2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練：相似模型之母子型（共邊共角）模型解讀與提分訓(xùn)練（原卷版）

專題25相似模型之母子型（共邊共角）模型

相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，

是中考的常考題型。在相似三角形中存在眾多的相似模型，其中“母子型”相似模型應(yīng)用較為廣泛，深入理解

模型內(nèi)涵，靈活運(yùn)用相關(guān)結(jié)論可以顯著提高解題效率，本專題重點(diǎn)講解相似三角形的“母子”模型。

目錄導(dǎo)航一

例題講模型

..........................................................................................................................................................1

模型L"母子型,，模型（共邊共角模型）........................................................1

習(xí)題練模型］

................................................................................................................................................................................................6

例題講模型

【知識儲備】母子型相似證明題一般思路方法：

①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；

②分子和分子組成一個三角形、分母和分母組成一個三角形；

③第②步成立，直接從證這兩個三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；

④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個別線段，之后再重復(fù)第③步。

模型1.“母子型,，模型（共邊共角模型）

“母子”模型的圖形（通常有一個公共頂點(diǎn)和另外一個不是公共的頂點(diǎn)，由于小三角形寓于大三角形中，恰似

子依母懷），也是有一個“公共角”，再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應(yīng)成比例就可以判定這兩個三

角形相似。

模型證明

1）“母子，，模型（斜射影模型）

條件：如圖1,NC=/4BD；結(jié)論：XABDsA4CB,AB2=AD-AC.

證明：'：ZC=ZABD,ZDAB=ZBAC,KADB^/\BAC,.,.絲=理，：.AB2^ADAC.

ABBC

2）雙垂直模型（射影模型）

條件：如圖2,ZACB=90°,CDLAB-,

結(jié)論：AACDsAABCsMBD；CA2=AD-AB,BC2=BDBA,CD2=DADB.

證明：VZACB=90°,CDLAB,：.ZA+ZACD=90°,ZA+ZB=90°,：.ZB=ZACD,

VZA=ZA,；.4ACDsAABC,，王=絲，.,.AC^^AD-AB.同理可證：BO=BD-BA,CD2=DADB.

ABAC

3）“母子”模型（變形）

條件：如圖3,ND=/CAE,AB=AC；結(jié)論：XABDs^ECA；

證明：'：AB=AC,：.ZABC=ZACB,：.ZDBA=ZACE,"：ZD=ZCAE,：.^ABD^AECA

4）共邊模型

條件：如圖1,在四邊形48C。中，對角線BD平分N48C,ZADB=ZDCB,結(jié)論：BD2=BABC;

證明：：對角線3。平分N/8C,:.NABD=/CBC,

"：ZADB=NDCB,：.MDB^/\DCB,；.理="，BD2=BA-BC

DBBC

模型運(yùn)用

例1.（2024?河北石家莊?二模）如圖，在平行四邊形4BCD中，/C為對角線，ZBAE=ZDAC,AB=9,

AD=12,則CE長為（）

例2.（2023?湖北孝感?模擬預(yù)測）閱讀：兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：點(diǎn)P

RPAp

是線段45上一點(diǎn)（，。>成），若滿足受=釜，則稱點(diǎn)尸是45的黃金分割點(diǎn).黃金分割在我們的數(shù)學(xué)學(xué)

APAB

習(xí)中也處處可見，比如我們把有一個內(nèi)角為36。的等腰三角形稱為“黃金三角形”.

（1）應(yīng)用：如圖1,若點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)（NC>8C）,若N3=l,則/C的長為.

（2）運(yùn)用：如圖2,已知等腰三角形A8C為“黃金三角形"，AB=AC,44=36。，AD為N48C的平分線.求

證：點(diǎn)。是/C的黃金分割點(diǎn).（3）如圖3中，AB=AC,ZA=36°,BF平分/ABC交AC于F,取N3的

中點(diǎn)￡,連接E尸并延長交8c的延長線于BC=1,請你直接寫出CM的長為.

