北京市通州區(qū)2024-2025學(xué)年高三年級上冊期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

通州區(qū)2024-2025學(xué)年第一學(xué)期高三年級期中質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)試卷

2024年11月

本試卷共4頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作

答無效.考試結(jié)束后，請將答題卡交回.

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1.已知集合A={X.3<X<3},集合5={X|X+1?0},則短8=()

A.{x|-1<x<3}B,{.r|-3<x<-l}

C.{x|x>-1}D.{x}x>-3}

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)條件，利用集合的運(yùn)算，即可求解.

【詳解】因為3={x|x+120}={x|尤2-1},又4={劃—3<尤<3},

所以AU5={x|x>—3},

故選：D.

7

2.設(shè)復(fù)數(shù)z=3-i,則復(fù)數(shù)二在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是()

1

A.(1,3)B.(-1,3)

C.(―1,—3)D.(―3,—1)

【答案】C

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)數(shù)對應(yīng)點的特征求解即可.

【詳解】因為z=3—i,所以三=之二=空二=世口=—3i—1,

iii2-1

故復(fù)數(shù)三在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是(-L-3),故C正確.

1

故選：C

3.下列函數(shù)中，在(0,+8)上單調(diào)遞增的是(

A./(x)=Vx+TB./(x)=2T

C./(%)=-lnxD.f(x)=x+—

x

【答案】A

【解析】

【分析】選項A和D,對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，即可判斷選項A和D的正誤，選

項B和C,根據(jù)常見函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】對于選項A,由/(x)=Jx+l,得/>'(%)=—/〉。恒成立,則/(x)=Jx+1在(0,+8)上

單調(diào)遞增，所以選項A正確，

對于選項B,因為/(x)=2r=(g)x在(0,+s)上單調(diào)遞減，所以選項B錯誤，

對于選項C,因為/(x)=-Inx在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以選項C錯誤，

對于選項D,由7'(x)=x+L,得到,(x)=]—士==(x—1)。+1),當(dāng)。<%<1時，

XXXX

ru)<o,當(dāng)％>1時,/v)>o,

所以/Xx)=x+L在(0,1)單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，故選項D錯誤，

X

故選：A.

4

4.已知角￡終邊經(jīng)過點尸(一3,y),且tana=—,貝ijcosa=()

3

,3,34,4

A.--B.i-C.--D.土一

5555

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，以及tantz,求得V,再求costz即可.

【詳解】根據(jù)三角函數(shù)定義可得：tana=2v=—4,故可得y=-4,

-33

-333

故選：A.

5.設(shè)a,5為非零向量，貝是",+q=忖一目”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C,充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】a,5為非零向量，"@+q=忖-q”平方后展開，進(jìn)而判斷出結(jié)論.

【詳解】a,5為非零向量，“忖+q=忖—q”展開為：

―?2-?—?—?—?2-?-?—?—?—?—?-?

a+2〃?/?+b=〃-2a?b+b=a?b=00a1b

：^aLb”是“B+q=歸_q”的充要條件.

故選：C.

【點睛】本題考查充分條件和必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

6.在VABC中，A=—,C=,]j=^2>則c=（）

A.73-1B.y/2C.2D.y/3+1

【答案】D

【解析】

【分析】利用三角形的性質(zhì)得到B==,由正弦的和角公式得5也改=逅上受，再利用正弦定理，即可

6124

求解.

【詳解】因為。=號，得至U八兀一：

?,771.，兀兀、010GV6+V2

Xsin——=sin(—+—)=----x—H-------x——=-------------，b=V2,

124322224

-U+L

bsinC

由正弦定理得二一所以c=

sinBsinCsinB

2

故選：D.

7.沙漏也叫做沙鐘，是一種測量時間的裝置.現(xiàn)有一個沙漏（如圖）上方裝有acn?的細(xì)沙，細(xì)沙從中間小

孔由上方慢慢漏下，經(jīng)過ftnin時剩余的細(xì)沙量為yen?,且>=?！?（6為常數(shù)），經(jīng)過8min時，上方

還剩下一半細(xì)沙，要使上方細(xì)沙是開始時的:，需經(jīng)過的時間為（）

8

A.8minB.16minC.24minD.26min

【答案】C

【解析】

,1In2In2

【分析】依題意有aeQ*=—。，解得b=——，_,由此能得出結(jié)果.

