2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練：全等三角形模型之角平分線模型解讀與提分訓(xùn)練

專題15全等三角形模型之角平分線模型

角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的常考知識點，需要掌握其各

類模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點，本專題就角平分線的幾類全

等模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。

大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學(xué)會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒

置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣

才能做到對于所學(xué)知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯點。當(dāng)然，以上三點均屬于基礎(chǔ)要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識幾何模型，認(rèn)真理解每

一個題型，做到活學(xué)活用！

目錄導(dǎo)航

例題講模型

.................................2

模型1.角平分線垂兩邊（角平分線+外垂直）.............................................2

模型2.角平分線垂中間（角平分線+內(nèi)垂直）.............................................5

模型3.角平分線構(gòu)造軸對稱模型（角平分線+截線段相等）.................................7

習(xí)題練模型'

例題講模型］

模型1.角平分線垂兩邊(角平分線+外垂直)

模型解讀

角平分線垂兩邊是指過角的平分線上一點向角的兩邊作垂線。角平分線垂兩邊模型，可以充分利用角平分

線性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊距離相等。

模型證明

條件：如圖1,0C為NA05的角平分線，C4LQ4于點A,CB工OB于點B.

結(jié)論：CA=CB、AOAC^AOBC.

證明：；0C為NA03的角平分線，CA±OA,CBLOB,

：.CA=CB,ZCBO=ZCAO=90°,VOC^OC,AOACAOBC(HL)

常見模型1(直角三角形型)

條件：如圖2,在AABC中，ZC=90°,為NC45的角平分線，過點。作

結(jié)論：DC=DE、ADAC^ADAE.(當(dāng)AABC是等腰直角三角形時，還有AB=AC+CD.)

證明：VZC=90°,AD為NC鉆的角平分線，DE±AB,

：.DCDE,ZAED=ZACD=90°,,：AD=AD,：.ADACADAE(HL)

常見模型2(鄰等對補型)

條件：如圖3,0c是NA08的角平分線，AC=BC,過點C作CDLOA、CE±OB.

結(jié)論：①ZBQ4+Z4cB=180。；②AD=BE；?OA+OB=2AD.

證明：：OC是/A08的角平分線，CDA.OA,CELOB,

:.CD=CE,ZCDA=ZCEB=90°,AC=BC,：.ADACAEBC(HL),：.AD=BE,ZCAD=ZCBE；

"：ZOBC+ZCBE=180°,ZOBC+ZC4D=180°,ZBOA+ZACB=180P,

同圖1中的證法易得：ADOCAEOC(HL),：.OD=OE,

/.OA+OB=OD+DA+OB=OD+BE+OB=OD+OE=2AD,

模型運用

例1.（2024?陜西?中考真題）如圖，在AABC中，AB=AC,E是邊上一點，連接CE,在BC右側(cè)作族〃4C,

且=連接CF.若AC=13,BC=10,則四邊形EBPC的面積為.

例2.（23-24八年級上.江蘇南通.階段練習(xí)）如圖，VAOB的外角/C4B,/DR4的平分線AP,3尸相交于

點P,PE_LOC于E,PFLOD于尸,下列結(jié)論：（1）PE=PF-,（2）點尸在NCOD的平分線上；（3）

NAPB=90?！?O；（4）若C△。,=17,則OE=8.5,其中正確的有（）

C

例3.（2023春?安徽宿州?八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知AB〃CD,3P和CP分別平分/ABC和NBCD,點、E,

尸分別在43和8上.（1）如圖1,EF過點P,且與垂直，求證：PE=PF；

⑵如圖2,E/為過點尸的任意一條線段，試猜想尸石=尸尸還成立嗎？請說明理由.

例4.（23-24九年級下?遼寧本溪?階段練習(xí)）【問題初探】（1）在數(shù)學(xué)活動課上，姜老師給出如下問題：如圖

1,AD平分—3AC,M為上一點，N為AC上一點，連接線段DM,DN,若44。+40根=180。.求

證：DM=DN.

①如圖2,小文同學(xué)從己知一邊一角構(gòu)造全等進行轉(zhuǎn)化的視角給出如下思路：在AC上截取AE=4欣，連接

DE,易證絲”IDE,將線段ZW與DN的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為DE與DN的數(shù)量關(guān)系.

②如圖3,小雅同學(xué)也是從已知一邊一角構(gòu)造全等的視角進行解題給出了另一種思路，過。點向-54C的

兩邊分別作垂線,垂足分別為點E,F,易證△ADE之△ADF,得到DE=DF,接下來只需證AFDM、EDN,

可得DM=DN.

