且僅當a=6=G時取等號.

所以a+6的最小值為2G.

故答案為：2G.

15.若不等式/-5x+6<0的解集也滿足關(guān)于x的不等式2/一9x+a<0,則。的取值范圍是.

【答案】58,9]

【分析】解得不等式無2-5x+6<0的解集，令/(無)=2尤2-9x+a,根據(jù)不等式x?-5x+6<0的解集也滿足

關(guān)于x的不等式2/-9x+a<0,列出不等式組，即可求得答案.

【詳解】解不等式/一5》+6<0可得2<x<3,即不等式/一5》+6<0的解集為(2,3)

因為不等式一一5x+6<0的解集也滿足關(guān)于%的不等式2r-9x+a<0,

但-

故令〃x)=2x,-9-則[[〃/(23))<?00吊8-1827++aWaVOO'

解得。49,

即a的取值范圍是(一叫9],

故答案為：(-8,9]

16.若14x42,不等式/+/HX+加20恒成立，則實數(shù)加的最小值為.

【答案】-g/-0$

2

【分析】構(gòu)造新函數(shù)為(x)=--」(14x42),利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得〃(x)最大值，進而求得實數(shù)加的最

X+1

小值.

【詳解】1WXV2時，不等式f+%x+%N0恒成立，即機2--匚恒成立,

X+1

1

令3)=-占1""r5——(1<X<2)

——?—

2

XX~4

故答案為：

四、解答題：本題共6小題,共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

17.證明下列不等式:

(1)已知。>兒e>f,c>0,求證/—acve—bc

(2)已知a>b>0,c<d<0,求證:

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)(2)利用不等式的基本性質(zhì)即可證明.

【詳解】(1)證明：'：a>b,c>0,

/.ac>bc,-ac<-be,

又因為e>/,即/<e,

所以7-acve-bj

(2)證明：c<d<0,—<—<0,—>—>0；

dcdc

l,abab

又a>b>0,—->—

ac

18.求下列不等式的解集:

(1)-3X2-2X+8>0;

2x+l

【答案】

⑵

【分析】(i)利用二次不等式的解法求解即可;

(2)利用分式不等式的解法求解即可.

【詳解】⑴因為-3/一2尤+820,

4

所以3/+2X一840,則（3x-4）（x+2）W0,解得-24x41

所以-3x?-2X+820的解集為1x|-2wg1.

3x

（2）因為^—-<1,

2x4-1

所以盧則372;1<0,即gwo,

2x+l2x+l2x+l

（x-l）（2x+l）<0解得一

故g<x41,

2x+lw0

所以之力的解集為4-

2x+lI2

19.已知關(guān)于x的不等式亦2一3x+2>0的解集為{無忖<1或x>6}(6>l).

⑴求。力的值；

(2)當x>0,y>0,且滿足q+2=1時，有2x+y2/+左+2恒成立，求左的取值范圍.

xy

[(7=1

【答案】⑴-C

⑵[-3,2]

【分析】(1)根據(jù)一元二次不等式和對應(yīng)方程的關(guān)系，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，即可求出。、b的值;

12

（2）由題可得一+—=1,結(jié)合基本不等式，求出2x+y的最小值，得到關(guān)于上的不等式，解出即可.

xy

【詳解】（1）因為不等式辦J3x+2>0的解集為卜卜<1或x>b｝（b>l）,

所以1和b是方程〃尤2-3尤+2=0的兩個實數(shù)根且。>0,

a—3+2=0ci—\a=1

所以,解得6=2或（舍）.

-36+2-0b=l

I（2=112

（2）由（1）知，…于是有一+一=1,

[b=2xy

故2x+y=（2]+>）[，+2]=4+2+如》4+2^^=8

y）xy\xy

y4x12[x=2

當且僅當」=一，一+—=1時，即,時，等號成立.

XyXy[y=4

2

依題意有（2x+j）min>k+k+2,即82/+左+2,

得上2+左一64On-34左42,所以發(fā)的取值范圍為[-3,2].

20.“硬科技”是以人工智能，航空航天，生物技術(shù)，光電芯片，信息技術(shù)，新材料，新能源，智能制造等為

代表的高精尖技術(shù)，屬于由科技創(chuàng)新構(gòu)成的物理世界，是需長期投入，持續(xù)積累才能形成的原創(chuàng)技術(shù)，具

有極高技術(shù)門檻和技術(shù)壁壘，難以被復(fù)制和模仿.最近十年，我國的一大批自主創(chuàng)新的企業(yè)都在打造自己的

科技品牌，某高科技企業(yè)自主研發(fā)了一款具有自主知識產(chǎn)權(quán)的高級設(shè)備，并從2024年起全面發(fā)售，假設(shè)該

高級設(shè)備的年產(chǎn)量為x百臺，經(jīng)測算，生產(chǎn)該高級設(shè)備每年需投入固完成本1500萬元，最多能夠生產(chǎn)80

3x2+20x,0<x<40,xeN

百臺，每生產(chǎn)一百臺臺高級設(shè)備需要另投成本G（x）萬元，且G（x）=18000s、T

205尤+------3350,40<x<o8n0,xeN

、x

每臺高級設(shè)備售價為2萬元，假設(shè)每年生產(chǎn)的高級設(shè)備能夠全部售出.

（1）求企業(yè)獲得年利潤P（x）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百臺）的函數(shù)關(guān)系式（利潤=銷售收入一成本）;

（2）當該產(chǎn)品年產(chǎn)量為多少時，企業(yè)所獲年利潤最大？并求最大年利潤.

-3X2+180X-1500,0<X<40

【答案】（l）P（x）=18000

-JX----------F1850,40<x<80

（2）當年產(chǎn)量為60百臺時，公司獲利最大，且最大利潤為1250萬元

【分析】（1）由條件根據(jù)利潤和銷售收入，成本之間的關(guān)系求出年利潤與年產(chǎn)量之間的關(guān)系；

（2）分區(qū)間，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)和基本不等式求年利潤的最大值.

3x2+20x,0<x<40,xeN

【詳解】（1）???G（x）=<205x+^^-3350,40<x<80,xeN'

X

...當04xW40時,

p(x)=200x-(3x2+20x)-1500=-3x2+180x-1500.

當40<xV80時，

P(x)=200x-205x-^^+3350-1500=-5x-^^+1850.

XX

-3x2+180x-1500,0<x<40

綜上所述，尸(x)=[18000

'7-5x----------+1850,40<x<80

'-3X2+180X-1500,0<X<40

(2)由(1)得P(x)=118000

'7-5x----------+1850,40<x<80

、x

???當0WxK40時，尸(％)=-3x2+180x-l500=—3(x—30)2+1200

???當％=30時，P(x)max=1200(萬元)

當40<xW80時,

z、「18000/3600、「cI3600一、

P（x）=-5