2024-2025學年高中數學 第一章 三角函數 1.4.3 正切函數的性質與圖象（1）教學教學實錄 新人教A版必修4

2024-2025學年高中數學第一章三角函數1.4.3正切函數的性質與圖象（1）教學教學實錄新人教A版必修4授課內容授課時數授課班級授課人數授課地點授課時間設計意圖本節(jié)課以正切函數的性質與圖象為主題，旨在幫助學生深入理解正切函數的基本性質，掌握其圖象的繪制方法。通過結合新人教A版必修4教材，引導學生通過觀察、分析、歸納等方法，培養(yǎng)數學思維能力和解決問題的能力。核心素養(yǎng)目標分析培養(yǎng)學生數學抽象、邏輯推理、數學建模和直觀想象的核心素養(yǎng)。通過探究正切函數的性質，提升學生運用數學語言描述和表達的能力；通過繪制正切函數圖象，鍛煉學生的直觀想象和數學建模能力；通過分析函數性質與圖象的關系，培養(yǎng)學生的邏輯推理和數學抽象思維能力。學習者分析1.學生已經掌握了哪些相關知識。

學生已具備基本的函數概念，了解函數的圖象和性質，以及正弦、余弦函數的基本性質。此外，學生對直角坐標系和坐標變換有一定的了解。

2.學生的學習興趣、能力和學習風格。

學生對數學學科普遍感興趣，尤其是對幾何和圖形相關的內容。學生的數學能力差異較大，部分學生具備較強的邏輯思維和空間想象力，而部分學生可能在抽象思維和幾何圖形的理解上存在困難。學習風格方面，部分學生偏好通過直觀演示和動手操作來學習，而另一部分學生則更傾向于通過理論推導和公式記憶來學習。

3.學生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)。

學生在學習正切函數的性質與圖象時，可能遇到的困難包括：理解正切函數的周期性和奇偶性；掌握正切函數圖象的繪制方法；分析函數性質與圖象之間的關系。此外，學生在解決實際問題或進行探究性學習時，可能缺乏足夠的數學抽象和邏輯推理能力，導致難以將所學知識應用于實際問題中。教學方法與手段1.采用講授法，結合實例講解正切函數的基本性質，如周期性、奇偶性等，幫助學生建立清晰的概念框架。

2.通過小組討論法，引導學生探究正切函數圖象的繪制方法，促進學生之間的合作與交流。

3.利用實驗法，通過計算機軟件或物理實驗，讓學生直觀感受正切函數圖象的變化規(guī)律，增強學生的動手操作能力。

2.利用多媒體課件展示正切函數的圖象，提高教學直觀性。

3.運用動態(tài)數學軟件，實時演示函數性質的變化，增強學生的理解與記憶。

4.結合網絡資源，拓展學生的知識面，激發(fā)學生的學習興趣。教學過程一、導入新課

1.老師首先回顧上節(jié)課學習的正弦、余弦函數的性質，引導學生思考如何將這些性質應用于正切函數。

2.學生分享自己的想法，老師總結并引出本節(jié)課的主題：正切函數的性質與圖象。

二、新課講授

1.老師講解正切函數的定義和性質，如周期性、奇偶性、對稱性等，并舉例說明。

2.學生跟隨老師的講解，記錄正切函數的性質，并嘗試自己總結。

3.老師引導學生分析正切函數的周期性，通過公式推導和實例講解，使學生理解周期性的概念。

4.學生通過觀察正切函數的圖象，發(fā)現周期性規(guī)律，并嘗試自己推導周期公式。

5.老師講解正切函數的奇偶性，通過實例演示和圖象分析，幫助學生理解奇偶性的概念。

6.學生分析正切函數圖象，發(fā)現奇偶性規(guī)律，并嘗試自己證明奇偶性。

7.老師講解正切函數的對稱性，通過實例演示和圖象分析，幫助學生理解對稱性的概念。

8.學生觀察正切函數圖象，發(fā)現對稱性規(guī)律，并嘗試自己證明對稱性。

9.老師引導學生分析正切函數的性質與圖象之間的關系，通過實例講解，使學生理解函數性質對圖象的影響。

10.學生嘗試根據正切函數的性質，繪制函數圖象，并與其他函數圖象進行比較。

三、課堂練習

1.老師布置練習題，要求學生運用所學知識解決實際問題。

2.學生獨立完成練習題，老師巡視指導。

3.學生展示解題過程，老師點評并糾正錯誤。

四、課堂小結

1.老師引導學生回顧本節(jié)課所學內容，總結正切函數的性質與圖象。

2.學生分享自己的學習心得，老師點評并補充。

3.老師強調本節(jié)課的重點和難點，提醒學生在課后復習時加以注意。

五、課后作業(yè)