請你選擇一名同學(xué)的解題思路，寫出證明過程

【類比分析】（2）姜老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學(xué)都采用了一邊一角構(gòu)造全等的視角，為了更好的感悟這種視角，

姜老師將共頂點的兩個相等的角，變成了不共頂點的兩個相等的角提出了如下問題，請你解答.

如圖4,在VABC中，AB=AC,80平分/ABC交AC與點。，在線段上有一點E,連接AE交與

點尸，^ZCAE=ZABD.求證：AD=CE.

【學(xué)以致用】（3）如圖5,在VABC中，AB=AC,ADLBC,垂足為點Z）,在CB的延長線上取一點E,

9

使NEAB=ZBAC,在線段EB上截取EF=AB,點G在線段AE上，連接FG,使ZEFG=Z￡4B,若

￡G=|,BF=W~^,求四邊形GFR4的面積.

模型2.角平分線垂中間（角平分線+內(nèi)垂直）

模型解讀

角平分線垂中間模型是可以看作是等腰三角形“三線合一”的逆用，也可以得到兩個全等的直角三角形，進而

得到對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等，這個模型巧妙的把三線合一和角平分線聯(lián)系在一起。但同學(xué)們也需要注意，在

解答題中使用時不能利用角平分線+中線得高線，也不能利用角平分線+高線得中線。一定要通過證明全等

來得到結(jié)論。（因為正確的結(jié)論有很多，但只有作為定理的才可以在證明中直接使用哦?。?/p>

模型證明

圖1圖2圖3

條件:如圖1,0C為NA05的角平分線，ABLOC,

結(jié)論:△AOC四△BOC,是等腰三角形，0C是三線合一等。

證明:；0C為NAQB的角平分線，.?./COA=/COB,

ABJLOC,ZBCO=ZACO=90°,,:CO=CO,△AOCgZkBOC(ASA),

,40=50,是等腰三角形，0C是三線合一。

條件：如圖2,5E為N/LBC的角平分線，BELEC,延長A4,CE交于點、F.

結(jié)論：4BECqMBEF,A5FC.是等腰三角形、8E是三線合一等。

證明：同圖1的證法,

模型運用

例1.（23-24八年級下.安徽馬鞍山.期末）如圖，AABC中，AB=8cm,AC=6cm,點E是3C的中點，若

AD平分/B4C,CD1AD,線段DE的長為（）

A

C.1.5cmD.2cm

例2.(2024?廣東深圳?八年級?？茧A段練習(xí))如圖，AABC中,BC=10,AC-AB=5,AD是，BAC的角

平分線，CD1AD,貝"△皿c的最大值為

例3.(2024.廣東?九年級期中)如圖，在AABC中，AB=AC,ZBAC=9QP,

圖1圖2

(1)如圖1,3。平分NABC交AC于點。，F(xiàn)為BCk一點,連接針交8。于點E.

⑴若AB=BF,求證：3D垂直平分AT；(ii)若求證：AD=CF.(2)如圖2,平分NABC

交AC于點D,CE±BD,垂足石在。。的延長線上，試判斷線段CE和8。的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)如圖3,F為BC上一點、,NEFC=g/B,CEVEF,垂足為E,EF與AC交于點、D,寫出線段CE

和ED的數(shù)量關(guān)系.(不要求寫出過程)

模型3.角平分線構(gòu)造軸對稱模型（角平分線+截線段相等）

模型解讀

角平分線構(gòu)造軸對稱模型是利用角平分線圖形的對稱性，在角的兩邊構(gòu)造對稱全等三角形，可以得到

對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等，利用對稱性把一些線段或角進行轉(zhuǎn)移，這是經(jīng)常使用的一種解題技巧。

模型證明

條件：如圖1,0C為NA05的角平分線，A為任意一點，在05上截取05=Q4,連結(jié)C3.

結(jié)論：AOACA0BC,CB=CA。

證明：?.?0。為/403的角平分線，.../。。4=/。。8,

,e?OB^OA,CO^CO,：.^A0C^/\B0CQSAS^,：.CB=CAo

條件：如圖2,BE、CE分別為ZABC和ZBCE的平分線，AB//CD,在BC上截取BF=AB,連結(jié)EF。

結(jié)論：ABAE^ABFE,ACDEACFE,AB+CD=BC.

證明：為NABC的平分線，/.ZABE=ZFBE^-ZABC,

2

,；BF=AB,BE=BE,：.ABAEABFE(SAS),:.NAEB=/FEB,

VAB//CD,：.ZABC+ZBCD=\SQ°,為ZBCE的平分線，ZFCE=ZDCE=-ZBCD,

2

AZEBC+ZBCE^-ZABC+-ZBCD=90°,AZFEC+ZFEB=90°,ZAEB+ZCED=90°,

22

AZFEC=ZCED,'：EC=EC,：.ACDEACFE,：.FC=DC,：.AB+CD=BF+FC=BC.

