2025年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考三輪沖刺練習(xí)二次函數(shù)的性質(zhì)練習(xí)含答案

/2025年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考三輪沖刺練習(xí)二次函數(shù)的性質(zhì)練習(xí)一、選擇題1．已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝ax2+2ax+3a2+3，當(dāng)x≥2時(shí)，y隨x的增大而增大，且﹣2≤x≤1時(shí)，y的最大值為9，則a的值為（）A．2 B．1 C．1或﹣2 D．?2或2．已知一個(gè)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)y的幾組對(duì)應(yīng)值如下表，則下列結(jié)論正確的是（）x…﹣4﹣20246y…﹣1192125219A．當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的減小而減小 B．圖象的開(kāi)口向上 C．圖象只經(jīng)過(guò)第一，二，三象限 D．圖象的對(duì)稱軸為x＝﹣23．無(wú)論k為何實(shí)數(shù)，直線y＝2kx+1和拋物線y＝x2+x+k（）A．有一個(gè)公共點(diǎn) B．有兩個(gè)公共點(diǎn) C．沒(méi)有公共點(diǎn) D．公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不能確定4．已知二次函數(shù)y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），當(dāng)﹣1≤x≤4時(shí)，y的最小值為﹣4，則a的值為（）A．12或4 B．?12或4 C．?5．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過(guò)等腰直角△OAB的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B是拋物線的頂點(diǎn)，∠OBA＝90°，則b＝（）A．2 B．2 C．﹣2 D．?二、填空題6．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如表：x…345678…y…﹣3114415041m…則表格中m的值是．7．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）圖象的對(duì)稱軸為直線x＝2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，y1）、（4，y2），試比較大?。簓1y2．（填“＞”“＜”或“＝”）8．已知拋物線y＝mx2﹣mx﹣4x+4，回答下列問(wèn)題：（1）無(wú)論m取何值，拋物線恒過(guò)定點(diǎn)和；（2）當(dāng)m＜0且拋物線的頂點(diǎn)位置最高時(shí)，拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（2，y1），（n，y2），滿足y1＜y2，則n的取值范圍是．9．拋物線y＝x2+bx+c的頂點(diǎn)為B，點(diǎn)A（x1，y1），點(diǎn)C（x2，y2）為拋物線上的點(diǎn)．若△ABC是底角為30°的等腰三角形，且x1+x2＝﹣b，則△ABC的面積為．10．已知函數(shù)y＝x2﹣6x+3，當(dāng)k﹣4≤x≤k時(shí)，若y的最大值與最小值之差為8，則k＝．三、解答題11．已知二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax+2（a為常數(shù)，且a≠0）．（1）若函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（1，0），求a的值；（2）當(dāng)2≤x≤5時(shí)，函數(shù)的最大值為M，最小值為N，若M﹣N＝12，求a的值．12．已知拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0），M（x1，y1），N（x2，y2）是拋物線上兩點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝t．（1）當(dāng)t＝2時(shí)，①直接寫(xiě)出b與a滿足的等量關(guān)系；②若y1＝y(tǒng)2，則x1+x2＝．（2）已知x1＝t﹣3，x2＝t+1，點(diǎn)C（x3，y3）在拋物線上．當(dāng)3＜x3＜4時(shí)，總有y1＞y3＞y2，求t的取值范圍．13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）是拋物線y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）上任意兩點(diǎn)．（1）直接寫(xiě)出拋物線的對(duì)稱軸；（2）若x1＝a+1，x2＝a+2，比較y1與y2的大小，并說(shuō)明理由；（3）若對(duì)于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，總有y1＜y2，求m的取值范圍．14．已知拋物線y＝﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是拋物線y＝﹣x2+4x+c頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的2倍．（1）求b的值；（2）點(diǎn)A（x1，y1）在拋物線y＝﹣x2+4x+c上，點(diǎn)B（x1+m，y1+t）在拋物線y＝﹣x2+bx+c上．①求t（請(qǐng)用含m，x1的代數(shù)式表示）；②若x1＝m+1且﹣1≤x1≤2，求t的最大值．15．已知拋物線y＝﹣x2+bx（b為常數(shù)）的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)比拋物線y＝﹣x2+2x的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)大1．（1）求b的值；（2）點(diǎn)A（x1，y1）在拋物線y＝﹣x2+2x上，點(diǎn)B（x1+t，y1+h）在拋物線y＝﹣x2+bx上．