第6課時(shí)　一元二次方程及其應(yīng)用 課件 2025年中考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)

第一部分考點(diǎn)梳理第二章方程組與不等式組第6課時(shí)一元二次方程及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)1一元二次方程的定義只含有

未知數(shù)，并且

?

，這樣的

?

方程就是一元二次方程.一元二次方程的一般表達(dá)式為

?

，其中

?是

二次項(xiàng)，

?叫做二次項(xiàng)系

數(shù)；

是一次項(xiàng)，

?叫做一次

項(xiàng)系數(shù)；

是常數(shù)項(xiàng).一個(gè)

未

知數(shù)的最高次數(shù)是2

整式

ax2

＋bx＋c＝0（a≠0）ax2

a

bx

b

c

知識(shí)點(diǎn)2一元二次方程的解法直接

開平方

法適合于（x＋a）2＝b（b≥0）或（ax＋b）2＝（cx＋d）2形式的

方程因式分解

法基

本思

想把方程化成ab＝0的形式，

得a＝0或b＝0因式分解

法方

法規(guī)

律常用的方法主要是提公因式

法，運(yùn)用平方差公式、完全

平方公式等分解因式公式

法求

根公

式一元二次方程ax2＋bx＋c＝

0（a≠0），當(dāng)b2－4ac≥0時(shí)，x＝

?一

般步

驟（1）將方程化成ax2＋bx＋

c＝0（a≠0）的形式；（2）確定a，b，c的值；（3）①若b2－4ac

0，

則代入求根公式，得x1，x2；②若b2－4ac

0，則方

程無實(shí)數(shù)根

≥

＜配

方

法基

本思

想通過配成完全平方的形式解一元二

次方程一

般步

驟（1）化二次項(xiàng)系數(shù)為1；（2）把常數(shù)項(xiàng)移到方程的另一邊；（3）在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)

系數(shù)一半的平方；（4）把方程整理成（x＋a）2＝b

的形式；（5）當(dāng)b

?時(shí)，運(yùn)用直接開平

方法解方程；當(dāng)b＜0時(shí)，無解≥0

知識(shí)點(diǎn)3一元二次方程根的判別式當(dāng)b2－4ac

0時(shí)，方程有兩個(gè)

不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2－4ac

0時(shí)，方程有兩個(gè)

相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2－4ac

0時(shí)，方程沒有實(shí)

數(shù)根.＞＝＜

知識(shí)點(diǎn)5一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用平均

增長率

（下降率）

問題（1）增長率＝

×100％；（2）設(shè)a為原來量，x為平均

增長（下降）率，n為增長（下

降）次數(shù)，b為增長（下降）后

的量，則a（1±x）n＝b面

積

問

題（1）如圖1，矩形ABCD的長為

a，寬為b，空白部分的寬為x，則

陰影部分的面積為（a－2x）（b

－2x）；

（2）如圖2，矩形ABCD的長為

a，寬為b，陰影部分的寬為x，則

空白部分的面積為（a－x）（b－

x）；面

積

問

題（3）如圖3，矩形ABCD的長為

a，寬為b，陰影部分的寬為x，則

空白部分的面積為（a－x）（b－

x）利潤

問題利潤＝售價(jià)－成本；總利潤＝單件利潤×銷量；利潤率＝

×100％握

手、

單循環(huán)賽問題握手、單循環(huán)賽總次數(shù)為

（n為人數(shù)或隊(duì)伍數(shù)）；送禮物總份數(shù)為n（n－1）（n

為人數(shù)）名師指津1.

二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)都

是方程在一般形式下定義的，所以求一

元二次方程的各項(xiàng)系數(shù)時(shí)，必須先將方

程化為一般形式.2.

關(guān)于解方程，要依據(jù)一元二次方程的

結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活選用“因式分解法、配方

法、公式法”幾種方法.對(duì)于一元二次方

程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）.

（1）若b＝0，直接開平方；若c＝0，采用因式分解法；（2）當(dāng)b，c都不為0時(shí)，一般遵循“先

分解因式→后配方法→再公式法”的順

序，具體來說：①如果能在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式，用

因式分解法計(jì)算量??；②當(dāng)方程的一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)，且常

數(shù)項(xiàng)的絕對(duì)值很大時(shí)，可以考慮用配

方法；③如果不能在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式，

且方程的一次項(xiàng)系數(shù)為奇數(shù)時(shí)，配方法

可能計(jì)算量較大，此時(shí)宜選用公式法來

解，而公式法是萬能法.3.

運(yùn)用根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系

（韋達(dá)定理）解題時(shí)，特別注意一元二

次方程ax2＋bx＋c＝0的隱含條件a≠0.考點(diǎn)一

一元二次方程的相關(guān)概念例1（1）若關(guān)于x的一元二次方程

（m－3）x2＋x＋m2－9＝0的常數(shù)項(xiàng)等

于0，則m的值為（

C

）A.

