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專題28解直角三角形(58題)
一、單選題
1.(2024?吉林長(zhǎng)春?中考真題)2024年5月29日16時(shí)12分,“長(zhǎng)春凈月一號(hào)”衛(wèi)星搭乘谷神星一號(hào)火箭在
黃海海域成功發(fā)射.當(dāng)火箭上升到點(diǎn)A時(shí),位于海平面R處的雷達(dá)測(cè)得點(diǎn)R到點(diǎn)A的距離為。千米,仰角
為,,則此時(shí)火箭距海平面的高度AL為()
C.次os。千米D.T千米
cos6*
【答案】A
【分析】本題考查解直角三角形,熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵,根據(jù)銳角的正弦函數(shù)的定義即可
求解
【詳解】解:由題意得:5缶。=不=——
ARa
AL=asin〃千米
故選:A
2.(2024?天津?中考真題)os45。-1的值等于()
A.0B.1C.亞一1D.V2-1
2
【答案】A
【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值,熟記特殊的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵;根據(jù)cos45。=正代入即
2
可求解.
【詳解】V2cos450-l=>/2x—-1=0,
2
故選:A.
4
3.(2024.甘肅臨夏.中考真題)如圖,在AABC中,AB=AC=5fsinB=-,則3C的長(zhǎng)是()
A
A.3B.6C.8D.9
【答案】B
【分析】本題考查解直角三角形,等腰三角形的性質(zhì),勾股定理.正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.過點(diǎn)A作
AD13C于點(diǎn)D由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出2。=CD=23C.根據(jù)sinB=當(dāng)=。,可求出AD=4,
2AB5
最后根據(jù)勾股定理可求出BD=3,即得出BC=2BD=6.
【詳解】解:如圖,過點(diǎn)A作AD13C于點(diǎn)D
BD=CD=-BC.
2
An4
在RtAABD中,sinB=——=-,
AB5
44
AD=-AB=-x5=4
55f
;?BD=y/AB2-AD2=J52-42=3,
BC=2.BD=6.
故選B.
4.(2024.四川自貢.中考真題)如圖,等邊AASC鋼架的立柱CDLAB于點(diǎn)D,A3長(zhǎng)12m.現(xiàn)將鋼架立柱
縮短成OE,NBED=60。.則新鋼架減少用鋼()
A.(24-12港)mB.(24-8/)mC.(24-6百)mD.(24-4宕)m
2
【答案】D
【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì),解直角三角形的應(yīng)用.利用三角函數(shù)的定義分別求得DE=2一,
BE=4s/3=AE,CD=6^3,利用新鋼架減少用鋼=47+8。+8-鉆一助—£)£,代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可求
解.
【詳解】解::等邊AABC,CDJ_A3于點(diǎn),48長(zhǎng)12m,
?*.AD=BD=—AB=6m,
2
':ZBED=60°,
tan60°==A/3,
DE
?*.DE=2A/3,
BE=^DE2+BDr=4-73=AE,
"30=60°,
/.CD=BD-tanZCBD=y/3BD=6V3m,8C=AC=AB=12m,
新鋼架減少用
=24+6君-8石-2-=(24-4@111,
故選:D.
5.(2024.四川德陽(yáng)?中考真題)某校學(xué)生開展綜合實(shí)踐活動(dòng),測(cè)量一建筑物CD的高度,在建筑物旁邊有一
高度為10米的小樓房AB,小李同學(xué)在小樓房樓底3處測(cè)得C處的仰角為60。,在小樓房樓頂A處測(cè)得C處
的仰角為30。.CAB.CD在同一平面內(nèi),AD在同一水平面上),則建筑物8的高為()米
A.20B.15C.12D.10+55/3
【答案】B
【分析】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用,如圖,過A作AELCD于E,則四邊形ARDE為矩形,
設(shè)CE=x,而NC4£=30。,可得AE=-^J=?c=BD,CD=x+10,結(jié)合1皿60。=1|=^^=百,
tan30°BD,3x
再解方程即可.