（?。┤鬶＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值；（ⅱ）若x1＝t﹣1，求h的最大值．參考答案一、選擇題題號(hào)12345答案BABBC二、填空題6．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如表：x…345678…y…﹣3114415041m…則表格中m的值是14．【解答】解：當(dāng)x＝5時(shí)，y＝41，當(dāng)x＝7時(shí)，y＝41，∴對(duì)稱軸為：直線x=5+7∴（4，14）和（8，m）關(guān)于直線x＝6對(duì)稱，∴m＝14，故答案為：14．7．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）圖象的對(duì)稱軸為直線x＝2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，y1）、（4，y2），試比較大?。簓1＞y2．（填“＞”“＜”或“＝”）【解答】解：由題意，∵拋物線對(duì)稱軸是直線x＝2，a＞0，∴拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越近函數(shù)值越?。帧遼﹣1﹣2|＝3＞|4﹣2|＝2，∴y1＞y2．故答案為：＞．8．已知拋物線y＝mx2﹣mx﹣4x+4，回答下列問(wèn)題：（1）無(wú)論m取何值，拋物線恒過(guò)定點(diǎn)（0，4）和（1，0）；（2）當(dāng)m＜0且拋物線的頂點(diǎn)位置最高時(shí)，拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（2，y1），（n，y2），滿足y1＜y2，則n的取值范圍是﹣1＜n＜2．【解答】解：（1）由題意，∵y＝mx2﹣mx﹣4x+4＝m（x2﹣x）﹣4x+4，∴令x2﹣x＝0，則x＝0或x＝1．∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0．∴無(wú)論m取何值，拋物線恒過(guò)定（0，4），（1，0）．故答案為：（0，4），（1，0）．（2）由題意，對(duì)稱軸是直線x=??m∵m＜0，∴拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越近函數(shù)值越大．又∵y1＜y2，∴|2?12|＞|n∴﹣1＜n＜2．故答案為：﹣1＜n＜2．9．拋物線y＝x2+bx+c的頂點(diǎn)為B，點(diǎn)A（x1，y1），點(diǎn)C（x2，y2）為拋物線上的點(diǎn)．若△ABC是底角為30°的等腰三角形，且x1+x2＝﹣b，則△ABC的面積為39【解答】解：由題意可知拋物線的對(duì)稱軸為y軸，則b＝0，∴y＝x2+c，∴B（0，c），設(shè)C（m，n），則A（﹣m，n），如圖，∵△ABC是底角為30°的等腰三角形，∴BD=33∴OD=33m+c，即n=33把C的坐標(biāo)代入y＝x2+c得，33m+c＝m2+c解得m=33，∴AC=233，∴△ABC的面積為：12故答案為：3910．已知函數(shù)y＝x2﹣6x+3，當(dāng)k﹣4≤x≤k時(shí)，若y的最大值與最小值之差為8，則k＝7?22或3+22【解答】解：當(dāng)k﹣4≤x≤k時(shí)，y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6，分情況討論如下：①當(dāng)k﹣4≤x≤k≤3時(shí)，即k≤3，x＝k時(shí)，y取得最小值，此時(shí)y＝k2﹣6k+3；x＝k﹣4時(shí)，y取得最大值，此時(shí)y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3；（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3﹣（k2﹣6k+3）＝8，解得：k＝4，∵k＜3，∴k＝4不符合題意；②當(dāng)k﹣4≤3且k≥3時(shí)，即3≤k≤7，此時(shí)最小值為y＝﹣6，當(dāng)x＝k﹣4取得最大值時(shí)，y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3，（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3﹣（﹣6）＝8，解得：k=7±22∵3≤k≤7，7+22∴k=7+22∴k=7?22當(dāng)x＝k取得最大值時(shí)，y＝k2﹣6k+3，k2﹣6k+3﹣（﹣6）＝8，解得：k=3±22由條件可知：k=3+22符合題意，k=3?2∴k=3+22③當(dāng)3≤k﹣4≤x≤k時(shí)，即k≥7，x＝k﹣4時(shí)，y取得最小值，此時(shí)y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3；x＝k時(shí)，y取得最大值，此時(shí)y＝k2﹣6k+3；k2﹣6k+3﹣[（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3]＝8，解得：k＝6，∵k≥7，∴k＝6不符合題意；綜上所述，當(dāng)k﹣4≤x≤k時(shí)，若y的最大值與最小值之差為8，k的值為7?22或3+2故答案為：7?22或3+2三、解答題11．已知二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax+2（a為常數(shù)，且a≠0）．（1）若函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（1，0），求a的值；（2）當(dāng)2≤x≤5時(shí)，函數(shù)的最大值為M，最小值為N，若M﹣N＝12，求a的值．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax+2的圖象過(guò)點(diǎn)（1，0），∴a﹣4a+2＝0，∴a=2（2）∵y＝ax2﹣4ax+2＝a（x﹣2）2+2﹣4a，∴拋物線的頂點(diǎn)為（2，2﹣4a），∴x＝2時(shí)，y＝2﹣4a，當(dāng)x＝5時(shí)，y＝25a﹣20a+2＝5a+2，當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)2≤x≤5時(shí)，M＝5a+2，N＝2﹣4a，∵M(jìn)﹣N＝12，∴5a+2﹣（2﹣4a）＝12，∴a=4當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)2≤x≤5時(shí)，N＝5a+2，M＝2﹣4a，∵M(jìn)﹣N＝12，∴2﹣4a﹣（5a+2）＝12，∴a=?4∴a的值為43或?12．