圖1圖2圖3

例3.（22-23八年級下?湖南衡陽?期中）如圖，在矩形A8C。中，對角線AC,AD交于點(diǎn)O,CELBD于

點(diǎn)E,已知8￡:?！?3:1,BD=2杷,則矩形/BCD的周長為

例4.（2024?廣西南寧?三模）閱讀與思考，完成后面的問題.

射影定理，又稱“歐幾里得定理”，是數(shù)學(xué)圖形計算的重要定理.如圖，在中，ZBAC=9G°,4D是

斜邊上的高，則有如下結(jié)論：

①A》=BD-DC；②AB?=BD-BC;@AC2=CDBC.下面是該定理的證明過程（部分）：

；AD是斜邊8C上的高，；.ZADB=90。=ZADC.VZB+ZBAD=9Q°,ZS+ZC=90°,

：.NBAD=NC.：./\ABD^/\CAD（依據(jù)）.：.^~=^~.即ND?=8。.DC.

A

(1)材料中的“依據(jù)”是指；(2)選擇②或③其中一個結(jié)論加以證明;

(3)應(yīng)用：AA8C中，乙4=90。，5(1,0),C(一3,0),點(diǎn)/在了軸上，求頂點(diǎn)/的坐標(biāo).

例5.(2023?山東淄博?九年級統(tǒng)考期末)如圖，已知點(diǎn)C,。在邊48上，連接PC,PD,使ZAD尸=60。,

且“CPSAPDB.⑴請判定APCD的形狀，并說明理由；(2)若NC=2,BD=3,求A/BP的面積.

例6.(2024?浙江溫州?三模)如圖，在銳角三角形/BC中，AC>BC.以點(diǎn)C為圓心長為半徑畫弧,

交邊48于點(diǎn)。，連接CD.點(diǎn)￡是C3延長線上的一點(diǎn)，連接NE,若AB平分/CAE.

⑴求證：AACDSAAEB.(2)當(dāng)4D=8。時，求——的值.

例7.（2024?河南?二模）三角形的布洛卡點(diǎn)（Brocardpoint）是法國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾

CA.LCreZZe1780-1855）于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時的人們所注意.1875年，布洛卡點(diǎn)被

一個數(shù)學(xué)愛好者法國軍官布洛卡（5^^1845-1922）重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名.如圖1,若“3C內(nèi)

一點(diǎn)、P滿足NP4B=/PBC=NPC4=Na,則點(diǎn)P是的布洛卡點(diǎn)，/a是布洛卡角.

（1）如圖2,點(diǎn)尸為等邊三角形4BC的布洛卡點(diǎn)，則布洛卡角的度數(shù)是；PA,PB、PC的數(shù)量關(guān)系

是；（2）如圖3,點(diǎn)尸為等腰直角三角形/8C（其中/8/。=90。）的布洛卡點(diǎn)，＞Zl=Z2=Z3.

①請找出圖中的一對相似三角形，并給出證明；②若。的面積為g,求APBC的面積.

例8.（2024?四川廣元?中考真題）數(shù)學(xué)實(shí)驗，能增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，還能經(jīng)歷知識“再創(chuàng)造”的過程，更是

培養(yǎng)動手能力，創(chuàng)新能力的一種手段.小強(qiáng)在學(xué)習(xí)《相似》一章中對“直角三角形斜邊上作高”這一基本圖形

（如圖1）產(chǎn)生了如下問題，請同學(xué)們幫他解決.

在“3C中，點(diǎn)。為邊48上一點(diǎn)，連接CD.（1）初步探究：如圖2,若ZACD=NB,求證：AC2=ADAB;

（2）嘗試應(yīng)用：如圖3,在（1）的條件下，若點(diǎn)。為中點(diǎn)，BC=4,求CD的長；（3）創(chuàng)新提升：如圖4,

點(diǎn)E為。。中點(diǎn)，連接BE,若NCDB=NCBD=3Q°,ZACD=ZEBD,AC=2S,求班的長.