模型運用

例1.（2023?浙江?九年級專題練習(xí)）如圖，在“1BC中，AB=AC,ZA=100°,8￡＞是/ABC的平分線,

延長至點E,DE=AD,試求NEC4的度數(shù).

A

D

例2.(2022?北京九年級專題練習(xí))在四邊形A8DE中，C是BD邊的中點.

(1)如圖(1),若AC平分44E,ZACE=90°,則線段AE、AB.的長度滿足的數(shù)量關(guān)系為；

(直接寫出答案)；(2)如圖(2),AC平分/54艮EC平分ZAED,若NACE=120。，則線段A3、BD、

DE、AE的長度滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明.

例3.(2023?山東煙臺?九年級期末)已知在AABC中，滿足NACB=2N3,

圖1圖2圖3

(1)【問題解決】如圖1,當(dāng)NC=90。，為ZB4c的角平分線時，在AB上取一點E使得AE=AC,連接。E,

求證：AB=AC+CD.(2)【問題拓展】如圖2,當(dāng)NC#90。，AD為NZMC的角平分線時，在AB上取一點

E使得AE=AC,連接OE,(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請你證明：若不成立，請說明理由.

(3)［猜想證明】如圖3,當(dāng)為AABC的外角平分線時,在BA的延長線上取一點E使得AE=AC,連接DE,

線段AB、AC、CO又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并對你的猜想給予證明.

例4.（24-25八年級上?江蘇揚州?階段練習(xí)）問題情境：數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們在探索利用角平分線來構(gòu)造全等

三角形問題.

如圖①，在四邊形ABDE中，點C是3D邊的中點，AC平分/54E,ZACE=9Q°,證明：AE=AB+DE.

討論思考：當(dāng)同學(xué)們討論到題目中尋找線段之間的和差關(guān)系時，大家都踴躍提出了各自的見解，大家集思

廣議，提出了一個截長法：如圖②，在AE上截取AF=A5,連接CF,先證明△ABC/△AFC,再證明

△EFC咨AEDC,即有=AE=AB+ED.

解決問題：小明同學(xué)根據(jù)大家的思路，進行了如下的證明

AE=AB+DE,理由如下：如圖②，在AE上取一點產(chǎn)，使=連接CF.

AB^AF

???AC平分ZBAE，,ABAC=NE4c,在AACB和△AC9中,NBAC=ZFAC：.AACB%ACF(SAS)

AC=AC

：.BC=FC,ZACB=ZACF.

C

圖④

（1）小明已經(jīng)完成了大家討論的第一步,接下來就由你來利用題干中的條件完成剩下的推理證明吧.

拓展探究：己知：如圖③，在△ABC中,ZB=60°,D、E分別為"IC上的點，且AE,CD交于點尸.若

AE,C￡＞為AABC的角平分線.(2)ZAFC=°；(3)證明：DF=EF.

（4）如圖④，在△ABC中，NACBW90。，延長△ABC的邊54到點G,AD平分/G4c交BC延長線于點￡）,

若AB+AC=CD,ZABC=30°,貝U/ACB=_。.

圖④

習(xí)題練模型

1.（2024山東煙臺?中考真題）某班開展“用直尺和圓規(guī)作角平分線”的探究活動，各組展示作圖痕跡如下,

其中射線OP為的平分線的有（）

2.（2024.廣東深圳?中考真題）在如圖的三個圖形中，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，能判斷射線AD平分NBAC的

D.只有①

3.（2024?重慶??？家荒＃┤鐖D，已知四邊形A8CD的對角互補，ABAC=ADAC,AB=15,AD=12.過

AE

頂點C作CE,AB于E'則前的值為（）

A.歷B.9C.6D.7.2

4.（2024?安徽?一模）如圖，A4BC中，AO平分NBAC,片是3。中點，ADLBD,NC=7,AB=4,則

DE的值為（）

A.1B.2C.《D.-

22

5.（2024?綿陽市??？家荒＃┮阎鐖D，BC=DC,ZB+ZD=180°.連接AC,在AB,AC,AD上分別

取點E,P,F,連接PE,PF.若AE=4,AF=6,AAPE的面積為4,則AAPF的面積是（）

A.2B.4C.6D.8

6.（2023春?廣東深圳?八年級校考期中）如圖，點P為定角/AO3的平分線上的一個定點，且27WPN與

—AOB互補，若"PN在繞點尸旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與03相交于M、N兩點，則以下結(jié)論:

