2025年中考數(shù)學幾何模型歸納訓練：三角形中的重要模型之弦圖模型、勾股樹模型解讀與提分訓練

專題08三角形中的重要模型之弦圖模型、勾股樹模型

弦圖分為內(nèi)弦圖與外弦圖，內(nèi)弦圖是中國古代數(shù)學家趙爽發(fā)現(xiàn)，既可以證明勾股定理，也可以此命題，

相關的題目有一定的難度，但解題方法也常常是不唯一的。弦圖之美，美在簡約，然不失深厚，經(jīng)典而久

遠，被譽為“中國數(shù)學界的圖騰”。弦圖蘊含的割補思想，數(shù)形結合思想、圖形變換思想更是課堂教學中數(shù)學

思想滲透的絕佳載體。一個弦圖集合了初中平面幾何線與形，位置與數(shù)量，方法與思想，小身板，大能量，

它就是數(shù)學教育里的不老神話。廣受數(shù)學教師和數(shù)學愛好者研究，近年來也成為了各地中考的熱點問題。

大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒

置。要知道數(shù)學題目的考察不是一成不變的，學數(shù)學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣

才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每

一個題型，做到活學活用！

目錄導航

例題講模型

.......................................2

模型1.弦圖模型......................................................................2

模型2.勾股樹模型....................................................................7

習題練模型一

................................................................................................................................................................11

例題講模型］

模型1.弦圖模型

模型解讀

“弦圖”就是我國三國時期的數(shù)學家趙爽，利用面積相等，形象巧妙的證明方法。所謂弦圖模型就是四個全等

直角三角形的弦互相垂直圍成了一個正方形圖形，當弦在圍成的正方形之內(nèi)叫內(nèi)弦圖模型，當弦恰恰是圍

城正方形的邊長時就叫外弦圖模型。

數(shù)學具有高度的抽象性，考試中有時候不會直觀明了的出現(xiàn)弦圖模型，所以學習中我們要抓住弦圖本質(zhì)靈

活變形，從而增強數(shù)學的變化性，培養(yǎng)思維靈活性，為學生提供思維的廣泛聯(lián)想空間，使其在面臨問題時

能夠從多種角度進行考慮，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“舉一反三”。

模型證明

(1)內(nèi)弦圖模型：

條件：如圖1,在正方形A8CD中，于點E,BE_LCG于點RCG_L?！庇邳cG,DHLAE于點、H,

結論：4ABE名ABCF色ACDG名ADAH；

證明：VZABC=ZBFC=ZAEB=90°,：.ZABE+ZFBC=ZFBC+ZFCB=90°.：.ZABE=ZFCB.

又；AB=BC,：.4ABE"ABCF,同理可得AABE之△BCV絲△COG絲△ZMH.

(2)外弦圖模型:

條件：如圖2,在正方形ABC。中，E,F,G,H分別是正方形A8CO各邊上的點，EFGH是正方形,

結論：4AHE會ABEF當ACFG當ADGtl；

證明：VZB=ZEFG=ZC=90°,ZBEF+ZEFB=ZEFB+ZGFC=90°,:./BEF=/GFC.

又,：EF=FG,:ZBF^AFCG.同理可得會△GQ”也△HAE.

(3)內(nèi)外組合型弦圖模型：

條件：如圖3、4,四邊形ABC。、EFGH、PQMN,均為正方形；結論：2S正方彩EFGH=S正方彩ABC￡>+S正方形PQMN.

證明：由(1)(2)中的證明易得：圖3和圖4中的八個直角三角形均全等，并用SA表示他們的面積。

S正方形ABC0=S正方形PQWN+8sA;S正方形EFGH=S正方形PQWN+4sA;

?*.S正方彩ABCO+S正方彩PQMN=S正方形PQWN+8SA+S正方形PQMN=2S正方形P°MN+8sA=2S正方彩EFGH

上述三類弦圖模型除了考查相關證明外，也常和完全平方公式(知二求二)結合考查。

(4)半弦圖模型

條件：如圖5,EA_LAB于點A,GB_LA2于點2,EF1FG,EF=FG,結論：AAFE94BGF；EA+GB=AB。

證明：,.,EA_LAB于點A,GB_LA8于點B,EF1FG,；.NA=/B=NEFG=90。

：.ZAFE+NAEF=ZAEF+ZBFG=90°.：./AFE=ZBFG.

又；EF=FG,:AAFE義ABGF,：.AE=BF,AF=BG,：.EA+GB=BF+AF=ABo

條件：如圖6,EA_LAB于點A,GB_LAB于點8,EFLFG,EF=FG,結論：4AFE與ABGF；EA-GB=AB。

證明：同圖5證明可得：4AFE會ABGF,：.AE=BF,AF=BG,：.EA-GB=BF-AF=ABo

條件：如圖7,在R/AABE和RaBC。中，AB=BC,AE±BD,結論：AABE^ABCD；AB-CD=EC。

證明：:△ABE和△BCD是AELBD,：.ZABE=ZC^ZAFB=90°o

：.ZA+NABF=ZABF+/DBC=90°.：.ZA^ZDBC.