28yv_ae

【詳解】依題意有ae-魴,即e*=工，

22

1ln2In2

兩邊取對數(shù)得—8b=ln—=—ln2,所以6=＜，得到='，

28y-ae

1-嶼1—91

當(dāng)容器中只有開始時一時，則有ae8=-a,所以e8=-,

888

兩邊取對數(shù)得—處/=ln'=—31n2,所以"24,

88

故選：C.

8.設(shè)函數(shù)/（x）=sin"-1j（0＞O）,已知/（不）=-1,/^x+-|j=l,則0的最小值為（

0)

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

JTJT5兀

【分析】根據(jù)條件，利用＞=sinx的性質(zhì)，得到。/=一二+2匕兀溫eZ和』（XO+V）=L+242兀，&eZ,

從而得到刃=2+4左水￡Z,即可求解.

【詳解】因為/（x）=sin［。龍一且=

71兀71

所以CDXQ-----=------F2左］兀,左］WZ,得到COXQ-.......F2Z］兀,Z］￡Z①

326

又/（x（）+5］=1，則G/■~———=—+2左2兀,心￡Z,得到G（x0+~）―+2A^2it,k2￡Z②，

由①②得到，■|=l+2(%-%),%，％eZ,即。=2+4匕左eZ,又6y>0,所以。的最小值為2，

故選：B.

9.設(shè)集合A={(x,y)|x—yNl,a2x+y>3,x—ayK2},則()

A.對任意實數(shù)a,(2,1)eAB.對任意實數(shù)a,(2,1)^A

C.當(dāng)且僅當(dāng)a〉l時，(2,l)eAD.當(dāng)且僅當(dāng)。<0時，(2,1)eA

【答案】C

【解析】

【分析】利用。的取值，反例判斷是否成立即可.

【詳解】對A,若a=—2,則4={(乂丹上—”l,4x+y>3,x+2yW2},

將(2,1)代入不全部滿足，此時可知(2,l)eA,故A錯誤；

對B,當(dāng)。=2時，則A={(x,y)|x—y21,4x+y>3,x—2y<2},

將(2,1)代入全部滿足，此時可知(2,l)eA,故B錯誤；

2—a?2

對C,若(2,l)eA,<2a2+l>3,解之可得a>l,所以C正確；

2-1>1

對D,當(dāng)a=g，則A=1(x,y)|x—y2L；+y〉3,x-]<2},將(2,1)代入不全滿足，

所以(2,1)0A,故D錯誤.

故選：C

10.已知G是VA3C的重心，過點G作一條直線與邊A3,AC分別交于點E，F(xiàn)(點E,尸與所在邊

____—.—.11,

的端點均不重合)，設(shè)AB=xAE，AC=yAF,則一+一的最小值是()

xy

4

A.1B.-C.2D.4

3

【答案】B

【解析】

【分析】由平面向量的基本定理得到無,y的等式，再用基本不等式求得最小值.

【詳解】如圖：

A

取5c中點。，則/=2詬，AD=-AB+-AC,

322

：E,G,尸三點共線，.?.)+2=1,即x+y=3,

33

(11)(\

111i2+3之｝（2+2）=，

——I——二一%+y)—+—

xy3Uy)3vxy)

3

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=g時，取等號;

故選：B

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.函數(shù)〃x）=ln%+工的定義域是.

X-1

【答案】（o,i）U（i,y）

【解析】

【分析】利用具體函數(shù)的定義域的求法求解即可.

【詳解】因為/（力=1皿+二7,

x-1

fx＞0

所以＜1z則尤＞°且xwl,

x-l^Q

故;■（x）=Inx+」-的定義域是（0,1）U（1,轉(zhuǎn)）.

X-1

故答案為：（o,i）u（i,+8）.

12.已知向量己石在正方形網(wǎng)格中位置如圖所示.若網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1,則?。ㄈf+石）=

【解析】

【分析】根據(jù)條件，得到同=2j5，M=2,且,石=T，再利用數(shù)積的定義及運(yùn)算律，即可求解.

【詳解】由圖知，同=2j5，M=2,且。石=日，

所以萬?(M+B)=值2+].5=8+2行“2xcos-=4,

13.已知等差數(shù)列{。列的首項為4,設(shè)其前〃項和為S“，且S2=10,則過點尸(〃,4)和Q(〃+2M”+D，且滿

足“eN*,“21的直線的斜率是.

