2025新高考數(shù)學導(dǎo)數(shù)大題30題（含答案）

影”居新本考裁號導(dǎo)裁支題錯改充題

題目1］（2024?安徽?二W已知函數(shù)/3）=/T0c+3/'⑴In,.

（1）求函數(shù)/（。）在點（1,/（1））處的切線方程；

（2）求/（0的單調(diào)區(qū)間和極值.

［題目|2］（2024?江蘇南京.二?）已知函數(shù)/（工）=4『a，其中aCR.

⑴當a=0時，求曲線9=/（,）在（1J（1））處的切線方程；

⑵當a>0時,若/㈤在區(qū)間［0,a］上的最小值為工，求a的值.

e

??

題目區(qū)(2024?浙江紹興?模擬頊測)已知/(a?)=aex—x,g(z)=cosrr.

(1)討論/(c)的單調(diào)性.

(2)若3g使得/(g)=g(g),求參數(shù)a的取值范圍.

初目[d](2024?襦建漳州,一模)己知函數(shù)/(2)=aXnx-x+a,ae五且aWO.

(1)證明：曲線?/=〃力)在點(l,f(l))處的切線方程過坐標原點?

(2)討論函數(shù)/(①)的單調(diào)性.

題目回(2024?山東?二O已知函數(shù)/3)=(?跣0—,—Inm

(1)當a='時，求『(c)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當a>0時，/(c)>2—a,求a的取值范圍.

題目回(2024?山東?一模)已知函數(shù)/⑸口強+"田一

⑴當a=4時，求函數(shù)/Q)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)g(c)=/(2)—2c+1有兩個極值點0,2；2,且9(01)+9(立2)>-1—系，求a的取值范圍.

題目QO(2024?湖北?二W求解下列問題，

(1)若for-1>Inc恒成立,求實數(shù)k的最小值；

(2)已知a,b為正實數(shù)，rrC[0,1],求函數(shù)9(2)=以;+(1—工)6—12%6~的極值.

題目回(2024.湖北武漢.模擬覆測)函數(shù)加)={2114+411，_4必，_5</<多9(2)=411"工一/?^,

xE(0,y),nGN+.

(1)求函數(shù)/(①)的極值；

(2)若gQ)>0恒成立,求n的最大值.

???

題目可(2024?湖北?模擬II測)已知函數(shù)/(力)=Q/一力+inQ+l),QGR,

(1)若對定義域內(nèi)任意非零實數(shù)出，電，均有及比”>0,求a；

力巡2

(2)記tn=1++…+?,證明：tn-VIn(n+1)Vtn.

題目為)(2024?湖南?一模)已知函數(shù)/(/)=sina;—ax-COST,aER.

(1)當Q=1時，求函數(shù)/(劣)在/=處的切線方程；

⑵①2(0疊)時;

(i)若/(6)+sin2x>0,求a的取值范圍;

(ii)證明：sir?力?tan/>x3.

???

題目11](2024?全國?模板很測)已知函數(shù)/(0=111(1+工)一7三

VI+

(1)求曲線沙=/3)在(0,/(0))處的切線方程；

(2)若ce(―1,兀)，討論曲線g=/Q)與曲線g=—2cosc的交點個數(shù).

[題目112](2024?廣東佛山?二W已知/(乃=-^-e2x+^ex-ax-5.

(1)當a=3時，求/(乃的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(2)有兩個極值點0，22,證明：/(?)+/(?2)+0.

???

〔題目|13）（2024,廣東廣州?模擬II測）已知函數(shù)/（工）=H（e"—fcr）,kCR.

（1）當k=0時，求函數(shù)/（工）的極值；

（2）若函數(shù)/（工）在（0,+8）上僅有兩個零點,求實數(shù)k的取值范圍?

〔題目|14）（2024?江蘇南通?二W已知函數(shù)/（2）=In/-ax,g（c）=2，aW0.

（1）求函數(shù)/（。）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若a>0且/（2）<g（c）恒成立，求a的最小值.

7

,題瓦15](2024?山東濟南?二O已知函數(shù)/(①)=ad—Inc-Lg(工)=跣—a/(aCR).

(1)討論/(，)的單調(diào)性；

(2)證明：f(c)+g(c)

題目?(2024?福盛?模擬預(yù)凋)已知函數(shù)/(dalnrc—近在(1,/⑴)處的切線在沙軸上的截距為一2.