又,：AB=BC,：.&ABE沿ABCD,：.BE=CD,：.AB-CD=BC-BE=ECa

上面三類半弦圖模型的共同特點是兩個直角三角形，他們的弦互相垂直。所以做題中見著這樣的關鍵字眼

就要想到用弦圖的相關知識解決問題。

模型運用

例1.(23-24八年級下.北京門頭溝.期末)我國漢代數(shù)學家趙爽利用一幅“弦圖”，證明了勾股定理，后人稱

該圖為“趙爽弦圖”.如圖，“趙爽弦圖”是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案.如

果該大正方形面積為49,小正方形面積為4,用x,丫表示直角三角形的兩直角邊(x>y),

下列四個推斷：①尤2+>2=49；②無一丁=2；③2孫+4=49；@x+y=1.

其中所有正確推斷的序號是（）.

A.①②C.①③④D.①②③④

例2.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，圖1是北京國際數(shù)學家大會的會標，它取材于我國古代數(shù)學家趙爽

的“弦圖”，是由四個全等的直角三角形拼成.若圖1中大正方形的面積為24,小正方形的面積為4,現(xiàn)將這

四個直角三角形拼成圖2,則圖2中大正方形的面積為（）

C.40D.44

例3.（2023?山東棗莊?二模）勾股定理被記載于我國古代的數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中，漢代數(shù)學家趙爽為了

證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖圖②由弦圖變化得到，它是由八

個全等的直角三角形拼接而成.記圖中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形的面積分別為

凡凡.若正方形的邊長為2,貝USi+Sz+S3=

圖①圖②

例4.（2024?陜西西安?模擬預測）如圖所示的圖案是我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》中“趙爽弦圖”

經(jīng)修飾后的圖形，四邊形ABCQ與四邊形EFG”均為正方形，點H是DE的中點，陰影部分的面積為27,

則的長為.

例5.（23-24八年級下?福建龍巖?階段練習）如圖中左圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四

個全等的直角二角形圍成的，若AC=6,BC=5,將四個直角二角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一

倍，得到如圖2中右圖所示的“數(shù)學風車”，則這個風車的外圍周長是（）

例6.（2023?河北?八年級期末）如圖所示的是我國古代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”，

它是由4個全等的直角三角形與1個小正方形拼成的一個大正方形，若大正方形的邊長為5,小正方形的邊

長為1.（1）如圖1,若用a,b表示直角三角形的兩條直角邊（a<b）,貝!|.

（2）如圖2,若拼成的大正方形為正方形ABCD中間的小正方形為正方形E/汨，連接AC,交BG于點

P,交。E于點‘△AFP-S^CGP=?

例7.（2024?山東濟南?二模）公元三世紀，我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出了“趙爽弦圖”.將

兩個大小相同的“趙爽弦圖”（如圖1）中的兩個小正方形和八個直角三角形按圖2方式擺放圍成邊長為10

的正方形則空白部分面積為

A

例8.(23-24八年級上.浙江溫州?期中)如圖，在VABC中，ZACB=90°,AC=3C,AE是8C邊上的中線,

過點C作CFLAE,垂足為尸，過點B作8c的垂線交CF的延長線于點。.

⑴求證：AE=CD.(2)若班)=1,求AE.

例9.(23-24八年級下?廣東揭陽?期末)綜合實踐：我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，制作了如圖1

所示的“趙爽弦圖”，弦圖中四邊形ABCD,四邊形EFCH和四邊形/刃a都是正方形.某班開展綜合與實踐

活動時，選定對“趙爽弦圖”進行觀察、猜想、推理與拓展.

G

圖1

(1)小亮從弦圖中抽象出一對全等三角形如圖2所示，請你猜想線段AE,3G,A3之間的數(shù)量關系::

(2)小紅從弦圖中抽象出另一對全等三角形如圖3所示，請你猜想線段EJ,JK,KG之間的數(shù)量關系：:

⑶小明將圖3中的KG延長至點M,使得=，連接EN與KF相交于點N,請你在圖3中畫出圖形.若

FN=3NK,求線段可與JK之間的數(shù)量關系.