①尸M=恒成立；②OM+ON的值不變；③四邊形尸MON的面積不變；其中正確的個數(shù)為（）

A

B

A.3B.2C.1D.0

7.（23-24九年級上?重慶?階段練習(xí)）如圖，在AABC中，NB4C和—ABC的平分線AE,叱相交于點。,

AE交BC于E,即交AC于過點。作8_L3c于。，下列幾個結(jié)論：

①OC平分ZfiCA②402=90。+；/。③當(dāng)NC=60。時，AF+BE=AB；

④若OD=a,AB+BC+CA=2b,貝其中正確的有（）

C.3個D.4個

8.（2023?四川南充?統(tǒng)考二模）如圖，。為NAOB的平分線0c上一點，DE=DF，但OEwOF,則NO￡D

與ZOFD的關(guān)系是

9.（2023?山東淄博??？级＃┤鐖D，點。在AABC內(nèi)部，5。平分,ABC,S.ADJ.BD,連接CD.若ABCD

的面積為2,則AA5c的面積為.

10.（2024?湖南?中考真題）如圖，在銳角三角形ABC中，A￡＞是邊BC上的高，在54,BC上分別截取線

段BE,BF,使BE=BF；分別以點￡,F為圓心，大于;EP的長為半徑畫弧，在NABC內(nèi)，兩弧交于點

P,作射線3尸，交AD于點過點/作于點N.若MN=2,AD=4MD,則.

11.（2024?黑龍江哈爾濱?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABC。中NO=248=120。，AB=AD,E為BCk

一點，連接AE,BE=2,CD=7,若4/A4E+/BCD=120。，則線段CE的長為.

12.（2024?江蘇?九年級專題練習(xí)）如圖，已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC,ABAC=90°,即平分

/ABC,CDLBD交BF的延長線于點￡>,試說明：BF=2CD.

13.（2024?湖北孝感?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）（情景呈現(xiàn)）畫NAO3=90。，并畫NAO3的平分線OC.

（I）把三角尺的直角頂點落在OC的任意一點尸上，使三角尺的兩條直角邊分別與—AC?的兩邊。4,OB

垂直，垂足為E,F（如圖1）.則PE=PF；若把三角尺繞點尸旋轉(zhuǎn)（如圖2）,則PE尸尸.（選

填：或

（理解應(yīng)用）

（2）在（1）的條件下，過點P作直線GHLOC,分別交Q4,。8于點G,H,如圖3.

①圖中全等三角形有對.（不添加輔助線）

②猜想GE,FH,EF之間的關(guān)系為.

（拓展延伸）

（3）如圖4,畫NAO3=60。，并畫NAOB的平分線OC,在0c上任取一點P,作N￡7*=120。，NEPF的

兩邊分別與Q4,。8相交于E,尸兩點，PE與PP相等嗎？請說明理由.

14.（2023?吉林松原?校聯(lián)考二模）在四邊形43。中，AC平分/D4B,ZABC=a,ZADC=180°-a.

（1）若a=90。時，直接寫出CD與CB的數(shù)量關(guān)系為_；（2）如圖1,當(dāng)以90。時，（1）中結(jié)論是否還成

CM

立，說明理由；（3）如圖2,。為AC中點，M為A8上一點，BM=AD,求—的值.

圖1圖2

15.（23-24九年級上?河南開封.階段練習(xí)）如圖，在Rt^ABC中，=90?，F(xiàn)在有一足夠大的直角三角

板，它的直角頂點。是邊上一點，另兩條直角邊分別交AB、AC于點E、F.

（1）如圖1,若。求證：四邊形尸是矩形.

（2）若點。在NA4c的角平分線上，將直角三角板繞點。旋轉(zhuǎn)一定的角度，使得直角三角板的兩條邊與兩條

直角邊分別交于點從/（如圖2）,試證明+=（嘗試作輔助線）

16.（2024?河南南陽?一模）李老師善于通過合適的主題整合教學(xué)內(nèi)容，幫助同學(xué)們用整體的、聯(lián)系的、發(fā)

展的眼光看問題,形成科學(xué)的思維習(xí)慣，下面是李老師在“利用角的對稱性構(gòu)造全等模型”主題下設(shè)計的問題,

請你解答.（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】①如圖1,AP是VABC的角平分線，AB<AC,在AC上截取AQ=AB,連接

PQ,則PB與P。的數(shù)量關(guān)系是；②如圖2,VABC的角平分線AE、即相交于點P.當(dāng)/C=60。

時，線段尸￡與「尸的數(shù)量關(guān)系是；

（2）【探究遷移】如圖3,在四邊形ABCD中，AB=AD+BC,ND4B的平分線與/ABC的平分線恰好交

于CD邊上的點尸，試判斷PO與PC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（3）【拓展應(yīng)用】在（2）的條件下，若A3=15,tan/PA2=J,當(dāng)APBC有一個內(nèi)角是45。時，直接寫出邊

AD的長.