1.老師布置課后作業(yè)，要求學生鞏固所學知識。

2.學生完成作業(yè)，老師批改并反饋。

六、教學反思

1.老師對本節(jié)課的教學效果進行反思，總結教學過程中的優(yōu)點和不足。

2.老師針對學生的反饋，調整教學策略，提高教學質量。教學資源拓展1.拓展資源：

-正切函數的應用實例：介紹正切函數在物理、工程、經濟學等領域的應用，如測量角度、分析振動、預測市場趨勢等。

-正切函數的歷史背景：探討正切函數的發(fā)展歷程，從古代數學家的研究到現代數學的完善，以及其在科學進步中的作用。

-正切函數的極限與導數：介紹正切函數的極限概念和導數計算方法，為后續(xù)學習微積分打下基礎。

-正切函數與三角恒等變換：探討正切函數與其他三角函數之間的關系，如正弦、余弦、余切等，以及三角恒等變換的應用。

2.拓展建議：

-學生可以通過閱讀相關的科普書籍或學術論文，了解正切函數在現實世界中的應用。

-建議學生利用在線教育資源，如數學論壇、教育視頻平臺等，觀看正切函數的講解視頻，加深對概念的理解。

-鼓勵學生參與數學競賽或研究項目，通過解決實際問題來提高對正切函數的應用能力。

-建議學生制作正切函數的圖象，通過實驗或計算機軟件來觀察函數性質的變化，增強直觀感受。

-學生可以嘗試編寫程序，利用計算機模擬正切函數的圖象和性質，提高編程能力和數學思維。

-鼓勵學生參與小組討論，分享各自對正切函數的理解和發(fā)現，通過交流提升學習效果。

-建議學生閱讀相關的數學史書籍，了解正切函數的發(fā)展歷程，激發(fā)對數學學習的興趣和好奇心。

-學生可以通過在線數學社區(qū)，與其他學習者交流正切函數的學習心得，拓寬知識視野。反思改進措施反思改進措施（一）教學特色創(chuàng)新

1.案例教學法的應用：在講解正切函數的性質與圖象時，我嘗試引入實際案例，如機械設計中的角度計算，這樣不僅讓學生理解了抽象的數學概念，還提高了他們對數學應用的認識。

2.多媒體輔助教學：利用多媒體課件展示正切函數的動態(tài)變化，讓學生直觀感受函數性質的變化過程，這種創(chuàng)新的教學手段激發(fā)了學生的學習興趣。

反思改進措施（二）存在主要問題

1.學生參與度不足：在小組討論環(huán)節(jié)，我發(fā)現部分學生參與度不高，可能是由于對正切函數的性質理解不夠深入，或者缺乏表達自己觀點的勇氣。

2.教學節(jié)奏把握不當：在講解周期性和奇偶性時，我發(fā)現部分學生跟不上教學節(jié)奏，這可能是因為我沒有根據學生的接受能力調整講解速度。

3.評價方式單一：目前的評價方式主要是課堂練習和課后作業(yè)，缺乏對學生綜合能力的全面評價。

反思改進措施（三）改進措施

1.提高學生參與度：為了提高學生的參與度，我計劃在課堂上設置更多互動環(huán)節(jié)，如小組競賽、角色扮演等，鼓勵學生積極參與討論和表達自己的觀點。

2.調整教學節(jié)奏：在今后的教學中，我會更加關注學生的反應，適時調整教學節(jié)奏，確保每個學生都能跟上教學進度。

3.豐富評價方式：我將嘗試引入多元化的評價方式，如課堂表現、小組合作、項目報告等，全面評價學生的學習成果和能力發(fā)展。

4.加強個別輔導：對于學習有困難的學生，我會提供個別輔導，幫助他們克服學習中的障礙，提高整體學習效果。

5.結合實際應用：在講解正切函數的性質時，我會更多地結合實際應用案例，讓學生在實際問題中感受數學的價值，增強他們的學習動力。課堂1.課堂評價：

-提問環(huán)節(jié)：通過提問學生關于正切函數的性質和圖象的問題，我可以了解他們對知識點的掌握程度。我會設計不同難度的問題，從基礎知識到應用問題，以此來評估學生的理解深度。

