湖北省武漢市江漢區(qū)2024-2025學年九年級上學期期末數(shù)學試卷（原卷版+解析版）

2024-2025學年湖北省武漢市江漢區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）下列各題中均有四個備選答案，其中有且只有一個正確，請在答題卡上將正確答案的代號涂黑．1.有兩個事件，事件（1）走到蘋果樹下，被成熟蘋果砸中腦袋；（2）射擊運動員射擊一次，命中靶心．下列判斷正確的是（）A.（1）是隨機事件，（2）是確定性事件． B.（1）（2）都是確定性事件．C.（1）是確定性事件，（2）是隨機事件． D.（1）（2）都是隨機事件．2.公元2025年是我國農(nóng)歷乙已年，屬蛇年，春節(jié)期間，大小媒體會呈現(xiàn)大量以蛇為主題的文案，金蛇獻瑞、蛇舞新春!下列年畫圖案中，是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.3.一元二次方程的根的情況是（）A.有兩個相等的實數(shù)根 B.只有一個實數(shù)根C.有兩個不相等的實數(shù)根 D.沒有實數(shù)根4.拋物線的頂點坐標是（）A. B. C. D.5.在平面中，已知的半徑為，，點P與的位置關系是（）A.點P在外 B.點P在上或外C.點P在內 D.點P在上6.如圖，在中，D，E分別為邊上的點，，下列結論正確的是（）A. B. C. D.7.如圖，在中，，，于．繞點逆時針旋轉得到，點C的對應點落在上，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.8.元旦聯(lián)歡會上，有一個開盲盒的游戲：電腦屏幕上出現(xiàn)兩個一模一樣的盲盒，參加游戲的同學隨機點開其中一個．打開其中一個，會獲得獎品，打開另一個，會獲得表演節(jié)目的機會．李明、王曼、張峰三名同學參加這個游戲，剛好有兩人會表演節(jié)目的概率是（）A. B. C. D.9.如圖，在中，弦，將沿翻折，恰好與弦相切于點，若的半徑是13，則切線長的值是（）A.13.5 B.15 C.16.5 D.1810.關于x的函數(shù)圖像如圖所示，其圖像分兩部分，一部分在直線和直線之間，另一部分在直線的右側，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）下列各題不需要寫出解答過程，請將結果直接填寫在答題卷指定的位置．11.在平面直角坐標系中，點P（-5，3）關于原點對稱點P′的坐標是________.12.如表記錄了一名球員在罰球線上投籃的結果．那么，這名球員投籃一次，投中的概率約為______（精確到0.1）．投籃次數(shù)（n）50100150200250300500投中次數(shù)（m）286078104123152251投中頻率（m/n）0.560600.520.520490.510.5013.如圖，為了測量一棟樓的高度，王青同學在她腳下放了一面鏡子，然后向后退，直到她剛好在鏡子中看到樓的頂部．如果王青的眼睛距地面的距離，同時量得，，則這棟樓的高是_______m．14.如圖，從一個直徑為的圓形鐵片中剪出一個圓心角為的扇形，再將剪下的扇形圍成一個圓錐，則圓錐的底面半徑為______．15.如圖，在中，，D是邊的中點，把沿翻折，得到，與交于點F．若，則的面積是____________________．16.拋物線（為常數(shù)）經(jīng)過三點，與軸的交點在正半軸．下列結論：①；②；③拋物線與直線的一個交點的橫坐標為，若，則；④當時，則方程必有兩個不相等的實數(shù)根．其中正確的是_______（填寫序號）．三、解答題（共8小題，共72分）下列各題需要在答題卷指定位置寫出文字說明、證明過程、計算步驟或作出圖形．17.關于的一元二次方程有一個根是，求的值及方程的另一個根．18.如圖，在中，是邊上的高，且．（1）求證：；（2）若，，求長．19.某學校組織以“珍愛生命”為主題的安全教育知識競賽，發(fā)現(xiàn)全校學生的成績均不低于分（滿分分），現(xiàn)從中隨機抽取名學生的成績進行整理和分析（成績得分用表示，共分成四組），并繪制成如下的成績分組統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖，其中“”這組的數(shù)據(jù)如下：，，，，，，，，，，，，，，．安全意識主題知識競賽成績分組統(tǒng)計表組別競賽成績分組頻數(shù)平均分

