八年級數(shù)學專項復習：等腰三角形中的動態(tài)問題

等腰三角形中的動態(tài)問題

?等腰三角形存在性

?等腰中的全等三角畛

?規(guī)律性探討

【典例解析】

【例1-1］（2020?安徽省泗縣月考）如圖，4403=120。，。尸平分/A02,且。尸=1.若點M,N分別在

OA,上，且APMN為等邊三角形，則滿足上述條件的△「河"有（）

A.1個8.2個C.3個D.無數(shù)個

【答案】D

【解析】解：如圖，在。4、。8上分別截取OE=OP,OF=OP,作/MPN=60。.

：?！钙椒?4。8,

ZEOP=ZPOF=6Q°,

OP=OE=OF,

:.△OPE,△(?尸尸是等邊三角形，

EP=OP,ZEPO=ZOEP=/PON=/MPN=60。,

：.ZEPM=ZOPN,

:ZEMmAPON

：.PM=PN,

ZMPN=60°,

...△PNM是等邊三角形，

只要/MPN=60。，APA/N就是等邊三角形，

故這樣的三角形有無數(shù)個.

故答案為：D.

【例1-2］（2020?貴州六盤水期末）如圖，在，ABC中，AB=AC=3,/B=NC=50，點。在邊BC

上運動（點。不與點瓦C重合），連接AD,作NAT）E=50，OE交邊AC于點E.

（1）當ABDA=100時，/EDC=,ZDEC=

（2）當DC等于多少時，AABDmADCE,請說明理由；

（3）在點。的運動過程中，.ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出N3QA的度數(shù)；若不可

以，請說明理由.

【答案】(1)30,100；(2)(3)見解析.

【解析】解：(1)在ABAD中，

VZB=50°,ZBDA=100°,

：.ZEDC=30°,ZDEC=100°.

(2)當CD=3時，4ABD/ADCE,理由如下：

'：AB=CD=3,ZB=50°,ZADE=50°

：.NB=/ADE

'：ZADB+ZADE+ZEDC=180°,ZDEC+ZC+NEDC=180°

ZADB=ZDEC

又/B=NC

：.AABDQADCE

(3)可以，理由如下：

---/B=/C=50°,

，ZBAC=80°

①當時，ZDAE^ZDEA=65°,

：.ZBAD=ZBAC~ZDA￡=15°

，ZBDA=115°

②當AD=AE時，ZAED=ZADE=50°

：.ZDAE=iSO0~ZAED-ZADE=SQ°

又；/&4。=80°

ZDAE=ZBAE

二點。與點8重合，不合題意.

③當AE=DE時，ZDAE=ZADE=50°

：.ZBAD=ZBAC-ZDA￡=30°

ZBDA=100°.

綜上所述，當NBZM的度數(shù)為115?；?00。時，A4DE是等腰三角形.

【變式1-1］（2019?霍林郭勒市期中）點A的坐標是（2,2）,若點尸在x軸或y軸上，且AAPO是等腰三角

形，這樣的點P共有（）個

A.6B.7C.8D.9

【答案】C.

【解析】解：分兩種情況進行討論，

當OA是底邊時，作。4的垂直平分線，和坐標軸的交點有2個；

當。1是腰時，以點。為圓心，OA為半徑畫弧，和坐標軸有4個交點；以點A為圓心，OA為半徑畫弧,

和坐標軸出現(xiàn)2個交點；

滿足條件的點尸共有8個，

故答案為：c.

【變式1-2](2020?山西初二月考)綜合與探究：

在A43。中，AB=AC=8C=3cm.點P從點A出發(fā)以lcm/s的速度沿線段A3向點3運動.

(1)如圖1,設點P的運動時間為f(s),當/=s時，是直角三角形.

(2)如圖2,若另一動點。從點3出發(fā)，沿線段3C向點。運動，如果動點P,Q都以lcm/s的速度同時

出發(fā)，設運動時間為Ms),求當?為何值時，AP3Q是直角三角形.

(3)如圖3,若另一動點。從點C出發(fā)，沿射線3C方向運動，連接PQ交AC點。，且動點P,Q都以

lcm/s的速度同時出發(fā).

