第二課時 定點、定線與定值

第二課時定點、定線與定值題型一定點問題例1(2024·惠州調(diào)研節(jié)選)已知橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，如圖，橢圓C的左、右頂點分別為A，B，點M，N是橢圓上異于A，B的不同兩點，直線BN的斜率為k(k≠0)，直線AM的斜率為3k，求證：直線MN過定點．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升圓錐曲線中定點問題的兩種解法(1)引進參數(shù)法：引進動點的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點．或以曲線上的點為參數(shù)，設(shè)點P(x1，y1)，利用點在曲線f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消參．(2)特殊到一般法：定點問題，先猜后證，可先考慮運動圖形是否有對稱性及特殊(或極端)位置猜想，如直線的水平或豎直位置，即k＝0或k不存在．訓(xùn)練1(2023·全國乙卷)已知橢圓C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(\r(5),3)，點A(－2，0)在C上．(1)求C的方程；(2)過點(－2，3)的直線交C于P，Q兩點，直線AP，AQ與y軸的交點分別為M，N，證明：線段MN的中點為定點．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型二定線問題例2(2023·新高考Ⅱ卷)已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，左焦點為(－2eq\r(5)，0)，離心率為eq\r(5).(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點分別為A1，A2，過點(－4，0)的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線MA1與NA2交于點P，證明：點P在定直線上．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升1.動點在定直線上是圓錐曲線的常規(guī)題型，設(shè)點法：通過已知點軌跡，消去參數(shù)，從而得到軌跡方程．2．待定系數(shù)法：設(shè)出含參數(shù)的直線方程，待定系數(shù)求解出系數(shù)．3．面對復(fù)雜問題時，可從特殊情況入手，以確定可能的定直線，然后再驗證該直線對一般情況是否符合，屬于“先猜再證”．訓(xùn)練2(2024·鄭州調(diào)研節(jié)選)已知橢圓C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1.A1，A2分別為橢圓C的左、右頂點．直線l：x＝my＋1與橢圓C交于P，Q兩點，直線A1P與A2Q交于點S.當(dāng)直線l變化時，點S是否恒在一條定直線上？若是，求此定直線方程；若不是，請說明理由．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三定值問題例3(2024·合肥質(zhì)檢節(jié)選)已知橢圓E：eq\f(x2,4)＋y2＝1，且橢圓E的上、下頂點分別為A，B，右頂點為D，直線l過點D且垂直于x軸．如圖，若點Q在橢圓E上(且在第一象限)，直線AQ與l交于點N，直線BQ與x軸交于點M，試問：|OM|＋2|DN|是否為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升圓錐曲線中定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值．依題設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式，化簡即可得出定值．(2)求點到直線的距離為定值．利用點到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得．(3)求某線段長度為定值．利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進行化簡、變形即可求得．訓(xùn)練3(2024·石家莊調(diào)研)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1的直線l交橢圓于A，B兩點，交y軸于點M，若|F1F2|＝2，△ABF2的周長為8.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)eq\o(MA,\s\up6(→))＝λeq\o(F1A,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))＝μeq\o(F1B,\s\up6(→))，試分析λ＋μ是否為定值，若是，求出這個定值；否則，說明理由．_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________