(1)求a的值；

(2)若/(力)有且僅有兩個零點，求b的取值范圍.

???

(題目|17](2024?浙江杭州?二?)已知函數(shù)/(t)=aln(o+2)—]/(aCR).

(1)討論函數(shù)/(①)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(2)有兩個極值點，

(i)求實數(shù)a的取值范圍；

(ii)證明：函數(shù)/(2)有且只有一個零點.

(題目|18)(2024?萬北滄州?模擬5?測)已知函數(shù)/(工)=Inc—a工+1,aCR.

(1)討論/(，)的單調(diào)性；

(2)若V]>0,/(劣)《力e2J2a/恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

???

題目(2024?廣東?二已知/(①)—2a)rc—21n:r,a>0.

(1)求/(⑼的單調(diào)區(qū)間；

⑵函數(shù)人,)的圖象上是否存在兩點4(如如,3(電,例)(其中小片，2)，使得直線與函數(shù)/(①)的圖象在新

=*1處的切線平行？若存在，請求出直線AB；若不存在，請說明理由.

題目五(2024?廣東深圳?二O已知函數(shù)/Q)=(as+l)e\7(^)是/(工)的導(dǎo)函數(shù)，且/'(為一/(⑼=

2e”.

(1)若曲線g=/(c)在％=0處的切線為y=fcr+d求k,b的值；

(2)在(1)的條件下,證明：f(①)>kx+b.

???

［題目萬H(2024?遼寧?二W已知函數(shù)/(力)=ax-ax-In%.

(1)若曲線g=/(re)在力=1處的切線方程為y=m岔+2,求實數(shù)a,m的值；

(2)若對于任意x>1,/(%)+QC>Q恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

題方(2024?黑龍江哈爾洪?T)已知函數(shù)/(力)=§—ae'aeR.

e

(1)當Q=0時，求/(力)在I=1處的切線方程；

(2)當a=1時，求/(2)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(3)若對任意力€R,有/(力)&e"1恒成立，求。的取值范圍.

11

〔題目23〕（2024?安徽合JU?二W已知曲線。：/（為=e一?！痹邳cA（1J（1））處的切線為I.

（1）求直線，的方程；

（2）證明：除點A外，曲線。在直線I的下方；

（3）設(shè)/Qi）=/（工2）=t,x^g,求證：xr+x2<—

題目］五（2024?江蘇揚州?模擬1W0已知函數(shù)/⑸=21nc—aF+l（aCR）.

（1）討論函數(shù)/（⑼的單調(diào)性；

（2）若存在正數(shù)x,使/（必））0成立，求a的取值范圍；

（3）若0<①2，證明：對任意aG（0,+8）,存在唯一的實數(shù)x0E（叫叫），使得/（g）=，（電）二’（也成立.

62―力1

12

［題目25］(2024?支慶?模擬已知函數(shù)/⑶=(c—3)e"+a《+ln/)(aeR),

(1)若過點(2,0)的直線與曲線沙=/(劣)切于點(1,/(1)),求a的值；

(2)若/(力)有唯一零點，求Q的取值范圍.

［題團26」(2024?江蘇南通?模擬覆測)設(shè)函數(shù)/(為=(2—a)lnrr—x+a.aCR.

(1)若a=0,求函數(shù)/(工)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若—與VaVO,試判斷函數(shù)/(⑼在區(qū)間(eKe?)內(nèi)的極值點的個數(shù),并說明理由;

e

(3)求證:對任意的正數(shù)Q,都存在實數(shù)力，滿足:對任意的力G(t,t+a),f⑸<a—l.

題目27]（2024?河北保定?二已知函數(shù)/（劣）=Qsin力+/cos力.

（1）若Q=0,求曲線g=/（力）在點（0,/（0））處的切線方程；

（2）若力E（―兀,兀），試討論了（力）的零點個數(shù).

題目函（2024?河北?二W已知函數(shù)/㈤=e\

（1）求曲線y=f（x）在力=0處的切線I與坐標軸圍成的三角形的周長；

（2）若函數(shù)/（力）的圖象上任意一點P關(guān)于直線r=1的對稱點Q都在函數(shù)gQ）的圖象上,且存在力6[0,1）,

使/（劣）一2ex>m+g（x）成立,求實數(shù)m的取值范圍.