【詳解】解:如圖,過A作AE_LCD于E,
依題意,AB1BD,CD1BD
二四邊形A&DE為矩形,
AAB=DE=10,AE=BD,
設(shè)CE=x,而/G4E=3O°,
AE=CE=B=BD,
tan30°
"?CD=x+W,
CD%+10/r
...tan60=----=—T=—=<3,
BD瓜
解得:x=5,
經(jīng)檢驗(yàn)尤=5是原方程的解,且符合題意;
CD=x+10=15(m),
故選B
6.(2024?廣東深圳?中考真題)如圖,為了測(cè)量某電子廠的高度,小明用高L8m的測(cè)量?jī)x所測(cè)得的仰角為
45。,小軍在小明的前面5m處用高L5m的測(cè)量?jī)xCD測(cè)得的仰角為53。,則電子廠的高度為()(參
434
考數(shù)據(jù):sin53°?-,cos53。e],tan53°?-)
3
A
E二r.M
c「N
FDB
A.22.7mB.22.4mC.21.2mD.23.0m
【答案】A
【分析】本題考查了與仰角有關(guān)的解直角三角形的應(yīng)用,矩形的判定與性質(zhì),先證明四邊形EfDG、跖BA/、
表示EM=(x+5)m,然后在RtAAEM,tan/AEM=電1以及
CD3N是矩形,再設(shè)GM=mi,
EM
4
RtAACN,tan/ACN=4^,運(yùn)用線段和差關(guān)系,MN=AN-AM=-x-(x+5]=0.3,再求出x=15.9m,
CN3
即可作答.
【詳解】解:如圖:延長(zhǎng)。C交于一點(diǎn)G,
E二宓__s-.M
『I里
FDB
?.?ZMEF=ZEFB=ZCDF=90°
???四邊形EFDG是矩形
ZMEF=ZEFB=ZB=90°
???四邊形是矩形
同理得四邊形CDBN是矩形
依題意,得EF=Affi=L8m,CD=1.5m,ZAEM=45°,ZACN=53°
:.CG=(1.8-1.5)m=0.3m,FD=EG=5m
:.CG=MN=03m
???設(shè)GM=xm,則EM=(x+5)m
在Rt△A£M,tanZAEM=州,
EM
???EMxl=AM
即AM=(x+5)m
AN
在Rt^ACN,tanZACN=—,
CN
4
???CNtan530=—%=AN
3
4
即AN=—xm
4
:?MN=AN-AM=jX-(x+5)=0.3
x=15.9m
=15.9+5=20.9(m)
Z.AB^AM+EF^AM+MB^20.9+1.8=22,1(m)
故選:A
7.(2024.內(nèi)蒙古包頭.中考真題)如圖,在矩形ABCD中,瓦廠是邊2C上兩點(diǎn),且BE=EF=FC,連接
尸,OE與.相交于點(diǎn)G,連接3G.若AB=4,BC=6,貝Usin/GB尸的值為()
101033
【答案】A
【分析】本題考查矩形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),求角的正弦值:過點(diǎn)G作GHL5C,證明
FGFF1
△AGD^FGE,得至IJ端=,=再證明△GHFsj?/,分別求出的長(zhǎng),進(jìn)而求出5H的長(zhǎng),
AGAD3
勾股定理求出3G的長(zhǎng),再利用正弦的定義,求解即可.
【詳解】解:??,矩形ABC。,BE=EF=FC,AB=4,BC=6,
:.AD=BC=6,AD//BC,BE=EF=FC=2f
:.AAGD^"GE,BF=4,
.FGEF_1
**AG-AD-3?
?FG-1
**AF-4
.FHGHFG_1
**BF-AB-AF-4?
AFH=-BF=1,GH=-AB=lf
44
:?BH=BF—FH=3,
3G=jF+32;回,
6
.?.sin/G*%=3=回;
BGVw10
故選A.
8.(2024.黑龍江大興安嶺地.中考真題)如圖,菱形ABCD中,點(diǎn)。是50的中點(diǎn),AMLBC,垂足為M,
AM交BD于點(diǎn)、N,OM=2,BD=8,則MN的長(zhǎng)為()
「3A/5D
5-f
【分析】本題主要考查了解三角形,菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半.
先由菱形性質(zhì)可得對(duì)角線AC與交于點(diǎn)。,由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得
OA=OC=OM=2,進(jìn)而由菱形對(duì)角線求出邊長(zhǎng),由sin/MAC=sin解三角形即可求出
5
4J53J5
MC=ACsinZMAC=,MN=BMtanZOBC=
55
??,菱形A3CD中,AC與50互相垂直平分,
又???點(diǎn)。是的中點(diǎn),
???A、0、。三點(diǎn)在同一直線上,
:.OA=OC,
VOM=2,AMA.BC,
:.OA=OC=OM=2f
;BD=8,
OB=OD=-BD=4,
2
______________0(221
,BCNOB?+OC?=%+2?=2石,tanZOBC=—=-=-
,/ZACM+ZMAC=90°,ZACM+ZOBC=90°,
???ZMAC=ZOBC
sinNMAC=sinZOBC=—=3=—,
BC5
4J5
???MC=ACsinZMAC=,
5
/.BM=BC-MC=2^--=—,
55
/.MN=BMtanZOBC=-x-=—
525
故選:C.