【答案】2

【解析】

【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解通項公式，再結(jié)合斜率公式求解即可.

【詳解】設(shè)公差為d,因為§2=10,所以2x4+4=10,解得2=2,

所以%=4+2(〃-1)=2〃+2,a“+2=2〃+6,

,,士,4人、1e、r2〃+6—(2〃+2)4

故直線斜率為------￡------===2.

n+2—n2

故答案為：2

2*—a,x<1,

14.設(shè)函數(shù)y(x)={

4(%一a)(x-2a),x>l.

①若a=l,則函數(shù)/(x)的零點個數(shù)有個.

②若函數(shù)/(%)有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是.

【答案】①.3②.a>\

【解析】

【分析】①，由/(￡)=0來求得零點的個數(shù).

②，對。進(jìn)行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得。的取值范圍.

【詳解】①，當(dāng)"1時，小)x"

X<]

由1=0解得%=°；

X>1

由[外一1)62)3解得E或x=2.

綜上所述，〃龍)的零點個數(shù)有3個.

②，當(dāng)x<l時，/(x)=2=a在區(qū)間(―上單調(diào)遞增，

值域為a),無最值.

當(dāng)xNl時，/(x)=4(x-a)(j;-2a),

開口向上，對稱軸為.=a+2jj.a,4|—tz-a—t?-2tz|=-o2,

2212人2J

3?

當(dāng)x=時，/(x)^=/(1)=4(1_Q)(1_2Q)=8Q2_12〃+4,

則8/-12〃+4<-〃，8片-11。+4?0①，

]]2

/?(〃)=8〃2-11〃+4的開口向上，對稱軸為。=一>—,

163

?|)=8、3)-llx|+4=|>0,則①不成立.

當(dāng)x=|a>l，a>|時,/(x)mm=/[9。]=一/,

則一erW—a,cT—a=a(a—1)?0,解得<7>1.

綜上所述，a>l.

故答案為：3；a>l

1,

15.已知無窮數(shù)列｛%｝滿足勾=Q,a.一。：，給出下列四個結(jié)論:

①VzieN*，。“>°；

②數(shù)列｛4｝為單調(diào)遞減數(shù)列;

③m“eN*，使得4=0；

④V〃GN*，均有a；4不工

2〃+2

其中正確結(jié)論的序號是

【答案】①②④

【解析】

【分析】根據(jù)a“+i=%（l—片）以及4=4即可得進(jìn)而得嘰=1一片<1,即可判斷①②③,

a

2n

1111

利用襦E22,利用累加法求和即可判斷④.

］133

［詳解］由。1=a,%=%—。：=%（1—《）=5乂1=&￡（0,1）,

進(jìn)而可得。3=。2（1-。；）€（0，1），結(jié)合4+1=%（1一4），以此類推可得

故—=1一片<1,故0<a0+]<a〃<l,故①②正確，③錯誤,

an

11

由anl=a?-a：可得滔——2/1不,故

+%4（1-

、

1____i__j_12a：-a：_2-a：_l+l-a：11

-22~~2

4+1a,a一屋

n1-41

7

由于0<a；<L故1>1—進(jìn)而可得〃=1—4」>〃之L1<十42故

222，n

11（11Y

—r+一=一+—-卜2,

：2一

bbn3-J

11c

因止匕=-----2~^，

g+i4

累加上百'J_____(11)

++>2(n-l),故二—^->2(77-1)=>—>2?+2,

~22~22

aaaa

<nn-\?Vn-\n-2J7°n%°n

1皿21

當(dāng)〃=1時，a；=------,故禽v------故④正確,

2〃+22〃+2

故答案為：①②④

1111

【點睛】關(guān)鍵點點睛：了一—弄22,利用累加法求和.

uu+?

n+lnF4TZ

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

16.已知函數(shù)/(x)=2sin(兀一x)cosx,g(x)=cos^2x+-^-J.

(1)求/(x)的最小正周期及的值；

/r-i\

(2)直線x=fte0,g與函數(shù)/(x),g(x)的圖象分別交于M,N兩點，求的最大值.

\L2」,

【答案】(1)最小正周期為兀,

(2)5

【解析】

分析】(1)利用誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)，求解最小正周期和函數(shù)值即可.