-觀察學生參與度：在課堂討論和練習環(huán)節(jié)，我會注意觀察學生的參與情況，包括他們的表情、肢體語言和回答問題的積極性。這些觀察可以幫助我發(fā)現哪些學生可能需要額外的幫助。

-課堂練習測試：在課堂上進行小測驗或練習題，可以即時評估學生對正切函數性質的理解和應用能力。這些練習題設計得既有基礎性，也有一定的挑戰(zhàn)性，以確保不同層次的學生都能得到鍛煉。

-反饋與討論：在學生完成練習后，我會及時給出反饋，討論正確答案和錯誤答案的原因，這樣可以幫助學生糾正錯誤，加深理解。

2.作業(yè)評價：

-詳細批改：對學生的課后作業(yè)進行認真批改，不僅指出答案的正確與否，還要詳細解釋解題思路和過程，幫助學生理解為什么某個答案是正確的，另一個答案是錯誤的。

-個性化反饋：針對每個學生的作業(yè)，我會給出個性化的反饋，對于表現優(yōu)秀的學生，我會給予表揚和鼓勵；對于需要改進的學生，我會提出具體的改進建議。

-定期回顧：定期回顧學生的作業(yè)情況，通過比較不同作業(yè)的表現，我可以發(fā)現教學中的薄弱環(huán)節(jié)，并及時調整教學策略。

-家長溝通：與家長保持溝通，將學生的作業(yè)表現和進步情況告知家長，共同關注學生的學習情況，形成家校合力。

3.綜合評價：

-結合課堂表現和作業(yè)反饋，我會對學生進行綜合評價，這包括對知識的掌握程度、解決問題的能力、學習態(tài)度和團隊合作能力。

-為了更全面地評價學生，我還將考慮學生的自評和互評，讓學生在評價過程中學會自我反思和同伴評價。

-定期組織學生進行自我評估，讓他們回顧自己的學習過程，設定個人學習目標，并跟蹤自己的進步。板書設計①正切函數的定義

-正切函數y=tan(x)在定義域內

-定義域：所有實數除去kπ+π/2，k為整數

-對應的角：與實數x對應的角α

-正切值：直角三角形中對邊與鄰邊的比值

②正切函數的性質

①周期性

-周期T=π

-函數圖象每隔π重復

②奇偶性

-奇函數：f(-x)=-f(x)

-函數圖象關于原點對稱

③單調性

-在每個區(qū)間(kπ-π/2,kπ+π/2)，函數單調遞增

④有界性

-函數值域：(-∞,∞)

③正切函數的圖象

①基本圖象

-在坐標軸上繪制關鍵點：原點(0,0)，(π/2,1)，(3π/2,-1)，(2π,0)等

-連接這些點，形成基本圖象

②特殊點

-x=kπ+π/2時，函數值為無窮大或無窮小

-x=kπ時，函數值為0

③圖象變換

-平移：將圖象沿x軸或y軸平移

-垂直拉伸或壓縮：改變函數值的大小

-水平拉伸或壓縮：改變周期的大小典型例題講解1.例題：求函數y=tan(x+π/4)的周期。

解答：正切函數的周期為π，因此函數y=tan(x+π/4)的周期也是π。這是因為正切函數的周期性不受相位移動的影響。

2.例題：證明正切函數y=tan(x)在區(qū)間(kπ-π/2,kπ+π/2)內是增函數。

解答：設x1,x2屬于區(qū)間(kπ-π/2,kπ+π/2)，且x1<x2。由于tan(x)在區(qū)間(kπ-π/2,kπ+π/2)內是連續(xù)的，我們可以使用中值定理。存在一個c在x1和x2之間，使得：

tan(x2)-tan(x1)=sec^2(c)(x2-x1)

由于x1,x2屬于同一個周期內的區(qū)間，sec^2(c)>0，因此tan(x2)-tan(x1)>0，即tan(x)在區(qū)間(kπ-π/2,kπ+π/2)內是增函數。

3.例題：求函數y=2tan(x)的圖象。

解答：函數y=2tan(x)是y=tan(x)的垂直拉伸，拉伸因子為2。因此，其周期仍然是π，但振幅變?yōu)樵瓉淼?倍。圖象在y軸的正負兩側都會達到±2。

4.例題：求函數y=tan(3x)的周期。

解答：正切函數的周期為π，因此函數y=tan(3x)的周期為π/3。這是因為