0B.

3C.

－3D.

－3或3（2）若一元二次方程x2－2x－5＝0的

一個(gè)解為a，則a（2a－3）＋a（1－a）的值為

?.C5

考點(diǎn)二

一元二次方程的解法例2

（1）（2024·貴州）一元二次方

程x2－2x＝0的解是（

B

）A.

x1＝3，x2＝1B.

x1＝2，x2＝0C.

x1＝3，x2＝－2D.

x1＝－2，x2＝－1B（2）解下列一元二次方程：①2（x－3）2－18＝0；

[答案]

解：整理，得（x－3）2＝9，開方，得x－3＝±3，解得x1＝6，x2＝

0.②x2＋2x－3＝0；解：整理，得x2＋2x＝3，配方，得（x＋1）2＝4，∴x＋1＝

±2，解得x1＝－3，x2＝1.③2x（x－2）＝1；

解：整理，得2x2－4x－1＝0，∴Δ＝（－4）2－4×2×（－1）＝24

＞0，

④4x（x－2）＝2（2－x）.解：移項(xiàng)，得4x（x－2）＋2（x－2）＝0，合并同類項(xiàng)，得（4x＋2）（x－2）＝0，∴4x＋2＝0或x－2＝0，

考點(diǎn)三

一元二次方程根的判別式及

根與系數(shù)的關(guān)系例3

（1）（2024·上海）以下一元二次

方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的是（

D

）A.

x2－6x＝0B.

x2－9＝0C.

x2－6x＋6＝0D.

x2－6x＋9＝0D（2）（2024·西附）關(guān)于x的一元二次方

程x2＋2mx＋m2＝0的根的情況為（

C

）A.

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.

沒有實(shí)數(shù)根C.

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.

無法確定C（3）關(guān)于x的一元二次方程（m－2）

x2＋4x＋2＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取

值范圍是（

D

）A.

m≤4B.

m≥4C.

m≥－4且m≠2D.

m≤4且m≠2D

－2024

考點(diǎn)四

一元二次方程的應(yīng)用例4

（1）一份攝影作品[七寸照片（長7英寸，寬5英寸）]，現(xiàn)將照片貼在一張矩形襯紙的正中央，照片四周外露襯紙的寬度相同；矩形襯紙的面積為照片面積的2倍.設(shè)照片四

周外露襯紙的寬度為x英寸（如圖），下面所列方程正確的是（

D

）DA.

2（7＋x）（5＋x）＝7×5B.

（7＋x）（5＋x）＝2×7×5C.

2（7＋2x）（5＋2x）＝7×5D.

（7＋2x）（5＋2x）＝2×7×5（2）某大型果品批發(fā)商場(chǎng)經(jīng)銷一種高檔

堅(jiān)果，原價(jià)每千克64元，連續(xù)兩次降價(jià)

后每千克49元.①若每次下降的百分率相同，求每次下

降的百分率；[答案]

解：①設(shè)每次下降的百分率為

a，根據(jù)題意，得64（1－a）2＝49，解得a1＝1.875（舍去），a2＝0.125＝

12.5％.答：每次下降的百分率為12.5％.②若該堅(jiān)果每千克盈利10元，每天可售

出500千克.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)

不變的情況下，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)臐q

價(jià)措施，若每千克漲價(jià)1元，日銷售量將

減少40千克.現(xiàn)該商場(chǎng)要保證銷售該堅(jiān)果

每天盈利4500元，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多

少元？[答案]

解：②設(shè)每千克應(yīng)漲價(jià)x元，由題意，得（10＋x）（500－40x）＝4500，整理，得2x2－5x－25＝0，解得x1＝5，x2＝－2.5（舍去）.答：該商場(chǎng)要保證銷售該堅(jiān)果每天盈利

4500元，那么每千克應(yīng)漲價(jià)5元.1.

下列是一元二次方程的是（

C

）A.

2x＋1＝0B.

x＋y＝5C.

x2＋3x＋2＝0D.

x＋

＝2C2.

（2024·綏化）小影與小冬一起寫作

業(yè)，在解一道一元二次方程時(shí)，小影在

化簡過程中寫錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，因而得到方

程的兩個(gè)根是6和1；小冬在化簡過程中

寫錯(cuò)了一次項(xiàng)的系數(shù)，因而得到方程的

兩個(gè)根是－2和－5.則原來的方程是

（

B

）A.

x2＋6x＋5＝0B.

x2－7x＋10＝0C.

x2－5x＋2＝0D.

x2－6x－10＝0B3.

若關(guān)于x的一元二次方程（m－1）x2