9.(2024?四川樂山?中考真題)如圖,在菱形ABCD中,ZABC=60°,鈣=1,點(diǎn)P是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),
在3C延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)。,使得點(diǎn)尸和點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱,連接。尸、42交于點(diǎn)M.當(dāng)點(diǎn)尸從3點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到
C點(diǎn)時(shí),點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為()
【答案】B
【分析】該題主要考查了菱形的性質(zhì),垂直平分線的性質(zhì)和判定,全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn),解
題的關(guān)鍵是掌握以上點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑.
過點(diǎn)C作交AD于點(diǎn)“,根據(jù)NABC=60。,四邊形ABCD是菱形,AB=1,算出。〃=1,得出
AH=DH,CH垂直平分AO,再證明VPCAf也VQCM,得出證明CM垂直平分尸。,點(diǎn)M
在CH上運(yùn)動(dòng),根據(jù)解直角三角形CM'=BC-tan30°=^.即可求解.
3
【詳解】解:過點(diǎn)C作CHLAD交AD于點(diǎn)H,
':ZABC=60°,四邊形ABCO是菱形,AB=1,
ZADC=60°,CD=BC=AB=1,
:.ZDCH=30°,
:.DH^-CD=1,
2
/.AH=AD-DH=A,
:.AH=DH,
:.CH垂直平分AD,
8
:點(diǎn)P和點(diǎn)。關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱,
PC=QC,
,/ZPCM=ZQCM=90°,CM=CM,
:.^PCM^QCM(SAS),
:.PM=MQ,
:.CM垂直平分PQ,
.,.點(diǎn)M在CH上運(yùn)動(dòng),
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)8重合時(shí),點(diǎn)M位于點(diǎn)AT,
此時(shí),;NABC=60。,四邊形ABCD是菱形,AB=l,
:.ZM'BC=-ZABC=30°,BC=1
2
/.CM'=BCtan30°=—.
3
故點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為CM'=^~.
3
故選:B.
10.(2024.山東泰安?中考真題)如圖,菱形ABCD中,ZB=60°,點(diǎn)E是A3邊上的點(diǎn),AE=4,BE=8,
點(diǎn)尸是BC上的一點(diǎn),△EGF是以點(diǎn)G為直角頂點(diǎn),/EFG為30。角的直角三角形,連結(jié)AG.當(dāng)點(diǎn)F在
直線8c上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段AG的最小值是()
A.2B.4A/3-2C.2A/3D.4
【答案】C
【分析】如圖:過E作EM,8c于點(diǎn)作MHLAB于點(diǎn)H,作A7_LGM于點(diǎn)/,則點(diǎn)&M、F、G四
點(diǎn)共圓,從而得到4=因?yàn)锳GAGb,所以求出的值即可解答.
【詳解】解:如圖,過E作EN_LBC于點(diǎn)跖作于點(diǎn)作于點(diǎn)/,
AD
?「NEMF+NEG尸=180。,
???點(diǎn)E、M、F、G四點(diǎn)共圓,
:.ZEMG=ZEFG=30°f
???/二60。,
ZBEM=300=ZEMG,
:.MG〃AB,
???四邊形MH"是矩形,
:.MH=AI,
VBE=8,
EM=B£COS30°=4A/3,
MH=-EM=273=AI,
2
???AGNAI=26,
**?AG最小值是2g.
故選:C.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、解直角三角形、垂線段最短、圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)等知識(shí)點(diǎn),熟
練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)和添加合適的輔助線是解題關(guān)鍵.
11.(2024?四川瀘州?中考真題)寬與長(zhǎng)的比是趙人的矩形叫做黃金矩形,黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱
2
的美感.如圖,把黃金矩形ABC。沿對(duì)角線AC翻折,點(diǎn)3落在點(diǎn)?處,AB,交CD于點(diǎn)E,貝Ijsin/DAE的
值為()
10
【答案】A
【分析】本題考查了折疊的性質(zhì),矩形的性質(zhì),勾股定理,全等三角形的判定和性質(zhì),三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn),
利用黃金比例表示各線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.
設(shè)寬,根據(jù)比例表示長(zhǎng),證明AWE/在中,利用勾股定理即可求得結(jié)果.
【詳解】解:設(shè)寬為x,
???寬與長(zhǎng)的比是史二1,
2
x>/5+1
..?長(zhǎng)為:-^=~X,
2
由折疊的性質(zhì)可知,AD=BC=B'C=x,
在VADE和ACB'E中,
ZAED=ZAEB'
<ZD=ZB',
AD=B'C
:.AADE絲ACBE(AAS),
AE=CE,
:.AE+DE=DC=^^x,
2
設(shè)=
在中,
變形得:2=
x2
AO=2y,AE=Jy。+(2y)~=>/5y,
sinNDAE=.y=舊
AE好y5
故選A.