模型2.勾股樹模型

模型解讀

勾股樹，也叫“畢達哥拉斯樹”。是由畢達哥拉斯根據(jù)勾股定理所畫出來的一個可以無限重復的樹形圖形，如

下圖。又因為重復多次后的形狀好似一棵樹，所以被稱為勾股樹。

模型特征：在直角三角形外，分別以三條邊作相同的圖形，則兩直角邊所作圖形面積之和等于斜邊所作圖

形的面積。該模型主要根據(jù)勾股定理的關系及等式性質(zhì)求解，常用來解決相關面積問題。

條件：如圖，在直角三角形外，分別以直角三角形三邊為元素向外作形狀相同的圖形，若分別以兩直角邊

為元素所作圖形的面積為Sl，S2,以斜邊為元素所作的圖形的面積為加。結論：S1+S2=S3

證明：設圖中兩直角邊為。、b,斜邊為C；且“b、C三邊所對應的等邊三角形面積分別為Sl、$2、S3。

由等邊三角形和勾股定理易得：S1的高為：是a；

2

:。同理：S,=%；S3=%。

2242434

由題意可得：a2+b2=c2；Si+S2=旦2+烏2=烏/+/)=旦2=53

444174

由于該類模型的證明基本相同，故此只證明等邊三角形。除了圖中的三類圖形，也?？嫉妊苯侨切巍?/p>

Oo

第一代勾股樹第二代勾股樹

條件：如圖，正方形ABC。的邊長為。，其面積標記為Sr以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角

三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標記為邑，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，結論：s“=〃.

證明：???正方形TWC。的邊長為a,△<?￡）￡為等腰直角二角形，

122

DE+CE=CD,DE=CE,/.S2+S2=S,.觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

2222

St=a~>S2=—St=—a>S3=—5,=—a?S4=—S3=—a>…，S=a-[—j

221232244238“⑵

條件：如圖，“勾股樹”是以邊長為根的正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角

邊分別向外作正方形，重復這一過程所畫出來的圖形，因為重復數(shù)次后的形狀好似一一棵樹而得名.假設

下圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，

結論:第"代勾股樹中正方形的個數(shù)為：N,,=2用-1;第n代勾股樹中所有正方形的面積為：S“=（"+1）?蘇。

證明：由題意可知第一代勾股樹中正方形有1+2=3=22-1（個），

第二代勾股樹中正方形有1+2+2?=7=23-1（個），

第三代勾股樹中正方形有1+2+22+2?=15=24-1（個），

由此推出第n代勾股樹中正方形有1+2+2?+23+…+2"=-1（個）。

設第一代勾股樹中間三角形的兩直角邊長為。和b，斜邊長為c,根據(jù)勾股定理可得：/+廿=。2=源，

第一代勾股樹中所有正方形的面積為=/+〃+°2=/+°2=2??；

同理可得：第二代勾股樹中所有正方形的面積為=2片+262+。2=3°2=3〃落

第三代勾股樹中所有正方形的面積為=402=4加2;

第”代勾股樹中所有正方形的面積為=（〃+1）,2=（力+1）.加。

模型運用

例1.（23-24八年級下.河北承德?期末）如圖，已知直角三角形的直角邊分別為a、b,斜邊為c,以直角三

角形的三邊為邊（或直徑），分別向外作等邊三角形、半圓、等腰直角三角形和正方形.那么，這四個圖形

中，直角三角形外，其他幾個圖形面積分別記作號、$2、S3.

(4)

結論I：4、S］、S3滿足^+$2=邑只有(4)；

結論H：,：a+b>c,Sj+S?>Ss的有(1)(2)(3).

對于結論I和II,判斷正確的是（）.

A.1對n不對B.I不對II對c.［和n都對D.I和II都不對

例2.（23-24八年級下?河南開封?期中）如圖，在四邊形ABCD中，NDAB=NBCD=90°，分別以四邊形ABCD

的四條邊為邊向外作四個正方形，面積分別為a,b,c,d.若6+c=12,則a+d=

例3.（23-24九年級上.遼寧盤錦?開學考試）如圖，正方形ABCD的邊長為2,其面積標記為H，以CD為斜

邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標記為邑，....按照

此規(guī)律繼續(xù)下去，則S刈的值為.

例4.（23-24八年級下?山東日照?期中）“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三

角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程所畫出來的圖形，因為重復數(shù)次后的形狀好似一棵樹而

得名.假設如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，如果

第一個正方形面積為1,則第2024代勾股樹中所有正方形的面積為.

第一代勾股樹第二代勾股樹第三代勾股樹

例5.（2023春?重慶?八年級專題練習）如圖是按照一定規(guī)律“生長”的“勾股樹”:

經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖（1）中共有3個正方形，圖（2）在圖（1）的基礎上增加了4個正方形，圖（3）在

圖（2）的基礎上增加了8個正方形，……，照此規(guī)律“生長”下去，圖（6）應在圖（5）的基礎上增加的正

方形的個數(shù)是（）

A.12B.32C.64D.128

例6.（2023春?廣西南寧?八年級統(tǒng)考期中）勾股定理是平面幾何中一個極為重要的定理，世界上各個文明

古國都對勾股定理的發(fā)現(xiàn)和研究做出過貢獻，特別是定理的證明，據(jù)說有400余種.如圖是希臘著名數(shù)學家

歐幾里得證明這個定理使用的圖形.以RIAABC（ZABC=90°）的三邊a,b,c為邊分別向外作三個正方形：正方

形ACE。、正方形AfHB、正方形再作垂足為G,交于尸，連接3。，CF.則結論:

