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文檔簡(jiǎn)介

專題28解直角三角形(58題)

一、單選題

1.(2024?吉林長(zhǎng)春?中考真題)2024年5月29日16時(shí)12分,“長(zhǎng)春凈月一號(hào)”衛(wèi)星搭乘谷神星一號(hào)火箭在

黃海海域成功發(fā)射.當(dāng)火箭上升到點(diǎn)A時(shí),位于海平面R處的雷達(dá)測(cè)得點(diǎn)R到點(diǎn)A的距離為。千米,仰角

為,,則此時(shí)火箭距海平面的高度AL為()

C.次os。千米D.T千米

cos6*

【答案】A

【分析】本題考查解直角三角形,熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵,根據(jù)銳角的正弦函數(shù)的定義即可

求解

【詳解】解:由題意得:5缶。=不=——

ARa

AL=asin〃千米

故選:A

2.(2024?天津?中考真題)os45。-1的值等于()

A.0B.1C.亞一1D.V2-1

2

【答案】A

【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值,熟記特殊的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵;根據(jù)cos45。=正代入即

2

可求解.

【詳解】V2cos450-l=>/2x—-1=0,

2

故選:A.

4

3.(2024.甘肅臨夏.中考真題)如圖,在AABC中,AB=AC=5fsinB=-,則3C的長(zhǎng)是()

A

A.3B.6C.8D.9

【答案】B

【分析】本題考查解直角三角形,等腰三角形的性質(zhì),勾股定理.正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.過點(diǎn)A作

AD13C于點(diǎn)D由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出2。=CD=23C.根據(jù)sinB=當(dāng)=。,可求出AD=4,

2AB5

最后根據(jù)勾股定理可求出BD=3,即得出BC=2BD=6.

【詳解】解:如圖,過點(diǎn)A作AD13C于點(diǎn)D

BD=CD=-BC.

2

An4

在RtAABD中,sinB=——=-,

AB5

44

AD=-AB=-x5=4

55f

;?BD=y/AB2-AD2=J52-42=3,

BC=2.BD=6.

故選B.

4.(2024.四川自貢.中考真題)如圖,等邊AASC鋼架的立柱CDLAB于點(diǎn)D,A3長(zhǎng)12m.現(xiàn)將鋼架立柱

縮短成OE,NBED=60。.則新鋼架減少用鋼()

A.(24-12港)mB.(24-8/)mC.(24-6百)mD.(24-4宕)m

2

【答案】D

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì),解直角三角形的應(yīng)用.利用三角函數(shù)的定義分別求得DE=2一,

BE=4s/3=AE,CD=6^3,利用新鋼架減少用鋼=47+8。+8-鉆一助—£)£,代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可求

解.

【詳解】解::等邊AABC,CDJ_A3于點(diǎn),48長(zhǎng)12m,

?*.AD=BD=—AB=6m,

2

':ZBED=60°,

tan60°==A/3,

DE

?*.DE=2A/3,

BE=^DE2+BDr=4-73=AE,

"30=60°,

/.CD=BD-tanZCBD=y/3BD=6V3m,8C=AC=AB=12m,

新鋼架減少用

=24+6君-8石-2-=(24-4@111,

故選:D.

5.(2024.四川德陽(yáng)?中考真題)某校學(xué)生開展綜合實(shí)踐活動(dòng),測(cè)量一建筑物CD的高度,在建筑物旁邊有一

高度為10米的小樓房AB,小李同學(xué)在小樓房樓底3處測(cè)得C處的仰角為60。,在小樓房樓頂A處測(cè)得C處

的仰角為30。.CAB.CD在同一平面內(nèi),AD在同一水平面上),則建筑物8的高為()米

A.20B.15C.12D.10+55/3

【答案】B

【分析】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用,如圖,過A作AELCD于E,則四邊形ARDE為矩形,

設(shè)CE=x,而NC4£=30。,可得AE=-^J=?c=BD,CD=x+10,結(jié)合1皿60。=1|=^^=百,

tan30°BD,3x

再解方程即可.