請根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）；（2）這名學生的平均成績是分，中位數(shù)是分；（3）若學生競賽成績達到分以上（含分）為優(yōu)秀，請你估計全校名學生中競賽成績優(yōu)秀的學生人數(shù)．20.如圖，四邊形內接于，過點A作交的延長線于E，．（1）求證：；（2）連接，若D是優(yōu)弧的中點，，直接寫出的長．21.如圖是由小正方形組成的的網(wǎng)格，正方形的頂點稱為格點，點A，B，C均為格點，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，每個畫圖任務的畫線不得超過三條．（1）在圖（1）中，線段繞點B逆時針旋轉后得到線段，畫線段；（2）觀察發(fā)現(xiàn)，（1）中，都是直角三角形，在圖（1）中，再畫所有不同于M的點N使，都是直角三角形；（3）在圖（2）中，先畫的中點D，再畫線段，使，且；（4）在圖（2）中，P是線段延長線上一點，在線段上畫點Q，使．22.同學們在操場上進行鉛球訓練，小明嘗試利用數(shù)學模型研究鉛球的運動情況，其運動路徑可看作拋物線的一部分，以地面水平方向為x軸，出手點與地面的垂線為y軸，單位長度為，建立了如圖所示的平面直角坐標系．小明在投擲鉛球時，鉛球出手時鉛球離地面的高度為，鉛球落地時，離出手點的水平距離是，鉛球運行的水平距離為時達到最大高度．（1）求該鉛球運行路徑所在拋物線的表達式；（2）當鉛球距出手點的水平距離為時，求鉛球距離地面的高度；（3）小紅在投擲鉛球時，鉛球出手時和落地時的位置與小明的相同，但小紅投擲的鉛球在距出手點水平距離為時達到最大高度．假設鉛球運行的水平距離相同時，小紅投擲鉛球時鉛球的所在位置與小明投擲鉛球時鉛球所在位置的高度差為，求的最大值及此時鉛球運行的水平距離．23.問題背景如圖在中，點在上，點在上，．問題探究（1）如圖（1），若是等邊三角形，求證：；變式探究將特殊化成直角三角形．（2）如圖（2），若，求證：；（3）如圖（3），若，直接寫出的長（用含的式子表示）．24.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點，對稱軸為y軸．A，B是拋物線上兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）若直線的解析式為，且的面積為35，求k的值；（3）如圖（2），若于點C，求的最大值．

2024-2025學年湖北省武漢市江漢區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）下列各題中均有四個備選答案，其中有且只有一個正確，請在答題卡上將正確答案的代號涂黑．1.有兩個事件，事件（1）走到蘋果樹下，被成熟的蘋果砸中腦袋；（2）射擊運動員射擊一次，命中靶心．下列判斷正確的是（）A.（1）是隨機事件，（2）是確定性事件． B.（1）（2）都是確定性事件．C.（1）是確定性事件，（2）是隨機事件． D.（1）（2）都是隨機事件．【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．熟練掌握其概念并能正確判斷是解決此題的關鍵．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．【詳解】解：對于事件（1）：走到蘋果樹下，被成熟的蘋果砸中腦袋，是隨機事件；對于事件（2）：射擊運動員射擊一次，命中靶心，是隨機事件．故選：D．2.公元2025年是我國農(nóng)歷乙已年，屬蛇年，春節(jié)期間，大小媒體會呈現(xiàn)大量以蛇為主題的文案，金蛇獻瑞、蛇舞新春!下列年畫圖案中，是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了中心對稱圖形，熟練掌握把一個圖形繞某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形是解決此題的關鍵．根據(jù)中心對稱圖形的概念求解即可．