???

x

題目-29^（2024?河北耶鄲?二榭已知函數(shù)/（⑼=e-mxig（x）=x-mlnx.

（1）是否存在實數(shù)小,使得/（力）和g（c）在（0,+oo）上的單調(diào)區(qū)間相同？若存在，求出m的取值范圍;若不存

在，請說明理由.

（2）已知力1，力2是/（力）的零點，力2，a3是g（N）的零點.

①證明：館>e,

3

②證明：1VXiX2x3<e.

厘目］-雙\（2024?浙江杭州?模擬H測）已知函數(shù)/（工）=小1—+京9工—m,gQ）=e°+e\

⑴當館=0時,證明:f（x）<e~x；

（2）當力VO時,g（x）>力，求力的最大值；

（3）若/（劣）在區(qū)間（。,+8）存在零點，求館的取值范圍.

???

題目口］（2024?安徵?二W已知函數(shù)/㈤="一103；+3/⑴Inc.

（1）求函數(shù)/（。）在點（1,/（1））處的切線方程；

（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值.

【答案】⑴,=4力—13;

（2）遞增區(qū)間為（0,2）,（3,+oo）,遞減區(qū)間為（2,3）,極大值-16+121n2，極小值-21+121n3.

【分析】⑴求出函數(shù)/㈤的導(dǎo)數(shù)，賦值求得:⑴，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.

（2）由（1）的信息，求出函數(shù)f（G的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間及極值.

【詳解】⑴函數(shù)/（力）=x2-106+3/'⑴In/，求導(dǎo)得/'（力）=2a?—10+“⑴,

x

則r⑴=-8+3/⑴，解得r⑴=4,于是/Q）=鎮(zhèn)一10x+121nx,f（l）=-9,

所以所求切線方程為：g+9=4（力-1）,即g=4力-13.

（2）由⑴知，函數(shù)/（6）=x2-10x+12hi力，定義域為（0,+8）,

4>印2、cinI122（劣一2）（x—3）

求導(dǎo)行"j（切=2力一10H-----=---------------------,

xx

當0</<2或力>3時，/'（力）>0,當2〈力〈3時，/（力）<0,

因此函數(shù)/（⑼在（0,2）,（3,+8）上單調(diào)遞增，在（2,3）上單調(diào)遞減，

當力=2時，于（x）取得極大值/（2）=—16+121n2,

當力=3時,/（宏）取得極小值/（3）=—21+121n3,

所以函數(shù)f（七）的遞增區(qū)間為（0,2）,（3,+8）,遞減區(qū)間為（2,3）,

極大值-16+121n2，極小值-21+121n3.

【題目區(qū)（2024?江蘇南京?二W已知函數(shù)/Q）=d―ax+a，其中aCR.

⑴當a=0時，求曲線夕=/（,）在（1,/⑴）處的切線方程；

⑵當a>0時，若/Q）在區(qū)間［0,a］上的最小值為工，求a的值.

e

【答案】（1）力—ey=O

（2）a=1

【分析】（1）由a=0,分別求出/（1）及f（l），即可寫出切線方程；

（2）計算出f（x），令（3）=0,解得力=2或力=Q,分類討論Q的范圍，得出f（x）的單調(diào)性，由f（x）在區(qū)間［0,

a］上的最小值為工，列出方程求解即可.

e

【詳解】⑴當a=o時，/㈤=，，則/（1）=.，r㈤=區(qū)”，所以r⑴=1,

所以曲線y—f{x）在（1,/（1））處的切線方程為：y——二工（力-1）,即力一eg=0.

ee

（2）/Q）=七+（。+2）"-2Q="-2）3-a）,令/（,）=0,解得2=2或"=%

exex

當0<a<2時，cC［0,a］時爐㈤40,則/㈤在［0,a］上單調(diào)遞減,

所以/（⑼疝口=/匕）=0=工，則a=1,符合題意；

eae

當a>2時，-W［0,2］時，/（0）<0,則_f（c）在［0,2］上單調(diào)遞減，

x6（2,a］時,/3）>0,則/㈤在⑵a］上單調(diào)遞增,

所以/3）min=/（2）=生詈=L，則a=4-e<2,不合題意；

e2e

MS

當a=2時，rrC[0,2]時,廣3)&0,則/㈤在[0,2]上單調(diào)遞減，

所以/(c)min=/(2)==亮/里，不合題意；

e2e

綜上，a=l.