【詳解】解:如圖,過A作AE_LCD于E,

依題意,AB1BD,CD1BD

二四邊形A&DE為矩形,

AAB=DE=10,AE=BD,

設(shè)CE=x,而/G4E=3O°,

AE=CE=B=BD,

tan30°

"?CD=x+W,

CD%+10/r

...tan60=----=—T=—=<3,

BD瓜

解得:x=5,

經(jīng)檢驗(yàn)尤=5是原方程的解,且符合題意;

CD=x+10=15(m),

故選B

6.(2024?廣東深圳?中考真題)如圖,為了測(cè)量某電子廠的高度,小明用高L8m的測(cè)量?jī)x所測(cè)得的仰角為

45。,小軍在小明的前面5m處用高L5m的測(cè)量?jī)xCD測(cè)得的仰角為53。,則電子廠的高度為()(參

434

考數(shù)據(jù):sin53°?-,cos53。e],tan53°?-)

3

A

E二r.M

c「N

FDB

A.22.7mB.22.4mC.21.2mD.23.0m

【答案】A

【分析】本題考查了與仰角有關(guān)的解直角三角形的應(yīng)用,矩形的判定與性質(zhì),先證明四邊形EfDG、跖BA/、

表示EM=(x+5)m,然后在RtAAEM,tan/AEM=電1以及

CD3N是矩形,再設(shè)GM=mi,

EM

4

RtAACN,tan/ACN=4^,運(yùn)用線段和差關(guān)系,MN=AN-AM=-x-(x+5]=0.3,再求出x=15.9m,

CN3

即可作答.

【詳解】解:如圖:延長(zhǎng)。C交于一點(diǎn)G,

E二宓__s-.M

『I里

FDB

?.?ZMEF=ZEFB=ZCDF=90°

???四邊形EFDG是矩形

ZMEF=ZEFB=ZB=90°

???四邊形是矩形

同理得四邊形CDBN是矩形

依題意,得EF=Affi=L8m,CD=1.5m,ZAEM=45°,ZACN=53°

:.CG=(1.8-1.5)m=0.3m,FD=EG=5m

:.CG=MN=03m

???設(shè)GM=xm,則EM=(x+5)m

在Rt△A£M,tanZAEM=州,

EM

???EMxl=AM

即AM=(x+5)m

AN

在Rt^ACN,tanZACN=—,

CN

4

???CNtan530=—%=AN

3

4

即AN=—xm

4

:?MN=AN-AM=jX-(x+5)=0.3

x=15.9m

=15.9+5=20.9(m)

Z.AB^AM+EF^AM+MB^20.9+1.8=22,1(m)

故選:A

7.(2024.內(nèi)蒙古包頭.中考真題)如圖,在矩形ABCD中,瓦廠是邊2C上兩點(diǎn),且BE=EF=FC,連接

尸,OE與.相交于點(diǎn)G,連接3G.若AB=4,BC=6,貝Usin/GB尸的值為()

101033

【答案】A

【分析】本題考查矩形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),求角的正弦值:過點(diǎn)G作GHL5C,證明

FGFF1

△AGD^FGE,得至IJ端=,=再證明△GHFsj?/,分別求出的長(zhǎng),進(jìn)而求出5H的長(zhǎng),

AGAD3

勾股定理求出3G的長(zhǎng),再利用正弦的定義,求解即可.

【詳解】解:??,矩形ABC。,BE=EF=FC,AB=4,BC=6,

:.AD=BC=6,AD//BC,BE=EF=FC=2f

:.AAGD^"GE,BF=4,

.FGEF_1

**AG-AD-3?

?FG-1

**AF-4

.FHGHFG_1

**BF-AB-AF-4?

AFH=-BF=1,GH=-AB=lf

44

:?BH=BF—FH=3,

3G=jF+32;回,

6

.?.sin/G*%=3=回;

BGVw10

故選A.

8.(2024.黑龍江大興安嶺地.中考真題)如圖,菱形ABCD中,點(diǎn)。是50的中點(diǎn),AMLBC,垂足為M,

AM交BD于點(diǎn)、N,OM=2,BD=8,則MN的長(zhǎng)為()

「3A/5D

5-f

【分析】本題主要考查了解三角形,菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半.

先由菱形性質(zhì)可得對(duì)角線AC與交于點(diǎn)。,由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得

OA=OC=OM=2,進(jìn)而由菱形對(duì)角線求出邊長(zhǎng),由sin/MAC=sin解三角形即可求出

5

4J53J5

MC=ACsinZMAC=,MN=BMtanZOBC=

55

??,菱形A3CD中,AC與50互相垂直平分,

又???點(diǎn)。是的中點(diǎn),

???A、0、。三點(diǎn)在同一直線上,

:.OA=OC,

VOM=2,AMA.BC,

:.OA=OC=OM=2f

;BD=8,

OB=OD=-BD=4,

2

______________0(221

,BCNOB?+OC?=%+2?=2石,tanZOBC=—=-=-

,/ZACM+ZMAC=90°,ZACM+ZOBC=90°,

???ZMAC=ZOBC

sinNMAC=sinZOBC=—=3=—,

BC5

4J5

???MC=ACsinZMAC=,

5

/.BM=BC-MC=2^--=—,

55

/.MN=BMtanZOBC=-x-=—

525

故選:C.

