2025年新高考數(shù)學(xué)重難點突破：函數(shù)的周期性、對稱性十大題型（原卷版）

重難點07函數(shù)的周期性、對稱性十大題型匯總

題型解讀

滿分技巧/

技巧一.函數(shù)周期的常見結(jié)論設(shè)函數(shù)y=/(%),%eR,a>0.

1.若+a)=f(x-a),則函數(shù)的周期為2a；

2若+a)=-f(x),則函數(shù)的周期為2a;

3.若/(x+a)=為則函數(shù)的周期為2a；

4.若/(x+a)=-六，則函數(shù)的周期為2a；

技巧二.對稱軸常見類型

1./(%+a)=f(b-x)=y=/(%)圖像關(guān)于直線x=審對稱

2./(%+a)=/(a一乃qy=f(%)的圖象關(guān)于直線％=a對稱

3./(%)=/(2a一％)=y=/(%)的圖象關(guān)于直線％=a對稱

4./(-x)=/(2a+%)=y=/(%)的圖象關(guān)于直線％=。對稱

技巧三.對稱中心常見類型

1.7(%+a)+/(b一％)=2cQy=/(%)圖像關(guān)于直線(巴鼻-,c)對稱

2.f[x+a)+f(_a-x)=2b<=>y=/(x)的圖象關(guān)于點(a,。)對稱

3.f(x)+f(2a一x)=26oy=f(久)的圖象關(guān)于點(a,。)對稱

4.7(-x)+f(2a+x)=2boy=/(x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱

技巧四.周期與對稱性的區(qū)分

L若+a)=±/(x+b),則f(x)具有周期性；

2.若f(x+a)=±f(b-x)廁f(x)具有對稱性：

口訣：”內(nèi)同表示周期性，內(nèi)反表示對稱性"。

技巧五.周期的計算

L若函數(shù)關(guān)于直線x=8與x=。對稱，那么函數(shù)/(久)的周期為2|6-a\；

2.若函數(shù)f(x)關(guān)于點(切0)對稱，又關(guān)于點伯,0)對稱，則函數(shù)/O)的周期是2|6-a|;

3.若函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=a對稱，又關(guān)于點(立0)對稱，則函數(shù)f(x)的周期是4|6-a\;

4.若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=a對稱，則其周期為2a;

5.若函數(shù)/■(%)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=a對稱,則其周期為4a

蜀*題型提分練

題型1簡單的周期性求值

【例題1](2023秋?高一課時練習(xí))若函數(shù)f⑺是周期為3的周期函數(shù)，且〃-1)=3，則”2)=.

【變式1-1】L(2020?浙江高一期末)已知函數(shù)f(久)對于任意實數(shù)x滿足條件/Q+2)=-六，若f(2)=；,

則f(2020)=()

A--lB-1C「2D.2

【變式1-1]2.(多選)(2023春?安徽蚌埠?高一統(tǒng)考期末)若定義在R上的函數(shù)f(x)分別滿足下列條件，

其中可以得出八%)的周期為2的有()

A./(x)=/(%—2)B./(x+2)=f(x—2)

C./(—x)=f(%+2)D.f(x—1)=f(x+1)

【變式1-1]3.(2023秋?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱三中?？计谀?已知定義在R上的奇函數(shù)/(%)滿足

/(%+4)=/(久)恒成立，且/(1)=1,貝妤(2)+f(3)+f(4)的值為

【變式1-1J4.(2023春?安徽亳州?高一渦陽縣第二中學(xué)校聯(lián)考期末定義在R上的函數(shù)“比)滿足f0+3)+

/(%+D=f(2),貝仔(2024)=

【變式1-1]5.(2023?全國?高一課堂例題)已知偶函數(shù)f(x)滿足/0+4)=/。)+2八2),則

7(2022)=

【變式1-D6.(2023春湖北咸寧?高一統(tǒng)考期末定義在R上的函數(shù)f(x)滿足+2)+/(%)=3且/'(1)=

0,貝好(2023)=()