①設運動時間為*s),那么當/為何值時，ADCQ是等腰三角形？

②如圖4,連接PC.請你猜想：在點P,Q的運動過程中，APCD和AQCD的面積之間的數(shù)量關系為.

3

【答案】(1)—；(2)(3)見解析.

2

【解析】解：(1)當△P8C是直角三角形時，則N8PC=90。，

VZB=60°,

3

..BP=AP=—cm,

2

.二

??l一,

2

3

故答案為：--；

2

(2)①當NBPQ=90。時，BP=；BQ,

即3-r='r,解得：r=2

2

②當NB。尸=90°時，BP=2BQ,

即3-t=2t,解得：t=l

故當仁1或2s時，△PB。是直角三角形;

(3)①???/。。0=120。

???當△DCQ是等腰三角形，CD=CQ,

：.ZPDA=ZCDQ=ZCQD=30°

???ZA=60°

???ZAPD=90°

：.AD=2AP

3-t=2t,解得：t=l

②S△PCD=SAQCO.

過點尸作PELAC于E,過點。作QGLAC于點G,

???ZCGQ=ZAEP=90°

9：AB=AC=BC

：.ZA=ZACB=ZQCG=60°

：.△EAP^AGCQ

：.PE=QG

：.APCD與^QCD同底等高

故5APCD=SAQCD-

【例2】(2020?江蘇江陰月考)如圖，在△ABC中，AB=AC=10cm；BC=6s,點。為A8的中點.

(1)如果點尸在線段5。上以lcm/s的速度由點B向點C運動，同時，點。在線段CA上由點。向點A運

動.

①若點。的運動速度與點尸的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，△8尸。與△CQP是否全等，請說明理由；

②若點。的運動速度與點尸的運動速度不相等，當點。的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全

(2)若點。以②中的運動速度從點C出發(fā)，點尸以原來的運動速度從點3出發(fā)都逆時針沿△ABC三邊運

動，直接寫出經(jīng)過多少秒后，點P與點。第一次在AABC的那一條邊上相遇.

【答案】(1)①△8尸。與△CQP全等，②點。的運動速度是gcm/s.(2)經(jīng)過30秒后點尸與點。第一次

在△ABC的邊2C上相遇.

【解析】解：(1)①ABP。與△CQP全等，

:點P的運動速度是\cmls,點。的運動速度是lcm/s,

二運動1秒時，BP=CQ=lcm,

?；BC」=6cm,

CP=5cm,

VAB=10,。為AB的中點，

：.BD=5f

：.BD=CP,

U：AB=AC,

：.ZB=ZC,

：.4BPD”叢CQP.

②點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，則BP豐CQ,

若aBPD與^CQP全等，只能BP=CP=3cm,BD=CQ=5cm,

此時，點尸運動3c加，需3秒，而點。運動5c徵，

???點。的運動速度是§cm/s.

(2)設經(jīng)過f秒時，P、。第一次相遇，

的速度是1厘米/秒，。的速度是g厘米/秒，

,5

?.10+10+/=—19

3

解得：仁30,

此時點Q的路程=30X§=50（厘米），

V50<2x26,

???此時點。在8C上，

???經(jīng)過30秒后點尸與點。第一次在^ABC的邊BC上相遇.

【例3-1］（2019?武漢市期中）如圖，已知：NMON=30。,點4、4、4、…在射線ON上，點&、&、&、…

在射線0M上，△A1B1A2.△A2B2A3.△A383A4、…均為等邊三角形，若OAi=l,則4A&Aio的邊長為（）

【答案】D

：.AIBI=A2BI,Z3=Z4=Z12=60°,

.*.Z2=120°,

ZMON=30°,

.?.Zl=180o-120°-30o=30°,

XVZ3=60°,

???Z5=180°-60o-30o=90°,

,?NMON=N1=30。,

OAi=AiBi=l,

,*,△A282A3、△A333A4是等邊三角形,

.,.Zll=Z10=60°,Z13=60°,

Z4=Z12=60°,

：.AXBI//A2B2//A3B3,B1A2/7B2A3,

.?.Zl=Z6=Z7=30°,Z5=Z8=90°,

:?4282=281A2,53X3=2^2X3,

A3B3MB1A2M,

434=8332=8,

A5B5=16BIA2=16,

的邊長為2〃L

???AA^Aio的邊長為2%I=28=256.