9.(2024?四川樂山?中考真題)如圖,在菱形ABCD中,ZABC=60°,鈣=1,點(diǎn)P是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

在3C延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)。,使得點(diǎn)尸和點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱,連接。尸、42交于點(diǎn)M.當(dāng)點(diǎn)尸從3點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到

C點(diǎn)時(shí),點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為()

【答案】B

【分析】該題主要考查了菱形的性質(zhì),垂直平分線的性質(zhì)和判定,全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn),解

題的關(guān)鍵是掌握以上點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑.

過點(diǎn)C作交AD于點(diǎn)“,根據(jù)NABC=60。,四邊形ABCD是菱形,AB=1,算出。〃=1,得出

AH=DH,CH垂直平分AO,再證明VPCAf也VQCM,得出證明CM垂直平分尸。,點(diǎn)M

在CH上運(yùn)動(dòng),根據(jù)解直角三角形CM'=BC-tan30°=^.即可求解.

3

【詳解】解:過點(diǎn)C作CHLAD交AD于點(diǎn)H,

':ZABC=60°,四邊形ABCO是菱形,AB=1,

ZADC=60°,CD=BC=AB=1,

:.ZDCH=30°,

:.DH^-CD=1,

2

/.AH=AD-DH=A,

:.AH=DH,

:.CH垂直平分AD,

8

:點(diǎn)P和點(diǎn)。關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱,

PC=QC,

,/ZPCM=ZQCM=90°,CM=CM,

:.^PCM^QCM(SAS),

:.PM=MQ,

:.CM垂直平分PQ,

.,.點(diǎn)M在CH上運(yùn)動(dòng),

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)8重合時(shí),點(diǎn)M位于點(diǎn)AT,

此時(shí),;NABC=60。,四邊形ABCD是菱形,AB=l,

:.ZM'BC=-ZABC=30°,BC=1

2

/.CM'=BCtan30°=—.

3

故點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為CM'=^~.

3

故選:B.

10.(2024.山東泰安?中考真題)如圖,菱形ABCD中,ZB=60°,點(diǎn)E是A3邊上的點(diǎn),AE=4,BE=8,

點(diǎn)尸是BC上的一點(diǎn),△EGF是以點(diǎn)G為直角頂點(diǎn),/EFG為30。角的直角三角形,連結(jié)AG.當(dāng)點(diǎn)F在

直線8c上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段AG的最小值是()

A.2B.4A/3-2C.2A/3D.4

【答案】C

【分析】如圖:過E作EM,8c于點(diǎn)作MHLAB于點(diǎn)H,作A7_LGM于點(diǎn)/,則點(diǎn)&M、F、G四

點(diǎn)共圓,從而得到4=因?yàn)锳GAGb,所以求出的值即可解答.

【詳解】解:如圖,過E作EN_LBC于點(diǎn)跖作于點(diǎn)作于點(diǎn)/,

AD

?「NEMF+NEG尸=180。,

???點(diǎn)E、M、F、G四點(diǎn)共圓,

:.ZEMG=ZEFG=30°f

???/二60。,

ZBEM=300=ZEMG,

:.MG〃AB,

???四邊形MH"是矩形,

:.MH=AI,

VBE=8,

EM=B£COS30°=4A/3,

MH=-EM=273=AI,

2

???AGNAI=26,

**?AG最小值是2g.

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、解直角三角形、垂線段最短、圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)等知識(shí)點(diǎn),熟

練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)和添加合適的輔助線是解題關(guān)鍵.

11.(2024?四川瀘州?中考真題)寬與長(zhǎng)的比是趙人的矩形叫做黃金矩形,黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱

2

的美感.如圖,把黃金矩形ABC。沿對(duì)角線AC翻折,點(diǎn)3落在點(diǎn)?處,AB,交CD于點(diǎn)E,貝Ijsin/DAE的

值為()

10

【答案】A

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì),矩形的性質(zhì),勾股定理,全等三角形的判定和性質(zhì),三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn),

利用黃金比例表示各線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

設(shè)寬,根據(jù)比例表示長(zhǎng),證明AWE/在中,利用勾股定理即可求得結(jié)果.

【詳解】解:設(shè)寬為x,

???寬與長(zhǎng)的比是史二1,

2

x>/5+1

..?長(zhǎng)為:-^=~X,

2

由折疊的性質(zhì)可知,AD=BC=B'C=x,

在VADE和ACB'E中,

ZAED=ZAEB'

<ZD=ZB',

AD=B'C

:.AADE絲ACBE(AAS),

AE=CE,

:.AE+DE=DC=^^x,

2

設(shè)=

在中,

變形得:2=

x2

AO=2y,AE=Jy。+(2y)~=>/5y,

sinNDAE=.y=舊

AE好y5

故選A.