@ZDAB=ZCAF,②尸，③S正方形皿。=，④$矩形厘=2%理.正確的結論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

習題練模型

1.（2023秋?湖北?九年級校聯(lián)考開學考試）如圖，2002年8月在北京召開的國際數(shù)學家大會會標其原型是

我國古代數(shù)學家趙爽的《勾股弦圖》,它是由四個全等的直角三角形拼接而成如.如果大正方形的面積是16,

直角三角形的直角邊長分別為mb,且/+/=仍+10,那么圖中小正方形的面積是（）

2.（2024?廣西?中考真題）如圖，邊長為5的正方形ABCD,E,F,G,7/分別為各邊中點，連接AG,BH,

CE,DF,交點分別為N,P,Q,那么四邊形MNPQ的面積為（）

Gc

D.10

3.（2024?江西吉安.二模）如圖，“趙爽弦圖”是一個由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼接成的大正

方形，若E是AF的中點，AD=5,連接班■并延長交C￡＞于點則D暇的長為（）

EF

D,更

2

4.（2024?廣東汕頭?一模）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學定理之一，是數(shù)形結合的重要紐帶.數(shù)

學家歐幾里得利用如圖驗證了勾股定理：以直角三角形A8C的三條邊為邊長向外作正方形ACH7,正方形

ABED,正方形BCGF,連接3/,CD,過點C作C7LOE于點J,交A3于點K.設正方形&。印的面積

為工，正方形3CG/的面積為S2,長方形皿。的面積為$3,長方形K/EB的面積為其，下列結論：①

2sM8=S、；②H=邑；③S|+S4=S?+S3；④底區(qū)=后區(qū).其中正確的結論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.（2024?浙江?中考真題）如圖，正方形A8CQ由四個全等的直角三角形（△ABE.ABC尸,△CDGADAH）和

中間一個小正方形EFG”組成，連接DE.若AE=4,BE=3,則￡>E=（）

6.（2024?云南九年級一模）如圖是按照一定規(guī)律“生長”的“勾股樹”:

經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖（1）中共有3個正方形，圖（2）在圖（1）的基礎上增加了4個正方形，圖（3）在

圖（2）的基礎上增加了8個正方形，……,照此規(guī)律“生長”下去，圖（6）應在圖（5）的基礎上增加的正

方形的個數(shù)是（）

A.12B.32C.64D.128

7.（2024.福建?中考真題）如圖，正方形ABCD的面積為4,點、E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,

AD的中點，則四邊形EFG”的面積為

AHD

BFC

8.（2024.北京?中考真題）如圖，在正方形ABC。中，點E在A3上，AF1QE于點/，CG工DE于點G.若

AD=5,CG=4,則△A￡F的面積為.

G\F

AEB

9.（23-24九年級上.山西晉中.期末）如圖，標號為①，②，③，④的四個直角三角形和標號為⑤的正方形

恰好拼成對角互補的四邊形ABCD，相鄰圖形之間互不重疊也無縫隙，①和②分別是等腰和等腰

RIABCF,③和④分別是RtACDG和RbZMH,⑤是正方形EFGH,直角頂點E,F,G,H分別在邊BF,

DG5

CG,DH,AE上.若工==,AH=3cm,則BE的長是cm.

GH4

10.（23-24九年級上?湖南長沙?期中）素有“千古第一定理”之稱的勾股定理，它是人類第一次將數(shù)與形結合

在一起的偉大發(fā)現(xiàn)，也是人類最早發(fā)現(xiàn)并用于生產(chǎn)、觀天、測地的第一個定理，它導致了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，

引發(fā)了第一次數(shù)學危機，它使數(shù)學由測量計算轉變?yōu)橥评碚撟C.在中國，也被稱為“商高定理”，西方則稱其

為“畢達哥拉斯定理”，幾千年來，太多的溢美之詞給了這一定理，由于它迷人的魅力，人們冥思苦索給出了

數(shù)百種證明方法，成為了證明方法最多的定理，其中，利用等面積法證明勾股定理最為常見，現(xiàn)有四名網(wǎng)

友為證明勾股定理而提供的圖形，其中提供的圖形（可以作輔助線）能證明勾股定理的網(wǎng)友是（填

寫數(shù)字序號即可）.

①。（懂得都懂）②yyos（永遠的神）③ZW）（覺醒年代）④。G7少（強國有我）

13.（2024?浙江?二模）如圖，相，加于點2,CDLBD于點、D,尸是8。上一點，且AP=PC,APLPC.

(1)求證：AABP^APDC；(2)若AB=1,CD=2,求AC的長.

14.（23-24八年級下?浙江杭州?期末）綜合與實踐

問題情境:第二十四屆國際數(shù)學家大會合徽的設計基礎是1700多年前中國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”.如圖1,

在綜合實踐課上，同學們繪制了“弦圖”并進行探究，獲得了以下結論：該圖是由四個全等的直角三角形

（△DAE,AABF,ABCG,△CD"）和中間一個小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD,且NABQ44F.