(2)利用題意把線段長度表示為三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可.

【小問1詳解】

因為/(尤)—2sin(7i—x)cos尤=2sinxcosx=sin2x,

sing=l,/(x)的最小正周期為女=兀.

所以/

22

【小問2詳解】

由題意可知，河,雙兩點的坐標(biāo)為。,/(。)，&g⑺)，

貝1,gp\MN\=sin2z-cos[^t+~

Gi

故|MN|=sin2t-cos2t+—sinIt-(^-cos2^--sin2t)

I6

Isin2z-^cos2z

A/3而吟,

22

71兀715兀

因為1￡0,—,所以2―，-

2666~

所以Gsin(2t-6]e-^-,73

71

所以|MN|在fe0,-時的最大值為班.

17.記VABC的內(nèi)角A8,C的對邊分別為名仇。，已知4+6?—/=—〃,，bsinC=2百sinB.

（1）求C及。；

（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使VA3C存在且唯一，求VA3C的

面積.

條件①：Z?=4；

條件②：bsinC=6；

條件③：cosB=-

2

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別作答，按第一個解

答計分.

【答案】（1）C=y,c=2#）

（2）6

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理求解角度和邊長即可.

（2）首先證明條件①不符合題意，選擇條件②和條件③時利用余弦定理結(jié)合給定條件求解面積即可.

【小問1詳解】

由4+〃—°2=_ab和余弦定理可得cosC=2士——=

2ab2

2兀

因為。為VA5C的內(nèi)角，所以?！辏?,兀），故。=——，

3

由6sinC=2GsinB變形得上=更，由正弦定理得c=2百

sinBsinC

【小問2詳解】

選擇條件①：》=4,

4_273

由正弦定理得sin8一73，解得sin6=l,

7T

因為5為VA5C的內(nèi)角，所以5￡(0,兀)，故5=—,

2

與。=會相互矛盾，故不存在這樣的三角形，

所以我們不選擇條件①，

選擇條件②：5sinC=6，

因為6sinC=g>C=,所以匕x,

2

解得匕=2,由余弦定理得-上1=4"+96Z-~12,

22x〃x2

化簡得a?+2〃-8=0,解得〃=2或a=—4（舍）,

所以S*=*inC="

選擇條件③：cos5=-）

2

因為COS5=3，所以sin3=L.

22

因為bsinC=2君sinB，所以Z?=2,

V3a2+12-4

由余弦定理得化簡得a?—6。+8=0.

2-2ax

解得〃=2或〃=4,當(dāng)a=4時，VA5C是直角三角形，與題干不符，故排除，

所以Sx=>sinC=g.

18.已知S“為數(shù)列｛%｝的前〃項和，滿足S“=2a“—1,neN,.數(shù)列｛d｝是等差數(shù)列，且4=4,

Z?2+。4=6.

(1)求數(shù)列伍“｝和｛〃｝的通項公式；

”為奇數(shù)，

(2)設(shè)「4佃.求數(shù)列｛?！埃那?〃項和.

為偶數(shù)，

【答案】(1)%=2〃T,bn=n

,八4及21

(2)---1■”-+n——

33

【解析】

【分析】(1)先由數(shù)列｛/｝的前〃項和S“和通項氏的關(guān)系式求出相鄰項之間的關(guān)系,

判斷出數(shù)列｛4｝的類型，再利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式即可求解；

(2)利用分組求和法及公式法進(jìn)行求和即可.

【小問1詳解】

解：因為S“=2a“—1,〃eN*，①

所以有q=l,Sn+i=2an+i-1.②

②一①得4+1=2a.(〃wN*).

所以數(shù)列｛凡｝成以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列.

所以4=2")

又?jǐn)?shù)列｛2｝是等差數(shù)列，且〃=4，b2+b4=6.

所以偽=1，d=1.

所以用=n.

【小問2詳解】

田％為奇數(shù)，

因為"一】,“為偶數(shù)，

設(shè)數(shù)列｛qj的前2〃項和為《“，

ha

所以+02+。3+04-----2n-\+b2rl

-

=(%+%■)〃2/-1)+(a+4-----1b2n)

=20+2?+?+/"爰++2MQ〃

19.設(shè)函數(shù)/(%)=兀3一3姓+人，若函數(shù)/(%)在％=2處取得極小值8.