【詳解】解：A、能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形，符合題意；B、不能找到這樣一個點，使圖形繞某一點旋轉后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形，不符合題意；C、不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形，不符合題意；D、不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形，不符合題意；故選：A．3.一元二次方程的根的情況是（）A.有兩個相等的實數(shù)根 B.只有一個實數(shù)根C.有兩個不相等的實數(shù)根 D.沒有實數(shù)根【答案】D【解析】【分析】先求出Δ＝b2﹣4ac的值，再判斷出其符號即可．【詳解】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×3＝-8＜0，∴方程沒有實數(shù)根．故選：D．【點睛】本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac的關系是解答此題的關鍵．4.拋物線的頂點坐標是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式可以直接寫出該拋物線的頂點坐標，本題得以解決．【詳解】解：拋物線，該拋物線的頂點坐標是，故選：A．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質，解題的關鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質解答．5.在平面中，已知的半徑為，，點P與的位置關系是（）A.點P在外 B.點P在上或外C.點P在內 D.點P在上【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了點與圓的位置關系，熟知點與圓的位置關系有3種，設的半徑為，點P到圓心的距離，則有：①點P在圓外；②點P在圓上；①點P在圓內是解題的關鍵．直接根據(jù)點與圓的位置關系解答即可．【詳解】解：∵的半徑為，，，∴點P在內．故選：C．6.如圖，在中，D，E分別為邊上的點，，下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，觀察圖形、數(shù)形結合，正確寫出比例式是解題的關鍵．由可得出，再利用相似三角形的性質即可得出結論．【詳解】解：∵，∴，∴，則，∴選項B符合題意．故選：B．7.如圖，在中，，，于．繞點逆時針旋轉得到，點C的對應點落在上，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接，如圖，根據(jù)等腰三角形性質得到垂直平分，根據(jù)等腰三角形的性質和三角形內角和定理可計算出，再根據(jù)旋轉的性質得到，，則可判斷為等邊三角形，所以，然后計算即可．【詳解】解：連接，如圖，∵，∴，∵，∴，即垂直平分，∴，∵繞點逆時針旋轉得到，點的對應點落在上，，∴，，∵，∴為等邊三角形，∴，∴．故選：．【點睛】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，三角形的內角和定理，等邊三角形的判定與性質，垂直平分線的性質，掌握知識點的應用是解題的關鍵．8.元旦聯(lián)歡會上，有一個開盲盒的游戲：電腦屏幕上出現(xiàn)兩個一模一樣的盲盒，參加游戲的同學隨機點開其中一個．打開其中一個，會獲得獎品，打開另一個，會獲得表演節(jié)目的機會．李明、王曼、張峰三名同學參加這個游戲，剛好有兩人會表演節(jié)目的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關鍵．列表可得出所有等可能的結果數(shù)以及剛好有兩人會表演節(jié)目的結果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【詳解】解：將會獲得獎品的盲盒記為A，會獲得表演節(jié)目的機會的盲盒記為B，畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有8種等可能的結果，其中剛好有兩人會表演節(jié)目的結果有：（A，B，B），（B，B，A），（B，A，B），共3種結果，∴剛好有兩人會表演節(jié)目的概率為．故選：C．9.