圖3圖4

習(xí)題練模型

1.（2022?浙江衢州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在“BC中，NB=/C,NB=36。.分別以點(diǎn)4C為圓心，大于

的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)D￡,作直線分別交ZC,BC于點(diǎn)尸,G.以G為圓心，GC長為半

徑畫弧，交BC于點(diǎn)、H,連結(jié)則下列說法錯誤的是（）

A.AG=CGB.ZB=2AHABC.&CAH*BAGD.BG2=CGCB

2.（2024?河北張家口一模）如圖，點(diǎn)。在“BC的邊/C上，添加一個條件，使得A/DBSA/BC.以下是

天翼和往琛的做法.下列說法不正確的是（）

天冀的做法：添加條件ZABD=NC.

證明：YZABD=NC,NA=ZA.：.^ADB^ABC（兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似）

往琛的做法：添加條件黑=%.

證明：???44=44,空=更.（兩組對應(yīng)邊成比例及一組對應(yīng)角相等的兩個三角形相似）

A.天翼的做法證明過程沒有問題B.往琛的做法證明過程沒有問題

C.天翼的做法添加的條件沒有問題D.往琛的做法添加的條件有問題

3.（2024?浙江?模擬預(yù)測）如圖，在矩形48。中，4B=6,BC=8,點(diǎn)E在線段8。上（不與點(diǎn)B,點(diǎn)。重

合），ZAED=2ZADE,則?！甑拈L為（）

A.7.8B.V51C.7.5D.8

4.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，正五邊形ABCDE的邊長為4,則這個正五邊形的對角線ZC的長是

5.（2024?四川成都?中考真題）如圖，在RtZ\48C中，ZC=90°,是的一條角平分線，E為4D

中點(diǎn)，連接BE.若BE=BC,CD=2,則5。=.

6.（23-24九年級下?遼寧本溪?階段練習(xí)）如圖，在中，AB=2AC.以點(diǎn)/為圓心，以ZC的長為半

徑作弧交邊于點(diǎn)。.分別以點(diǎn)。，。為圓心，以大于［CD的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)尸，作射線/P交

2

BC于點(diǎn)E,則P=C三的值為.

7.（23-24九年級上?陜西漢中?期中）如圖，點(diǎn)C、。在線段上，且CD是等腰直角△尸的底邊.當(dāng)

△PD8s/k/cp時（p與A、8與尸分別為對應(yīng)頂點(diǎn)），ZAPB=°.

8.（2024?河北邢臺??？级＃┤鐖D1,在“BC中，AB=AC,3C=24,tanC=—,點(diǎn)P為BC邊上一

12

點(diǎn)，則點(diǎn)尸與點(diǎn)A的最短距離為.如圖2,連接/尸，作N/P。，使得N4尸PQ交/C于。,

則當(dāng)3P=11時，/。的長為

9.（2023?山東東營?統(tǒng)考中考真題）如圖，在“3C中，以點(diǎn)C為圓心，任意長為半徑作弧，分別交NC,BC

于點(diǎn)。，E-,分別以點(diǎn)。，E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)下；作射線C尸交于點(diǎn)G,

2

若/C=9,BC=6,ABCG的面積為8,則A/CG的面積為.

10.（2023?內(nèi)蒙古?統(tǒng)考中考真題）如圖，/。,/。,位是正五邊形488七的對角線，與CE相交于點(diǎn)尸.下

列結(jié)論：①C/平分//CD；②AF=2DF；③四邊形4BCF是菱形；④AB-AD-EF

其中正確的結(jié)論是.（填寫所有正確結(jié)論的序號）

11.（2024?湖北黃石?三模）已知菱形/BCD中，點(diǎn)E、G分別為邊48上一點(diǎn)，連接CE、EG.若

/DCE=ZAEG,ED=2AE=4,EG=,則CE的長

12.（2024?廣東九年級課時練習(xí)）如圖，點(diǎn)。、。在線段45上，且△尸CD是等邊三角形.N4ra=120。.

(1)求證："CPs^PDB；(2)當(dāng)4C=4,80=9時，試求CQ的值.

ACDB

13.(2022?江西?統(tǒng)考中考真題)如圖，四邊形/BCD為菱形，點(diǎn)￡在NC的延長線上，NACD=NABE.

(1)求證：“BCS&AEB；(2)當(dāng)48=6,/C=4時，求4E的長.