題目瓦|(2024?浙江紹興?模擬演測)已知f(x)=aex—x,g(力)=cosx.

(1)討論/(N)的單調(diào)性.

(2)若3g使得/(力o)=g(g),求參數(shù)Q的取值范圍.

【答案】⑴當Q<0時，/(劣)在(一8,+oo)上單調(diào)遞減；當。>0時，/(力)在(—00,-Ina)上單調(diào)遞減，在

(—lnQ,+8)上單調(diào)遞增.

⑵(—8,1]

【分析】⑴對/(力)=Qe。一力求導(dǎo)數(shù)，然后分類討論即可；

(2)直接對a>1和a41分類討論，即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)由f(x)=ae*—/,知/'(劣)=aex—1.

當a40時，有/'⑺=aex—1^0—1=—1V0,所以/⑺在(一8,+8)上單調(diào)遞減；

當a>0時，對力<—Ina有/'(力)=aex—1<ae~ina—1=1—1=0,

對x>—Ina有/'(1)=aex—1>ae-lna—1=1—1=0,

所以/(少)在(—00,—Ina)上單調(diào)遞減，在(—Ina,+8)上單調(diào)遞增.

綜上，當aW0時，/(%)在(—00,+oo)上單調(diào)遞減；

當。>0時，/(力)在(一8,—Ina)上單調(diào)遞減，在(—Ina,+co)上單調(diào)遞增.

(2)當a>l時，由⑴的結(jié)論，知/(力)在(—00,-Ina)上單調(diào)遞減，在(—Ina,+oo)上單調(diào)遞增，

所以對任意的力都有/(力)>/(—Ina)=ae~ina+Ina=1+lna>1+Ini=1>cosx=g{x),

故/(力)>g(力)恒成立，這表明此時條件不滿足；

當Q41時，設(shè)%(力)=aex—x—COST,由于/i(—|a|-1)=+|a|+1—cos(—|a|—1)>ae-|a|-1+|a|>

—|a|e-lal-1+|a|=|a|(l—e-'a'-1)>|a|(l—e°)=0,h(0)=ae°—0—cosO=a—KO,

故由零點存在定理，知一定存在XQG[―|Q|—1,0],使得九(g)=0,

x

故/(g)—g(g)=ae°—x0—cosxG=/i(x0)=0,從而/(g)=g(g)，這表明此時條件滿足.

綜上，a的取值范圍是(—00,1].

(2024?福堂漳州?一模)已知函數(shù)/(力)=alne—x+a,QER且aWO.

(1)證明：曲線g=/(2)在點(1,/(1))處的切線方程過坐標原點.

(2)討論函數(shù)/(劣)的單調(diào)性.

【答案】(1)證明見解析

(2)答案見解析

【分析】(1)先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得了(力)在(1,/(1))處的切線方程，從而得證；

(2)分類討論aVO與。>0,利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性即可得解.

【詳解】(1)因為/(T)=alnx—力+磯力>0)，所以/'(力)=——1=———,

則/(I)=alnl—l+a=a—1,/'(I)=a—1,

所以/(力)在(1,/(1))處的切線方程為:g—(a—1)=(a—1)(力一1),

當力=0時，g—(a—1)=(Q—1)(0—1)=—(Q—1),故g=0,

所以曲線g=在點(1,/(1))處切線的方程過坐標原點.

(2)由(1)得7(力)=--1=支衛(wèi)，???

當aVO時，a—力VO,則（力）〈0,故/（力）單調(diào)遞減；

當a>0時，令[（/）=0則力=a,

當ov力va時，/㈤>o,fQ）單調(diào)遞增；

當/>Q時，/'（力）<0,f（x）單調(diào)遞減；

綜上：當aVO時，/（力）在（0,+8）上單調(diào)遞減；

當a>0時，/（力）在（0,a）上單調(diào)遞增，在（Q,+8）上單調(diào)遞減.

題目EJ(2024?山東?二40已知函數(shù)/(力)=a2xex—x—lnx.

⑴當1時，求的單調(diào)區(qū)間;

（2）當a>0時，f（x）>2—Q,求a的取值范圍.