如圖，在中，弦，將沿翻折，恰好與弦相切于點，若的半徑是13，則切線長的值是（）A13.5 B.15 C.16.5 D.18【答案】D【解析】【分析】過點分別作，的垂線，，由，的半徑是13，作根據(jù)垂徑定理可以求出，再利用勾股定理可求得弦心距，再由軸對稱（翻折）得到點關于的對稱點是對應的圓心，，連接，由切線性質可得，，由三個角是直角的四邊形是矩形可得四邊形是矩形，，，進而在中用勾股定理可求出，長，即可解決問題．【詳解】解：如圖，作點關于的對稱點，連接交于，則于，由垂徑定理的，連接，在中，，，過點作于，同理可得，，將沿翻折，恰好與弦相切于點，由翻折對稱得，是對應的圓心，連接，，，，過點作于，，四邊形是矩形，，，，在中，，，（勾股定理），，．故選：D．【點睛】本題考查了垂徑定理，切線的性質，軸對稱和勾股定理，以及矩形的判定與性質，是一道幾何綜合性很強的試題．10.關于x的函數(shù)圖像如圖所示，其圖像分兩部分，一部分在直線和直線之間，另一部分在直線的右側，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了函數(shù)的圖像與性質，熟練掌握數(shù)形結合思想是解題的關鍵．由圖像識別出函數(shù)是由兩段組成，并且是由原函數(shù)圖像向右平移和個單位即可解答．【詳解】解：由題易知，∴，由函數(shù)解析式和圖象可知，函數(shù)由兩段組成，并且是由原函數(shù)圖像向右平移和個單位，∴，即，∵，∴，∴．故選：B．二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）下列各題不需要寫出解答過程，請將結果直接填寫在答題卷指定的位置．11.在平面直角坐標系中，點P（-5，3）關于原點對稱點P′的坐標是________.【答案】（5，-3）【解析】【詳解】關于原點對稱的點的坐標是橫、縱坐標都互為相反數(shù)，點P（-5，3）關于原點對稱點P′的坐標是（5，-3），故答案為（5，-3）.12.如表記錄了一名球員在罰球線上投籃的結果．那么，這名球員投籃一次，投中的概率約為______（精確到0.1）．投籃次數(shù)（n）50100150200250300500投中次數(shù)（m）286078104123152251投中頻率（m/n）0.560.600.520.520.490.510.50【答案】0.5【解析】【分析】利用頻率的計算公式進行計算即可.【詳解】解：由題意得，這名球員投籃的次數(shù)為1550次，投中的次數(shù)為796，故這名球員投籃一次，投中的概率約為：≈0.5．故答案為0.5．【點睛】本題考查利用頻率估計概率，難度不大．13.如圖，為了測量一棟樓的高度，王青同學在她腳下放了一面鏡子，然后向后退，直到她剛好在鏡子中看到樓的頂部．如果王青的眼睛距地面的距離，同時量得，，則這棟樓的高是_______m．【答案】10【解析】【分析】本題考查了相似三角形的應用．應用鏡面反射的基本性質，得出三角形相似，再運用相似三角形對應邊成比例即可解答．根據(jù)鏡面反射的性質，，再根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，，（反射角等于入射角），，，即，，所以這棟大樓高為，故答案為：10．14.如圖，從一個直徑為的圓形鐵片中剪出一個圓心角為的扇形，再將剪下的扇形圍成一個圓錐，則圓錐的底面半徑為______．【答案】##【解析】【分析】本題主要考查了求圓錐底面圓半徑，90度的圓周角所對的弦是直徑．連接，如圖，根據(jù)圓周角定理得為的直徑，即，所以，設該圓錐的底面圓的半徑為，根據(jù)弧長公式得到方程即可求得．【詳解】解：連接，如圖，，為的直徑，即，，設該圓錐的底面圓的半徑為，∴，解得，即該圓錐的底面圓的半徑為．故答案為：．15.如圖，在中，，D是邊的中點，把沿翻折，得到，與交于點F．若，則的面積是____________________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了翻折變換（折疊問題），相似三角形的判定和性質，三角形的面積．由折疊的性質推導出，是等邊三角形，求得，；推導出，得到，得到，利用三角形面積公式即可求解．【詳解】解：由翻折可知，，∵點D是的中點，∴，∴．又∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，又∵，，，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：．16.