特殊化探究：連接8”.設3/=a,AF=b.

“運河小組”從線段長度的特殊化提出問題：（1）若AB=5,FG=1,求的面積.

“武林小組”從。與b關系的特殊化提出問題：（2）若6=2a,求證:NBAE=/BHE.

深入探究：老師進一步提出問題：（3）如圖2,連接BE,延長E4到點/,使=作矩形8以7.設矩形

的面積為耳，正方形ABCD的面積為$2,若BE平分ZABF,求證：凡=邑.請你解答這三個問題.

15.（23-24八年級下?湖北武漢?期中）問題發(fā)現(xiàn)：梓航在學完勾股定理后，翻閱資料，發(fā)現(xiàn)《幾何原本》中

有一種很好的勾股定理的證法：如圖1,作CG_L_F”于點G,交AB于點P,通過證明S正方形MEC=S長方形AW，

S正方形BCNM=S長方形BHGP的方法來證明勾股定理.

愛思考的梓航發(fā)現(xiàn)一個結論，如圖2,若以RtZXABC的直角邊AC,5c為邊向外任意作口ADEC,口BCNM,

斜邊A3上的口延長。￡,腦V交于點。，直線。。被口所截線段為尸G,當CQ=尸G時，此

時^aADEC+SBCNM=aABHF成立.請你幫他完成證明.

FGHFGHJFGTHFGH

圖1圖2圖3圖4

問題證明：（1）先將問題特殊化，如圖3,當四邊形ADEC,四邊形3C7VM,四邊形/WHF均為矩形，且

CQ=PG時，求證：S矩ADEC+S矩BCNM=S矩AB”/,（按梓航的分析，完成填空）

分析：過A作K/〃尸。交直線。。，HF于K,J,過B作RT〃尸。交。M,HF于R,T;

可證4gAl）EC=S^AKQC=SOAPGJ；問理可證S矩BCNM=S°BC2R=SOBTGP;

另外易得△AE/Z________________可得S也（DEC+S矩BCNM=SOABJT=^f^ABHF成立.

（2）再探究一般情形，如圖2,當四邊形ADEC,四邊形四邊形A5EF均為平行四邊形，且CQ=PG

時，求證：SBQEC+S口BCNM=SDABHF-

問題探索：（3）將圖2特殊化，如圖4,若ND=NaVM=NH=60。，AD=m,CN=〃，AF=r,且NQRB=75。，

請你直接寫出f的值_______________（用含加，〃的式子表示）.

16.（24-25八年級上?湖北荊州?階段練習）通過對下面數(shù)學模型的研究學習，解決下列問題：

【模型呈現(xiàn)】某興趣小組從漢代數(shù)學家趙爽的弦圖（如圖1,由外到內(nèi)含三個正方形）中提煉出兩個三角形

全等模型圖（如圖2、圖3）,即“一線三直角”模型和“K字”模型.

【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖2,已知，VA3C中，CA=CB,ZACB=90°,一直線過頂點C,過A,8分別作其

垂線，垂足分別為E,F.求證：EF=AE+BF；

【問題提出】（2）如圖3,改變直線的位置，其余條件與（1）相同，若族=4AE,EF=3,求V3CT的面

積；（3）如圖4,四邊形ABCD中，ZABC=ZCAB=ZADC=45°,的面積為20,且C。的長為8,

求△BCD的面積.

17.（2020?山西?模擬預測）綜合與實踐：正方形內(nèi)“奇妙點”及性質(zhì)探究

定義：如圖1,在正方形ABC。中，以3C為直徑作半圓。，以。為圓心，DA為半徑作AC，與半圓。交于

點尸.我們稱點尸為正方形ABCD的一個“奇妙點”.過奇妙點的多條線段與正方形AB8無論是位置關系還

是數(shù)量關系，都具有不少優(yōu)美的性質(zhì)值得探究.

（圖1）（圖2）

性質(zhì)探究：如圖2,連接。尸并延長交于點E,則。E為半圓。的切線.

證明：連接OP,OD.由作圖可知，DP=DC,OP=OC,

X-.-OD=OD.:.AOPD/OCD.(SSS)ZOPD=ZOCD=90°,OE是半圓。的切線.

問題解決：⑴如圖3,在圖2的基礎上，連接OE請判斷NBOE和NCDO的數(shù)量關系，并說明理由;

（圖4）（圖5）

（2）在（1）的條件下，請直接寫出線段DE,BE,CD之間的數(shù)量關系;

（3）如圖4,已知點尸為正方形ABCD的一個“奇妙點”，點。為3C的中點，連接。尸并延長交AB于點E,

連接CP并延長交A3于點尸，請寫出8E和的數(shù)量關系，并說明理由；

（4）如圖5,已知點E,F,G,〃為正方形ABCD的四個“奇妙點”.連接AG,BH,CE,，恰好得到一

個特殊的“趙爽弦圖”.請根據(jù)圖形，探究并直接寫出一個不全等的幾何圖形面積之間的數(shù)量關系.