ACD

A

圖1圖2圖3

17.（2023?山東濟南?二模）在等腰VA3C中，?B90?,AM是VABC的角平分線，過點M作MNLAC,

垂足為N,NEW=135。、將繞點/旋轉(zhuǎn)，使/初3的兩邊交直線AB于點E,交直線AC于點?

請解答下列問題：⑴當(dāng)NEMF繞點M旋轉(zhuǎn)到如圖①的位置時，求證：BE+CF=BM；

（2）當(dāng)NEMF繞點M旋轉(zhuǎn)到如圖②的位置時，請直接寫出線段BE,CF,之間的數(shù)量關(guān)系;

⑶在（1）和（2）的條件下，tanNBEM=6,AN=272+2>分別求CF的長.

圖①圖②

18.（23-24八年級上?江蘇無錫?期中）【情境建?！浚?）蘇科版教材八年級上冊第60頁，研究了等腰三角形

的軸對稱性，我們知道“等腰三角形底邊上的高線、中線和頂角平分線重合”，簡稱“三線合一”.

圖1圖2

小明嘗試著逆向思考：若二角形一個角的平分線與這個角對邊上的高重合，則這個二角形是等腰二角形.即

如圖1,已知，點。在VABC的邊3C上，AD平分NBAC,且求證：AB=AC.請你幫助小

明完成證明；請嘗試直接應(yīng)用“情境建?！敝行∶鞣此汲龅慕Y(jié)論解決下列問題：

【理解內(nèi)化】（2）①如圖2,在VA3C中，AD是角平分線，過點8作AD的垂線交AD、AC于點E、F,

ZABF=2NC.求證：BE=^（AC-AB）；②如圖3,在四邊形中，BC=5AC-AB=-Ji,4D平

分NCAB,ADLCD,當(dāng)△BCD的面積最大時，請直接寫出此時CD的長.

【拓展應(yīng)用】（3）如圖4,VABC是兩條公路岔路口綠化施工的一塊區(qū)域示意圖，其中ZACB=90°,AC=15m,

BC=20m,該綠化帶中修建了健身步道Q4、OB、OM、ON、MN,其中入口M、N分別在AC、3c上，步

道OA、QB分別平分—BAC和—ABC,OM±OA,ONLOB.現(xiàn)要用圍擋完全封閉ACMN區(qū)域，修建地下

排水和地上公益廣告等設(shè)施，試求需要圍擋多少m?（步道寬度和接頭忽略不計）

圖3圖4

19.（2023?重慶?八年級專題練習(xí)）閱讀與思考

下面是小明同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請您仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)：構(gòu)造全等三角形解決圖形與幾何問題

在圖形與幾何的學(xué)習(xí)中，常常會遇到一些問題無法直接解答，需要添加輔助線才能解決.比如下面的題目

中出現(xiàn)了角平分線和垂線段，我們可以通過延長垂線段與三角形的一邊相交構(gòu)造全等三角形，運用全等三

角形的性質(zhì)解決問題.

例：如圖1,。是AABC內(nèi)一點，且AD平分N54C,CDLAD,連接3D,若的面積為10,求AABC

的面積.

該問題的解答過程如下：解：如圖2,過點B作出交C￡＞延長線于點H,CH、AB交于點E,

?.?AD平分NBAC,..ZDAB=ZDAC.-.-AD1CD,:.ZADC=ZADE=90°.

ZDAE=ADAC

在VADE和A4DC中，\AD=AD,:.AADE^AADC（依據(jù)1）

ZADE=ZADC

：.ED=CD（依據(jù)2）,S.ADE=S.ADC，???S皿E=gDEBH,S，皿=*BH..........

任務(wù)一：上述解答過程中的依據(jù)1,依據(jù)2分別是,；

任務(wù)二：請將上述解答過程的剩余部分補充完整；

應(yīng)用：如圖3,在AMC中，ZBAC=90°,AB=AC,BE平分交AC于點。，過點、C作CELBD交BD

延長線于點E.若CE=6,求BD的長.

20.(23-24九年級上.黑龍江雞西.期末)如圖，在等腰VABC中，?B90?,AM是VA3C的角平分線，過

點“作MNLAC于點N,NEMF=135。,將N￡A3圍繞點M旋轉(zhuǎn)，使得NEMF的兩邊分別交直線、

AC于點E、F.

圖③

⑴當(dāng)NEMF圍繞點M旋轉(zhuǎn)到如圖①的位置時，易證得：BM=BE+CF；

(2)當(dāng)NEMF圍繞點Af旋轉(zhuǎn)到如圖②、圖③的位置時，BM、BE、CF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出來,

并選擇一種情況進行證明.