拋物線（為常數(shù)）經(jīng)過三點，與軸交點在正半軸．下列結論：①；②；③拋物線與直線的一個交點的橫坐標為，若，則；④當時，則方程必有兩個不相等的實數(shù)根．其中正確的是_______（填寫序號）．【答案】②④##④②【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質，二次函數(shù)與一元二次方程的關系，掌握二次函數(shù)的圖象與性質是解題的關鍵．根據(jù)題意求出a的取值范圍，b的值，即可判斷①②；先求出直線經(jīng)過定點，再進行判斷③；將方程的解的個數(shù)轉化為拋物線與直線的交點的個數(shù)，即可判斷④．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過，兩點，∴，解得，，∴拋物線的解析式為，當時，，整理得，，∴，解得，，∵拋物線與x軸的交點為，∴，∵拋物線與y軸的交點在正半軸，∴，∴，∴，∴，即，故結論①錯誤；∵，故結論②正確；∵，∴直線經(jīng)過定點，∵拋物線經(jīng)過點，∴拋物線與直線的一個交點的橫坐標為，即，∵，∴拋物線與直線在時有交點，當時，，，∴，∴，∵，∴不一定成立，故結論③錯誤；∵，∴，∴，即拋物線與直線的交點的個數(shù)即為方程的解的個數(shù)，∵，∴拋物線開口向下，，∴拋物線與直線有兩個交點，∴方程必有兩個不相等的實數(shù)根，故結論④正確．綜上所述，正確的結論是②④，故答案為：②④．三、解答題（共8小題，共72分）下列各題需要在答題卷指定位置寫出文字說明、證明過程、計算步驟或作出圖形．17.關于的一元二次方程有一個根是，求的值及方程的另一個根．【答案】的值為，方程的另一個根為【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系是解題的關鍵；設方程的另一個根為，則利用根與系數(shù)的關系得，，然后解方程組即可．【詳解】解：設方程的另一個根為，根據(jù)根與系數(shù)的關系得，，解得，，即的值為，方程的另一個根為．18.如圖，在中，是邊上的高，且．（1）求證：；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）4【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質、勾股定理，證明∽是解題的關鍵．（1）證明∽即可；（2）由，求得，根據(jù)求解．【小問1詳解】證明：∵是邊上的高，∴，∵，∴∽，∴，∴．【小問2詳解】∵，且，，∴，∴或（不符合題意，舍去），∴，∴的長為．19.某學校組織以“珍愛生命”為主題的安全教育知識競賽，發(fā)現(xiàn)全校學生的成績均不低于分（滿分分），現(xiàn)從中隨機抽取名學生的成績進行整理和分析（成績得分用表示，共分成四組），并繪制成如下的成績分組統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖，其中“”這組的數(shù)據(jù)如下：，，，，，，，，，，，，，，．安全意識主題知識競賽成績分組統(tǒng)計表組別競賽成績分組頻數(shù)平均分

請根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）；（2）這名學生的平均成績是分，中位數(shù)是分；（3）若學生競賽成績達到分以上（含分）為優(yōu)秀，請你估計全校名學生中競賽成績優(yōu)秀的學生人數(shù)．【答案】（1）；（2），；（3）人．【解析】【分析】（）用C組的頻數(shù)除以其百分比可得樣本容量m；（）求出各組的頻數(shù)，根據(jù)平均數(shù)的計算方法求解；根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，可以計算出中位數(shù)；（）用總人數(shù)乘樣本中成績達到分以上（含分）所占比例可得答案．【小問1詳解】解：由題意得，樣本容量為：，故答案為：；【小問2詳解】解：由題意得，組的頻數(shù)為，組的頻數(shù)為，組的頻數(shù)為，∴這名學生的平均成績是（分），∵共有名學生，將成績從小到大的順序排列，第，個數(shù)據(jù)為，，∴隨機抽取的這名學生競賽成績的中位數(shù)是，故答案為：，；【小問3詳解】解：（人）．