A.-3B.0C.1D.3

題型2對稱中心問題

【例題2](2022秋?河北保定?高一河北省唐縣第一中學(xué)?？计谥?設(shè)函數(shù)/(切的圖象關(guān)于點(1,1)對稱，

則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

A.f(x—1)—1B./(x—1)+1

C./(%+1)-1D./(%+1)+1

【變式2-1]1.(2023秋?湖南湘西?高一?？计谥?已知函數(shù)y=x+b的圖象關(guān)于原點對稱，則6=()

A.0B.-1

C.1D.無法確定

【變式2-1]2.(2023春?云南普洱?高一校考階段練習(xí)定義在R上的函數(shù)/(久)為奇函數(shù),/(1)=1，又g(x)=

/(x+2)也是奇函數(shù)，貝葉(2021)=

【變式2-1]3.(2021春?江西撫州?高一臨川一中?？计谀?已知函數(shù)f(久)對任意xeR都有f(x+2)+

/O—2)=0,若、=/(x+1)的圖象關(guān)于點(—1,0)對稱,且f(1)=2,則f(2019)=()

A.-2B.0C.1D.2

【變式2-1]4.(2022秋?浙江嘉興?高一統(tǒng)考期末)已知定義在R上的函數(shù)f(尤)滿足f0+6)+/(x)=0,

且函數(shù)y=f(x-1)的圖象關(guān)于(1,0)對稱，貝仔(2022)=

【變式2-1]5.(2021秋?廣東茂名?高一校考期末)已知/(%)=言,則編)+f(磊)+/(言)+-+

/(—)=

【變式2-1]6.(2022秋?上海松江?高一上海市松江二中?？计谥?函數(shù)y=”的圖像關(guān)于點(3,c)中心對

稱，貝!I。+c=.

【變式2-1】7.(多選)(2022秋?山東濰坊?高一?？计谥?若定義在R上的減函數(shù)y=f(x-3)的圖象關(guān)

于點(3,0)對稱，且g(x)=/(%)-2,則下列結(jié)論一定成立的是()

A.g⑶=一2B.g(0)=-2

C./(x+2)+/(3%—4)>。的解集為(—8,D.g(—2)+g(l)>—4

題型3對稱軸問題

【例題31(2021秋?上海長寧?高一上海市延安中學(xué)?？计谀?奇函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=2對稱，

/(3)=3,則/(-1)+/(0)=

【變式3-1J1.(多選)(2023秋?內(nèi)蒙古呼和浩特?高一統(tǒng)考期末)已知定義在R上的函數(shù)八久)滿足f(久-2)

為偶函數(shù)，且在[-2,+8)上單調(diào)遞減.則下列判斷正確的是()

A./(-4)>A。)B.f(-3)>f(0)

C./㈤圖象的對稱軸為久=-2D.若f(a)>/⑴，則-5<a<l

【變式3-1]2.(多選)(2023秋?湖南衡陽?高一統(tǒng)考期末)奇函數(shù)f(x)(xeR)滿足“久)=f(1-乃，則

下列選項正確的是()

A./(久)的一個周期為2B./(100.4)<f(2.6)

C為偶函數(shù)D.f(2久—4)為奇函數(shù)

【變式3-1]3.(多選)(2023秋?湖北十堰?高一統(tǒng)考期末)已知定義在R上的函數(shù)f(x)在(-8,2]上單調(diào)遞

增，且/(比+2)為偶函數(shù)，則()

A.f(x)的對稱中心為(2,0)

B./O)的對稱軸為直線久=2

C.f(-1)>f⑷

D.不等式/(久+3)>/(4%)的解集為(一8()u(1,+8)

【變式3-1]4(2022秋?浙江紹興?高一統(tǒng)考期末盾函數(shù)f⑺=(%2-l)(x2+ax+b)=f(4-%),

則a+b=.