專題15全等三角形模型之角平分線模型

角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的?？贾R點，需要掌握其各

類模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點，本專題就角平分線的幾類全

等模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。

大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學(xué)會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒

置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣

才能做到對于所學(xué)知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯點。當(dāng)然，以上三點均屬于基礎(chǔ)要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識幾何模型，認(rèn)真理解每

一個題型，做到活學(xué)活用！

目錄導(dǎo)航

例題講模型

.................................20

模型1.角平分線垂兩邊（角平分線+外垂直）............................................20

模型2.角平分線垂中間（角平分線+內(nèi)垂直）............................................26

模型3.角平分線構(gòu)造軸對稱模型（角平分線+截線段相等）................................31

習(xí)題練模型'

例題講模型］

模型1.角平分線垂兩邊(角平分線+外垂直)

模型解讀

角平分線垂兩邊是指過角的平分線上一點向角的兩邊作垂線。角平分線垂兩邊模型，可以充分利用角平分

線性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊距離相等。

模型證明

條件：如圖1,0C為NA05的角平分線，C4LQ4于點A,CB工OB于點B.

結(jié)論：CA=CB、AOAC^AOBC.

證明：；0C為NA03的角平分線，CA±OA,CBLOB,

：.CA=CB,ZCBO=ZCAO=90°,VOC^OC,AOACAOBC(HL)

常見模型1(直角三角形型)

條件：如圖2,在AABC中，ZC=90°,為NC45的角平分線，過點。作

結(jié)論：DC=DE、ADAC^ADAE.(當(dāng)AABC是等腰直角三角形時，還有AB=AC+CD.)

證明：VZC=90°,AD為NC鉆的角平分線，DE±AB,

：.DCDE,ZAED=ZACD=90°,,：AD=AD,：.ADACADAE(HL)

常見模型2(鄰等對補型)

條件：如圖3,0c是NA08的角平分線，AC=BC,過點C作CDLOA、CE±OB.

結(jié)論：①ZBQ4+Z4cB=180。；②AD=BE；?OA+OB=2AD.

證明：：OC是/A08的角平分線，CDA.OA,CELOB,

:.CD=CE,ZCDA=ZCEB=90°,AC=BC,：.ADACAEBC(HL),：.AD=BE,ZCAD=ZCBE；

"：ZOBC+ZCBE=180°,ZOBC+ZC4D=180°,ZBOA+ZACB=180P,

同圖1中的證法易得：ADOCAEOC(HL),：.OD=OE,

/.OA+OB=OD+DA+OB=OD+BE+OB=OD+OE=2AD,

模型運用

例1.（2024?陜西?中考真題）如圖，在AABC中，AB=AC,E是邊上一點，連接CE,在BC右側(cè)作族〃4C,

且=連接CF.若AC=13,BC=10,則四邊形EBPC的面積為.

【分析】本題考查等邊對等角，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理：過點C作四±AB,CNLBF,

根據(jù)等邊對等角結(jié)合平行線的性質(zhì)，推出NABC=NCBD進而得到=得到%BF=S?CE，進而得

到四邊形￡BFC的面積等于S’"「設(shè)=勾股定理求出的長，再利用面積公式求出AABC的面積

即可.

【詳解】解：'：AB=AC,：.ZABC=ZACB,

?：BF//AC,：.ZACB=ZCBF,；.ZABC=NCBF,3C平分ZABR,

過點C作a/JL四，CNLBF,則：CM=CN,

,**S&ACE=5人石，CM,SACBF=5BF-CN,且BF=AE,??3CBF-LACE，

???四邊形EBFC的面積=S^CBF+S&CBE=SAACE+S&CBE=^^CBA,

VAC=13,??.AB=13,設(shè)AA1=x,貝lj：BM=13-xf

22222

由勾股定理，得：CM=AC-AM=BC-BMf

2

132-X2=1O2-(13-X)2,解：工=騾，：.CM=132119I120

1313

???SABA=：A9CM=6°，?,?四邊形所尸C的面積為60.故答案為：60.

例2.（23-24八年級上.江蘇南通.階段練習(xí)）如圖，VAOB的外角/C4B,/DA4的平分線AP,3尸相交于

點、P,PE_LOC于E,尸9_LO￡＞于歹，下列結(jié)論：（1）尸E=PF；（2）點尸在NCOD的平分線上；（3）

ZAPB=90°-ZO；（4）若C△。,=17,則OE=8.5,其中正確的有（）

C

【答案】C

（分析］過點P作PG1AB，由角平分線的性質(zhì)定理，得到PE=PG=PF,可判斷（1）（2）；由△上△24G,

△GPB會4FPB可得NEPA=NGPA,ZGPB=ZFPB,NAPB=gzEPF,ZEPF+ZAOB=\SO°,得至U

ZAPB=90°-^ZAOB,可判斷（3）；tg?C^OAB=OA+OB+AB=OE+OF,OE=OF,可判斷（4）,進而

可得到答案.