12.(2024.黑龍江大興安嶺地.中考真題)如圖,在正方形A3CD中,點(diǎn)”在AD邊上(不與點(diǎn)A、。重合),
ZBHF=90°,“F交正方形外角的平分線。尸于點(diǎn)E連接AC交3”于點(diǎn)M,連接所交AC于點(diǎn)G,交
CD干點(diǎn)N,連接8D.則下列結(jié)論:①NHBF=45。;②點(diǎn)G是的中點(diǎn);③若點(diǎn)H是AQ的中點(diǎn),則
sinZ.NBC=;@BN=J2BM;⑤若A"=,則黑M。=?S△謝,其中正確的結(jié)論是()
1022
AHD
A.①②③④B.①③⑤C.①②④⑤D.①②③④⑤
【答案】A
【分析】連接。G,可得絲=血,AC垂直平分先證明點(diǎn)8、H、。、尸四點(diǎn)共圓,即可判斷①;
根據(jù)AC垂直平分8。,結(jié)合互余可證明OG=AG,即有OG=PG=3G,則可判斷②正確;證明
△ABMSADBN,即有黑=當(dāng)=0,可判斷④;根據(jù)相似有黑也=(理]=L,根據(jù)可得
BMABS?BNVBD)22
SHM1
3AH=AD,再證明△s?CBM,可得節(jié)A典HM=五彳=£,即可判斷⑤;根據(jù)點(diǎn)〃是AD的中點(diǎn),設(shè)">=2,
^^ABM8M3
即求出34=JAH2+AB2=岔,同理可證明AA/TMSACBM,=jBH=175,即可得
BN=42BM=^s/10,進(jìn)而可判斷③.
【詳解】連接DG,如圖,
P
:四邊形ABCD是正方形,
ZBDC=ABAC=ZADB=45°,—=41,ZBAD=ZADC=90°,AC垂直平分8D,
AB
:./COP=90。,
,/DF平分NCDP,
:.ZCDF=-NCDP=45°=NCDB,
2
NBDF=ZCDF+Z.CDB=90°,
,/ZBHF=90°=ZBDF,
;.點(diǎn)B、H、D、/四點(diǎn)共圓,
ZHFB=ZHDB=45°,ZDHF=NDBF,
ZHBF=1SO°-ZHFB-ZFHB=45°,故①正確,
12
???AC垂直平分BQ,
:.BG=DG,
:./BDG=/DBG,
?.?NBDF=90。,
???ZBDG+ZGDF=90°=NDBG+NDFG,
:.ZGDF=ZDFG,
:.DG=FG,
:,DG=FG=BG,
???點(diǎn)G是防的中點(diǎn),故②正確,
?.*ZBHF=90°=ZBAH,
ZAHB+NDHF=90°=ZAHB+ZABH,
:?ZDHF=ZABH,
ZDHF=ZDBF,
:.ZABH=/DBF,
又ABAC=NDBC=45°,
:?AABMSQBN,
:,吧=6,
BMAB
:?BN=6BM,故④正確,
.S叩町2j
.?S.DBN〔而2,
iii
若AH.HD,則=
/.3AH=AD,
.AH1用AHAH1
??=—,Bp==一,
AD3BCAD3
AD〃BC,
:,AAHMSQM,
.HM_AH_1
**BA7-BC"3?
.s4AHM=HM=1
??S^ABM~BM~3
?Q—QQ
??ABM~)乙4"”,
qi
.."AABM—
*v-2,
□ADBN4
**,S^BND=2s4ABM-65^^,故⑤錯(cuò)誤,
如圖,③若點(diǎn)X是AD的中點(diǎn),設(shè)AT>=2,即AB=3C=AD=2,
,,BH=AH2+AB2=y[5,
同理可證明△AHMs4CBM,
.HMAH_1
**-BC-2?
.HM+BM3BH
??BM--2-BM,
22/-
BM=—BH=—也,
33
*.*BN=CBM,
BN=42BM=-y/io,
3
BC=2,
_________Q
在RSNC中,NC=yJBN2-BC2=j,
smANBC=—^—,故③正確,
BN10
則正確的有:①②③④,
故選:A.
【點(diǎn)睛】本題是一道幾何綜合題,主要考查了正方形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),正弦,圓周角定
理以及勾股定理等知識(shí),證明點(diǎn)B、H、D、F四點(diǎn)共圓,AABMSADBN,是解答本題的關(guān)鍵.