【變式3-1]5.(2021秋?江蘇蘇州?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(%)=(%2-x)(%2+ax+b)的圖象關(guān)于直

線％=2對稱，貝[]。+b=；函數(shù)y=/(%)的最小值為

【變式3-1]6.(2022秋?廣東廣州?高一廣東實驗中學(xué)?？计谥?若函數(shù)/(%)=(a2-x2)(x2+bx+c)(c>

0)的圖象關(guān)于直線X=-2對稱，則2+￡+為勺最小值是

題型4對稱軸、對稱中心問題

【例題4](2023秋?安徽蕪湖?高一安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀?設(shè)/0)是定義域為R的奇函數(shù)，且

/(I+x)=/(-%),=則f㈢=()

A.--B.-iC.-D.i

3333

【變式4-1]1.(2023秋?湖北孝感?高一湖北省孝感市第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)f(久)的定

義域為R,/(x+2)為偶函數(shù)，/(-2%+1)為奇函數(shù)，則()

A./(-I)=0B./⑵=0C./(4)=0D./(|)=0

【變式4-1J2.(2023秋?吉林?高一長春市第二實驗中學(xué)校聯(lián)考期末)若fQ)是定義域在R上的奇函數(shù)，且

/(-%+2)=/(%+2),則下列結(jié)論錯誤的是()

A./⑷=0B.y=/(%)的圖象關(guān)于直線％=1對稱

C./(x+8)=fix)D.若f(-3)=-1,貝妤(2023)=-1

【變式4-1】3.(2022秋?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?高一鄂爾多斯市第一中學(xué)?？计谀?已知函數(shù)/'(%-1)06R)是

偶函數(shù)，且函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)成中心對稱，當(dāng)久￡[-1,1]時，/(久)=x-l,貝仔(2017)=()

A.—2B.—1C.0D.2

【變式4-1]4.(2023秋㈣I卜高一四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校?？计谀?已知f(x)是定義在R上的函

數(shù)，且滿足“3尤-2)為偶函數(shù)，/(2x-1)為奇函數(shù)，則下列說法一定正確的是()

A.函數(shù)f⑺的圖像關(guān)于直線x=1對稱B.函數(shù)/⑺的周期為2

C.函數(shù)/(%)關(guān)于點(0,0)中心對稱D./(2023)=0

【變式4-1]5.(2023秋?河北邯鄲?高一校考期末)已知定義在R上的函數(shù)f(久)滿足/(久+6)+f(6-久)=0,

目/(X)的圖象關(guān)于直線比=3對稱，函數(shù)y=f(x-1)的圖象關(guān)于(1,0)對稱，則/(2022)=.

題型5函數(shù)值求和問題

【例題5](2023秋安徽淮南?高一校考階段練習(xí))已知/0)是定義域為(-8,+8)的奇函數(shù)，滿足/(I-幻=

/(I+x),若/⑴=3,則/"⑴+f⑵+/(3)+.??+f(2023)=()

A.2023B.0C.3D.-2023

【變式5-1J1.(2023春?云南紅河?高一校考期中股f(久)的定義域為R，且滿足f(1-%)=f(l+%),/(%)+

/(-x)=2,若〃1)=3,則喏晶黯舒=()

A.2021B.2022C.2023D.2024

【變式5-1]2.(2023?全國?高一專題練習(xí))已知函婁好0)的定義域為R,若+1)為偶函數(shù)，目/(x)+

/(4-％)=；2,〃1)=2,則=()

A.23B.22C.19D.18

【變式5-1]3.(2023秋?全國?高一專題練習(xí))設(shè)f⑴是定義在R上的奇函數(shù)，目/■G-比)=/(1x),

則/(1)+〃2)+/(3)+/(4)+/(5)=

【變式5-1J4.(2022秋?河南信陽?高一統(tǒng)考期中)已知函數(shù)〃久)是定義域為(-8,+8)的奇函數(shù)，滿足f(2-

x)=/(x),若f⑴=2,則f(l)+/(2)+/■⑶+-/(2022)=()

A.-2B.2C.0D.2022

題型6已知部分函數(shù)問題

【例題6】2021秋?陜西渭南?高一統(tǒng)考期末圮知定義在R上的偶函數(shù)”久)對任意的x滿足f(x)=f(2-x),

且％e[0,1]時，/■(久)=x2,貝！1/(―|)=.