18.（2024?上海?中考真題）同學用兩幅三角板拼出了如下的平行四邊形，且內(nèi)部留白部分也是平行四邊形

（直角三角板互不重疊），直角三角形斜邊上的高都為心

（1）直接寫出：①兩個直角三角形的直角邊（結果用九表示）；

②小平行四邊形的底、高和面積（結果用。表示）；

（2）請畫出同學拼出的另一種符合題意的圖，要求：①不與給定的圖形狀相同；②畫出三角形的邊.

19.（2024?廣東?中考模擬預測）請閱讀下列材料：

小明遇到這樣一個問題：如圖1,在邊長為。（。＞2）的正方形ABC。各邊上分別截取AE=*=CG=DH=1,當

/4B。=/83知=/口/心/。石尸=45。時，求正方形MNPQ的面積.

小明發(fā)現(xiàn)，分別延長QE,MF,NG,PH交FA,GB,HC,ED的延長線于點R,S,T,W,可得△RQP,&SMG,

△TNH,AWPE是四個全等的等腰直角三角形（如圖2）.

R（、、

圖⑴圖（2）、,：7圖⑶

請回答:（1）若將上述四個等腰直角三角形拼成一個新的正方形（無縫隙不重疊）,則這個新正方形的邊長為_；

（2）求正方形MNP。的面積；（3）參考小明思考問題的方法，解決問題：如圖3,在等邊AABC各邊上分別截

取AO=8￡=CF,再分別過點。，E,尸作BC,AC,AB的垂線，得至IJ等邊ARP。.若S.RP@=/,求A。的

長.

20.（2022?寧夏?中考真題）綜合與實踐

知識再現(xiàn)：如圖1,RMABC中，ZACB=90°,分別以8C、C4、AB為邊向外作的正方形的面積為H、邑、

S3,當S1=36,S3=100時，S2=

圖1圖2圖3

（1）如圖2,分別以3C、C4、48為邊向外作的等腰直角三角形的面積為5、邑、5，則跖、S］、反之

間的數(shù)量關系是.（2）如圖3,分別以3C、C4、4B為邊向外作的等邊三角形的面積為S,、、S6,

試猜想5八&、》之間的數(shù)量關系，并說明理由.

實踐應用（1）如圖4,將圖3中的ABCD繞點8逆時針旋轉一定角度至△3G〃，AACE繞點A順時針旋轉一

定角度至AAMV,GH、ACV相父于點P.求證：久己明=S四邊形「“荏；

⑵如圖5,分別以圖3中及AABC的邊BC、C4、4B為直徑向外作半圓，再以所得圖形為底面作柱體，BC、

CA.AB為直徑的半圓柱的體積分別為匕、匕、V3.若45=4,柱體的高々=8,直接寫出匕+匕的值.

圖4圖5

專題08三角形中的重要模型之弦圖模型、勾股樹模型

弦圖分為內(nèi)弦圖與外弦圖，內(nèi)弦圖是中國古代數(shù)學家趙爽發(fā)現(xiàn)，既可以證明勾股定理，也可以此命題，

相關的題目有一定的難度，但解題方法也常常是不唯一的。弦圖之美，美在簡約，然不失深厚，經(jīng)典而久

遠，被譽為“中國數(shù)學界的圖騰”。弦圖蘊含的割補思想，數(shù)形結合思想、圖形變換思想更是課堂教學中數(shù)學

思想滲透的絕佳載體。一個弦圖集合了初中平面幾何線與形，位置與數(shù)量，方法與思想，小身板，大能量，

它就是數(shù)學教育里的不老神話。廣受數(shù)學教師和數(shù)學愛好者研究，近年來也成為了各地中考的熱點問題。

大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒

置。要知道數(shù)學題目的考察不是一成不變的，學數(shù)學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣

才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每

一個題型，做到活學活用！

目錄導航

例題講模型

.......................................2

模型1.弦圖模型......................................................................2

模型2.勾股樹模型....................................................................7

習題練模型一

................................................................................................................................................................11

例題講模型］

模型1.弦圖模型

模型解讀

“弦圖”就是我國三國時期的數(shù)學家趙爽，利用面積相等，形象巧妙的證明方法。所謂弦圖模型就是四個全等

直角三角形的弦互相垂直圍成了一個正方形圖形，當弦在圍成的正方形之內(nèi)叫內(nèi)弦圖模型，當弦恰恰是圍

城正方形的邊長時就叫外弦圖模型。

數(shù)學具有高度的抽象性，考試中有時候不會直觀明了的出現(xiàn)弦圖模型，所以學習中我們要抓住弦圖本質(zhì)靈

活變形，從而增強數(shù)學的變化性，培養(yǎng)思維靈活性，為學生提供思維的廣泛聯(lián)想空間，使其在面臨問題時

能夠從多種角度進行考慮，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“舉一反三”。

模型證明

(1)內(nèi)弦圖模型：

條件：如圖1,在正方形A8CD中，于點E,BE_LCG于點RCG_L?！庇邳cG,DHLAE于點、H,

結論：4ABE名ABCF色ACDG名ADAH；

證明：VZABC=ZBFC=ZAEB=90°,：.ZABE+ZFBC=ZFBC+ZFCB=90°.：.ZABE=ZFCB.