14.(2024?上海?中考真題)如圖所示，在矩形N3C。中，E為邊CD上一點(diǎn)，且

⑴求證：AD2=DEDC;(2)尸為線段/E延長線上一點(diǎn)，且滿足所=3=38。，求證：CE=AD.

15.(2024?四川南充?二模)在矩形/BCD中，AD>AB,在/。邊上截取ZE,使/E=/B,點(diǎn)。為/C的中

點(diǎn).如圖1，連接EO并延長交BC于點(diǎn)尸，連接BE交/C于點(diǎn)G.

⑴求證：CD=CF■,⑵若4c3=30。，證明GE?=00OG.

(3)如圖2,若/C=10,連接CE,當(dāng)CE取最小值時，求CE的最小值及矩形48co的面積.

16.（2023?山西臨汾?統(tǒng)考二模）閱讀與思考

請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

規(guī)定：在一個三角形中，若一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角度數(shù)的〃倍，則稱三角形為“〃倍角三角形當(dāng)〃=1時,

稱為“1倍角三角形”，顯然等腰三角形是“1倍角三角形"；當(dāng)〃=2時，稱為“2倍角三角形”，小康通過探索

后發(fā)現(xiàn)：“2倍角三角形”的三邊有如下關(guān)系.

如圖，在中，ZBAC,/B,NC所對的邊分別為a,b,c,若NBAC=2NB,則/_/=加.

下面是小康對“2倍角三角形”的結(jié)論的兩種探索證明過程：

證法1：如圖1,作/A4c的平分線AABAD=ACAD=-ABAC.

2

ZBAC=2/8,/BAD=ZCAD=ZB

ACDCAD

*/NACD=/BCA,:4ACDBCA/.......-.......=-----

BCACAB

設(shè)。C=x,則/0=3Z)=a—x.AC=b,BC=a,AB=c

bxa-x22

??~=------b—2ax,a—2ax—bca—b=be

abc

證法2：如圖2,延長C4到點(diǎn)。，使得40=45=。，連接5。，……

任務(wù)：(1)上述材料中的證法1是通過作輔助線,構(gòu)造出三角形來加以證明的(填“全等”或“相似”).

(2)請補(bǔ)全證法2剩余的部分.

17.（23-24九年級下?河南南陽?階段練習(xí)）如圖，在“3C中，AABC=ABAC=45。，點(diǎn)尸為“8C內(nèi)的

Ap

一個動點(diǎn)，已知48尸/=135。，ZAPC=90°.（1）求證：LBPAsACPB；（2）求一的值.

18.（2023?廣東深圳?一模）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖①所示，在等腰直角。8c中，點(diǎn)D,。分別為邊加，BC

上一點(diǎn)，S.OB=OD,延長OD交射線C4于點(diǎn)E,則有下列命題：①ABDOs^BCA；②AED4sMe0；

③乙BDOsAEDA請你從中選擇一個命題證明其真假，并寫出證明過程；

【類比遷移】（2）如圖②所示，在等腰。3c中，AB=AC=5,BC=8,點(diǎn)、D,。分別為邊氏4,8C上一

點(diǎn)，且05=。。，延長OD交射線C4于點(diǎn)E,若。8=2,求NE的值；

【拓展應(yīng)用】（3）在等腰“BC中，AB=AC=a,BC=b,（a<b<2a）,點(diǎn)、D,。分別為射線8/,BC1.

一點(diǎn)，且02=0。，延長0。交射線C4于點(diǎn)E,當(dāng)△4DO為等腰三角形時，請直接寫出08的長（用a,b

④

③

19.（2024?遼寧大連?三模）【課堂背景】大連市某中學(xué)的王老師以“幾何題目開放探索”為主題，開展了一節(jié)

“綜合與實(shí)踐”的數(shù)學(xué)課.課堂上，王老師給出了這樣一個圖形，供同學(xué)們發(fā)揮幾何思維.

【設(shè)置情景】王老師給出了如下幾何圖形：

“如圖1,已知中，點(diǎn)。為3C邊上一點(diǎn)，點(diǎn)￡為外一點(diǎn)，連接/￡、EC.此時我們假設(shè)這個幾

何圖形滿足=+的數(shù)量