12.(2024.黑龍江大興安嶺地.中考真題)如圖,在正方形A3CD中,點(diǎn)”在AD邊上(不與點(diǎn)A、。重合),

ZBHF=90°,“F交正方形外角的平分線。尸于點(diǎn)E連接AC交3”于點(diǎn)M,連接所交AC于點(diǎn)G,交

CD干點(diǎn)N,連接8D.則下列結(jié)論:①NHBF=45。;②點(diǎn)G是的中點(diǎn);③若點(diǎn)H是AQ的中點(diǎn),則

sinZ.NBC=;@BN=J2BM;⑤若A"=,則黑M。=?S△謝,其中正確的結(jié)論是()

1022

AHD

A.①②③④B.①③⑤C.①②④⑤D.①②③④⑤

【答案】A

【分析】連接。G,可得絲=血,AC垂直平分先證明點(diǎn)8、H、。、尸四點(diǎn)共圓,即可判斷①;

根據(jù)AC垂直平分8。,結(jié)合互余可證明OG=AG,即有OG=PG=3G,則可判斷②正確;證明

△ABMSADBN,即有黑=當(dāng)=0,可判斷④;根據(jù)相似有黑也=(理]=L,根據(jù)可得

BMABS?BNVBD)22

SHM1

3AH=AD,再證明△s?CBM,可得節(jié)A典HM=五彳=£,即可判斷⑤;根據(jù)點(diǎn)〃是AD的中點(diǎn),設(shè)">=2,

^^ABM8M3

即求出34=JAH2+AB2=岔,同理可證明AA/TMSACBM,=jBH=175,即可得

BN=42BM=^s/10,進(jìn)而可判斷③.

【詳解】連接DG,如圖,

P

:四邊形ABCD是正方形,

ZBDC=ABAC=ZADB=45°,—=41,ZBAD=ZADC=90°,AC垂直平分8D,

AB

:./COP=90。,

,/DF平分NCDP,

:.ZCDF=-NCDP=45°=NCDB,

2

NBDF=ZCDF+Z.CDB=90°,

,/ZBHF=90°=ZBDF,

;.點(diǎn)B、H、D、/四點(diǎn)共圓,

ZHFB=ZHDB=45°,ZDHF=NDBF,

ZHBF=1SO°-ZHFB-ZFHB=45°,故①正確,

12

???AC垂直平分BQ,

:.BG=DG,

:./BDG=/DBG,

?.?NBDF=90。,

???ZBDG+ZGDF=90°=NDBG+NDFG,

:.ZGDF=ZDFG,

:.DG=FG,

:,DG=FG=BG,

???點(diǎn)G是防的中點(diǎn),故②正確,

?.*ZBHF=90°=ZBAH,

ZAHB+NDHF=90°=ZAHB+ZABH,

:?ZDHF=ZABH,

ZDHF=ZDBF,

:.ZABH=/DBF,

又ABAC=NDBC=45°,

:?AABMSQBN,

:,吧=6,

BMAB

:?BN=6BM,故④正確,

.S叩町2j

.?S.DBN〔而2,

iii

若AH.HD,則=

/.3AH=AD,

.AH1用AHAH1

??=—,Bp==一,

AD3BCAD3

AD〃BC,

:,AAHMSQM,

.HM_AH_1

**BA7-BC"3?

.s4AHM=HM=1

??S^ABM~BM~3

?Q—QQ

??ABM~)乙4"”,

qi

.."AABM—

*v-2,

□ADBN4

**,S^BND=2s4ABM-65^^,故⑤錯(cuò)誤,

如圖,③若點(diǎn)X是AD的中點(diǎn),設(shè)AT>=2,即AB=3C=AD=2,

,,BH=AH2+AB2=y[5,

同理可證明△AHMs4CBM,

.HMAH_1

**-BC-2?

.HM+BM3BH

??BM--2-BM,

22/-

BM=—BH=—也,

33

*.*BN=CBM,

BN=42BM=-y/io,

3

BC=2,

_________Q

在RSNC中,NC=yJBN2-BC2=j,

smANBC=—^—,故③正確,

BN10

則正確的有:①②③④,

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題是一道幾何綜合題,主要考查了正方形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),正弦,圓周角定

理以及勾股定理等知識(shí),證明點(diǎn)B、H、D、F四點(diǎn)共圓,AABMSADBN,是解答本題的關(guān)鍵.