二、填空題
13.(2024.黑龍江綏化?中考真題)如圖,用熱氣球的探測(cè)器測(cè)一棟樓的高度,從熱氣球上的點(diǎn)A測(cè)得該樓
頂部點(diǎn)C的仰角為60。,測(cè)得底部點(diǎn)8的俯角為45。,點(diǎn)A與樓3C的水平距離AT>=50m,則這棟樓的高度
為m(結(jié)果保留根號(hào)).
14
c
B
【答案】(50+50V3)/(50A/3+50)
【分析】本題考查解直角三角形一仰角俯角問題.注意準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.根據(jù)題意
得/&W=45。,NC4D=60。,AD=50m,然后利用三角函數(shù)求解即可.
【詳解】解:依題意,NBAD=45。,ZCAD=60°,AD=50m.
在RtAAB。中,=ADtan45°=50xl=50m,
在Rt^ACD中,CD=AD-tan6()o=50x百=50gm,
3c=BO+CD=(50+50@m.
故答案為:(50+504).
14.(2024?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題)綜合實(shí)踐課上,航模小組用無人機(jī)測(cè)量古樹的高度.如圖,點(diǎn)C處
與古樹底部A處在同一水平面上,且AC=10米,無人機(jī)從C處豎直上升到達(dá)。處,測(cè)得古樹頂部8的俯
角為45。,古樹底部A的俯角為65。,則古樹A8的高度約為米(結(jié)果精確到0.1米;參考數(shù)據(jù):
sin65°?0.906,cos65°?0.423,tan65°它2.145).
缽一
I\\
:\\
;\\、
:\邛
I\
I\
C'----------U
【答案】11.5
【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用.過點(diǎn)。作DM2由題意知河=AC=10米,ZBDM=45。,
ZADM=65°,推出ABDM是等腰直角三角形,在中,利用正切函數(shù)求出AM的值,根據(jù)
AB=AM-BM計(jì)算求解可得AB的值.
【詳解】解:如圖,過點(diǎn)。作交48的延長(zhǎng)線于點(diǎn)
.,?四邊形ACDM是矩形,
:.DM=AC=W^i,
VZBDAf=45°,ZADM=65°,NA/=90°,
???ABDM是等腰直角三角形,
BM=DM=10米,
在中,AM=DM-tanZADM=10-tan65°?10x2_145?21.45(米),
46=^-5^=21.45-10=11.45?11.5(米),
古樹A3的高度約為11.5米.
故答案為:11.5.
15.(2024?湖北武漢?中考真題)黃鶴樓是武漢市著名的旅游景點(diǎn),享有“天下江山第一樓”的美譽(yù).在一次
綜合實(shí)踐活動(dòng)中,某數(shù)學(xué)小組用無人機(jī)測(cè)量黃鶴樓AB的高度,具體過程如下:如圖,將無人機(jī)垂直上升
至距水平地面102m的C處,測(cè)得黃鶴樓頂端A的俯角為45。,底端B的俯角為63。,則測(cè)得黃鶴樓的高度
是m.(參考數(shù)據(jù):tan63°?2)
【答案】51
【分析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用,理解題意,作出輔助線是解題關(guān)鍵.延長(zhǎng)及1交距水平地面
102m的水平線于點(diǎn)。,根據(jù)匕1163。22,求出。C=ADQ51m,即可求解.
【詳解】解:延長(zhǎng)網(wǎng)交距水平地面102m的水平線于點(diǎn)如圖,
16
由題可知,BD=102m,
設(shè)AD—x,
???ZDG4=45°
OC=AD=x
DC=AD?51m
:.=AD=102—51。51m
故答案為:51.
16.(2024.四川內(nèi)江?中考真題)如圖,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,點(diǎn)E在。C上,將矩形ABC。沿
AE折疊,點(diǎn)3恰好落在3C邊上的點(diǎn)尸處,那么tan/EFC=.
【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)得BC=AD=5,CD=AS=3,再根據(jù)折疊的性質(zhì)得AF=AD=5,EF=DE,
在RJA防中,利用勾股定理計(jì)算出3尸=4,則C/=3。一3/=1,設(shè)CE=x,則DE=防=3-x,然后
在口以后(安中根據(jù)勾股定理得到尤2+12=(3-尤)2,解方程即可得到無,進(jìn)一步得到所的長(zhǎng),再根據(jù)正切數(shù)
的定義即可求解.