【變式6-1]1.(2023春?河南信陽?高一統(tǒng)考期末)設(shè)了(%)是周期為3的奇函數(shù)，當(dāng)-1Wx<0時，f(%)=

2/一1,貝行仁)等于()

AB.-qC.[D.i

【變式6-1]2.(2021秋?安徽安慶?高一安慶市第七中學(xué)?？计谥?設(shè)/0)是定義域在R上的奇函數(shù)，

f(x+2)=-/(%)，當(dāng)0<xW1時，/■(久)=%,則/'(5.5)的值為

【變式6-1J3.(2022春?四川南充?高一四川省南充高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試)已知定義在R上的函婁好(均滿

足f(x)=2-f(-x),且函數(shù)y=fO+l)是偶函數(shù)，當(dāng)xe[-1,0]時，f(x)=1-%2,則

/(2022)=

【變式6-1]4.(2023秋?全國?高一專題練習(xí))定義在R上的奇函數(shù)f0)滿足以eR,f⑺=f(2-久)，且

當(dāng)。W尤W1時，f(x)=x2-3x+a,貝立倒.

【變式6-1]5.(2023春?四川德陽?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)"%)滿足/(久+4)=/(%),/(-%)=f(x),且

當(dāng)xG[0,2]時,/(x)-x2+1,則/(2023)=.

【變式6-1]6.(2023?全國?高一專題練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)f⑺滿足f(2x+2)=-門2久)，且y=

f(2x-1)的圖象關(guān)于直線％=[對稱.若％e時，f(%)=4x+3,貝Uf(2023)=

題型7周期性求解析式問題

【例題7](2023春河南信陽?高一信陽高中?？计谀?設(shè)以久)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，已知％e

[2,3]時,/(x)=■，貝Je[一2,0]時,/(x)的解析式為/1(%)=()

A.%+4B.2—%

C.3—|x+1|D.2—|x+1|

【變式7-1]1.(2023春?浙江衢州?高一統(tǒng)考期末)已知/(%)為定義在R上的奇函數(shù)"(％+2)為偶函數(shù)，

且對任意的久】，%2e(0,2)，%豐血，都有fQg<0,試寫出符合上述條件的一個函數(shù)解析式

*1一%2

f(x)=

【變式7-1]2.(2022秋安徽合肥?高一統(tǒng)考期末)已知X=1是定義在R上的函數(shù)y=/(x)的對稱軸，當(dāng)

X>1時，/(x)=x2-4x,則/■(%)的解析式是.

【變式7-1]3.(2023秋?湖南郴州?高一校聯(lián)考期末)設(shè)/(x)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，已知當(dāng)xG

[2,3]時，/(乃=久，則當(dāng)％e[-2,0]時，f(久)的解析式為()

A.x+4B.2—%C.3—|x+11D.2+|x+l|

【變式7-1]4.(多選)(2023秋?江蘇宿遷?高一統(tǒng)考期末)已知/(久)是定義在R上的函數(shù)，且對于任意實

數(shù)x恒有/O+2)=-/(x).當(dāng)xG[0,2]時，/(x)=-x2+2工.則()

A./(久)為奇函數(shù)

B./1(%)在%G[2,4]上的解析式為/(0=x2-6x+8

C.f(%)的值域為[0,1]

D./⑴+/⑵+/■⑶+…+/(2022)=1

題型8比較大小問題

【例題8](2023?全國?高一專題練習(xí))已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足"(為的圖象是連續(xù)不斷的且y=

/(%+2)為偶函數(shù).若V%],%2e[2,4]有(%1-“2)丁01)-f(犯)]<0,則下面結(jié)論正確的是()

A./(65.5)</(-24.5)</(83.S)B./(-24.5)</(65.5)</(83.5)

C.f(65.5)<f(83.5)<f(一24.5)D.f(-24.5)</'(83.5)</'(65.5)

【變式8-1]1.(2022秋?新疆烏魯木齊?高一烏魯木齊市第四中學(xué)?？计谀?已知函數(shù)/(%+1)是偶函數(shù)，

當(dāng)1<<盯時，[/'(*1)-/(尤2)](%1-％2)>。恒成立，設(shè)a=/(-|),b=/(2),C=/⑶，則a,b,c

的大小關(guān)系為()