答：估計全校名學生中競賽成績優(yōu)秀的學生人數(shù)約人．【點睛】本題考查了扇形統(tǒng)計圖、統(tǒng)計表、用樣本估計總體，平均數(shù)、中位數(shù)，解題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．20.如圖，四邊形內接于，過點A作交的延長線于E，．（1）求證：；（2）連接，若D是優(yōu)弧的中點，，直接寫出的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圓內接三角形對角互補得出，根據(jù)平行線的性質得出，于是得出，再根據(jù)等邊對對角得出，即可得證；（2）連接，先證，即可證得，根據(jù)相似三角形的性質結合已知，即可求出的長，再證得，即可得解．【小問1詳解】證明：∵四邊形內接于，∴，∵，∴，∴，∵，∴∴；【小問2詳解】解：連接，∵D是優(yōu)弧的中點，∴∴由（1）知，∴，∵,∴，∴∴，∵，∴，∴，∴，由（1）知，∴，∴．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，圓內接四邊形的性質，圓周角定理及推論，平行線的性質，等腰三角形的判定與性質，熟練掌握這些定理是解題的關鍵．21.如圖是由小正方形組成的的網(wǎng)格，正方形的頂點稱為格點，點A，B，C均為格點，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，每個畫圖任務的畫線不得超過三條．（1）在圖（1）中，線段繞點B逆時針旋轉后得到線段，畫線段；（2）觀察發(fā)現(xiàn)，（1）中，都是直角三角形，在圖（1）中，再畫所有不同于M的點N使，都是直角三角形；（3）在圖（2）中，先畫的中點D，再畫線段，使，且；（4）在圖（2）中，P是線段的延長線上一點，在線段上畫點Q，使．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析（4）見解析【解析】【分析】（1）利用網(wǎng)格特征以及旋轉變化的性質作出點A的對應點M即可；（2）根據(jù)網(wǎng)格特征以及直角三角形的定義畫出點即可；（3）利用網(wǎng)格特征且根據(jù)平行線的判定畫出圖形；（4）取格點T，連接交于點J，連接延長交于點Q，點Q即為所求（可以證明，推出）．本題考查作圖﹣旋轉變換，平行線的判定和性質，解題的關鍵是理解題意正確作出圖形．【小問1詳解】解：如圖1中，線段即為所求；【小問2詳解】解：如圖1中，點即為所求；【小問3詳解】解：如圖2中，線段即為所求；【小問4詳解】解：如圖2中，點Q即為所求．22.同學們在操場上進行鉛球訓練，小明嘗試利用數(shù)學模型研究鉛球的運動情況，其運動路徑可看作拋物線的一部分，以地面水平方向為x軸，出手點與地面的垂線為y軸，單位長度為，建立了如圖所示的平面直角坐標系．小明在投擲鉛球時，鉛球出手時鉛球離地面的高度為，鉛球落地時，離出手點的水平距離是，鉛球運行的水平距離為時達到最大高度．（1）求該鉛球運行路徑所在拋物線的表達式；（2）當鉛球距出手點的水平距離為時，求鉛球距離地面的高度；（3）小紅在投擲鉛球時，鉛球出手時和落地時的位置與小明的相同，但小紅投擲的鉛球在距出手點水平距離為時達到最大高度．假設鉛球運行的水平距離相同時，小紅投擲鉛球時鉛球的所在位置與小明投擲鉛球時鉛球所在位置的高度差為，求的最大值及此時鉛球運行的水平距離．【答案】（1）（2）（3）的最大值為，此時鉛球運行的水平距離為【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的應用，正確進行計算是解題關鍵．（1）根據(jù)題意可設拋物線的表達式為．由可得，，將代入即可求解；（2）將代入，即可求解；（3）可設小紅投擲鉛球時，鉛球運動軌跡所在拋物線的表達式為，根據(jù)題意求出，再根據(jù)高度差為代入數(shù)據(jù)求解即可．【小問1詳解】解：鉛球出手時鉛球離地面的高度為，可設拋物線的表達式為．由鉛球運行的水平距離為時，鉛球達到最大高度，，，．將代入，得，解得，．故拋物線的表達式為；【小問2詳解】解：將代入，得．即鉛球距出手點的水平距離為時，鉛球距離地面的高度為；【小問3詳解】解：根據(jù)題意可設小紅投擲鉛球時，鉛球運動軌跡所在拋物線的表達式為，由題意知，該拋物線的對稱軸為直線，且該拋物線經(jīng)過點，則，，．將代入，得，解得，，則．，當時，取最大值，