【詳解】解::四邊形A3CD為矩形,
BC=AD—5,CD—AB-3,ZB=Z.C=90°,
???矩形ABQ)沿直線AE折疊,頂點(diǎn)。恰好落在BC邊上的尸處,
AAF=AD=5,EF=DE,
.,.在RtAABb中,BF=VAF2-AB2=4>
CF=BC-BF=5-4=l,
設(shè)CE=x,貝|防=£>E=C£>_CE=3T
在Rt^ECF中,CE2+FC2=EF2,
4
.?.尤2+F=(3-尤)02,解得x
CF4
tanZEFC=——=-
FC3
4
故答案為:—
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì):折疊是一種對(duì)稱變換,它屬于軸對(duì)稱,折疊前后圖形的形狀和大小不變,
位置變化,對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.也考查了矩形的性質(zhì)和勾股定理,正切的定義.
17.(2024?江蘇鹽城?中考真題)如圖,小明用無人機(jī)測(cè)量教學(xué)樓的高度,將無人機(jī)垂直上升距地面30m的
點(diǎn)尸處,測(cè)得教學(xué)樓底端點(diǎn)A的俯角為37。,再將無人機(jī)沿教學(xué)樓方向水平飛行26.6m至點(diǎn)。處,測(cè)得教
學(xué)樓頂端點(diǎn)8的俯角為45。,則教學(xué)樓48的高度約為m.(精確到1m,參考數(shù)據(jù):sin37°?0.60,
cos37°?0.80,tan37°?0.75)
PQ
;、、、、
?、、\
''、、''、B
【答案】17
【分析】本題主要考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用,延長(zhǎng)A8交直線尸。于點(diǎn)H,先用三角函數(shù)解求
出PH,進(jìn)而求出。“,再證=最后根據(jù)AB=AH-皿即可求解.
【詳解】解:如圖,延長(zhǎng)交直線尸。于點(diǎn)“,則/尸〃4=90。,
由題意知AH=30m,
在RtzXPHA中,tanZPHA=---,即tan37。=----六0.75,
PHPH
解得PH=40m,
/.QH=PH-PQ=40-26.6=13.4(m),
18
ZPHA=90°,NQHB=45°,
NQBH=ZQHB=45°,
.-.QH=BH=13Am,
AB=AH-BH=30-13.4=16.6?17(m),
故答案為:17.
18.(2024?北京?中考真題)如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E在A3上,AFLDE于點(diǎn)尸,。6,。后于點(diǎn)6.若
A£>=5,CG=4,則△AEF的面積為.
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì),^AD=5=DC,CD//AB,得至ljNCDG=ZA£F,結(jié)合CG=4,得到
,_________CG4CG4.,一
DG=7DC2-CG2=3,sin^CDG=sinZAEF=——=-,tanZCDG=tanZAEF=,^c^AE,AF,EF的長(zhǎng),
CD5DG3
解答即可.
本題考查了正方形的性質(zhì),解直角三角形的相關(guān)計(jì)算,熟練掌握解直角三角形的相關(guān)計(jì)算是解題的關(guān)鍵.
【詳解】解:根據(jù)正方形的性質(zhì),得AD=5=DC,CD//AB,
:.ZCDG=ZAEF,
,/CG=4,
DG=VDC2-CG2=3,
sinZCDG=sinZAEF=-=—=
AECD5
CGAD4
tanZCDG=tanZAEF=——=——=-,
DGAE3
:.AE=—,
4
.__415__
54
:.EF=~9,
4
197
AAEF的面積為看EF.A尸=—;
2o
27
故答案為:—.
o
19.(2024?甘肅臨夏?中考真題)如圖,對(duì)折邊長(zhǎng)為2的正方形紙片ABCD,為折痕,以點(diǎn)。為圓心,OM
為半徑作弧,分別交AD,BC于E,尸兩點(diǎn),則廝的長(zhǎng)度為(結(jié)果保留兀).
【分析】本題主要考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算、正方形的性質(zhì)及翻折變換(折疊問題),解直角三角形,熟知正方
形的性質(zhì)、圖形翻折的性質(zhì)及弧長(zhǎng)的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.
由對(duì)折可知,ZEOM=AFOM,過點(diǎn)E作。W的垂線,進(jìn)而可求出NEOM的度數(shù),則可得出NEO歹的度
數(shù),最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可解決問題.
【詳解】解::折疊,且四邊形A3CD是正方形
四邊形AOMD是矩形,AEOM=ZFOM,
貝1JOM=AD=2,DM=-CD=l.
2
過點(diǎn)E作于P,
貝UEP=£>M=Jc£>=l,
?;OE=OM=AD=2,CD=AD=2,
:.EP=-OE.