故答案為D

【例3-2】（2020?浙江溫州月考）如圖，圖①是一塊邊長為1,周長記為Pi的正三角形紙板，沿圖①的底邊

剪去一塊邊長為士的正三角形紙板后得到圖②，然后沿同一底邊依次剪去一塊更小的正三角形紙板（即其

邊長為前一塊被剪掉正三角形紙板邊長的段）后，得圖③、④，…，記第〃（?>3）塊紙板的周長為P“，則

尸”一尸,一等于...（）

【答案】A

【解析】解：Pi=l+1+1=3,

15

尸2=1+1-I=一,

22

111

尸=31+1+—x3=——，

44

,,1,123

尸4=l+l+—x2+—x3=—,

488

,1151_1

??尸3一尸2=———

42I一百

231111

尸4一尸3=—————T

84823

1

.?Pn~Pn-l=-2向-V

故答案為：A.

【變式3-1］（2020?山東牡丹期末）如圖，已知NMON=30°,點A］,4,A3,?在射線QV上，點與，

B2,B3,…在射線OM上，△4月不，以4鳥，AA3B3B4,均為等邊三角形.若04=1,則A43/9

的邊長為（）

M

A.64B.128C.132D.256

【答案】B

【解析】解:???△4山1星是等邊三角形，

：.AIBI=AIB2,ZAIBIB2=ZAIB2O=60°

,?NO=30。

ZA2AIB2=90°

ZO=ZOAiBi=30°

OB\=AIB\=A\B2=1

n1

同理可得：483=4,A/4=8,AnBn=2-

：.的邊長為2-=128.

故答案為：B.

【變式3-2］（2019?貴州印江月考）如圖，已知人5=4民4片=44,4修=4為，4為=4區(qū)4

若NA=70。，則“紇_i的度數(shù)為（）

B

【解析】解：=AB=43,ZA=70°

ZA4iB=ZA=70°

A耳=A4

???ZA1A2B1=ZA131A2

ZAAiB=ZAiA2Bi+ZAxB1A2

170°

???ZAiABi=—ZAAiB=——=35°

222

170°

同理可得：NA2A3&=二~XA\A2BI=一廠=17.5°

222

170°

NA3A/3=—NA2A3&=—丁=8.75°

223

70°

??SA紇一產(chǎn)產(chǎn)

故答案為c.

【習題精練】

1.（2020?山東青州期中）如圖，平面直角坐標系中，點A在第一象限，/49戶40。，點P在x軸上，若△P04

是等腰三角形，則滿足條件的點P共有個.

【答案】4.

【解析】解：有。4=0尸、AO=AP,PO=24三種情況:

①以。為圓心，0A長為半徑畫弧，于X軸有2個交點尸2、尸3,

②以A為圓心，長為半徑畫弧，與X軸有2個交點。、Pi,

點。與04不能構(gòu)成三角形，P符合條件，

③作線段的垂直平分線，交無軸有1個交點「4,

*.P^A=P^O,

，尸4符合條件，

綜上所述：符合條件的點共有4個，

故答案為：4

2.（2019?浙江寧波?？迹┤鐖D，ZAOB=W°,點P在08上.以點P為圓心，。尸為半徑畫弧，交Q4于

點《（點4與點。不重合），連接尸勺；再以點《為圓心，。尸為半徑畫弧，交05于點6（點鳥與點P

不重合）,連接片鳥；再以點鳥為圓心，0尸為半徑畫弧，交Q4于點鳥（點鳥與點耳不重合）,連接P2P3；

按照上面的要求一直畫下去，得到點?，若之后就不能再畫出符合要求點匕+i了，則"=.

【答案】8

【解析】根據(jù)題意可知，畫出的三角形是等腰三角形，第一個底角NAOB=10。；

由三角形外角和定理可得，第二個等腰三角形的底角20。，第三個等腰三角形的底角30。，同理可得第〃個

等腰三角形的底角度數(shù)為IQn,

因為等腰三角形的底角小于90。，10〃<90,即X9.