二、填空題

13.(2024.黑龍江綏化?中考真題)如圖,用熱氣球的探測(cè)器測(cè)一棟樓的高度,從熱氣球上的點(diǎn)A測(cè)得該樓

頂部點(diǎn)C的仰角為60。,測(cè)得底部點(diǎn)8的俯角為45。,點(diǎn)A與樓3C的水平距離AT>=50m,則這棟樓的高度

為m(結(jié)果保留根號(hào)).

14

c

B

【答案】(50+50V3)/(50A/3+50)

【分析】本題考查解直角三角形一仰角俯角問題.注意準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.根據(jù)題意

得/&W=45。,NC4D=60。,AD=50m,然后利用三角函數(shù)求解即可.

【詳解】解:依題意,NBAD=45。,ZCAD=60°,AD=50m.

在RtAAB。中,=ADtan45°=50xl=50m,

在Rt^ACD中,CD=AD-tan6()o=50x百=50gm,

3c=BO+CD=(50+50@m.

故答案為:(50+504).

14.(2024?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題)綜合實(shí)踐課上,航模小組用無人機(jī)測(cè)量古樹的高度.如圖,點(diǎn)C處

與古樹底部A處在同一水平面上,且AC=10米,無人機(jī)從C處豎直上升到達(dá)。處,測(cè)得古樹頂部8的俯

角為45。,古樹底部A的俯角為65。,則古樹A8的高度約為米(結(jié)果精確到0.1米;參考數(shù)據(jù):

sin65°?0.906,cos65°?0.423,tan65°它2.145).

缽一

I\\

:\\

;\\、

:\邛

I\

I\

C'----------U

【答案】11.5

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用.過點(diǎn)。作DM2由題意知河=AC=10米,ZBDM=45。,

ZADM=65°,推出ABDM是等腰直角三角形,在中,利用正切函數(shù)求出AM的值,根據(jù)

AB=AM-BM計(jì)算求解可得AB的值.

【詳解】解:如圖,過點(diǎn)。作交48的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

.,?四邊形ACDM是矩形,

:.DM=AC=W^i,

VZBDAf=45°,ZADM=65°,NA/=90°,

???ABDM是等腰直角三角形,

BM=DM=10米,

在中,AM=DM-tanZADM=10-tan65°?10x2_145?21.45(米),

46=^-5^=21.45-10=11.45?11.5(米),

古樹A3的高度約為11.5米.

故答案為:11.5.

15.(2024?湖北武漢?中考真題)黃鶴樓是武漢市著名的旅游景點(diǎn),享有“天下江山第一樓”的美譽(yù).在一次

綜合實(shí)踐活動(dòng)中,某數(shù)學(xué)小組用無人機(jī)測(cè)量黃鶴樓AB的高度,具體過程如下:如圖,將無人機(jī)垂直上升

至距水平地面102m的C處,測(cè)得黃鶴樓頂端A的俯角為45。,底端B的俯角為63。,則測(cè)得黃鶴樓的高度

是m.(參考數(shù)據(jù):tan63°?2)

【答案】51

【分析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用,理解題意,作出輔助線是解題關(guān)鍵.延長(zhǎng)及1交距水平地面

102m的水平線于點(diǎn)。,根據(jù)匕1163。22,求出。C=ADQ51m,即可求解.

【詳解】解:延長(zhǎng)網(wǎng)交距水平地面102m的水平線于點(diǎn)如圖,

16

由題可知,BD=102m,

設(shè)AD—x,

???ZDG4=45°

OC=AD=x

DC=AD?51m

:.=AD=102—51。51m

故答案為:51.

16.(2024.四川內(nèi)江?中考真題)如圖,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,點(diǎn)E在。C上,將矩形ABC。沿

AE折疊,點(diǎn)3恰好落在3C邊上的點(diǎn)尸處,那么tan/EFC=.

【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)得BC=AD=5,CD=AS=3,再根據(jù)折疊的性質(zhì)得AF=AD=5,EF=DE,

在RJA防中,利用勾股定理計(jì)算出3尸=4,則C/=3。一3/=1,設(shè)CE=x,則DE=防=3-x,然后

在口以后(安中根據(jù)勾股定理得到尤2+12=(3-尤)2,解方程即可得到無,進(jìn)一步得到所的長(zhǎng),再根據(jù)正切數(shù)

的定義即可求解.