【答案】（1）/（力）的減區(qū)間為（0,1）,增區(qū)間為（L+8）

（2）a>l

【分析】（1）當a=-^=r時，/（1）=跣1—十一In宓，力>0,求導(dǎo)得產(chǎn)（力）=’+1（力e*T—1）,令g（%）=xex~x—

Vex

1,求43）確定。3）的單調(diào)性與取值，從而確定廣（力）的零點，得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）求ro）,確定函數(shù)的單調(diào)性，從而確定函數(shù)〃力）的最值，即可得0的取值范圍.

【詳解】（1）當a=時，/（力）—xex~r—x—Inx,re>0,

則/'（力）=+l）eiT—1—'二力:'（Ne*T_l）,

設(shè)g（x）—xex~r—1,則g'（力）=（力+l）e*T>0恒成立，又g（l）=e°—1=0,

所以當力e（0,1）時，[0）<0,/（力）單調(diào)遞減，當/e（1,+8）時，/（力）>0,/（力）單調(diào)遞增，

所以/（力）的減區(qū)間為（0,1）,增區(qū)間為（1,+8）；

⑵/⑸=a2（x+l）e:c—1——="+1（a2xex—l）,

設(shè)九（力）二島圮①—匕則h（x）=Q2（力+1）鏟>0,所以無（力）在（0,+oo）上單調(diào)遞增,

又無（0）=—1<0,無（?。?e，—1>0,

2x

所以存在g￡(0，!),使得無(g)=0,即axQe°—1=0,

當/E(O,a:o)時，/'(力)<0,/(^)單調(diào)遞減，

當/G(g,+8)時，/(力)>0,/(力)單調(diào)遞增，

當方=/0時，/(力)取得極小值,也是最小值，

x

所以于(x)>/(g)=a^xoe°—xQ-lnx0=1—ln(g鏟9=1+21na,

所以1+21na>2—a,即a+21na—1>0,

設(shè)F(a)=Q+21na-1,易知F(a)單調(diào)遞增，且F(l)=0,

所以F(Q)>F(l),解得a>1,

綜上，a>l.

題目回（2024?山東?一模）已知函數(shù)/㈤=lnc+]aQ—I）?.

（1）當。=—/時,求函數(shù)/Q）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)g（c）—f（x）—2x+l有兩個極值點如22,且g（g）+9（g）》一1—:，求a的取值范圍.

【答案】（1）增區(qū)間（0,2），減區(qū)間（2,+oo）

⑵[1,+co）

MS

【分析】(1)將。=一方代入求導(dǎo)，然后確定單調(diào)性即可；

(2)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)有兩個根寫出韋達定理,代入。(力J+g(g)>—1—~~,構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，研究函數(shù)性質(zhì)

進而求出a的取值范圍.

【詳解】(1)當a=—發(fā)時，/3)=lmc—1(］一1片x>0,

則/㈤=：—1(2—1)=_y+i),

當力e(0,2),fr(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當力e(2,+oo),fr(x)<0,/(rc)單調(diào)遞減，

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2),單調(diào)遞減區(qū)間是(2,+oo):

(2)gQ)=/(a?)—2T+1=Ina;+(力一—26+1,

所以g,㈤二工+a(,—1)—2=—1+2)，+1,

XX

2

設(shè)(p[x)=ax—(a+2)x+1,令日(力)=0,由于g(力)有兩個極值點xlix29

A=(a+2)2-4a=a2+4>0

所以<電+力2=^^>0，解得a〉0.

^2=i>o

j.,?a+21

aa

得g(g)+g(g)=Ing+-^-Q(g—Ip—2J；I+1+lna72+5a(電一—2電+1

=ln(/巡2)+5a[(劣1+62)2—2宏口2—2(為+力2)+2]—2(力—電)+2

11,1「/a+2\22a+2,1a+2,

=InF—a--------------------2o----------F29-29-----------F29

Q2L\Q/Qa」a

11,a2i[3

=InF-------------12—1———,

ala2a

即Ina—(a——)<0,令M(a)—Inez,—~(a——),

/Q/d

(a—1)2

貝||m'(a)=----------—W0,

、)a22Q22Q2

所以m(a)在(0,+oo)上單調(diào)遞減，且m(l)=0,

所以a>1,故Q的取值范圍是［1,+8).