【詳解】解：過點尸作PG?,連接OP,如圖：

C

平分NCA3,BP平分/DBA,PELOC,PFLOD,PGLAB,

:.PE=PG=PF；故(1)正確；點尸在NCOD的平分線上；故(2)正確；

；PE=PG,AP=AP,NPEA=NPGA=90°APAE^APAG,NEPA=ZGPA,

1?-PB=PB,PG=PF,NPFB=ZPGB,AGPB沿LFPB,

ZGPB=ZFPB,ZAPB=NAPG+ZBPG=-ZEPF,

2

又/￡??+4。3=180。，/.ZAPS=-x(180°-ZAOB)=90°--ZAOB；故(3)錯誤;

22

APAE^APAG,AGPB學(xué)AFPB，,AE=AG,BF=BG

■：PE=PF,PO=PO,ZPEO=ZPFO=90°APEO^APFO,:.OE=OF,

OAB=OA+OB+AB=n,OE+OF=OA+AE+OB+BF

=OA+AG+OB+BG=OA+OB+AB=CAOAB=17,:.OE=gCAOAB=8.5

.,?正確的選項有3個；故選C.

【點睛】本題考查了角平分線的判定定理和性質(zhì)定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

角平分線的判定和性質(zhì)進行解題.

例3.（2023春?安徽宿州?八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知CD,3尸和CP分別平分/ABC和NBCD,點E,

產(chǎn)分別在和CO上.（1）如圖1,EF過點P,且與垂直，求證：PE=PF；

（2）如圖2,Eb為過點尸的任意一條線段，試猜想尸石=尸尸還成立嗎？請說明理由.

圖1圖2

【答案】（1）證明見詳解（2）尸￡=尸尸成立，理由見詳解

【分析】（1）過點尸作尸于點由角平分線的性質(zhì)定理即可得出結(jié)論；

（2）過點尸作于點G,交CD于點、H,證明△PGE=即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）證明：如圖，過點P作尸河13C于點

-,?3尸和CP分別是NABC和ZBCD的平分線,

且尸“SC,EF±AB,EFJ.CD,

:.PE=PM,PM=PF.:.PE=PF.

（2）PE=PF成立.理由如下：

如圖，過點尸作于點G,交8于點H,

BEGA

圖2

-.-AB//CD,:.PG±AB,PHLCD,:.NPGE=NPHF=90。,

由（1）得PG=PH,在/GE和中，

ZPGE=ZPHF

■：<PG=PH:.APGE^△P//F（ASA）,.-,PE=PF.

ZEPG=FPH

【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握角平分

線的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

例4.（23-24九年級下.遼寧本溪.階段練習(xí)）【問題初探】（1）在數(shù)學(xué)活動課上，姜老師給出如下問題：如圖

1,AO平分NBAC,M為A3上一點，N為AC上一點，連接線段D/DN,若Z&4C+4011=180。.求

證：DM=DN.

①如圖2,小文同學(xué)從已知一邊一角構(gòu)造全等進行轉(zhuǎn)化的視角給出如下思路：在AC上截取=連接

DE,易證AADM絲AADE,將線段DM與￡>N的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為DE與OV的數(shù)量關(guān)系.

②如圖3,小雅同學(xué)也是從已知一邊一角構(gòu)造全等的視角進行解題給出了另一種思路，過。點向/A4c的

兩邊分別作垂線,垂足分別為點E,F,易證△ADE^AADF,得到DE=DF,接下來只需證AFDM沿AEDN,

可得DM=DN.

請你選擇一名同學(xué)的解題思路，寫出證明過程

【類比分析】（2）姜老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學(xué)都采用了一邊一角構(gòu)造全等的視角，為了更好的感悟這種視角，

姜老師將共頂點的兩個相等的角，變成了不共頂點的兩個相等的角提出了如下問題，請你解答.

如圖4,在VABC中，AB=AC,平分/ABC交AC與點在線段BC上有一點E,連接AE交與

點R^ZCAE=ZABD.求證：AD=CE.

【學(xué)以致用】（3）如圖5,在VABC中，AB=AC,ADLBC,垂足為點在CB的延長線上取一點E,

9

使/E4B=ZBAC,在線段￡B上截取EF=AB,點G在線段AE上，連接FG,使ZEFG=ZEAB,若=

EG*,BFJO一Y，求四邊形GFB4的面積.