【詳解】解::四邊形A3CD為矩形,

BC=AD—5,CD—AB-3,ZB=Z.C=90°,

???矩形ABQ)沿直線AE折疊,頂點(diǎn)。恰好落在BC邊上的尸處,

AAF=AD=5,EF=DE,

.,.在RtAABb中,BF=VAF2-AB2=4>

CF=BC-BF=5-4=l,

設(shè)CE=x,貝|防=£>E=C£>_CE=3T

在Rt^ECF中,CE2+FC2=EF2,

4

.?.尤2+F=(3-尤)02,解得x

CF4

tanZEFC=——=-

FC3

4

故答案為:—

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì):折疊是一種對(duì)稱變換,它屬于軸對(duì)稱,折疊前后圖形的形狀和大小不變,

位置變化,對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.也考查了矩形的性質(zhì)和勾股定理,正切的定義.

17.(2024?江蘇鹽城?中考真題)如圖,小明用無人機(jī)測(cè)量教學(xué)樓的高度,將無人機(jī)垂直上升距地面30m的

點(diǎn)尸處,測(cè)得教學(xué)樓底端點(diǎn)A的俯角為37。,再將無人機(jī)沿教學(xué)樓方向水平飛行26.6m至點(diǎn)。處,測(cè)得教

學(xué)樓頂端點(diǎn)8的俯角為45。,則教學(xué)樓48的高度約為m.(精確到1m,參考數(shù)據(jù):sin37°?0.60,

cos37°?0.80,tan37°?0.75)

PQ

;、、、、

?、、\

''、、''、B

【答案】17

【分析】本題主要考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用,延長(zhǎng)A8交直線尸。于點(diǎn)H,先用三角函數(shù)解求

出PH,進(jìn)而求出。“,再證=最后根據(jù)AB=AH-皿即可求解.

【詳解】解:如圖,延長(zhǎng)交直線尸。于點(diǎn)“,則/尸〃4=90。,

由題意知AH=30m,

在RtzXPHA中,tanZPHA=---,即tan37。=----六0.75,

PHPH

解得PH=40m,

/.QH=PH-PQ=40-26.6=13.4(m),

18

ZPHA=90°,NQHB=45°,

NQBH=ZQHB=45°,

.-.QH=BH=13Am,

AB=AH-BH=30-13.4=16.6?17(m),

故答案為:17.

18.(2024?北京?中考真題)如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E在A3上,AFLDE于點(diǎn)尸,。6,。后于點(diǎn)6.若

A£>=5,CG=4,則△AEF的面積為.

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì),^AD=5=DC,CD//AB,得至ljNCDG=ZA£F,結(jié)合CG=4,得到

,_________CG4CG4.,一

DG=7DC2-CG2=3,sin^CDG=sinZAEF=——=-,tanZCDG=tanZAEF=,^c^AE,AF,EF的長(zhǎng),

CD5DG3

解答即可.

本題考查了正方形的性質(zhì),解直角三角形的相關(guān)計(jì)算,熟練掌握解直角三角形的相關(guān)計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解:根據(jù)正方形的性質(zhì),得AD=5=DC,CD//AB,

:.ZCDG=ZAEF,

,/CG=4,

DG=VDC2-CG2=3,

sinZCDG=sinZAEF=-=—=

AECD5

CGAD4

tanZCDG=tanZAEF=——=——=-,

DGAE3

:.AE=—,

4

.__415__

54

:.EF=~9,

4

197

AAEF的面積為看EF.A尸=—;

2o

27

故答案為:—.

o

19.(2024?甘肅臨夏?中考真題)如圖,對(duì)折邊長(zhǎng)為2的正方形紙片ABCD,為折痕,以點(diǎn)。為圓心,OM

為半徑作弧,分別交AD,BC于E,尸兩點(diǎn),則廝的長(zhǎng)度為(結(jié)果保留兀).

【分析】本題主要考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算、正方形的性質(zhì)及翻折變換(折疊問題),解直角三角形,熟知正方

形的性質(zhì)、圖形翻折的性質(zhì)及弧長(zhǎng)的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.

由對(duì)折可知,ZEOM=AFOM,過點(diǎn)E作。W的垂線,進(jìn)而可求出NEOM的度數(shù),則可得出NEO歹的度

數(shù),最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可解決問題.

【詳解】解::折疊,且四邊形A3CD是正方形

四邊形AOMD是矩形,AEOM=ZFOM,

貝1JOM=AD=2,DM=-CD=l.

2

過點(diǎn)E作于P,

貝UEP=£>M=Jc£>=l,

?;OE=OM=AD=2,CD=AD=2,

:.EP=-OE.