已知拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0），M（x1，y1），N（x2，y2）是拋物線上兩點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝t．（1）當(dāng)t＝2時(shí)，①直接寫(xiě)出b與a滿足的等量關(guān)系；②若y1＝y(tǒng)2，則x1+x2＝4．（2）已知x1＝t﹣3，x2＝t+1，點(diǎn)C（x3，y3）在拋物線上．當(dāng)3＜x3＜4時(shí)，總有y1＞y3＞y2，求t的取值范圍．【解答】解：（1）①∵t=?b∴b＝﹣4a；②∵M(jìn)（x1，y1），N（x2，y2）是拋物線上兩點(diǎn)，∴M（x1，y1），N（x2，y2）關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，∴x1∴x1+x2＝4．故答案為：4；（2）由題意可知，M（x1，y1）在對(duì)稱軸的左側(cè)，N（x2，y2）在對(duì)稱軸的右側(cè)，∵點(diǎn)C（x3，y3）在拋物線上，3＜x3＜4，∴點(diǎn)C（x3，y3）關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為（2t﹣x3，y3），∴2t﹣4＜2t﹣x3＜2t﹣3，當(dāng)點(diǎn)C（x3，y3）在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，∵當(dāng)3＜x3＜4時(shí)，總有y1＞y3＞y2，∴t?3≤32t?4≥t+1，解得5≤t當(dāng)點(diǎn)C（x3，y3）在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，∵當(dāng)3＜x3＜4時(shí)，總有y1＞y3＞y2，∴t+1≤3t?3≤2t?4，解得1≤t∴t的取值范圍是1≤t≤2或5≤t≤6．13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）是拋物線y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）上任意兩點(diǎn)．（1）直接寫(xiě)出拋物線的對(duì)稱軸；（2）若x1＝a+1，x2＝a+2，比較y1與y2的大小，并說(shuō)明理由；（3）若對(duì)于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，總有y1＜y2，求m的取值范圍．【解答】解：（1）拋物線y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的對(duì)稱軸為：x=??2a∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1；（2）∵a＞0，拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線x＝1；∴M（x1，y1），N（x2，y2）都在對(duì)稱軸右側(cè)，∵當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大，且x1＜x2，∴y1＜y2；（3）∵m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，∴2m+12∵y1＜y2，a＞0，∴M（x1，y1）距離對(duì)稱軸更近，x1＜x2，則MN的中點(diǎn)在對(duì)稱軸的右側(cè)，∴2m+1解得：m≥114．已知拋物線y＝﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是拋物線y＝﹣x2+4x+c頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的2倍．（1）求b的值；（2）點(diǎn)A（x1，y1）在拋物線y＝﹣x2+4x+c上，點(diǎn)B（x1+m，y1+t）在拋物線y＝﹣x2+bx+c上．①求t（請(qǐng)用含m，x1的代數(shù)式表示）；②若x1＝m+1且﹣1≤x1≤2，求t的最大值．【解答】（1）解：∵y＝﹣x2+4x+c＝﹣（x﹣2）2+c+4，∴拋物線y＝﹣x2+4x+c頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，∵y＝﹣x2+bx+c的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=b2，且為拋物線y＝﹣x2+4x+∴b2解得b＝8；（2）①∵點(diǎn)A（x1，y1）在拋物線y＝﹣x2+4x+c上，點(diǎn)B（x1+m，y1+t）在拋物線y＝﹣x2+bx+c上．b＝8，∴y1=?x12+4x1+c，y1+t＝﹣（x1+m）2+8（x1+∴t＝﹣（x1+m）2+8（x1+m）+c﹣y1，即t＝﹣（x1+m）2+8（x1+m）+c﹣（?x12+4x∴t＝﹣m2+4x1﹣2mx1+8m，②∵x1＝m+1，∴t＝﹣m2+4x1﹣2mx1+8m＝﹣m2+4（m+1）﹣2m（m+1）+8m＝﹣3m2+10m+4∵﹣1≤x1≤2，∴﹣1≤m+1≤2，解得﹣2≤m≤1，∵當(dāng)m≤53時(shí)，t隨著∴當(dāng)m＝1時(shí)，t有最大值，最大值為﹣3+10+4＝11．15．已知拋物線y＝﹣x2+bx（b為常數(shù)）的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)比拋物線y＝﹣x2+2x的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)大1．（1）求b的值；（2）點(diǎn)A（x1，y1）在拋物線y＝﹣x2+2x上，點(diǎn)B（x1+t，y1+h）在拋物線y＝﹣x2+bx上．（ⅰ）若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值；（ⅱ）若x1＝t﹣1，求h的最大值．【解