(1)求。/的值；

(2)求函數(shù)/(x)在［。,3］上的最大值和最小值，以及相應(yīng)x的值；

(3)證明：曲線y=/(x)是中心對稱圖形.

【答案】(1)a=4,Z?=24.

(2)x=2,最小值為8,x=0,最大值為24.

(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)極值點及極值可求。力的值；

(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)性，從而可求何時取何最值；

(3)可證曲線上任意點關(guān)于(0,24)的對稱的點仍在曲線上，從而可得曲線的對稱性.

【小問1詳解】

f'(x)=3x2-3a,

由題意函數(shù)/(X)在x=2處取得極小值8得，

7'(2)=12-3a=0,

j(2)=8-6a+A=8,

解得a=4,b=24.

止匕時/'(%)=3兀2—12=3(%—2)(x+2),

當(dāng)為<—2或x>2時，f'(x)>0,當(dāng)一2cx<2時，尸(久)<0,

故x=2為/(%)的極小值點，故a=4,24滿足條件.

【小問2詳解】

由(1)分析列表得：

0(0,2)2(2,3)3

/'(X)-0+

/(X)24單調(diào)遞減8單調(diào)遞增15

所以當(dāng)x=2時/(x)取得最小值為8,x=0時/(%)取得最大值為24.

【小問3詳解】

曲線y=〃x)的對稱中心為(0,24),證明如下：

設(shè)點P(m,力為曲線y=f{x}上任意一點，則點P(m,n)關(guān)于(0,24)的對稱點為(-帆,48-〃)，

因為P(m,n)在y=/(x)圖象上，

所以”="-121n+24.

又f(—in)=(-m)3-12(-m)+24=48-n.

所以點(-九48-a)也在y=/(尤)的圖象上.

所以曲線y=/(x)是中心對稱圖形.

20.已知函數(shù)/(x)=(2x-a)lnx(aeR).

(1)當(dāng)。=0時，求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：當(dāng)a=—1,曲線y=/(x)的切線不經(jīng)過點(0,0)；

(3)當(dāng)。＞0時，若曲線y=/(x)與直線丁=一改在區(qū)間(1,+8)上有兩個不同的交點，求實數(shù)。的取值范

圍.

【答案】(1)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[：,+“],單調(diào)遞減區(qū)間為

(2)證明見解析；(3)。〉44.

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性即可；

(2)將a=-1,利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，利用反證法證明即可；

X

(3)將問題轉(zhuǎn)化為/(x)=—X在區(qū)間(1,+8)上有兩個不同的解，即。=2%+「在區(qū)間(1,+8)上有兩個不

Inx

X

同的解，設(shè)〃(x)=2尤+▲,利用導(dǎo)數(shù)求解即可.

mx

【小問1詳解】

當(dāng)。=0時，/(x)=2xlnx,/(x)的定義域為(0,+8).

f'(%)=21nx+2,

令/'(%)=21nx+2=0,解得x=~.

當(dāng)X〉！時，f'(x)>0,/(X)單調(diào)遞增，

e

當(dāng)0<x<:時，f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減.

e

所以/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為

【小問2詳解】

當(dāng)。=一1時，f(x)=(2x+l)ln無，/^)=2111.1-+2+-.

X

設(shè)曲線y=/(x)的切點為?,/?))?>0),

則切線方程為y—(27+1)In?=^2Int+：+21(x—7),

假設(shè)切線過原點，則有-(2/+l)lnt=121nt+]+2卜-/),

整理得：lnt-2t-l=0.

令g⑺=ln-2f-l,貝Ug?)」_2.

t

所以當(dāng)f時，g'?)<0；當(dāng)時，g'⑺>0；

所以g?)在上單調(diào)遞減,在1o,g]上單調(diào)遞增，

所以對任意f〉0,g(0<g=-In2-2<0,

所以方程Inf-2/-1=0無解.

綜上可知，曲線y=/W在點的9/?))切線不過原點.

【小問3詳解】

曲線V=/(x)與直線V=-x在區(qū)間(l,+oo)上有兩個不同的交點,

等價于/(x)=-%在區(qū)間(1,+8)上有兩個不同的解,

x

即(2x-a)lnx=-%,a=2x+——在區(qū)間(L+s)上有兩個不同的解,

Inx

Ylnx-1(lnx+l)(21nx-l)

設(shè)h(