2

EP1

在PX^EOP中,sin/EOP=——=—,

OE2

.\ZEOP=30°,

貝IJNEO產(chǎn)=30。><2=60。,

60?22萬

:,EF的長(zhǎng)度為:

180T

20

故答案為:行--

20.(2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題)如圖,數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在用幾何畫板繪制幾何圖形時(shí),發(fā)現(xiàn)了如“花

朵”形的美麗圖案,他們將等腰三角形02C置于平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),

點(diǎn)C在第一象限,ZOBC=120°.將△O8C沿x軸正方向作無滑動(dòng)滾動(dòng),使它的三邊依次與無軸重合,第

一次滾動(dòng)后,點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)c的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C"OC與O'C'的交點(diǎn)為A,稱點(diǎn)A為第一個(gè)“花朵”

的花心,點(diǎn)A為第二個(gè)“花朵”的花心;……;按此規(guī)律,△O8C滾動(dòng)2024次后停止?jié)L動(dòng),則最后一個(gè)“花

【分析】本題考查了解直角三角形,等腰直角的性質(zhì),點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探索.連接48,求得AB=岑,

OD瀉,OC=0分別得到4,日1,百,“5+2"#],L,推導(dǎo)得到

41+(〃-1乂2+⑹,ZXOBC滾動(dòng)一次得到A,△O3C滾動(dòng)四次得到&,△OBC滾動(dòng)七次得到&,

由此得到△03C滾動(dòng)2024次后停止?jié)L動(dòng),貝ij〃=(2024+1)+3=675,據(jù)此求解即可.

【詳解】解:連接

AB±OC,

AAB=OBtan30°=—,BD=\oB=\,OD=y]OB2-BD2=—,

3222

/.OC=C'E=y/3

A

△03C滾動(dòng)一次得到A,△03C滾動(dòng)四次得到4,△03C滾動(dòng)七次得到人,

...△08C滾動(dòng)2024次后停止?jié)L動(dòng),貝^”=(2024+1)+3=675時(shí),%1349+6744,

故答案為:1349+67473,^.

21.(2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題)矩形ABCO中,AB=3,BC=4,將43沿過點(diǎn)A的一條直線折

疊,折痕交直線于點(diǎn)尸(點(diǎn)P不與點(diǎn)2重合),點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)落在矩形對(duì)角線所在的直線上,則尸C長(zhǎng)

為.

【答案】|5?或7;或10

【分析】本題考查了矩形與折疊問題,解直角三角形,先根據(jù)點(diǎn)8的對(duì)稱點(diǎn)落在矩形對(duì)角線所在的直線上

的不同位置分三種情況,畫出對(duì)應(yīng)的圖形,再根據(jù)矩形性質(zhì),利用解直角三角形求出PC即可.

【詳解】解:①點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)落在矩形對(duì)角線8。上,如圖I,

圖1

;在矩形ABC。中,AB=CD=3,BC=AD=4,

由折疊性質(zhì)可知:BB'YAP,

NBAP+ZBPA=ZBPA+ZCBD

:.ZBAP=ZCBD

CD3

tanZBAP=tanZCBD=—=一,

BC4

9

3

BP=ABtanNBAP=6x-2-

4

22

97

,PC=BC-BP=8——=-

22

②點(diǎn)5的對(duì)稱點(diǎn)夕落在矩形對(duì)角線AC上,如圖2,

圖2

,在矩形ABCD中,AB=CD=3,BC=AD=4,IB90?,

;?AC=yjAB2+BC2=A/32+42=5,

BC4

cosZACB=——=一,

AC5

由折疊性質(zhì)可知:ZABP=ZABfP=90o,AB=AB=3^

:.BfC=AC-ABf=5-3=2

.?.PChBJ2,3

cosZACB52

③點(diǎn)8的對(duì)稱點(diǎn)3'落在矩形對(duì)角線C4延長(zhǎng)線上,如圖3,

圖3

,在矩形A5CD中,AB=CD=3,BC=AD=4,IB90?,

;?AC=y/AB2+BC2=A/32+42=5,

BC4

cosZACB=——=一,

AC5

由折疊性質(zhì)可知:ZABP=ZABfP=90°,AB=AB=3^

:.?C=AC+AB'=5+3=8

B'C4

???PC=------------=8—=10;

cosZACB5

57

綜上所述:則PC長(zhǎng)為|■或;或10.

22

57

故答案為:;或一或10.