:題目0(2024?湖北?二tt)求解下列問題，

(1)若for—1>In力恒成立,求實數(shù)k的最小值；

(2)已知a,b為正實數(shù)，x6［0,1］,求函數(shù)g(N)—ax+(1—%)b-談?--①的極值.

【答案】(1)1

(2)答案見解析

【分析】(1)求導(dǎo)，然后分k<0和k>0討論，確定單調(diào)性，進而得最值；

(2)先發(fā)現(xiàn)g(0)=g(l)=0,當a=b時，g(x)=0,當0V/Vl,aWb時，?。?=大，L(T)=板+1—力一產(chǎn)，求

導(dǎo)，研究單調(diào)性，進而求出最值得答案.

【詳解】⑴記/(/)=kx—l—hue(優(yōu)>0),則需使/(力)>0恒成立,

?"(力)=k——(劣>0),

當k40時,TQ)V0恒成立,則f⑸在(0,+8)上單調(diào)遞減,

且在力>1時，/(力)V0,不符合題意，舍去；

???

當%>0時.

K

則/⑸在(0,")上單調(diào)遞減，在(卷,+00)上單調(diào)遞增，

所以/(/)min=/(=)=—ln==ln/c,

\k，k

要使fcr—1>Inrc恒成立，只要Ink>0即可，

解得k>l,所以k的最小值為1;

⑵g(c)=。力+(1—x)b—ax,b1-x,xE[0,l],a>0,b>0,易知g(0)=g⑴=0,

當a=b時，g(N)=QN+Q—a/一a=0,此時函數(shù)無極值；

當0V力Vl,aWb時,g[x)=QI+(1—x)b—b?(今)=—]，

x

取岌=/;,力>0,力￡1,L(T)=tx+1—X—t,t>0,t1,XE(0,1),

In號

則L/(x)—t—\—t*hit，當1>1時，由L!(x)>0得力<—退一，由(1)知力一1>Int,

Int

當

Int

因為力一1>Inx，所以1—1>In—,所以Inx>1—L,即力>o,當力>1時，Int>1——,

xxxt

十_1十一1In*)

所以方>斗士，則In/Ain—，〉。，所以VI,

mtmtInt

即EQ)在(o,生乙)上單調(diào)遞增，在[口段工]單調(diào)遞減.

\mt/\mt/

所以函數(shù)9（x）極大=g（］：；'=

In*1

當0c力<1時，同理有C（0,1）,

由〃（，））0得萼3，即㈤在（o,生上單調(diào)遞增，在（牛上單調(diào)遞減.

Int\Int/\mt）

所以函數(shù)9（工）極大=g（］：；）,t=￡,a#b,

綜上可知，當a=b時，函數(shù)g（z）沒有極值；當aW6時，函數(shù)。（工）有唯一"的極大值g（—1'），其中t=今,

沒有極小值.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：取號=力，將兩個參數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為一個參數(shù)的問題,進而求導(dǎo)解答問題.

b

|^B-8^|（2024?湖北武漢?模擬演瀏）函數(shù)/（力）=tan劣+sin力—―%<x—sin氣—xncosx,

xG（0,5）,nGN+?

（1）求函數(shù)/（力）的極值；

（2）若gQ）>0恒成立,求n的最大值.

【答案】⑴極小值為喝）=3（”兀），極大值為/（—等）=3（兀?。?；

（2）3.

MS

【分析】(1)判斷函數(shù)/(⑼為奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出f(x)在區(qū)間(0,5)上的極值,利用奇偶性即可求得定義

域上的極值.

(2)利用導(dǎo)數(shù)證明當n=1時，gQ)>0恒成立，當n>1時，等價變形不等式并構(gòu)造函數(shù)FQ)=a;—Sin^

cosnx

0<c<5,利用導(dǎo)數(shù)并按導(dǎo)數(shù)為負為正確定打的取值范圍，進而確定不等式恒成立與否得解.