故答案為8.

3.（2020?河北保定一模）如圖，ZAOB=W°,點P在05上.以點P為圓心，OP為半徑畫弧，交。4于

點片（點々與點。不重合），連接心；再以點片為圓心，OP為半徑畫弧，交于點鳥（點鳥與點P

不重合），連接片鳥；再以點6為圓心，0P為半徑畫弧，交。4于點〃（點片與點耳不重合），連接2A；

按照上面的要求一直畫下去，就會得到OP==4鳥=鳥鳥?,則

（I）NP2P3PL。；

（2）與線段。尸長度相等的線段一共有條（不含。尸）.

【答案】1。。9

【解析】解：（1）由題意可知，PO=PXP,PlP=P2P1,....

則NPO《=NO《P,NPiP—NPRP,…,

ZAOB=W°,

：.ZP}PB=2Q°,/心片A=30。，/鳥鳥B=40。,Z^A=50°,ZP5P4B=60°,

：./P2P3P4=180o-40°-40o=l00°,

故答案為：100；

（2）根據(jù)題意，10n<90,解得〃<9.

?〃為整數(shù),故”=8.

ZPPB=60°,

V54P4P5^P5P6,

/.△舄《兄為等邊三角形，

...與線段OP長度相等的線段一共有9條（不含OP）,

故答案為：9.

4.（2020?福建連城期中）如圖，在AA3C中，ZC=90°,AC=3C=4cm，點。是斜邊AB的中點.點

￡從點3出發(fā)以lcm/s的速度向點。運動，點R同時從點。出發(fā)以一定的速度沿射線C4方向運動，規(guī)定

當點￡到終點C時停止運動.設運動的時間為％秒，連接OE、DF.

2

(1)填空：5AABC=cm;

(2)當x=l且點R運動的速度也是Icm/s時，求證：DE=DF；

(3)若動點R以3cm/s的速度沿射線C4方向運動，在點￡、點R運動過程中，如果存在某個時間了,

使得AAZ*的面積是AfiDE面積的兩倍，請你求出時間》的值.

4

【答案】(1)8；(2)見解析；(3)彳或4.

【解析】解：(1)VSAABC=-XACXBC

2

1

?"SAABC~X4X4=8

2

故答案為：8

(2)如圖：連接CD

?：AC=BC,。是A3中點

...CO平分NAC2

又：ZACB=90°

：.ZA=ZB=ZACD=ZDCB=45°

：.CD=BD

依題意得：BE=CF

BE=CF

在4CDF與△BDE中，(NB=ZDCA

BD=CD

：.(SAS)

：.DE=DF

(3)過點Z)作￡>M_LBC于點M,OALLAC于點N,

\"AD=BD,ZA=ZB=45°,NAND=NDMB=90°

：.AAD^ABDM(A4S)

：.DN=DM

當SAA￡>F=2SABDE.

11

—xAFxDN=2x—xBExDM

22

/.|4-3x|=2x

.4

..無1=4,X2=—

5

4

綜上所述：a二或4.

5.(2020?廣東佛山月考)如圖，在等邊AA3C中，43=4。=3。=10厘米，。。=4厘米，如果點M以

3厘米/的速度運動.

（1）如果點M在線段CB上由點C向點3運動.點N在線段&L上由3點向A點運動，它們同時出發(fā),

若點N的運動速度與點M的運動速度相等：

①經(jīng)過2秒后，ABMN和ACDM是否全等？請說明理由.

②當兩點的運動時間為多少秒時，ABMN剛好是一個直角三角形？

（2）若點N的運動速度與點M的運動速度不相等，點N從點3出發(fā)，點用以原來的運動速度從點C同

時出發(fā)，都順時針沿AA5c三邊運動，經(jīng)過25秒時點四與點N第一次相遇，則點N的運動速度是

__________厘米/秒.（直接寫出答案）

【答案】見解析.

【解析】解：（1）①4BMN必CDM.

