第20課時(shí)　等腰三角形 課件 2025年中考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)

第一部分考點(diǎn)梳理第四章圖形的性質(zhì)第20課時(shí)等腰三角形知識(shí)點(diǎn)1角平分線和線段垂直平分線的

性質(zhì)與判定性質(zhì)判定角

平

分

線角平分線上

的點(diǎn)

?

?

?

?

?的點(diǎn)，在這個(gè)角的角平分線所在的直線上到角

兩邊的距離

相等

到角兩邊的距離相等

性質(zhì)判定線

段

垂

直

平

分

線線段垂直平

分線上的

點(diǎn)

?

?

?

?

?

?的點(diǎn)，在

這條線段的垂直平分

線上到這條

線段的兩個(gè)

端點(diǎn)的距離

相等

到線段兩個(gè)端點(diǎn)的

距離相等

知識(shí)點(diǎn)2等腰三角形和等邊三角形的性

質(zhì)與判定性質(zhì)判定等腰

三角

形（1）等邊對(duì)等

角；（2）等腰三角

形三線合一；（3）是軸對(duì)稱

圖形，有一條對(duì)

稱軸（1）定義：有

兩邊相等的三角

形；（2）等角對(duì)等

邊性質(zhì)判定等邊

三角

形（1）三邊相

等；（2）三個(gè)角都

相等且都等于

60°；（3）是軸對(duì)稱

圖形，有三條對(duì)

稱軸（1）定義：三

條邊都相等的三

角形；（2）三個(gè)角都

相等的三角形；（3）一個(gè)角是

60°的等腰三角

形知識(shí)點(diǎn)3等腰三角形的性質(zhì)拓展圖示結(jié)論

等腰三角形兩腰上的高、中線和兩底角的角平分線分別都相等，即BD＝EC

等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半，即∠DBC＝

∠A圖示結(jié)論

等腰三角形頂角的外角平分線與底邊平行，即AD∥BC

等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于腰上的高，即DE＋DF＝BG圖示結(jié)論

等腰三角形底邊延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之差等于腰上的高，即DF－DE＝BG名師指津1.

等角對(duì)等邊是證邊相等的常用辦法.2.

三線合一是證兩條邊相等、兩個(gè)角相

等以及兩條直線互相垂直的重要依據(jù).3.

分類討論和方程思想是解決等腰三角

形多解問題的兩大法寶，畫出圖形，數(shù)

形結(jié)合是解這類題目的基本方法.考慮全

面，分類討論，逐一解決，不要漏解.4.

重要結(jié)論：考點(diǎn)一

角平分線的性質(zhì)與判定例1

（1）如圖1，AE，BE，CE分別

平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，

ED⊥BC于點(diǎn)D，ED＝3，△ABC的面

積為36，則△ABC的周長(zhǎng)為（

C

）CA.

48B.

36C.

24D.

12圖1

（2）如圖2，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，

AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，連接DE.

下列四個(gè)結(jié)論：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB＋CD.

其中成立的是

.（填序號(hào)）①②④

圖2考點(diǎn)二

線段垂直平分線的性質(zhì)與判定例2

（1）如圖1，在△ABC中，AB，

AC的中垂線DM，EN分別交BC于點(diǎn)

M，N，連接AM，AN.

若∠BAC＝

79°，則∠MAN的度數(shù)為（

C

）CA.

20°B.

21°C.

22°D.

23°圖1

A.

7B.

8C.

10D.

12C圖2（3）如圖3，CD是∠ACE的平分線，

DP垂直平分AB于點(diǎn)P，DF⊥AC于點(diǎn)

F，DE⊥BE于點(diǎn)E.

若BC＝3cm，AC

＝5cm，則CE＝

?cm.圖31

考點(diǎn)三

等腰三角形的性質(zhì)與判定例3

（1）如圖1，在△ABC中，D，E

分別為AB，AC邊上的點(diǎn)，DA＝DE，

DB＝BE＝EC.

若∠ABC＝130°，則

∠C的度數(shù)為（

D

）DA.

20°B.

22.5°C.

25°D.

30°圖1（2）如圖，△ABC為等腰三角形，AB

＝BC，點(diǎn)F是線段CB上一點(diǎn)，連接AF.

①如圖2，若AF⊥CB，AB＝10，BF

＝8，求線段AC的長(zhǎng)；

圖2

②如圖3，點(diǎn)E為線段AB上一點(diǎn)，連接

CE，使∠ACE＝∠B，且EA＝BF，

點(diǎn)D為AF的中點(diǎn)，連接CD.

求證：

∠ACD＝∠BCE.