2
EP1
在PX^EOP中,sin/EOP=——=—,
OE2
.\ZEOP=30°,
貝IJNEO產(chǎn)=30。><2=60。,
60?22萬
:,EF的長(zhǎng)度為:
180T
20
故答案為:行--
20.(2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題)如圖,數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在用幾何畫板繪制幾何圖形時(shí),發(fā)現(xiàn)了如“花
朵”形的美麗圖案,他們將等腰三角形02C置于平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),
點(diǎn)C在第一象限,ZOBC=120°.將△O8C沿x軸正方向作無滑動(dòng)滾動(dòng),使它的三邊依次與無軸重合,第
一次滾動(dòng)后,點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)c的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C"OC與O'C'的交點(diǎn)為A,稱點(diǎn)A為第一個(gè)“花朵”
的花心,點(diǎn)A為第二個(gè)“花朵”的花心;……;按此規(guī)律,△O8C滾動(dòng)2024次后停止?jié)L動(dòng),則最后一個(gè)“花
【分析】本題考查了解直角三角形,等腰直角的性質(zhì),點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探索.連接48,求得AB=岑,
OD瀉,OC=0分別得到4,日1,百,“5+2"#],L,推導(dǎo)得到
41+(〃-1乂2+⑹,ZXOBC滾動(dòng)一次得到A,△O3C滾動(dòng)四次得到&,△OBC滾動(dòng)七次得到&,
由此得到△03C滾動(dòng)2024次后停止?jié)L動(dòng),貝ij〃=(2024+1)+3=675,據(jù)此求解即可.
【詳解】解:連接
AB±OC,
AAB=OBtan30°=—,BD=\oB=\,OD=y]OB2-BD2=—,
3222
/.OC=C'E=y/3
A
△03C滾動(dòng)一次得到A,△03C滾動(dòng)四次得到4,△03C滾動(dòng)七次得到人,
...△08C滾動(dòng)2024次后停止?jié)L動(dòng),貝^”=(2024+1)+3=675時(shí),%1349+6744,
故答案為:1349+67473,^.
21.(2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題)矩形ABCO中,AB=3,BC=4,將43沿過點(diǎn)A的一條直線折
疊,折痕交直線于點(diǎn)尸(點(diǎn)P不與點(diǎn)2重合),點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)落在矩形對(duì)角線所在的直線上,則尸C長(zhǎng)
為.
【答案】|5?或7;或10
【分析】本題考查了矩形與折疊問題,解直角三角形,先根據(jù)點(diǎn)8的對(duì)稱點(diǎn)落在矩形對(duì)角線所在的直線上
的不同位置分三種情況,畫出對(duì)應(yīng)的圖形,再根據(jù)矩形性質(zhì),利用解直角三角形求出PC即可.
【詳解】解:①點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)落在矩形對(duì)角線8。上,如圖I,
圖1
;在矩形ABC。中,AB=CD=3,BC=AD=4,
由折疊性質(zhì)可知:BB'YAP,
NBAP+ZBPA=ZBPA+ZCBD
:.ZBAP=ZCBD
CD3
tanZBAP=tanZCBD=—=一,
BC4
9
3
BP=ABtanNBAP=6x-2-
4
22
97
,PC=BC-BP=8——=-
22
②點(diǎn)5的對(duì)稱點(diǎn)夕落在矩形對(duì)角線AC上,如圖2,
圖2
,在矩形ABCD中,AB=CD=3,BC=AD=4,IB90?,
;?AC=yjAB2+BC2=A/32+42=5,
BC4
cosZACB=——=一,
AC5
由折疊性質(zhì)可知:ZABP=ZABfP=90o,AB=AB=3^
:.BfC=AC-ABf=5-3=2
.?.PChBJ2,3
cosZACB52
③點(diǎn)8的對(duì)稱點(diǎn)3'落在矩形對(duì)角線C4延長(zhǎng)線上,如圖3,
圖3
,在矩形A5CD中,AB=CD=3,BC=AD=4,IB90?,
;?AC=y/AB2+BC2=A/32+42=5,
BC4
cosZACB=——=一,
AC5
由折疊性質(zhì)可知:ZABP=ZABfP=90°,AB=AB=3^
:.?C=AC+AB'=5+3=8
B'C4
???PC=------------=8—=10;
cosZACB5
57
綜上所述:則PC長(zhǎng)為|■或;或10.
22
57
故答案為:;或一或10.