【詳解】⑴函數(shù)/(2)=tan力+sin/一］/，一,/(—x)=tan(—力)+sin(—力)-rr)=—/(/),

即函數(shù)/(力)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點對稱，

當0<力<9時，/(%)=⑥116+sin力一馬力,求導(dǎo)得：

2cos12

A”、192cos3rc—9cos2a?+2(2cosa;—1)(COST—2—V6)(cosa?—2+V6)

cos2a722cos2/2COS2T

由于cosxE(0,1),由/'(力)>0,得0<cosx<；,解得,

/j/

由『(X)V0,得Vcos力<1,解得0V力V看

/o

因此函數(shù)/(力)在(。，彳7U3(V3-7r)

2，

亞|二士,極大值為/(_￡)=3(?！猇3)

2

(2)當？2=1時，g(力)>0恒成立，即sinx—xcosx>0恒成立，亦即tana;>x恒成立,

令九(力)=tan力一力，力E(0,9),求導(dǎo)得九'(a?)=----1=-=tan2a;>0,

'2/cos2xcos2a:

則函數(shù)h(x)在上為增函數(shù)，有h(x)>h(0)=0,因此tan/一力>0恒成立;

當n>1時，g(/)>0恒成立，即不等式>力恒成立,

vcosa?

令F(力)=。一4哈,0〈,〈5，求導(dǎo)得:

cosnx

1+n11-71

COST-cosnrr----cosn力?(一sine),sin力cosnT+—?sin2x?cosnx

>㈤=1--------------U—7-----------------1-----------r----------

cosnxcosnx

n+1[_[

22n22n

cosrc+—?sinrcrcios_x__—__c_o_s_r_c_—_—__(_1_—__c_ons、rc)7COSX--n---上n工COS2c

n+ln+1n+l

COSnXCOSnXCOSnX

令G{x}=cosnx--———^cos2力，求導(dǎo)得貝1G'(a?)=cosna;?(―sinre)———-?2cos冗?(一sin力)

nnnn

[(2n—2)cosa;—(n+1)cosnJJ]=—―-?sint(cosc-誓Wcos%

\In—1

27i—2-sin,?cos%(cos*c—

n\2n—2

由n>1,2C(0,-^-),^4———?sinrr,cos,la:>0,

v2'n

當匯\時，即九43時,G，㈤VO,則函數(shù)GQ)在(0,專)上單調(diào)遞減,

則有GQ)VG(O)=0,即尸㈤V0,因此函數(shù)F(x)在(04)上單調(diào)遞減，有F{x)<F(0)=0,即gQ)>0,

當時，即n>3時，存在一個gC(0片)，使得8$噌尬=畀苒，

2n—2'2/2n—2

且當ce(0,費)時,G'(x)>0,即GQ)在(0,雹；)上單調(diào)遞增，且G(力>G(o)=0,

則嚴(c)>0，于是尸(，)在(0,g)上單調(diào)遞增，因此F(x)>F(O)=0,即皿<，，與。㈤>0矛盾，

vcosa;

所以ri的最大值為3.

【點睛】方法點睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：

①通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值,從而求出參數(shù)的取值范圍；

②利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

③根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新

函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注

意恒成立與存在性問題的區(qū)別.

題目回(2024?湖北?模擬預(yù)動已知函數(shù)/(,)=a/—，+in(a：+l),aeR,

(1)若對定義域內(nèi)任意非零實數(shù)X1,x2,均有/⑹/3)>0,求&；

力巡2

11R

(2)記圖=1+———…T，證明:t——VIn(九+1)Vt.

2nnon

【答案】⑴a=5

(2)證明見解析

【分析】(1)求導(dǎo)可得r(0)=0,再分Q40與Q>0兩種情況分析原函數(shù)的單調(diào)性，當Q>0時分析極值點的

正負與原函數(shù)的正負區(qū)間，從而確定Q的值；

(2)由(1)問的結(jié)論可知，!一二一<In(工+1)〈支，再累加結(jié)合放縮方法證明即可.

n2n2vn)n

【詳解】⑴/(宏)的定義域為(一1,+8),且/(0)=0；

f'(x)—2QN—H----=2ax-----------—x(2a--------,因“匕(0)=0;

x+16+1\力+1)