理由如下：N、M速度相等，t=2

：.CM=BN=6,8M=4

：.BN=CM

'：CO=4

：.BM=CD

'：ZB=ZC=60°

:ABMN9XCDM

②設運動時間為t秒，△2MN是直角三角形有兩種情況：

當/MWB=90。時，

/BNM=30。,BN=2BM

：.3t=2（10-30

解得：t=2^0

當/BNM=90。時，同理，BM=2BN,

即10-3仁2x3f,解得：/=—

9

.?.當仁生或電秒時，ABMN是直角三角形；

99

（2）分兩種情況，

①若點M運動速度快，則3x25—10=25VN,解得狽=2.6；

②若點N運動速度快，則3x25+20=25皈，解得Vv=3.8.

6.（2018?湖北廣水期中）（閱讀）

如圖1,等邊AABC中，P是AC邊上一點，。是CB延長線上一點，若AP=8Q.則過P作P/〃8C交A8

于尸，可證△APP是等邊三角形，再證△尸。尸可得。是用的中點.請寫出證明過程.

（運用）

如圖2,△ABC是邊長為6的等邊三角形，尸是AC邊上一動點，由A向C運動（與A,C不重合），。是

C8延長線上一動點，與點尸同時以相同的速度由8向C8延長線方向運動（。不與8重合），過尸作尸ELA8

于E,連接產(chǎn)。交于。.

（1）當/8。。=30。時，求AP的長；

（2）在運動過程中線段即的長是否發(fā)生變化？如果不變，直接寫出線段ED的長；如果發(fā)生改變，請說

明理由.

【答案】見解析.

【解析】解：【閱讀】

,/△A2C是等邊三角形，

ZABC=ZACB=60°,

'：PF//BC,

：./AFP=NAPF=NABC=ZACB=60°,

：.AP=PF,

'：AP=BQ,

:.PF=BQ,

'：PF//BQ,

：.NFPD=ZDQB,NPFD=ZQBD,

：./^PFD^AQBD；

:.DF=DB.

【運用】（1）

???△ABC是邊長為6的等邊三角形，

工ZACB=60°,

?.?/3。。=30。，

：.ZQPC=90°,

設AP=x,貝!JPC=6-x,QB=x,

/.QC=QB^-BC=6+x,

???在Rt&。。尸中，ZBQD=30°,

PC=—QC,BP6-x=—(6+x),解得x=2,

22

：.AP=2；

(2)過。作QGLA3,交直線A3于點G,連接。E,PG,

又〈PELAB于E,

：.ZPGQ=ZAEP=90°,

丁點尸、。速度相同，

：.AP^BQf

?「△ABC是等邊三角形，

JZA=ZABC=ZGBQ=60°,

在△4尸￡和48QG中，

ZAEP=ZBGQ=90°,

：.ZAPE=ZBQG,

：.AAPE^ABQG(A4S),

：.AE=BG,PE=QG^.PE//QG,

.??四邊形PEQG是平行四邊形，

1

：.DE=-EG,

2

"：EB+AE=BE+BG=AB,

1

：.DE=-AB,

2

又???等邊△ABC的邊長為6,

；.￡)￡=3,

故運動過程中線段ED的長始終為3.

7.(2020?樂清市月考)如圖所示，△ABC中，4B=AC=BC=10厘米，M、N分別從點A、點2同時出發(fā),

沿三角形的邊運動，已知點M的速度是1厘米/秒的速度，點N的速度是2厘米/秒，當點N第一次到達B

點時，M,N同時停止運動.設運動時間為f秒.

(1)M,N同時運動秒后，M、N兩點重合？

(2)當0<f<5時，M、N同時運動幾秒后，可得等邊三角形AAMN?

(3)M、N在8C邊上運動時，能否得到以為底邊的等腰如果存在，請求出此時M、N運動

的時間，如果不存在請說明理由.

【解析】解：(1)M、N同時運動10秒后，點M、N重合;

故答案為10；

(2)如圖，

根據(jù)題意得：AM=t,BN=2t,則AN=lQ-2t,

**-Q10-2t,解得t=—；

3

???當0V/V5時，M.N同時運動W秒后，可得等邊三角形AAMN；

3

（3）M、N在3。邊上運動時，可以得到以為底邊的等腰三角形，理由如下:

由（1）知10秒時V、N兩點重合，恰好在C處.