A.c<b<aB.b<a<cC.b<C<aD.a<b<c

【變式8-1]2.(2023秋?全國?高一專題練習(xí))定義在R上的函數(shù)/(%)滿足，①對于互不相等的任意%1,犯e

(0,2]都有f(/)=-/(久2).當(dāng)％>1時，/'(久)>0,②f(x+2)=-f(x)對任意xeR恒成立，③y=

以x+2)的圖象關(guān)于直線x=—2對稱，則/(-10)"(-?、/⑶的大小關(guān)系為()

A./(-10)</(-|)</⑶B/⑶</(-10)

【變式8-1]3.(2023秋?重慶渝中?高一重慶巴蜀中學(xué)?？计谀?已知定義在R上的函數(shù)f(“)滿足：/(久-1)

關(guān)于(1,0)中心對稱,f(x+2)是偶函數(shù)，目/(%)在[0,2]上是增函數(shù)，則()

A./(10)<f(19)<f(13)B./(10)<f(13)</(19)

C./(13)</(IO)</(19)D./(13)</(19)</(IO)

【變式8-1]4.(2023?全國?高一專題練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)f⑺滿足/(久+3)=/(%-3),且丫=

f(x+3)為偶函數(shù)，若/(%)在(0,3)上單調(diào)遞減，則下面結(jié)論正確的是()

A./(-4,5)<f(3.5)<f(12.5)B.f(3,5)<f(12.5)<f(一4.5)

C./(12,5)<f(3.5)</(-4.5)D.f(3.5)</(-4.5)</(12.5)

題型9解不等式問題

【例題9](2023秋?江西萍鄉(xiāng)?高一統(tǒng)考期末)已知定義在R上的函婁好(0在(-8,2]上單調(diào)遞增，若函數(shù)

/(%+2)為偶函數(shù)，且f(3)=0,則不等式xf(x)>。的解集為()

A.(0,3)B.(-oo,0)u(1,3)

C.(-00,0)U(3,4-00)D.(0,1)U(3,+8)

【變式9-1】1.(2023春?陜西西安?高一高新一中?？计谀?已知定義在R上的函數(shù)/(無)在(-8,1]上單調(diào)

遞增，若函數(shù)f(%+1)為偶函數(shù)，且f(3)=0,則不等式外支)〉。的解集為

【變式9-1]2.(2023秋甘肅白銀?高一統(tǒng)考期末)函數(shù)/0)在[0,+8)單調(diào)遞增，且/(久+3)關(guān)于乂=-3對

稱,若f(一2)=1,則f(x-2)<1的光的取值范圍()

A.[—2,2]B.(—8,—2]u[2,+8)

C.(-co,0)U[4,+oo)D.[0,4]

【變式9-1]3.(2022秋?海南?？?高一校考期中)已知g(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且對任意的非負(fù)數(shù)

a豐b,有如警<0,且f(久)=儀久)+2,若了(機)+/(m-2)>4,則實數(shù)機的取值范圍是()

A.(S.+oo)B.(-00,3)C.(1,+8)D.(-00,1)

【變式9-1]4.(2022秋浙江?高一浙江省普陀中學(xué)校聯(lián)考期中)已知定義在R上的函數(shù)〃久)在[2,+8)上

單調(diào)遞減，且滿足f(x+2)=/(-%+2),則不等式f。+2)>f(2久)的解集為()

A.(一8,$u(2,+8)B.(I，2)C.(―8,—2)u(2,+8)D.(-2,2)

【變式9-1]5.(2021春?陜西漢中?高一統(tǒng)考期中)已知二次函數(shù)〃久)=ax2+bx+c,滿足/(3+%)=

/(3-x),且/(4)</(5),則不等式f(1-x)</(I)的解集為

【變式9-1】6.(2022秋?湖北黃岡?高一統(tǒng)考期中)已知函數(shù)f(x+1)為R上的偶函數(shù)，且對V%,犯e

的久1豐久2都有絲上3<。恒成立，則使f0-1)>/(2x+1)成立的x取值范圍為

1X]—

題型10交點坐標(biāo)和問題

【例題101(2023秋?四川眉山?高一?？计谀?已知函數(shù)y=g。)關(guān)于(-2,-3)成中心對稱