i.a40時，2a——二V0,則此時令(Q)>0有力G(一1,0),令/(力)V0有力E(0,+oo),

力+1

則f@)在(-1,0)上單調(diào)遞增,(0,+00)上單調(diào)遞減,又〃0)=0,

于是/(劣)W0,此時令力便2Vo，有V0,不符合題意；

力1/2

ii.a>0時，/'(力)有零點0和/o=蚩—1,

若6oV0,即a>，此時令/(力)V0有力6(g,0),f(x)在(xo,O)上單調(diào)遞減,

又/(0)=0,則/(g)>0,令/i>0,g=g,有V0,不符合題意；

力162

若g>0,即0Va〈］~,此時令廣(力)V0有力e(O,TO),/(T)在(O,TO)上單調(diào)遞減，

又/(0)=0,則/(力0)V。，令一1VgVO,力2=力0,有V0,不符合題意；

力1/2

若g=0,即a=5，此時/儂)=>0,/(，)在(T，+8)上單調(diào)遞增，又/(0)=0,

則/>0時/(2)>0,z<0時/(￡)<0;則2W0時以也>0,也即對必巡2片。，>0,

X1162

綜上,a=/

(2)證：由(1)問的結(jié)論可知，a=0時，/(力)——X+111(/+1)40;

且a=時x>0,/(a;)=^-x2—x+ln(a?+1)>0;

???

則力>0時，x—^-x2<ln(rr+l)V/，令力，有1-----<Inf—+1^<—,

2nn2n2'n)n

-------<ln(n+l)—Inn<-,

n2n2n

于是一--------——VInn—ln(n—1)<—^―-

n~l2(n-l)2n-1

1-y<ln2<1

將上述幾個式子相加，+---<ln(n+l)<t\

2\22n7n

欲證.1<ln(n+l)V〃,只需證L卷06(l+?+…只需證l+?+…+5〈卷;

因為5=已<焉占=2（/人）

<12_____-1h1-

所以］+4+,,?+」？+(^4+44-—919Li)一0■，得證:

22TL,35572TI—12n+1，32n+13

于是得證圖—Vln(n+1)Vt.

on

【點睛】方法點睛：

（1）此題考導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合應(yīng)用，找到合適的分類標準，設(shè)極值點，并確定函數(shù)正負區(qū)間是解此題的關(guān)鍵;

（2）對累加結(jié)構(gòu)的不等式證明，一般需要應(yīng)用前問的結(jié)論,取特定參數(shù)值，得出不等式累加證明，遇到不能累

加的數(shù)列結(jié)構(gòu)，需要進行放縮證明.

題目10j（2024?湖南,一模）已知函數(shù)/（2）=sinz—ax-cos?,aGR.

⑴當a=1時，求函數(shù)/⑵在①=5處的切線方程；

⑵,2（0晝）時;

（i）若/（力）+sin2/>0,求a的取值范圍；

（ii）證明：sin2a;?tan力>爐.

【答案】（1）兀力一2g+2—]■=0.

（2）

（i）a<3（ii）證明見解析

【分析】（1）令a=l時，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率，進行計算求出切線方程即可.

（2）（i）設(shè)g（力）=2sinT+tana;—ax,xE（。，5）,由。'（z）>0得Q&3,再證明此時滿足g（力）>0.

（ii）根據(jù)（i）結(jié)論判斷出F（劣）=sin2T?tana;—爐在（0,~^）上單調(diào)遞增，,F（rc）>F（0）=。，即sin2力tan力

>爐.

【詳解】(1)當Q=1時，f(x)—sin6—x-cos6,/'(6)=COST—(cos%—x,sinrr)=x,

=1.

7r2

所以切線方程為：g—1="^~（1一方■）,即兀力一2g+2——=0.

(2)(i)/(T)+sin2rc=sin6—ax?cos力+sin2rr>0,

即tana?—ax2sin/>0,a;E),

設(shè)g(i)=2sin6+tan力—ax,xE(0,兀

2???

g'（x）—2cos/H-------------a——^――（2COS3T—（ZCOS2T+1）.

cos2a;cos2rr

又,?*g（0）—0,g'（0）=3—Q,，g'（0）=3—a>0是g（x）>0的一個必要條件，即a43.

下證a43時，滿足g{x）—2sin力+tanx—ax>Q,xE（0,5）,

又g'（6）>---（2cos3x—3cos2rc+1）,

cos2x

2

設(shè)⑴=2——3七+lftE（O,l）,h/⑴=6t-6t=6t（t—1）<0,h（t）在（0,1）上單調(diào)遞減，

所以h（t）>h（X）=0,

又力e（0方）,cos優(yōu)e（0,1）,>0,即g（力）在（。4）單調(diào)遞增.

???力￡（04）時，。㈤>g（°）=°；

下面證明a>3時不滿足g（力）=2sin/+tanrr—ax>0,xE（0,5），，

g'（x）—2cos/H-------------a,