如圖，

：.AN=AM

：.ZAMN=ZANM

：.ZAMC=ZANB

\9AB=BC=AC

???△AC3是等邊三角形

：.ZC=ZB

在△ACM和△A5N中

VAC=AB,ZC=ZB,ZAMC=ZANB

：./\ACM^AABN

：.CM=BN

設運動時間為y秒時，△AMN是等腰三角形

ACM=y-10,NB=30-2y

40

.*.j-10=30-2y,解得產(chǎn)?-

40

???當運動時間為一秒時，M,N在8C上使△AMN為等腰三角形.

3

8.（2020.南京月考）在ABC中，ZBAC>90°,A3的垂直平分線交5C于M,交A5于￡,AC的

垂直平分線交于N,交AC于尸.

c

X-Q

B""E\A

(1)若Afi=AC,ABAC=120°,求證6N=AZZV=NC；

(2)由(1)可知—AMN是_____三角形；

(3)去掉(1)中的“/a4。=120?！钡臈l件，其他不變，判斷一AMN的形狀，并證明你的結(jié)論;

(4)當與NC滿足怎樣的數(shù)量關系時，是等腰三角形？直接寫出所有可能的情況.

【答案】見解析.

【解析】解：(1)連接AM,AN,

9

：AB=AC9ZBAC=120°

：.ZB=ZC=30°

TAB的垂直平分線交5C于M,AC的垂直平分線交3c于N,

：.BM=AM,CN=AN,

：.ZC=ZCAN=30°,ZB=ZBAM=30°,

：.ZAMN=60°,ZANM=60°

：.ZMAN=60°

???△AMN是等邊三角形

：.AM=AN=MN

：.BM=MN=CN

(2)等邊；

(3)等腰三角形，理由如下：

*：AB=ACf

：.ZB=ZC,

VAB的垂直平分線交BC于M,AC的垂直平分線交BC于N,

：.BM=AMfCN=AN,

:.ZC=ZCAN9ZB=ZBAM,

：.ZAMN=2ZB,ZANM=2ZC

'：ZB=ZC

?./AMN=NANM,

：.AM=AN

...△AMN是等腰三角形

(4)/AMN=2/B,NANM=2/C,ZMAN=18O0-2ZB-2ZC,

①當時，NB=/C；

②當MN=AN時，得2N3+/C=90。；

③當時，得N3+2NC=90。.

9.(2020?長沙月考)點尸是邊長為3cm的等邊AABC的邊AB上的動點，點尸從點A出發(fā).沿線段AB向點

8運動.

M1圖2

(1)如圖1,若另一動點。從點B出發(fā)，沿線段BC向點C運動，如果動點尸，。都以Icm/s的速度同時出

發(fā)，設運動時問為f(s),連換A。、CP交于點

①當f為何值時，△PB。是直角三角形？

②在P,。運動的過程中，NCMQ會發(fā)生變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù).

(2)如圖2,若另一動點。從點C出發(fā)，沿射線8c方向運動，連接PQ交AC于點。，如果動點P,。都

以la〃/s的速度同時出發(fā)，設運動時間為f(s),連接尸C,

①當f為何值時，AOCQ是等腰三角形？

②在點P,。的運動過程中，請?zhí)骄俊鱌CD和小QCD的面積之間的數(shù)量關系.

【答案】(1)①U1或2；②不發(fā)生變化，ZCMQ=60°；(2)①f=l；②面積相等

【解析】解：(1)①當APB。是直角三角形時，/B=60。，BP=3-t,BQ=t

ZPQB=90°,止匕時BP=2BQ

根據(jù)題意，得3-t=2t

解得仁1

②當/2尸。=90。時，此時BQ=2B尸

根據(jù)題意，得Z=2(3-Z)