圖3[答案]解：②證明：∵∠ACE＝∠B，∴∠ACE＋∠BCE＝∠B＋∠BCE，∴∠ACB＝∠AEC.

∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC，∴∠AEC＝∠BAC，

∴AC＝EC.

如答案圖，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)G，使CG＝CF，連接AG.

∵CG＝CF，且點(diǎn)D為AF的中點(diǎn)，∴CD∥AG，（答案圖）∴∠ACD＝∠GAC.

∵∠CEA＝∠ACB，∴∠ACG＝∠CEB.

∵AB＝BC，AE＝BF，∴BE＝CF＝CG.

又∵AC＝CE，

∴△ACG≌△CEB

（SAS），∴∠GAC＝∠BCE，

∴∠ACD＝∠BCE.

（答案圖）考點(diǎn)四

等邊三角形的性質(zhì)與判定例4

（1）（2024·自貢）如圖1，等

邊△ABC鋼架的立柱CD⊥AB于點(diǎn)D，AB長(zhǎng)12m.現(xiàn)將鋼架立柱縮短成DE，∠BED＝60°，則新鋼架減少用鋼（

D

）A.

（24－12

）mB.

（24－8

）mC.

（24－6

）mD.

（24－4

）mD圖1（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是

邊AD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合）.

邊BC關(guān)于BE對(duì)稱的線段為BF，連接

AF.

①若∠ABE＝15°，求證：△ABF是等

邊三角形；圖2[答案]解：

①證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°.∵∠ABE＝15°，∴∠CBE＝75°.由對(duì)稱的性質(zhì)，得∠FBE＝∠CBE＝75°，BF＝BC＝BA，∴∠ABF＝∠FBE－∠ABE＝60°，∴△ABF是等邊三角形.②延長(zhǎng)FA，交射線BE于點(diǎn)G，△BGF

能否為等腰三角形？如果能，求此時(shí)

∠ABE的度數(shù)；如果不能，請(qǐng)說明理由.圖2[答案]②解：由①得BF＝BC＝BA，∵E是邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，∴BA＜BE＜BG，∴BF≠BG.

若FB＝FG，則有∠FGB＝∠FBG＝

∠CBG，此時(shí)E與D重合，不合題意.若GF＝GB，連接CG

交AD于點(diǎn)H，如答案圖，（答案圖）∵BC＝BF，∠CBG＝∠FBG，BG＝

BG，∴△CBG≌△FBG（SAS），∴FG＝CG，∠BFG＝∠BCG.

∵BA＝BC＝BF，∴∠BFA＝∠BAF.

∵△CBG≌△FBG，∴∠BFG＝

∠BCG.

∵AD∥BC，∴∠AHG＝∠BCG，∴∠BAF＋∠HAG＝∠AHG＋∠HAG＝180°－∠BAD＝90°，（答案圖）∴∠FGC＝180°－∠HAG－∠AHG＝90°，

∵GB＝GF＝GC，

∴∠ABE＝∠ABC－∠GBC＝90°－

67.5°＝22.5°.綜上所述，△BGF能為等腰三角形，此

時(shí)∠ABE的度數(shù)為22.5°.（答案圖）1.

如圖，在△ABC中，AB邊的中垂線

DE分別與AB，AC邊交于點(diǎn)D，E，

BC邊的中垂線FG分別與BC，AC邊交

于點(diǎn)F，G，連接BE，BG.

若△BEG的

周長(zhǎng)為16，GE＝1，則AC的長(zhǎng)為

（

B

）A.

13B.

14C.

15D.

16B（第1題）2.

（2024·赤峰）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分

別是方程x2－10x＋21＝0的兩個(gè)根，則

這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為

?.3.

已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D在BC

邊上.17

【基本圖形】（1）如圖1，以AD為一

邊作等邊△ADE，連接CE.

請(qǐng)直接寫出

AC，CE，CD之間的數(shù)量關(guān)系；解：（1）CE＋CD＝AC.

圖1

圖2【遷移運(yùn)用】（2）如圖2，點(diǎn)F是AC邊

上一點(diǎn)，以DF為一邊作等邊△DEF，

連接CE.

求證：CE＋CD＝CF；

圖1

圖2解：（2）證明：如答案圖1，過點(diǎn)D作

DG∥AB，交AC于點(diǎn)G.

∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝∠A＝∠B＝60°.∵DG∥AB，∴∠CGD＝∠A＝60°，∠CDG＝∠B

＝60°，∴△CDG為等邊三角形，∴CD＝DG＝CG.

（答案圖1）

∵△DEF為等邊三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝60°.∴∠CDG－∠EDG＝∠EDF－∠EDG，即∠CDE＝∠GDF，∴△CDE≌△GDF（SAS），∴CE＝GF，∴