又；AB=BC,：.4ABE"ABCF,同理可得AABE之△BCV絲△COG絲△ZMH.

(2)外弦圖模型:

條件：如圖2,在正方形ABC。中，E,F,G,H分別是正方形A8CO各邊上的點，EFGH是正方形,

結論：4AHE會ABEF當ACFG當ADGtl；

證明：VZB=ZEFG=ZC=90°,ZBEF+ZEFB=ZEFB+ZGFC=90°,:./BEF=/GFC.

又,：EF=FG,:ZBF^AFCG.同理可得會△GQ”也△HAE.

(3)內(nèi)外組合型弦圖模型：

條件：如圖3、4,四邊形ABC。、EFGH、PQMN,均為正方形；結論：2S正方彩EFGH=S正方彩ABC￡>+S正方形PQMN.

證明：由(1)(2)中的證明易得：圖3和圖4中的八個直角三角形均全等，并用SA表示他們的面積。

S正方形ABC0=S正方形PQWN+8sA;S正方形EFGH=S正方形PQWN+4sA;

?*.S正方彩ABCO+S正方彩PQMN=S正方形PQWN+8SA+S正方形PQMN=2S正方形P°MN+8sA=2S正方彩EFGH

上述三類弦圖模型除了考查相關證明外，也常和完全平方公式(知二求二)結合考查。

(4)半弦圖模型

條件：如圖5,EA_LAB于點A,GB_LA2于點2,EF1FG,EF=FG,結論：AAFE94BGF；EA+GB=AB。

證明：,.,EA_LAB于點A,GB_LA8于點B,EF1FG,；.NA=/B=NEFG=90。

：.ZAFE+NAEF=ZAEF+ZBFG=90°.：./AFE=ZBFG.

又；EF=FG,:AAFE義ABGF,：.AE=BF,AF=BG,：.EA+GB=BF+AF=ABo

條件：如圖6,EA_LAB于點A,GB_LAB于點8,EFLFG,EF=FG,結論：4AFE與ABGF；EA-GB=AB。

證明：同圖5證明可得：4AFE會ABGF,：.AE=BF,AF=BG,：.EA-GB=BF-AF=ABo

條件：如圖7,在R/AABE和RaBC。中，AB=BC,AE±BD,結論：AABE^ABCD；AB-CD=EC。

證明：:△ABE和△BCD是AELBD,：.ZABE=ZC^ZAFB=90°o

：.ZA+NABF=ZABF+ZDBC=90°.：.ZA^ZDBC.

又；AB=BC,：.&ABE義ABCD,：.BE=CD,：.AB-CD=BC-BE=EC.

上面三類半弦圖模型的共同特點是兩個直角三角形，他們的弦互相垂直。所以做題中見著這樣的關鍵字眼

就要想到用弦圖的相關知識解決問題。

模型運用

例1.(23-24八年級下.北京門頭溝.期末)我國漢代數(shù)學家趙爽利用一幅“弦圖”，證明了勾股定理，后人稱

該圖為“趙爽弦圖”.如圖，“趙爽弦圖”是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案.如

果該大正方形面積為49,小正方形面積為4,用x,丫表示直角三角形的兩直角邊(x>y),

下列四個推斷：①尤2+>2=49；②尤一丁=2；③2孫+4=49；@x+y=1.

其中所有正確推斷的序號是（）.

A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④

【答案】B

【分析】本題考查了勾股弦圖、完全平方公式等知識點，正確運用完全平方公式變形求值成為解題的關鍵.

由題意可得大正方形的邊長為7,小正方形的邊長為2,再結合圖形和勾股定理可得f+尸=49、x-y=2

可判定①②；然后通過完全平方公式變形求值可判定③④.

【詳解】解：???大正方形面積為49,小正方形面積為4,

二大正方形的邊長為7,小正方形的邊長為2,；.x2+y2=49,尤-y=2,即①、②正確；

25

/.9+y2-2孫=49-2孫=4,貝ij：xy=—,2孫+4=49,即③正確；

；.（尤+=爐+y2+2孫=49+2p=49+45=94,x+y=>/94,即④錯誤；

綜上，正確的有①②③.故選B.

例2.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，圖1是北京國際數(shù)學家大會的會標，它取材于我國古代數(shù)學家趙爽

的“弦圖”，是由四個全等的直角三角形拼成.若圖1中大正方形的面積為24,小正方形的面積為4,現(xiàn)將這

四個直角三角形拼成圖2,則圖2中大正方形的面積為（）

【答案】D

【分析】本題考查勾股定理，設直角三角形的兩直角邊為。，b,斜邊為c,根據(jù)圖1,結合已知條件得

到片+〃=c?=24,（a-Z>）2=a2+b2-2ab=4,進而求出仍的值，再進一步求解即可.