解得：t=2

.??當仁1或2時，△尸5。是直角三角形；

②不發(fā)生變化，ZCMQ=60°

AP二BQ

在△A3Q與△口1尸中，＜/APQ=/CA尸

AB=CA

.*.△CAP

：.ZBAQ=ZACP

：.ZMAC+ZMCA=ZMAC+ZBAQ=ZCAP=60°

丁ZCMQ=ZMAC+ZMCA

：.ZCMQ=ZCAP=60°

故不發(fā)生變化，ZCMQ=60°；

(2)①=120。，當△OCQ是等腰三角形時，CD=CQ

：.ZPDA=ZCDQ=ZCQD=30°

???ZA=60°

???ZAPD=90°

：.AD=2AP,BPAD=2t

9：AC=AD+CD

2/+/=3

解得

故答案為/=1時，△DC。是等腰三角形；

②面積相等，如圖所不：

過產(chǎn)作PE±AD于E,過。作QG_LAZ)于G,則PE\QG

：.ZG=ZAEP

易證△EAPdGCQ

：.PE=QG

:PCD和4QCD同底等高

△PCD和4QCD面積相等

故答案為42。和4QCO面積相等.

10.(2020?廣東惠來期末)如圖，在等邊AABC中，AB=6cm,動點P從點A出發(fā)以1c機/s的速度沿A8勻

速運動.動點。同時從點C出發(fā)以同樣的速度沿2C的延長線方向勻速運動，當點P到達點B時，點P、Q

同時停止運動.設運動時間為/(s).過點尸作PELAC于E,連接尸。交AC邊于D以C。、CE為邊作平

行四邊形CQFE.

(1)當r為何值時，ABP。為直角三角形；

(2)是否存在某一時刻使點P在/A8C的平分線上？若存在，求出f的值，若不存在，請說明理由；

(3)求。E的長.

【解析】解：(1)：△ABC是等邊三角形,

.\ZB=60°,

.?.當8。=28P時，ZBPQ=90°,

6+t=2(6-r),

.1=2時，△BP。是直角三角形.

(2)存在.理由：連接2尸交AC于

：.BF±AC,AM=CM=3cm,

■:EF//BQ,

：.ZEFM=ZFBC=—NA3C=30。,

2

:?EF=2EM,

??t=29(3--/),

2

解得t=3.

(3)過。作尸K〃3C交AC于K.

???△ABC是等邊三角形，

：.ZB=ZA=60°,

■:PK//BC,

：.ZAPK=ZB=60°,

：.ZA=ZAPK=ZAKP=60°,

???△APK是等邊三角形，

：.PA=PK,

9：PE±AK,

；?AE=EK,

9

：AP=CQ=PKfNPKD=NDCQ,NPDK=NQDC,

:ZKDQXQCD,

:,DK=DC,

：.DE=EK+DK=—(AK+CK)=—AC=3cm.

22

n.(2019?哈爾濱市月考)如圖，A(6,0),5(0,4),點5關于元軸的對稱點為。點，點。在九軸的負半軸

上，△A3。的面積是30.

(1)求點。坐標；

(2)若動點P從點3出發(fā)，沿射線3c運動，速度為每秒1個單位，設P的運動時間為/秒，△APC的面

積為S,求S與?的關系式.

【答案】見解析.

【解析】解：(1)由題意知，-ADBO^3Q,

2

：.AD=15,0D=9,

.?.點。坐標為(-9,0)；

(2)：點8(0,4)關于x軸的對稱點為C點，

.??點C坐標(0,-4),

.?.當0<f8時，S=-3f+24,

當>8時，S=3r-24

12.(2020.湖北襄州期末)已知等邊△ABC的邊長為4c機，點尸，。分別是直線A3,8C上的動點.

(1)如圖1,當點尸從頂點A沿4B向2點運動，點。同時從頂點B沿8c向C點運動，它們的速度都為

Icm/s,到達終點時停止運動.設它們的運動時間為t秒，連接A。，PQ.

①當/=2時，求/AQP的度數(shù).

②當f為何值時4P3Q是直角三角形？

(2)如圖2,當點P在54的延長線上，。在8c上，若PQ=PC,請判斷AP,CQ和AC之間的數(shù)量關系，

并說明理由.

【答案】見解析.

【解析】解：⑴①根