22

22.(2024.山東泰安.中考真題)在綜合實(shí)踐課上,數(shù)學(xué)興趣小組用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量大汶河某河段的寬度,

他們?cè)诤影兑粋?cè)的瞭望臺(tái)上放飛一只無人機(jī),如圖,無人機(jī)在河上方距水面高60米的點(diǎn)P處測(cè)得瞭望臺(tái)

正對(duì)岸A處的俯角為50。,測(cè)得瞭望臺(tái)頂端C處的俯角為63.6。,已知瞭望臺(tái)3C高12米(圖中點(diǎn)A,B,

39

C,P在同一平面內(nèi)),那么大汶河此河段的寬A3為米.(參考數(shù)據(jù):sin40。2不,sin63.6°?—,

tan50°a:,tan63.6。a2)

【分析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用一仰角、俯角問題等知識(shí)點(diǎn),熟練掌握解直角三角形是解題關(guān)

鍵.

根據(jù)題意可得NNPC=NP=63.6。,ZMPA=ZBAP=50°,BC=EF=12m,PE=60m,貝Ij

PF=PE-EF=48m,再通過解直角三角形求得AE和盛,最后根據(jù)線段的和差即可解答.

【詳解】解:由題知NNPC=NPC尸=63.6。,ZMPA=ZBAP=50°,BC=EF=12m,PE=60m,

.??PF=PE-EF=48m,

PF

在Rt△尸/C,tan63.6°=—=2,

CF

:.CF=24m,

***BE=24m,

PE6

在Rt/kAP尸中,tan50°=----=—,

AE5

AE=50m,

:.AB=AE^-BE=14m.

故答案為:74.

23.(2024?四川達(dá)州?中考真題)如圖,在區(qū)心筋。中,NC=90。.點(diǎn)。在線段BC上,NR4D=45。.若AC=4,

【分析】本題考查解直角三角形,勾股定理.過。作。石于£,設(shè)=則。5=尤+1,利用

24

ArDF

sin?BIT而列出等式即可.

【詳解】解:過。作。石工鉆于£,

A

AC=4,CD=1,

\AD="2+/=后

?.?Zfl4Z>=45°

.?.VAOE是等腰直角三角形

\DE=—AD=典

22

設(shè)DB=x,貝l|CB=x+1

\AB=M+(x+I)?

.fACDE

sin?B----=-----

ABDB

\:4」

M+(X+1)2X

1717

解得(舍去)或X

經(jīng)檢驗(yàn)%=與是原分式方程的解,

\SAyUjC=lBBAC=1?(1y)?4

故答案為:號(hào)40.

24.(2024?貴州?中考真題)如圖,在菱形ABCQ中,點(diǎn)尸分別是3C,8的中點(diǎn),連接AE,AF.若

4

sinZEAF=-,AE=5,則A5的長(zhǎng)為.

【答案】2屈/馬叵

33

【分析】延長(zhǎng)BC,AF交于點(diǎn)M,根據(jù)菱形的性質(zhì)和中點(diǎn)性質(zhì)證明AABE義44D尸,AADF,MCF,過E

點(diǎn)作ENLAR交N點(diǎn),根據(jù)三角函數(shù)求出EN,AN,NF,MN,在中利用勾股定理求出EM,

根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】延長(zhǎng)3C,AF交于點(diǎn)

在菱形ABCD中,點(diǎn)區(qū)尸分別是3C,8的中點(diǎn),

:.AB=BC=CD=AD,BE=EC=CF=DF,AD\\BC,ZD=AFCM,ZB=ZD

在△ABE1和△的)尸中

AB=AD

<NB=ND,

BE=DF

△ABE^AADF(SAS),

AE=AF,

在△AD廠和AMCF中

ND=ZFCM

<DF=CF,

ZAFD=/MFC

△AZ)F^AMCF(ASA),

??.CM=AD,AF=MF,

\-AE=5,

,\AE=AF=MF=5,

過E點(diǎn)作ENLA尸于N點(diǎn),

/.ZANE=90°

4

vsinZEAF=-fAE=5f

:.EN=4,AN=3,

ANF=AF-AN=2,

.?.A/7V=5+2=7,

在Rt△硒M中

EM虱EN'MN?="2+72=底,

26

EM=EC+CM=^BC+BC=>/65,

-,AB=BC=CD=AD,

AB=BC=-y[65,

3

故答案為:—^65.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),運(yùn)用三角函數(shù)解直角三角形,勾股定理等,

正確添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵.

25.(2024?廣東深圳?中考真題)如圖,在AASC中,AB=BC,tanN8=』,。為上一點(diǎn),且滿足些=§,

12CD5

CE

過。作OE1AD交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則大=.

【分析】本題考查了解直角三角形、勾股定理,平行線分線段成比例,先設(shè)AB=3C=13x,根據(jù)tan1,

AH±CB,得出AH=5x,3〃=12x,再分別用勾股定理求出"L,AC=y/26x,故

cosZADC=—=^,再運(yùn)用解直角三角形得出。M

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