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義、勾股定理等知

識點，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.（1）①小文，由“SAS”可證△MWZAEAO,可得

DM=DE,ZAMD=ZAED,由補角的性質(zhì)可得N￡>EN=NONE,可證OE=DN即可求解;②小雅：由“SAS”

可證△?1￡）￡絲可得DE=DF,由“AAS”可證△￡）斷2ADEN,可得DM=ZW；（2）由“SAS”可證

^ABD^CAM,可得AD=CM,ZADB^ZM,由三角形內(nèi)角和定理可求NADB=NB產(chǎn)尸=NCEW=4W,

可得CE=a/=AD；（3）由“SAS”可證AABM絲AEEG,可得NEGF=ZAMB,FF=AB,由等腰三角形的

性質(zhì)和勾股定理可求80的長，A3的長，最后由三角形的面積公式求解即可.

【詳解】解：（1）①證明：如圖2,在AC上截取AE=W,連接。E,

圖2圖3

；AD平分NBAC,：.Z.BAD=ACAD,

XVAD=AD,：.△M4D^A￡4Z)(SAS),DM=DE,ZAMD=ZAED,

"：ZBAC+ZNDM=180°,ZAMD+ZAND=180°,

ZAED+ZDEN=180°,AZDEN=ZDNE,：.DE=DN,:.DM=DN；

②證明：如圖3,過。點向N2AC的兩邊分別作垂線，垂足分別為點E,F,

；AD平分NBAC,：.ZBAD=ZCAD,

XZAED=ZAFD=90°,AD=AD,：.AA￡>E^AADF(AAS),

DE=DF,ZBAC+ZNDM=180°,ZAMD+ZAND=180°,

ZAMD+ZDMF=180°,/.ADMF=ZDNF,

又,/ZDEN=ZDFM=90°,/.ADFM絲AJDEN(AAS),:.DM=DN；

(2)證明：延長AE至點M使=連接CM,

又?/NCAE=ZABD,AB^AC,：.AABD^ACAM(SAS),/.AD=CM,ZADB=NM,

：.BD為/ABC的平分線，；.ZABD=ZCBD=ZCAE,

XVZAFD=ZBFE,:.ZADF=NBEF=NCEM,：.ZCEM=ZM,：.CE=CM=AD；

(3)如圖：在AC上截取AM=GF,連接9,

又<NGFE=NBAC,FF=AB,：.△ABM^AFEG(SAS),/.ZEGF=ZAMB,

?：NGFE=/BAG,ZGFE+ZGFB=180°,/.ZBAG+NGFB=180°,

ZABF+ZAGF=360°-180°=180°,/.ZAGF=ZABC=ZC,

6

VZBM4+ZBMC=180°,:?ZBCM=/BMC,：.BM=BC=EG=~,

22

?/AB=AC,AD±BC,：.BD=^BC=^f：.AC=y/cD+AD=EF,

：.BE=BF+EF=^-+W~^^2,：.SBE-AD.即ZkABE的面積為

55A255

模型2.角平分線垂中間（角平分線+內(nèi)垂直）

模型解讀

角平分線垂中間模型是可以看作是等腰三角形“三線合一”的逆用，也可以得到兩個全等的直角三角形，進而

得到對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等，這個模型巧妙的把三線合一和角平分線聯(lián)系在一起。但同學(xué)們也需要注意，在

解答題中使用時不能利用角平分線+中線得高線，也不能利用角平分線+高線得中線。一定要通過證明全等

來得到結(jié)論。（因為正確的結(jié)論有很多，但只有作為定理的才可以在證明中直接使用哦！）

模型證明

圖1圖2圖3

條件：如圖1,0c為NA05的角平分線，AB±OC,

結(jié)論：AAOC附△BOC,是等腰三角形，0C是三線合一等。

證明：?.?0。為/4。3的角平分線，，/。。4=/（%>8,

ABLOC,ZBCO=ZACO=90°,VCO=CO,：.AAOC^ABOCCASA）,

AO=BO,...AQ4B.是等腰三角形，???ABLOC,...0C是三線合一。

條件：如圖2,5E為N/LBC的角平分線，BELEC,延長BA,CE交于點F.

結(jié)論：ABECMABEF,A5FC.是等腰三角形、BE是三線合一等。

證明：同圖1的證法，

模型運用

例1.（23-24八年級下.安徽馬鞍山.期末）如圖,△ABC中，AB=8cm,AC=6cm,點石是的中點，若

AD平分/BAC,CDYAD,線段?！甑拈L為（)

A.0.5cmB.1cmC.1.5cmD.2cm

【答案】B

【分析】本題考查了三角形的中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，延長C。交于尸，利用“角邊角”

證明△AD/和△AQC全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AF=AC,CD=FD,再求出8尸并判斷出。E

是ABC歹的中位線，然后根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得。￡=3下，熟練掌握

知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】如圖，延長8交于下點,

：也平分/