【詳解】解：如圖，直角三角形的兩直角邊為“，b,斜邊為C,

,??圖1中大正方形的面積是24,.?./+〃=°2=24,

,小正方形的面積是4,:.^a-by=a2+b2-2ab=4,：.ab=10,

.■.圖2中最大的正方形的面積=c?+4x'ab=24+2x10=44；故選：D.

2

例3.(2023?山東棗莊?二模)勾股定理被記載于我國古代的數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中，漢代數(shù)學家趙爽為了

證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖圖②由弦圖變化得到，它是由八

個全等的直角三角形拼接而成.記圖中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形肱VXT的面積分別為

S1,S2,S3.若正方形EFG//的邊長為2,則S1+S?+S3=.

圖①圖②

【答案】12

【分析】本題主要考查了勾股定理，完全平方公式的變形求值，設全等的直角三角形的兩條直角邊為。、b

22

S.a>b,貝”|=(。+6)2,S2=a+b,S3=(a-b^,再由正方形跳G//的邊長為2得到/+廿=4,據(jù)此

可得答案.

【詳解】解：設全等的直角三角形的兩條直角邊為。、匕且〃>>，

222

由題意可知：S]=(a+Z?y,S2=a+b,S3=(a-Z?),

S]+S2+S3,=(a+6)2+a2+b2+(a-b)2=4+2必+人2+。2+人2+/-2^+62=3,2+尸)，

?.?正方形ER汨的邊長為2,S2=/+/=22=4,二百+邑+$3=3(/+〃)=12故答案為：⑵

例4.（2024?陜西西安?模擬預測）如圖所示的圖案是我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》中“趙爽弦圖”

經(jīng)修飾后的圖形，四邊形ABCQ與四邊形EFG”均為正方形，點H是DE的中點，陰影部分的面積為27,

則的長為.

S

【答案】3君

【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理.由四邊形"CD與四邊形EFGH均為正方形，點、H是DE

的中點，可知E、F、G分別為AF、BG、CH的中點，可推出陰影部分的四個直角三角形面積相等，每

一個都為正方形EFGH面積的一半，從而陰影部分總面積為正方形EFGH面積的3倍,即可得正方形EFGH

面積為9,繼而得==AE=3,由勾股定理可求得AD的長.

【詳解】解：由四邊形ABC。與四邊形EFG//均為正方形，點我是DE的中點，可知E、F、G分別為詼、

BG、CH的中點，且AE=EH=DH=HG=CG=FG=BF=EF=BE,

S^AEH=S^DHG=S^CGF==萬S正方形^FGH，'S陰影=3XS正方彩函口=27,

S0彩EFGH=9,:.EH=DH=3,.-.DE=2EH=6,

又ZAED=90°,.1AD=^DE2+AE2=,6?+3?=3石.故答案為：3出.

例5.（23-24八年級下?福建龍巖?階段練習）如圖中左圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四

個全等的直角三角形圍成的，若AC=6,BC=5,將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一

倍，得到如圖2中右圖所示的“數(shù)學風車”,則這個風車的外圍周長是（）

區(qū)；

了

A.74B.76C.78D.80

【答案】B

【分析】通過勾股定理可將“數(shù)學風車”的斜邊求出，然后可求出風車外圍的周長.

【詳解】如圖，根據(jù)題意，AD=AC=6,CD=6x2=12,BC=5,

,：ZBCD=90°,/.BC2+CD2=BD2,BP52+122=BD2,

ABD=13,：.AD+BD=6+13=19,...這個風車的外圍周長是19x4=76,故選B.

【點睛】本題考查勾股定理在實際情況中應用，并注意隱含的已知條件來解答此類題.

例6.（2023?河北?八年級期末）如圖所示的是我國古代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”，

它是由4個全等的直角三角形與1個小正方形拼成的一個大正方形，若大正方形的邊長為5,小正方形的邊

長為1.（1）如圖1,若用。，》表示直角三角形的兩條直角邊（a<b）,則"=.

（2）如圖2,若拼成的大正方形為正方形A8CQ,中間的小正方形為正方形EFGH,連接AC,交BG于點

P,交DE于點M,SAAFP-S^CGP~-------?

【分析】（1）由勾股定理與正方形的性質(zhì)得出=52,根據(jù)完全平方公式變形可得必=12

（2）根據(jù)題意，證明石M=PG,根據(jù)S*FP—SACGP=SAAFP-SAAEM=S梯形b正方形EFGH，即可求解.

【詳解】（1）??,大正方形的邊長為5,小正方形的邊長為1,

b-a=\,a1+b2=52,由（?！?/+〃一2〃6，得2ab=25