22
22.(2024.山東泰安.中考真題)在綜合實(shí)踐課上,數(shù)學(xué)興趣小組用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量大汶河某河段的寬度,
他們?cè)诤影兑粋?cè)的瞭望臺(tái)上放飛一只無人機(jī),如圖,無人機(jī)在河上方距水面高60米的點(diǎn)P處測(cè)得瞭望臺(tái)
正對(duì)岸A處的俯角為50。,測(cè)得瞭望臺(tái)頂端C處的俯角為63.6。,已知瞭望臺(tái)3C高12米(圖中點(diǎn)A,B,
39
C,P在同一平面內(nèi)),那么大汶河此河段的寬A3為米.(參考數(shù)據(jù):sin40。2不,sin63.6°?—,
tan50°a:,tan63.6。a2)
【分析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用一仰角、俯角問題等知識(shí)點(diǎn),熟練掌握解直角三角形是解題關(guān)
鍵.
根據(jù)題意可得NNPC=NP=63.6。,ZMPA=ZBAP=50°,BC=EF=12m,PE=60m,貝Ij
PF=PE-EF=48m,再通過解直角三角形求得AE和盛,最后根據(jù)線段的和差即可解答.
【詳解】解:由題知NNPC=NPC尸=63.6。,ZMPA=ZBAP=50°,BC=EF=12m,PE=60m,
.??PF=PE-EF=48m,
PF
在Rt△尸/C,tan63.6°=—=2,
CF
:.CF=24m,
***BE=24m,
PE6
在Rt/kAP尸中,tan50°=----=—,
AE5
AE=50m,
:.AB=AE^-BE=14m.
故答案為:74.
23.(2024?四川達(dá)州?中考真題)如圖,在區(qū)心筋。中,NC=90。.點(diǎn)。在線段BC上,NR4D=45。.若AC=4,
【分析】本題考查解直角三角形,勾股定理.過。作。石于£,設(shè)=則。5=尤+1,利用
24
ArDF
sin?BIT而列出等式即可.
【詳解】解:過。作。石工鉆于£,
A
AC=4,CD=1,
\AD="2+/=后
?.?Zfl4Z>=45°
.?.VAOE是等腰直角三角形
\DE=—AD=典
22
設(shè)DB=x,貝l|CB=x+1
\AB=M+(x+I)?
.fACDE
sin?B----=-----
ABDB
\:4」
M+(X+1)2X
1717
解得(舍去)或X
經(jīng)檢驗(yàn)%=與是原分式方程的解,
\SAyUjC=lBBAC=1?(1y)?4
故答案為:號(hào)40.
24.(2024?貴州?中考真題)如圖,在菱形ABCQ中,點(diǎn)尸分別是3C,8的中點(diǎn),連接AE,AF.若
4
sinZEAF=-,AE=5,則A5的長(zhǎng)為.
【答案】2屈/馬叵
33
【分析】延長(zhǎng)BC,AF交于點(diǎn)M,根據(jù)菱形的性質(zhì)和中點(diǎn)性質(zhì)證明AABE義44D尸,AADF,MCF,過E
點(diǎn)作ENLAR交N點(diǎn),根據(jù)三角函數(shù)求出EN,AN,NF,MN,在中利用勾股定理求出EM,
根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得出答案.
【詳解】延長(zhǎng)3C,AF交于點(diǎn)
在菱形ABCD中,點(diǎn)區(qū)尸分別是3C,8的中點(diǎn),
:.AB=BC=CD=AD,BE=EC=CF=DF,AD\\BC,ZD=AFCM,ZB=ZD
在△ABE1和△的)尸中
AB=AD
<NB=ND,
BE=DF
△ABE^AADF(SAS),
AE=AF,
在△AD廠和AMCF中
ND=ZFCM
<DF=CF,
ZAFD=/MFC
△AZ)F^AMCF(ASA),
??.CM=AD,AF=MF,
\-AE=5,
,\AE=AF=MF=5,
過E點(diǎn)作ENLA尸于N點(diǎn),
/.ZANE=90°
4
vsinZEAF=-fAE=5f
:.EN=4,AN=3,
ANF=AF-AN=2,
.?.A/7V=5+2=7,
在Rt△硒M中
EM虱EN'MN?="2+72=底,
26
EM=EC+CM=^BC+BC=>/65,
-,AB=BC=CD=AD,
AB=BC=-y[65,
3
故答案為:—^65.
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),運(yùn)用三角函數(shù)解直角三角形,勾股定理等,
正確添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵.
25.(2024?廣東深圳?中考真題)如圖,在AASC中,AB=BC,tanN8=』,。為上一點(diǎn),且滿足些=§,
12CD5
CE
過。作OE1AD交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則大=.
【分析】本題考查了解直角三角形、勾股定理,平行線分線段成比例,先設(shè)AB=3C=13x,根據(jù)tan1,
AH±CB,得出AH=5x,3〃=12x,再分別用勾股定理求出"L,AC=y/26x,故
cosZADC=—=^,再運(yùn)用解直角三角形得出。M
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